La Interacción electrón-fonón

Chapter 10
La Interacción electrón-fonón
Como ya mencioné, de importancia central es la interacción entre electrones y iones
los cuales intercambian energía destruyendo o creando fonones. Esto quiere decir
que mientras el conjunto de iones pasa de un estado vibracional a otro, un electrón
pasa de un estado a otro (de una banda a otra) agregando o restando energía y
momento de tal manera que la energía total del sistema permanezca constante. Es
exactamente igual a cuando un papá le da dinero a su hijo. Antes de la operación
el papá tenía 10 y el hijo 0. Si le da 1, el papá pasa su billetera al estado 9 y el hijo
la suya al estado 1. En total, entre ambos, siguen teniendo 10 como al principio.
Pero estarás de acuerdo que los dos estados no son lo mismo, verdad? Vamos ahora
a ver cómo podemos agregar a la Ec.?? el término que describe el intercambio de
energía entre electrones y iones, es decir, la destrucción y creación de fonones.
10.1
Interacción entre iones y electrones
Como acabo de decir, para describir los procesos físicos en los metales usando la
conservación de la energía, falta aún introducir en la Ec.??, la interacción entre los
electrones negativos y los iones positivos. Iteractúan en tanto que dos partículas
independientes por medio de la Ley de Coulomb, la fuerza entre las cargas que
conocemos bien Por ser de signo contrario se van a atraer. Como chicos y chicas!
Hay atracción porque hay atracción! Así es el mundo. Y la interacción entre los
electrones y los iones va a abrir el camino para que pase energía de un lado hacia
el otro y viceversa. Sólo vamos a hablar de electrones y iones! Aprovecho para
mostrar una analogía. Una pareja en una manifestación pacifista puede adoptar un
comportamiento inducido por el colectivo que puede ser diferente al que suelen tener
cuando están solos. Es un hallazgo de la sociología. Sucede igual con los electrones.
En un ambiente colectivo1 , su comportamiento puede obedecer a la interacción con
muchos cuerpos y ser diferente. La Mecánica Cuántica de Muchos Cuerpos es la
disciplina que estudia estos comportamientos mucho más complejos que dan lugar a
fenómenos muy interesantes. Dos electrones que, individualmente, tienen una masa
determinada y siempre se repelen, en colectivo, por acción de una interacción de
muchos cuerpos, pueden cambiar su masa e, incluso, llegar a atraerse. Es el caso
de la superconductividad. Más tarde regresaremos a ésto.
Ramoncito: Pero si un electrón cambia su masa, de dónde la toma? ¿Se
conserva la masa en un metal?
Don Kan Dido: Siempre con sus fantasías! Hay que contárselo al tio de
Josefina. Tiene un rancho y le encantaría que las vacas que vende ganaran masa
1 Un ambiente colectivo es el resultante de la presencia de muchos electrones y de muchos iones
interactuando entre sí. Es el ambiente de un metal.
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CHAPTER 10. LA INTERACCIÓN ELECTRÓN-FONÓN
Ye
io n
r'
e
-
l
r
O
Figure 10.1: Tomamos un origen arbitrario en Ö . Un ión, en la posición Y , medida
desde su posición de equilibrio, l, interactúa con un electrón ubicado en la posición
r.
cada vez que va al mercado a venderlas. Allá hay muchas vacas para interactuar y
nunca han ganado peso!
Dr. Wolter: ¿Te acuerdas de la renormalización de la masa? Lo vimos en
??. Puedes revisar esos conceptos, Kan Dido y todo te va a quedar claro. Aquí se
trata de lo mismo. Ya lo verás. El fenómeno es cuántico pero tiene símiles clásicos.
Cuando tu te mueves dentro de una multitud no puedes correr como quisieras por
la oposición a tu movimiento que representa la presencia de los demás. Puedes
representar ese movimiento como si te estuvieras moviendo en una plaza donde
tú estás solo pero tienes un peso mayor y, por ello, tu desplazamiento no es tan
rápido. Es, en ese sentido, equivalente a que huvieses ganado peso. Sin embargo
debo confesarte que no creo que le sirva mucho al tío de Josefina.
Don Kan Dido: ¿No son cuánticas? ¿ Nunca pueden ser cuánticas?
Prof. Bogno Dan: Conceptualmente reviste interés un efecto cuántico macroscópico.
Dr. Wolter: Es cierto porque separa lo microscópico del concepto de lo cuántico. En realidad, es el caso de la superconductividad. Tenemos que hablar más de
ésto.
10.1.1
La interacción electrón-ión
Para introducir esta interacción vamos a considerar la Fig. 10.1.
O es el orígen del sistema de coordenadas. La malla determina la red. Los
puntos de cruce son las posiciones de equilibrio de los iones. El ion (i) se encuentra
desplazado de su posición de equilibrio, ubicada en l , a la posición Y e , medida desde
la posición de equilibrio del ión que estamos estudiando. Desde allí interactúa con
el electrón (e− ) situado a una distancia |r0 | del ión, en un punto r, con respecto al
orígen. r0 es el vector que va de la posición del ión a la posición del electrón. Como
la interacción de Coulomb sólo depende de la distancia, lo que queremos calcular es
el valor absoluto de este vector.
10.2. EL HAMILTONIANO DE INTERACCIÓN
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Obviamente, 0 = l + Y e + r0 − r, de donde r0 = r − l − Y e.
La ecuación de la energía, escrita en forma operacional, es decir, el hamiltoniano,
comprende dos partes, una que define los componentes del sistema, como nuestra
Ec. ?? y otra, que podemos construir, muy fácilmente ahora, en base a lo que
ya aprendimos, es decir, a la descripción de los cambios en el sistema debido a
la interacción de sus componentes. Dicho de otra manera, el sistema puede estar,
globalmente, en muchos estados con la misma energía total debido al hecho de que
los electrones y iones intercambien energía, creando y/o destruyendo fonones. A
esa parte del hamiltoniano le llamamos, el hamiltoniano de interacción, HI . Vamos
a construirlo ahora.
10.2
El Hamiltoniano de Interacción
Suponte que están Pepe y Luis conversando en una esquina. Cada uno tiene 10
pesos. La interacción consiste en que Pepe le pide a Luis prestados dos pesos.
Para hacerlo, Luis saca de su cartera, ”desaparece” o ”destruye” en su sistema,
en su cartera, los 2 pesos. Pepe toma los dos pesos y los mete en su cartera, o
sea ”crea” en su sistema, en su cartera, los 2 pesos. La fortuna total no cambia,
pero la ”energía” pasa de un ”sistema” a ”otro”, favorecida por el potencial (aquí
el potencial está representado por ”lo bueno” que sea Pepe para pedir prestado un
dinero que Luis tiene que tener. Ésto último es muy importante).
¿Cómo escribes esa historieta en operadores?
A ver! Supongamos que los iones le ”robaron” 3 meV (milielectronvoltios) a los
electrones. Entonces algunos electrones tuvieron que ”bajar” a un estado energético
desocupado, en un cambio que, en total, sume 3 meV. Esto no puede ocurrir si los
electrones están en su Estado Base. ( Por qué?2 )
Entonces vamos a:
1- A crear un fonón de 3 meV,
2- A ”destruir” un electrón de un cierto estado electrónico, sea éste kinic , ²inic y
3- A ”crear ” otro en un estado de menor energía, ²f inal (van a diferir en 3 meV,
es decir va a ir a otra banda), y de momento kf inal (que, en general difiere del
anterior, pero no siempre).
En el lenguaje de la ecuación ??, las cosas van a ser así:
1- El operador que crea un fonón de frecuencia ω, de energía ~ω −q y momento −q,
es: ~ω −q a†−q . Los fonones tienen número cuántico (vector de onda) -q. El término
~ω −q representa la energía, en este caso, 3 meV. Puse −q (no q) como número
cuántico. Es una convención. Quiere decir que el sistema electrónico cedió momento
al fonónico.
2- −εkinic Ckinic es el operador que destruye el electrón en el estado kinic . El
signo menos está porque el sistema electrónico pierde la energía correspondiente a
ese estado.
3- +εkf inal Ck†f inal , aquí el signo es más porque el sistema gana esa energía.
2 Porque los estados de menor energía (los que están ”más abajo”) están todos ocupados y el
electrón no tiene a donde ir (Principio de Pauli : Puede existir sólo dos electrones en cada estado
energético pero con diferente espín). Por esa razón no puede darse este proceso si el sistema
electrónico está en su Estado Base.
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CHAPTER 10. LA INTERACCIÓN ELECTRÓN-FONÓN
...le dió a Burundanga, Burundanga le dió
a Bernabé...¡Qué lio!
Ramoncito: La formulación es elegante. Me agrada!
Don Kan Dido: Hay si...qué emocionante...ratón baboso...
Dr. Wolter: Claro que lo es, Kan Dido. Si pones un poquito más de atención
lo vas a entender y lo vas a disfrutar.
Don Kan Dido: (Eso cree Usted...) Bien, bien, me dispongo a disfrutarlo
intensamente...
.
Estamos incluyendo en el índice k, tanto el vector de Bloch como el espín para
no tener tantos índices. Claro que tiene que valer que la diferencia en energía entre
los dos estados electrónicos es igual a la energía del fonón. Esto para que la energía
se conserve. En el caso del préstamo, lo que se conserva es el dinero total que sigue
siendo el mismo, sólo que Pepe tiene 2 pesos más y Luis 2 menos, pero entre ambos
siguen teniendo 10, como antes. En la interacción entre iones y electrones que
intercambian fonones que son diferencias de energía entre dos estados vibracionales
(recuerdas?), vale la conservación de la energía y del momento. El sistema metálico,
como un todo, ni gana, ni pierde energía, e, igualmente, ni gana ni pierde momento.
Y lo mismo vale para el espín: ¡se conserva! Simplemente se transladan de un
sistema a otro dentro del metal.
10.2.1
En segunda cuantización
Ahora es muy sencillo escribir ésto en la notación de segunda cuantización. Lo
escribimos así a†−q Ck† Ck0 . Es decir, un electrón que estaba en estado ²k0 pasó al
estado ²k , de menor energía. La diferencia en energía y en momento se fueron al
sistema iónico en la forma de la creación de un fonón. Los fonones tienen espín 0,
por lo tanto no puede pasar espín del sistema electrónico al fonónico. No agregamos
energía porque el sistema, en total, ni perdió, ni ganó. Sólo transpasó energía de
una parte a otra.
Y el todo Hamiltoniano de interacción electrón-fonón queda, entonces, así:
³
´
X
Mkk0 a†−q + aq Ck† Ck0 .
(10.1)
k,k0
Obsérvalo bien. Hay cosas nuevas aquí. Está el proceso que describimos hace un
instante. A ése, le sumamos otro. En el segundo caso, consideramos la posibilidad
de que ocurra el proceso contrario donde la energía y el momento pasan del sistema
fonónico al electrónico. En este caso hay que ”destruir” un fonón. De describir este
proceso se encarga el otro término aq Ck† Ck0
Todo está multiplicado por Mk,k0 . Este factor representa, esencialmente, la probabilidad de que los eventos descritos ocurran realmente en el metal concreto descrito.
Puede haber eventos más probables que otros. Pero es interesante que la expresión
asume explícitamente que la probabilidad de que circule energía y momento es la
misma en una dirección que en la otra. ¿Tiene sentido? ¿Si es permitido pasar
10.2. EL HAMILTONIANO DE INTERACCIÓN
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una cierta cantidad de energía y de momento de los electrones a los iones (crear un
fonón), será igualmente probable que pase la misma energía y el mismo momento
de los iones a los electrones (destruir el mismo fonón)? ¿Si un proceso fuese más
probable que el otro, qué pasaría? ¡Pensemos!
.
Don Kan Dido: Bueno si se trata de que sea yo el que siempre esté dando,
pues no sé...
Ramoncito: Sí, se acumularía la energía de un solo lado, en un solo sistema.
Dr. Wolter: Y, despues de un tiempo, la temperatura de uno de los dos
sistemas, ya sea la de los electrones o la de los fonones, sería mayor que la del otro.
Pero el metal tiene una sola temperatura...
Don Kan Dido: ¿Tienen los bancos la misma ”temperatura” que el resto de
la sociedad?
Ramoncito: Estamos hablando de fonones y electrones, por favor...
.
El otro proceso que sumamos, como ya te mencioné, es el evento contrario: Luis
le pide prestado a Pepe o los electrones le ”roban” un fonón a los iones.
Tenemos toda la descripción del hamiltoniano de un metal en segunda cuantización, en el lenguaje que usan los doctores en física. Si te gustó, deberías considerar
muy seriamente la posibilidad de estudiar Estado Sólido, como tu especialidad, despues de una carrera de física. La Física de Materiales y la Física Aplicada conducen
a un acercamiento entre científicos e industriales que va a ser cada vez más relevante.
Finalmente, el hamiltoniano total, que se compone de la energía de los electrones,
de los fonones y que describe la interacción entre ellos, H = H0 + He−f queda:
H=
X
k,σ
†
εk Ck,σ
Ck +
X
q
~ω q a†q aq +
X
0
kσ,k σ 0
³
´
†
Mkk0 a†−q + aq Ckσ
Ck0 σ0
(10.2)
donde el último término de la Ec.10.2 es He−f .
Además debe valer q = k − k 0 , para que el momento se conserve. Aquí volvimos a la notación con vectores porque es la más común. Resolver esta ecuación
de operadores, permite estudiar los procesos termodinámicos que ocurren en los
metales. Cuando hablamos de procesos termodinámicos, estamos hablando de temperatura. Esta habría que introducirla. La Ec.10.2 vale a 0K. Es sencillo introducir
la temperatura, pero no lo haremos por ahora.
Nosotros, como Onnes, el viejo zorro, hemos preparado
nuestras baterias para el ataque final. Estamos bien
preparados para entender qué es y cómo es la superconductividad. Lo que sigue ya no es para aficionados sin
preparación.! Es para gente como tú! !Aquí vamos!