Gerardo Loaiza Cálculo I Taller número 7

Universidad del Cauca
Profesor: Gerardo Loaiza
1. Realice la gráfica de la funciones inversas trigonométricas.
2. Halle las derivada de las funciones del punto anterior y realice su gráfica.
3. Utilice la regal de la cadena para hallar la derivada pedida. Simplifique sus resultados:
a) y = arc sen(x2 )
d ) y = (arc sen(x))2
√
e) y = 1 − x2 arc sen(x)
√
f ) y = arctan(x − 1 + x2 )
b) y = arctan(ex )
c) y = (1 + x2 ) arctan(x)
4. Suponga que f es una función diferenciable uno a uno y que su inversa f −1 también es
diferenciable. Utilice derivación implı́cita para demostrar que
0
f −1 (x) =
1
f 0 (f −1 (x))
siempre que el denominador no se anule.
5. Demuestre que f (x) = 2x + cos(x) es uno a uno. ¿Cuál es el valor de f −1 (1)?. Use la fórmula
del problema anterior para halle (f −1 )0 (1).
6. Halle la derivada solicitada en cada caso:
a) y = log3 (x2 − 4)
a−x
b) y = ln a+x
√
c) y = ln x
d) y =
√
x ln x
e) y = log
x
x−1
f ) y = ln(sec(x) + tan(x))
7. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = (ln x)/x en los puntos (1, 0) y (e, 1/e).
8. Utilice derivación logarı́tmica para hallar la derivada de la función dada:
a) y = (3x − 7)4 (8x2 − 1)3
b) y =
d ) y = (ln(x))x
(x+1)4 (x−5)3
(x−3)8
e) y = x2/5 (x2 + 8)4 ex
q
2 +1
f ) y = xx+1
c) y = xsen(x)
2 +x
9. Halle las gráfica de las funciones hiperbólicas y la de sus inversas.
10. Halle y dibuje la derivada de las funciones hiperbólicas y la de sus inversas.
11. Si senh(x) = −1/2, halle los valores de las demás funciones hiperbólicas.
12. Si cosh(x) = 3, halle las valores de las demás funciones hiperbólicas.
13. Encuentre la derivada de la función dada:
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a) y =
b)
c)
d)
e)
y
y
y
y
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3x
4+cosh(2x)
f ) y = esenh(x)
= sech(x)
= coth(cosh(3x))
= (x − cosh(x))2/3
p
= 4 + tanh(6x)
2
g) y = senh(ex )
√
h) y = cosh4 ( x)
i) y =
ln(x)
x2 +senh(x)
14. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = cosh(x) en x = 1.
15. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = senh(3x) en x = 0.
16. Demuestre la identidad indicada:
a) senh(−x) = − senh(x)
h) senh(2x) = 2 senh(x) cosh(x)
b) cosh(−x) = cosh(x)
i ) cosh(2x) = cosh2 (x) + senh2 (x)
c) cosh2 (x) − senh2 (x) = 1
j ) cosh(2x) = 2 cosh2 (x) − 1
d ) 1 − tanh2 (x) = sec h2 (x)
k ) cosh(2x) = 2 senh2 (x) + 1
e) coth2 (x) − 1 = csc h2 (x)
l ) senh(x + y)
senh(y) cosh(x)
=
senh(x) cosh(y) +
m) cosh(x + y)
senh(x) senh(y)
=
cosh(x) cosh(y) +
f ) cosh(x) + senh(x) = ex
g) tanh(x + y) =
tanh(x)+tanh(y)
1+tanh(x) tanh(y)
17. Calcule:
a) cosh(ln(x))
b) senh(ln(x))
18. Verifique que y = C1 cosh(kx) + C2 senh(kx) satisface la ecuación y 00 − k 2 y = 0 para cualquier
par de constantes C1 y C2 .
19. Hallar y 0 para:
a) y = cosh−1 (x2 + 5)
d ) y = senh−1 (cosh(x))
b) y = senh−1 (sen(x))
e) y = senh(tanh−1 (x))
c) y = coth−1 (csc(x))
f ) y = ex sech−1 (x)
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