Conjuntos débilmente semi abiertos con respecto a un ideal Weakly

Facultad de Ciencias Básicas
c
Programa
de Matemáticas
Vol. I , No 1, (2014)
Revista Del Programa De Matemáticas I (2014) 26–29
Conjuntos débilmente semi abiertos con respecto a un ideal
Weakly semi open sets with respect to an ideal
Ennis Rosas1
1 Departamento
de Matemáticas, Escuela de Ciencias Universidad de Oriente, Cumaná (Venezuela)
Facultad de Ciencias Básicas, Universidad del Atlántico, Barranquilla (Colombia)
E-mail: [email protected]
Carlos Carpintero2
2 Departamento
de Matemáticas, Escuela de Ciencias Universidad de Oriente, Cumaná (Venezuela)
Facultad de Ciencias Básicas, Universidad del Atlántico, Barranquilla (Colombia)
E-mail: [email protected]
Alvaro Farith Muñoz3
3 Facultad
de Ciencias Básicas, Universidad del Atlántico, Barranquilla (Colombia)
E-mail: [email protected]
Received / Recibido: 20/12/2013. Accepted / Aceptado: 16/03/2014
Resumen
En este artı́culo se introducen las nociones de conjuntos débilmente semi abiertos con respecto a un ideal, se caracterizan y finalmente se encuentran algunas propiedades de éstos.
Palabras claves: conjunto débilmente; semi abierto con respecto a un ideal; conjunto semi abierto
2010 Mathematics Reviews Primary 54A05. Secondary 54C08, 54D65.
Abstract
In this article we introduce the notions of weakly semi open sets with respect to an ideal, characterize its and find some
properties.
Keywords: weakly semi; open set with respect to an ideal; semi open set.
2010 Mathematics Reviews Primary 54A05. Secondary 54C08, 54D65.
1.
Introducción
y estudian el concepto de conjuntos g-cerrados
con respecto a un ideal como una extensión de
La noción de conjunto semi abierto fue introducida por Levine en [3]. Recientemente Friday
Ifeanyi Michael en [1] estudiaron los conjuntos
semi abiertos con respecto a un ideal y se prueba
que la noción de conjuntos semi abiertos es equivalente a la noción de conjunto semi abierto con
respecto a un ideal. S. Jafari et al. [2], introducen
los conjuntos g-cerrados. Al igual como se obtiene la noción de topologı́a generalizada a partir
de la noción de topologı́a, vamos a proceder a
generalizar la definición de conjunto semi abierto con respecto a un ideal para estudiar sus propiedades y dar algunas caracterizaciones. Recor-
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demos que un ideal I sobre un espacio topológi-
El siguiente teorema da una caracterización
co ( X, τ ) es una colección no vacı́a de subcon-
de los conjuntos no vacios A que son débilmente
juntos de X que satisface las siguientes propie-
I-semi abiertos.
dades: si A ∈ I y B ⊂ A entonces B ∈ I y si
Teorema 2.5. Sea A , ∅ un subconjunto de X
A, B ∈ I entonces A ∪ B ∈ I.
e I un ideal. A es débilmente I-semi abierto si
soló si existe un conjunto abierto U y C ∈ I tal
2.
Conjuntos débilmente semi abiertos con
que (U \ C ) ⊂ A
respecto a un ideal
Demostración. Supongamos que A , ∅ es un
Sea X un espacio topológico. Recordemos
conjunto débilmente I semi abierto, entonces
que A ⊂ X es un conjunto semi abierto[3], si
existe un conjunto abierto U , ∅ tal que U \ A ∈
existe un conjunto abierto U tal que U ⊂ A ⊂
I. Sea C = U \ A = U ∩ ( X \ A). Entonces
Cl (U ). Un subconjunto A de X es semi abierto
U \ C ⊂ A. Recı́procamente supongamos que
con respecto a un ideal I[1], si existe un conjunto
existe un conjunto abierto U y C ∈ I tal que
abierto U tal que U \ A ∈ I y A \ Cl (U ) ∈ I. La
(U \ C ) ⊂ A, luego (U \ A) ⊂ C sigue enton-
anterior noción motiva a la siguiente definición.
ces que U \ A ∈ I
Definición 1. Un subconjunto A de X se dice
Definición 2. Un subconjunto A de X se dice
que es débilmente semi abierto con respecto a un
que es débilmente I-semi cerrado, si X \ A es
ideal I (denotado por débilmente I-semi abierto)
débilmente I-semiabierto.
si A = ∅ ó si A , ∅ existe un conjunto abierto
Teorema 2.6. Sea ( X, τ ) un espacio topológico, I
U , ∅ tal que U \ A ∈ I.
un ideal y A un subconjunto de X. Si A es débilmente I-semi cerrado entonces A ⊂ (K ∪ B) para
Es de notar que la razón fundamental de hacer consideraciones sobre el conjunto A en la de-
algún conjunto cerrado K de X y B ∈ I.
finición 1, es para no obtener siempre que todo
Demostración. Si A es débilmente I-semi cerra-
subconjunto A de X es débilmente I-semi abier-
do, entonces X \ A es débilmente I-semi abierto.
to para cualquier ideal I.
Si X \ A = ∅, entonces A = X, en consecuen-
Ejemplo 2.1. Sea I cualquier ideal, si A es un con-
cia, ∅ es débilmente I-semi cerrado. Si X \ A ,
junto abierto cualquiera, entonces A es un conjunto
∅, entonces existe U abierto y B ∈ I tal que
(U \ B) ⊂ ( X \ A) sigue que A ⊂ X \ (U \ B) =
débilmente I-semi abierto.
X ⊂ (U ∩ ( X \ B)) = ( X \ U ) ∩ B. Tomemos
Ejemplo 2.2. Sea I cualquier ideal. Si A es un con-
K = ( X ⊂ U ) y sigue que A ⊂ K ∪ B
junto semi abierto, entonces A es un conjunto débilEl recı́proco del Teorema anterior no es nece-
mente I-semi abierto.
sariamente cierto, como se muestra en el siguienEjemplo 2.3. Sea I cualquier ideal. Si A es un con-
te ejemplo.
junto I-semi abierto, entonces A es un conjunto débil-
Ejemplo 2.7. Sea X = { a, b, c, d} dotado de la
mente I-semi abierto.
topologia τ = {∅, X, { a, b}, {c, d}}. tomemos
=
I = {∅} y A = { a, c}. Si K = X y B = ∅,
{∅, X, { a}, {b, c}}. El conjunto A = { a, b} es débil-
A ⊂ K ∪ B pero A no es débilmente I-semi ce-
mente I-semi abierto pero no es un conjunto semi
rrado ya que X ⊂ A no es débilmente I-semi
abierto, ni tampoco I-semi abierto
abierto.
Ejemplo 2.4. Sea X
=
{ a, b, c}, τ
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Teorema 2.8. La unión arbitraria de cualquier fa-
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El siguiente teorema nos da un condición su-
milia de conjuntos débilmente I-semi abierto es
ficiente para que SO I ( X, τ )
débilmente I-semi abierto.
= P ( X ).
Demostración. Sea { Aα }α∈ J una colección de
Teorema 2.13. Sea ( X, τ ) un espacio topológico
conjuntos débilmente I- semi abiertos, entonces
e I un ideal tal que existen un conjunto unitario
para cada Aα con α ∈ J, existe Uα , α ∈ J tal que
que pertenece tanto a la topologı́a como al ideal,
Uα \ Aα ∈ I, ahora tomemos
nemos que Uα0 \
cuencia,
S
α∈ J
S
α∈ J
α0
fijo en J luego te-
entonces SO I ( X, τ ) = P( X ).
Aα ⊂ Uα0 \ A0α ∈ I En conse-
Demostración. Sea ( X, τ ) un espacio topológico,
Aα es débilmente I-semi abierto.
I un ideal y supongamos que el conjunto uni-
La intersección de conjuntos débilmente I-
tario { a} ∈ I. Sea {b} cualquier conjunto uni-
semi abiertos no es necesariamente débilmente
tario en X, entonces {b} ∈ SO I ( X, τ ), ya que
I-semi abierto como se muestra a continuación.
{ a} \ {b} ∈ I. Ahora usando Teorema 2.8, obte-
Ejemplo 2.9. Sea X = { a, b, c} con la topologı́a
nemos que cualquier subconjuntos A de X esta
τ = { X, ∅, { a}, {c}, { a, c}} e I = {∅}, conside-
en SO I ( X, τ ).
remos A = { a, b} y B = {b, c} es fácil ver que A
Estamos interesados en determinar bajo que
y B son conjunto débilmente I-semi abierto pero
condiciones se cumple que si Cl ( A) es débilmen-
A ∩ B = {b} no lo es.
te I-semi abierto entonces A es débilmente I-
Observación 2.10. Si denotamos SO I ( X, τ ) co-
semi abierto, para A ⊆ X.
mo la familia de los conjunto debilmente I-semi
Aquı́ podemos enunciar lo siguiente:
abierto de espacio topológico ( X, τ ) entonces
1. Si Cl ( A) = X entonces A no es necesaria-
SO I ( X, τ ) es un estructura minimal que satisfa-
mente es débilmente I-semi abierto.
ce las condiciones de Maki[4].
2. Si existe A
⊂
X, tal que Cl ( A) es
De la Definición 1, se obtiene que si ∅ , A ⊂ B y
un conjunto clopen entonces A no es
A es débilmente I-semiabierto, entonces B tam-
necesariamente débilmente I-semi abier-
bién es débilmente I-semi abierto y en conse-
to. Si tomamos X = { a, b, c, d}, τ =
cuencia, obtenemos el siguiente corolario.
{∅, X, { a, b}, {c, d}}. Para A
Corolario
2.11.
Si
A
es
débilmente
=
{ a },
Cl ( A) = { a, b} es débilmente I-semi abier-
I-
to pero A no lo es.
semiabierto, entonces cualquier subconjunto B
que contiene a A es débilmente I semi abierto, en
Teorema 2.14. Sea ( X, τ ) un espacio topológico e
particular, Cl ( A) es débilmente I-semiabierto.
I un ideal tal que la colección de conjuntos abier-
El recı́proco del corolario anterior no es nece-
tos satisface la propiedad de intersección finita,
sariamente cierto como se prueba en el siguiente
entonces si A y B son débilmente I-semi abierto
ejemplo.
entonces lo es A ∩ B.
Ejemplo 2.12. Sea X = { a, b, c, d} dotado de la
Demostración. Dado que A y B son conjuntos
topologı́a τ = { X, ∅, { a, c}, { a, b, c}} e I = {∅}.
débilmente I-semi abiertos entonces existen con-
Sea A = {b, c}, entonces Cl ( A) = X es débil-
juntos U, V abiertos tal que U \ A ∈ I, V \ B ∈ I,
mente I-semiabierto pero A no es débilmente I-
por lo tanto (U ∩ V ) \ ( A ∩ B) = (U \ A) ∩ V ∪
semiabierto.
U ∩ (V \ B ) ∈ I
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Observación 2.15. En la Proposición 6 de [1], se
Observación 2.17. Observe que si en el Teorema
enuncia que si I es un ideal sobre ( X, τ ) tal que
2.16:
la colección de conjuntos abierto satisface la pro-
1. I , ∅ y Cl ( A) , X son omitidas, el re-
piedad de intersección finita y cada subconjunto
sultado no necesariamente es cierto, (vease
abierto no vacı́o de X es denso entonces Cl ( A)
Ejemplo 2.12).
es I-semi abierto si soló si A es I-semi abierto.
Este resultado no es cierto en general, como se
2. Si cambiamos Cl ( A) , X por Cl ( A) = X,
ve en el Ejemplo 2.12, donde la topologı́a τ sa-
el resultado no necesariamente es cierto.
tisface la propiedad de intersección finita y todo
En Ejemplo 2.12, tómese I = {∅, {c}} y
subconjunto abierto no vacı́o de X es denso, to-
A = { a, d}, obtenemos que Cl ( A) es débil-
mando A = {b, c}, obtenemos que Cl ( A) = X
mente I-semi abierto pero A no es débil-
es I-semiabierto pero A no es I-semiabierto.
mente I-semi abierto.
Teorema 2.16. ( X, τ ) un espacio topológico, I ,
3. I = ∅ y Cl ( A) , X nunca puede ocurrir, si
∅, τ satisface la propiedad de la intersección fi-
esto ocurre, entonces Cl ( A) nunca puede
nita y A ⊂ X tal que Cl ( A) , X, entonces Cl ( A)
ser débilmente I-semi abierto.
es débilmente I-semi abierto si soló si A es débilmente I-semi abierto.
Referencias
Demostración. Si A es débilmente I-semi abierto, entonces Cl ( A) es débilmente I-semi abierto,
[1] Friday Ifeanyi Michael K., On some open sets with res-
usando Corolario 2.11. Recı́procamente, supon-
pect to an ideal, European Journal of Pure and Applied
Mathemetics 6(1) (2013), 53-58.
gamos que Cl ( A) es débilmente I-semi abierto,
[2] S. Jafari and N. Rajesh, Generalized closed sets with res-
entonces Cl ( A) = ∅ o Cl ( A) , ∅: Si Cl ( A) = ∅,
pect to and ideal, European Journal of Pure and Applied
entonces A = ∅ y por lo tanto A es débilmente I-
Mathemetics, 4(2) (2011), 147-151.
semi abierto. Ahora si Cl ( A) , ∅ existe un con-
[3] N. Levine, semi open sets and semi continuity in topo-
junto abierto U , ∅ tal que U \ Cl ( A) ∈ I. Tóme-
logical spaces, American Mathematical Monthly 70 (1963),
se el conjunto abierto V = U \ Cl ( A), V , ∅,
36-41.
[4] H. Maki, R. Chandrasekhara Rao and A. Nagoor Gani,
V ∈ I y además V \ A = (U \ Cl ( A)) \ A =
On generalizing semi-open sets and preopen sets, Pure
U \ Cl ( A) ∈ I.
Appl. Math. Math. Sci, 49 (1999), pp 17-29.
Para citar este artı́culo: Rosas E. et all, 2014, Çonjuntos débilmente semi abiertos con respecto a un
ideal”. Disponible en Revistas y Publicaciones de la Universidad del Atlántico en:
http://investigaciones.uniatlantico.edu.co/revistas/index.php/MATUA.
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