Ejercicio sobre la estabilidad de arriostramientos

Mecánica
de
Sólidos
y
Departamento de Estructuras de Edificación
Escuela Técnica Superior de de Arquitectura de Madrid
Sistemas
AA 09/10
Estructurales
T12J
13–5–2010
△
c 2010, Vázquez Espí. v2010516 Ejercicios resueltos: http://www.aq.upm.es/Departamentos/Estructuras/e96-290/JP/
Copyleft A. El soporte de la figura, de h = 10 m de altura, está destinado a resistir el peso de una antena A de 3 m
de altura y peso P = 1750 N. Se encuentra articulado en su base y arriostrado mediante 4 cables iguales en
2 direcciones ortogonales, de un acero con módulo de Young de 200 kN/mm2 y límite elástico 500 N/mm2 . Se
observa que, antes de colocar la antena, el soporte tiene un desplome en cabeza δB = 19 mm. Como prueba de
carga, se aplica una fuerza horizontal en B de 16 N, en la misma dirección y sentido que δB , y se observa que
el desplome horizontal de B respecto al pie del soporte es entonces de 42 mm. Para el correcto funcionamiento
de la antena resulta imprescindible que el desplome de su extremo A respecto al pie del soporte no supere los
35 mm. Se exige un coeficiente de seguridad de 1,5.
A partir de los resultados de la prueba de carga:
1. Estime la proporción o rigidez entre el momento y el giro respecto al pie del soporte:
2. Estime la proporción o rigidez entre el momento respecto al pie del soporte y el
desplazamiento que provoca en cabeza:
69,57 mkN
6,96 kN
3. Calcule la proporción entre la deformación unitaria del cable más tensado y el
desplazamiento de la cabeza del soporte provocado por el momento aplicado respecto al
pie:
0,05 m−1
Comprobación si se instala la antena y no se corrige la imperfección inicial:
4. Calcular el desplome horizontal del extremo A de la antena, medido desde la vertical de
la base del soporte:
36,69 mm
5. Calcular el peso de la antena que rompería el arriostramiento, es decir, con el que se
alcnzaría el límite elástico en el cable más tensionado:
3,88 kN
6. Calcular el coeficiente de seguridad del arriostramiento:
1,71
7. Calcular el máximo peso de la antena compatible con el requisito de rigidez:
1,58 kN
8. ¿Es necesario aumentar la sección de los cables arriostrantes? Responda ‘‘no’’ o el
mínimo factor por el que habría que multiplicar la sección actual:
KB =
P ·(∆A +
∆B cos 45o
= 0,05 m−1 · ∆B
10 m ÷ cos 45o
10
2,5 mm/m ÷ 0,05 m−1
Pe = KB
2,5 mm/m ÷ 0,05 m−1 − 19 mm 13
0,016 kN · 10 m
42 mm − 19 mm
13
19 mm) = KB ·∆B
10
1,44
13
∆B
10
10
35 mm − 19 mm
= KB 13
35 mm
∆A =
εmax =
P35
A
A
3m
δB
B
B
h
h
h
Apellidos
Nombre
Grupo
T12J
△
1.
69,57 2.
6,96 3.
0,05 4.
6.
1,71 7.
1,58 8.
1,44
36,69 5.
3,88
Mecánica
de
Sólidos
Departamento de Estructuras de Edificación
Escuela Técnica Superior de de Arquitectura de Madrid
y
Sistemas
AA 09/10
Estructurales
T12P
13–5–2010
ℵ
c 2010, Vázquez Espí. v2010516 Ejercicios resueltos: http://www.aq.upm.es/Departamentos/Estructuras/e96-290/JP/
Copyleft A.
En la estructura de la figura, los cables son de
acero (módulo de Young: 200 kN/mm2 ; límite elástico:
500 N/mm2 ), de longitudes L1 = 4 m y L2 = 2, 3 m. La viga
puede considerarse indeformable e irrompible en comparación con los cables (que son finos), y su peso despreciable.
Se observa que la viga, sin ninguna acción exterior, presenta una ligerísima pendiente, de forma que su extremo
izquierdo está inicialmente 4 mm por debajo del derecho,
es decir, una pendiente de 4 mm/4 m.
Como ‘prueba de carga’, se sometió la estructura a una
acción F de 30 kN, véase la figura, obteniéndose lo siguiente: el extremo izquierdo descendió 9 mm; los alargamientos en los cables (medidos mediante extensómetros) fueron:
∆1 = 5,0 mm; ∆2 = 1,4 mm.
La estructura, en realidad, se quiere usar para soportar exclusivamente una fuerza Q, aplicada en su extremo izquierdo, véase la figura. El coeficiente de seguridad requerido
es 2,3. El requisito de rigidez exige que el desnivel d entre
ambos extremos de la viga sea como mucho igual a 5 mm.
Las figuras, esquemáticas, no están a escala.
K=
F·3m
9 mm
∆ = 4 mm
Q·(4 mm+∆) = K·∆
Q
K −Q
d = 4 mm
K
K −Q
Qe = K
1
4 mm
2
viga
1m
9 mm
3m
Q
F
2,5 mm/m ÷ 0,14 m−1
4 mm + 2,5 mm/m ÷ 0,14 m−1
d
Qd=5 = K
5 mm − 4 mm
5 mm
σmax = ∆·0,14 m−1 ·200 kN/mm2
A partir de los resultados de la prueba de carga:
1. Estime la proporción o rigidez entre el momento y el giro respecto al extremo derecho
de la viga:
2. Estime la proporción o rigidez entre el momento respecto al extremo derecho de la viga
y el descenso que provoca en el extremo izquierdo:
3. Al aplicar un momento creciente respecto al extremo derecho de la viga, ¿cuál de los
dos cables alcanzaría antes su límite elástico?:
4. Calcule la proporción entre la deformación unitaria del cable anterior y el descenso
originado en el extremo izquierdo por el momento aplicado respecto al extremo derecho de
la viga:
Para la carga de uso Q:
5. ¿Con qué valor de Q se alcanzará el límite elástico de la estructura?:
40000 mkN
10000 kN
1
0,14 m−1
8182 kN
6. ¿Cual es el máximo valor de Q que puede considerarse seguro?:
7. ¿Cuál sería el desnivel d entre ambos extremos de la viga cuando actúe el valor anterior
3557 kN
de Q?:
6,21 mm
61 N/mm2
8. Para ese mismo valor de Q, ¿cuál es la máxima tensión en los cables?:
9. ¿Cuál será el máximo valor de Q que cumple con los requisitos de rigidez y seguridad?:
28 N/mm2
10. Para este último valor de Q, ¿cuál es la máxima tensión en los cables?:
Apellidos
2000 kN
Nombre
Grupo
T12P
ℵ
1.
40000 2.
10000 3.
1 4.
0,14 5.
6.
3557 7.
6,21 8.
61 9.
2000 10.
8182
28