POR JUAN DOMÍNGUEZ BERRUETA

760 -
XXXIV. — Sobre la teoría cientifica de la música
(Continuación.)
POR JUAN DOMÍNGUEZ BERRUETA
Entremos ya en la exposición esquemática del acorde
tridimensional.
Para la mayor claridad de las figuras, en vez de representar el tetaedro armónico en perspectiva, como hemos
hecho anteriormente, lo haremos en proyección en esta
forma.
5 V*M
¿o
^ |v "
Jj
t-
(Flgura SO.)
Es decir, que los tres puntos, do — mi — sol, del acorde
írifónico los consideramos en el plano de la figura, con sus
posiciones reales; y el punto del espacio, la $, lo consideramos en su proyección ortogonal, y sus distancias a los vértices del triángulo, do — mi — sol, son las proyecciones respectivas de las distancias del punto del espacio la $, a los
mismos vértices.
— 761 —
Si formamos el tetraedro simétrico del anterior, respecto
al punto medio del lado mi — sol, tendremos
m | r-/
W^T;
T*T 4*-
(Fígura 21 )
Ahora los tres puntos mi — sol—si, del acorde menor
trífónico están también en el plano de la figura; y el punto
reí? del espacio (simétrico del /a$ respecto al punto medio
del lado — ) tiene su proyección, en el plano de la figura,
5/
simétrica de la del punto la $. Es claro que estando el punto la$ en el espacio, por encima del plano de la figura, el
punto reV, en el espacio, estará debajo del mismo plano, y
por eso representamos de puntos las rectas que lo unen con
los vértices mi — sol — si.
Recordando las propiedades geométricas de las figuras
simétricas podemos establecer: /.", que el tetraedro armónico menor, mi — sol — si— re p, es el mismo, cualquiera
quesea el centro de simetría; 2.°, que pudiéramos llevar
ese mismo tetraedro a la posición simétrica, respecto al
plano do — mi—sol del tetraedro armónico mayor, domi — sol — la % ; y 3.°, que los dos tetraedros, aun cuando
tienen sus elementos iguales, no son superponibles.
Esto sentado, podremos ya representar esquemáticamente
— 762 —
las fórmulas [A], [B], [C], [D] del temperamento tridimensional.
«ü
1*
( Figura [A] )
Se ve en este esquema cómo se engendra el intervalo -—
en el ciclo de dos quintas, dos terceras y una coma tetrarmónica.
j-ff
(Figura [B])
En este esquema el ciclo se cierra con siete quintas,
una coma sintónica, otra tetrarmónica y el intervalo fa —
/ » 21
M = -^.
La traducción de este esquema es que el ciclo del temperamento se cierra aquí con cinco quintas, una coma sintó-
— 763 —
15
nica, otra tetrarmónica y el intervalo — —/o —- sol b. Hay
14
que advertir que si se toman las quintas ascendentes, el pun-
,£k
i, b
( Floura [G] )
to de partida está en solb, siguiendo esta marcha: sol v —
re \f — la b — mi t> — s/1> — fa, y entonces el intervalo
final está invertido = sol t> — f a = — r .
M«
"
( Plourà [D] )
En este esquema se ve el ciclo de las doce quintas con
dos comas sintónicas y una tetrarmónica para terminar en el
•> — f ta — —.
63
intervalo mi%
64
Por último, combinando la fórmula [D] con la [C] para
representar el esquema completo de las 17 quintas, en las
que limitamos nuestro temperamento, y suprimiendo en la
— 764 —
figura, para mayor sencillez, las líneas que representan las
comas, cuya dirección ya conocemos por los esquemas anteriores, resulta:
( Figura [E] )
Las comas sintónicas unirían las notas: re — re, fa — fa,
sol;}:— sol#; y las comas tetrarmônicas unirían: f a if — fa J
y re b — re b.
Suprimiendo, pues, las notas repetidas, aisladas, que son
sustituidas mediante la reducción de la coma por sus homónimas de los tetraedros, obtendremos el esquema fundamental de nuestra gama, que es el siguiente:
k
JL
( Flflura [F] )
El sol# no debe entrar en las notas de nuestra gama porque (véase la figura anterior) exigiría la formación de un
— 765 —
tetraedro, si v — re — f a — sol'ii, con un fa distintoderfundamental, o de un tetraedro si k — re -fa — sol $, con un
sip y un re distintos de los fundamentales.
Otra nota anterior al sol V tampoco entra en nuestra gama,
porque exigiría un tetraedro re — fa — la — do >, con el re
distinto del fundamental.
Otra nota posterior al mi £ tampoco entra en nuestra gama,
porque exigiría un tetraedro: re — f a % —la — si %, con dos
notas fa %, la, distintas de las fundamentales, que forman
los tetraedros del temperamento.
Quedan por examinar otras notas posibles: las que formarían tetraedros con los triángulos de acorde menor: fa —
la b — do, do mi V — sol, sol — si b — re.
La primera sería un mi b b, la segunda un si b b, la tercera un/a j,. Prescindiendo !de los dobles bemoles (primeramente porque suponen ya una prolongación de la gama más
allá dé los semitonos cromáticos, que darían lugar'a notas
entre re y reí, entre la y la$, y después porque tampoco
hay lugar, como hemos visto en la generación de los tetraedros, a los dobles sostenidos), tampoco el fa b sería admisible, primero, porque ya quedaría un tetraedro sci — si b —
re—/ab, insiméírico respecto de la figura en general; se49
gundo, porque ese /ab, que valdría mit:—, sería en
' 48
realidad un doble bemol colocado entre mi y mi %.
Analicemos ahora la composición y factura de cada tetraedro, armónicamente considerado.
Sea el acorde fundamental: do — mi — sol— /0$.
'Los números que expresan los armónicos que engendran sus notas (fig. [a]) son 1, 3, 5, Y. Para reducirlos a la
octava dol — do2 bastara dividir dichos números por las
potencias de 2, que representan las octavas descendentes
de las notas. Así quedarán reducidas a las siguientes refac3 5 7
ciones numéricas de vibraciones: 1, —.
.
2
4
4
— 766 —
¿Cómo formaremos armónicamente el acorde sol — si —
— m¿>?
fi
Con un tetraedro idéntico al anterior, sólo que la unidad
( Figura [a )
no es do — \, sino sol = 3. Luego las notas tendrían por
factores numéricos componentes los respectivos números
anteriores multiplicados por 3.
Si \i
(Figura [h] )
Y reduciendo las notas a la octava do i — do», resultará:
15
9
jíL
, mi £
-,st =
sol = —, re =
16
-
767 —
Análogamente formaríamos el acorde fa-— la — do — re $,
tomando al fa = — por unidad.
3
Y el acorde la¡? — do — m/j? —/a$, tomando el la\? =
= —, por unidad.
O
3
Y el acorde mi J? — sol — si y — do $, con el mi J? == —,
O
por unidad.
Para el acorde menor la — do — mi —. sol J?, no tenemos
/
7\
mas que calcular una nota, sol i? I simétrica de fa g = — I.
V
5 /
Las otras dos notas están ya calculadas.
(Figura[fl )
5
Y reducidas a la octava fundamental: la = —; do—\;
J
5
.,
10
mi = —; solp =
.
4
7
Estudiemos la característica del acorde menor respecto al
acorde mayor fundamental [a].
1.° El acorde [a] es simétrico del [f] respecto al punto
medio del lado do — mi (véase esquema [F]).
2.° Las notas del acorde mayor llevan este orden de generación armónica: do — mi — sol — la § = 1 — 5 — 3 — 7.
— 768 —
Las notas del acorde menor deberán llevar este orden.de
números simétricos (inversos) respecto al punto medio del
lado do — mi:
i
Y teniendo en cuenta las propiedades del acorde menor
trifónico, que por lógica analogía extendemos al tetrafónico,
el orden de sucesión de notas debe también ser inverso (por
simetría) del orden de las notas en el acorde mayor, tendremos para el acorde tetrafónico menor:
Si multiplicamos por 5 esos cuatro valores, con lo cual no
altera en nada la relatividad de las notas, resulta:
5
I
_
5
3
l _ 5 = so/p — la — do - • mi.
[f]
Hemos dicho que por lógica analogía extendemos al acorde tetrafónico esa propiedad de inversión en el orden de las
notas, y vamos a demostrarlo matemáticamente.
j-* i<*j
(Fiaura 22.)
— 769 —
En los tetraedros simétricos se ha dicho, y es cierto, que
no son siiperponibles en general; los triángulos simétricos
sí lo son siempre. Podría creerse que la característica del
acorde trifónico no era, por tanto, aplicable, geométricamente, al tetrafásico. Y si lo es. En efecto: sean los acordes
trifónicos, mayor y menor, do — mi — sol, la — do — mi
(fig. 22).
Él orden de notas en el triángulo del acorde mayor recorre sus vértices en el sentido de las agujas de un reloj; el
orden de notas en el acorde menor sigue el curso inverso.
Por consiguiente, aun cuando esos dos triángulos simétricos respecto al punto medio del lado do — mi son superponibles por una rotación de 180 grados alrededor de
dicho centro de simetría, observamos que el punto mi del
acorde menor coincidiría con el punto oto del acorde mayor,
y viceversa. De modo que habríamos conseguido una coincidencia «a la inversa», si podemos expresarlo así. Es decir,
que esos dos triángulos, aun siendo superponibles (*), por
tener sus elementos iguales, no son superponibles armónicamente, teniendo en.cuenta el sentido, la orientación de los
lados.
Para dar una prueba más de nuestro aserto cambiemos el
sentido de la sucesión de los vértices en el, acorde menor,
lo que conseguiremos con un rebatimiento del triángulo la—
do — mi alrededor del eje do — mi. La figura resultante será
la siguiente: (fig. 23).
Hemos conseguido la misma orientación para ios triángulos con el rebatimiento; pero el triángulo do — mi — sol no
puede coincidir con el do — mi — la., pues los ángulos adyacentes del lado común do — mi no son respectivamente
iguales.
En resumen, si intentamos la superposición de los triángulos (trifónicos mayor y menor) por ungirá sin salir de su
(*) Geométricamente, en magnitud.
— 770 —
plano, coinciden, pero orientadas a la inversa (como dos
rectas AB y BA de la misma magnitud, pero de sentido inverso). Y si queremos orientarlos en un mismo sentido, por
un rebatimiento, no pueden coincidir en las magnitudes respectivas de sus lados y sus ángulos.
Luego queda demostrado que los triángulos trifónicos,
como los tetraedros tetrafónicos, mayor y menor, no son superponibles armónicamente, es decir, en magnitud y orien-
(Figura 23.)
tatión, en cantidad y cualidad, en forma geométrica y forma
musical.
Esta idea de la oítentación aplicada a los triángulos trifónicos explica claramente toda la teoría, que tan insegura y
confusamente exponen los autores acerca de la «inversión»
de armónicos en el acorde menor, de la «inversión» de las
terceras, de la «inversión» del centro de gravedad, etc., etc.
Análogamente trataríamos de los demás acordes tetrafónicos menores re\i — mi — sol — si = do — re $ — f a % —
ïa l = sol — ¡a $ — do~\ — mi \.
- 771 —
Quedamos, pues, en que nuestra gama posee los siguientes acordes teírarmónicos mayores:
do — mi — sol —la%= fa — la — do — re$ = sol — si
re — mi$ = /0(2 - do —mïï> — fa = mik—sol—sik — do^.
Y los siguientes acordes menores:
solk — la — do— mi = rek — mi — sol — si = do—re$
fa$ — la%-=sol — la% — do$ — mi%.
Estos son los acordes tipos constituidos por los intervalos
fundamentales:
6
ir
7
T
*
* *
Demostramos la existencia de una coma tetrarmónica
distinta de la definida en nuestras fórmulas y esquemas [A]
[B], [C] y [D].
Gráficamente puede hallarse en seguida la relación entre
la coma sintónica, que llamaremos C1; la nueva coma tetrarmónica C, y la hallada ya anteriormente C s . Sea, en efecto,
el esquema:
t»„
(Plaurà [K])
Hemos subrayado una vez al/ají toloméico, dos veces al
FA $ de [os físicos, y tres veces al F A # tetrarmónico.
— 772 -
Observando la figura se ve que la coma toloméica es igual
al producto de las otras dos: c1 = c2 x c 3 . Porque el camino recorrido por la primera (FA$—/ají) es igual al resultado de recorrer las otras dos: (FA J — FA#) + (FA$ —
fa%). Y ya sabemos que lo que se entiende por coma de
distancias acústicas (intervalos) entre las notas musicales es
el producto de las relaciones numéricas que representan dichas notas.
De esa propiedad de la composición de intervalos, de la
cual hemos dado ya la explicación logarítmica, puede darse
también una demostración algebraica general.
En efecto, la suma algebraica de dos cantidades dirigidas
se obtiene colocando la primera y a continuación la segunda con las mismas magnitudes y direcciones que tienen. Y
la SM/TIO es la recta (en magnitud y dirección) que une al
punto origen con el punto terminal.
Asi en la figura siguiente:
AC = AB -f BC (algebraicamente).
Es decir, poniendo las expresiones algebraicas de las
rectas:
b • (cos A + \¡— l • sen A) = c + a • (cos B -f
+ V/— l sen B).
[Los binómios encerrados en paréntesis son los coeficientes'de dirección, que indican el ángulo que la recta for-
— 773 —
ma con la dirección positiva. La recta c no lleva coeficiente
porque tiene dirección positiva.]
No nos extendemos en desarrollar estas ideas porque a
nuestro propósito es suficiente lo expuesto, y no hemos de
trasladar a nuestras páginas un capítulo de trigonometría algebraica, por otra parte elementalísimo.
Lo que sí añadiremos es el concepto de resultante, como
de fuerzas físicas angulares, que tiene la suma algebraica
en el caso que nos ocupa (y en general también), y que
servirá para afianzarnos en la idea de verificar el producto o resultante de intervalos por medio de la suma algebraica de las rectas que los representan en nuestros esquemas.
Así la resultante de las fuerzas a y c es la diagonal b del
paralelógramo A BCD.
(Piatirà 25.)
Y vemos que esa resultante es la misma suma algebraica
de las rectas AB y BC.
Pues bien, esto tiene importante aplicación en nuestros
esquemas de los acordes tridimensionales para hallar en un
momento dado, y con la mayor sencillez, el intervalo que separa a dos notas cualesquiera.
Para ello consideremos los dos tetraedros que representan a los acordes tetrafónicos mayor y menor. Y señalemos
REV. ACAD. I>E CIENCIAS.—XIV-— Mayo, 1916.
5i
— 774 —
en sus aristas la dirección de los intervalos, teniendo en
cuenta el orden (alfabético) de las notas (figs. 26 y 27).
(Figura 26.)
Ya sabemos que en el acorde menor el orden de sucesión
está invertido con respecto al mayor.
Las aristas en el tetraedro del acorde mayor tendrán esta
composición algebraica, según lo ya explicado:
AC = AB + BC; AD = AC -f- CD; BD = BC + CC.
Y en el acorde menor:
DA = DC + CA; DB = DC + CB; CA = CB + BA.
— 775 —
Observamos que las aristas elementales son únicamente
tres: AB, BC y CD, a las que designaremos por las letras a, b y c, respectivamente.
Y recordando Ias relaciones numéricas que representan los lados de los tetraedros tetrafónicos, tendremos que
5 , 6
7
a= —, b = —, c == —.
4
5
6
A esos factores elementales reducimos todos los intervalos posibles de la gama. Y con esto damos por terminada la
exposición de nuestro acorde tridimensional, base de una
armonía nueva.
Hemos de hacer constar que en nuestro trabajo de regeneración de la gama no hemos perdido de vista que no
hay mejor progreso que el que tiene sus cimientos en la tradición, y que no nos ha guiado en nuestras investigaciones
ningún prurito de revolucionar a todo trance, no dejando
piedra sobre piedra en el edificio musical.
Pero esta misma libertad de ánimo nos da fuerza y razón
para no rendir culto a una rutina que ha consagrado, sin
base alguna de ciencia ni de arte, tantos errores y prejuicios
en la teoría de la gama.