Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en

Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455
Volumen 3, Julio 2013
Esquema Perturbativo de las
Ecuaciones Conformes de Einstein en
el Formalismo de Superficies Nulas
Bordcoch, Melina; Rojas, Teresita A.
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. U.N.Ca.
Av. Belgrano al 300. [email protected]
Recepción: 04/09/2012
Aceptado para publicación: 01/03/2013
Resumen:
El objetivo de este trabajo es estudiar las formulaciones KNT y de
Nurowski de las ecuaciones conformes de Einstein de vacío a través
de un esquema perturbativo. Luego, se traducen al Formalismo de
Superficies Nulas y se comparan los resultados entre sí.
Palabras clave: Transformaciones Conformes;
Einstein; Formalismo de Superficies Nulas.
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de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas
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17
Espacios
Bordcoch, M.; Rojas, T. A.
de
Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455
Volumen 3, Julio 2013
Perturbative Scheme of Conformal Einstein
Equations in the Null Surfaces Formalism.
Abstract:
The goal of this work is to study the KNT version and the
Nurowski version of the conformal Einstein equations trough a
perturbative scheme. Then, these are written in terms of the
variables of the Null Surface Formulation and we compare the
results thus obtained among them.
Key words: Conformal Transformations; Einstein Spaces; Null
Surfaces Formalism.
Introducción:
En el presente trabajo se estudiarán dos formulaciones
que describen un espacio conforme de Einstein. La primera de
ellas fue desarrollada por Kozameh, Newman y Tod y afirma que
una métrica conforme Einstein es aquella que anula el tensor de
Bach. La segunda formulación recientemente publicada por P.
Nurowski, demuestra que para esta clase de métricas, es condición
suficiente y necesaria la anulación de un cierto tensor, polinomial
en términos del tensor de Weyl y sus derivadas covariantes.
La idea principal de este trabajo es analizar los
resultados obtenidos en las formulaciones antes mencionadas en el
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de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas
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contexto del formalismo de superficies nulas a través de un
esquema perturbativo.
En primer lugar se hará una breve descripción de la
formulación tensorial de la teoría de la Relatividad General, donde
el tensor métrico tiene un rol fundamental. Luego se estudiarán
las propiedades conformes y las condiciones que deben cumplir los
espacios
de
formulaciones
Einstein.
que
En
exponen
este
las
punto,
se
condiciones
analizarán
suficientes
las
y
necesarias para que un espaciotiempo esté relacionado con un
espacio de Einstein por medio de una transformación conforme.
Posteriormente, se realizará una breve revisión del Formalismo de
Superficies Nulas (Null Surfaces Formulation-NSF), se escribirán
las ecuaciones para Espacios Conformes de Einstein en el marco
de este formalismo y seguidamente se analizarán a través de un
esquema perturbativo. Se presentan cálculos auxiliares en el
Apéndice.
Relatividad General:
El elemento geométrico básico para la descripción de un
espaciotiempo en Relatividad General es el tensor métrico g , un
tensor de dos índices, simétrico, no degenerado para el cual sus
componentes g ab en una base coordenada específica se escriben de
la siguiente manera:
g = g ab dx a dxb
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(1)
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A partir del tensor métrica se definen los tensores
fundamentales de la teoría. Por ejemplo, la curvatura de un
espaciotiempo está representada por el Tensor de Riemann Rabc d
de manera tal que si R abcd = 0 el espacio tiempo que describe es
plano.
La Relatividad General es una teoría para la estructura
del espacio y la gravitación. El espaciotiempo es una variedad
g ab . La
sobre la cual está definida una métrica de Lorentz
curvatura de esta métrica está relacionada con la distribución de
materia por medio de la ecuación de Einstein, que se escribe como:
Gab = 8πTab
(2)
donde Tab es el tensor energía-momento que incluye la información
de la fuente que origina la curvatura del espacio tiempo y Gab es el
Tensor de Einstein, el cual contiene la información de la
geometría y viene dado por:
1
Gab = R ab − Rg ab .
2
(3)
Aquí, el Tensor de Ricci Rab = g cd Racbd es la traza del Tensor de
Riemann mientras que el Escalar de Curvatura R = g ab Rab , es la
traza del Tensor de Ricci. (Para ver las expresiones detalladas en
términos de la métrica de cada uno de estos tensores, ver
Apéndice)
Si
se
fija
Tab = 0
en
la
expresión
(2),
entonces
G ab = 0 describe las ecuaciones de Einstein de vacío. En general, si
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se descompone el tensor de Einstein en términos de la parte con
traza y la parte sin traza G ab = G ab +
1
g ab G
4
y se somete a las
identidades de Bianchi, ∇ a G ab = 0 , la constante de integración de
esta ecuación es la constante cosmológica para el caso de ausencia
de fuentes. Sin embargo, el interés de este trabajo reside en
encontrar métricas que describen espaciotiempos de Einstein para
los cuales, como se verá en el siguiente apartado, la parte con
traza de las ecuaciones es redundante.
Propiedades Conformes y Espacios de Einstein
En esta sección se estudiarán las condiciones necesarias
y
suficientes
para
que
espaciotiempos
de
Riemann
estén
conformemente relacionados con espacios de Einstein. Es decir, de
todas las métricas conformes g~ ab posibles, son de especial interés
aquellas que están relacionadas con métricas g ab que satisfacen la
ecuación de Einstein sin traza de vacío.
~
Se dice que dos espacio tiempos V y V cuyos tensores
métrica son ds 2 = g~ab dx a dx b y ds 2 = g ab dx a dx b respectivamente, están
conformemente relacionados si se cumple que:
g~ab = e 2ω g ab
(4)
donde ω es una función (suave) de x1 ,..., x 4 y e 2ω = Ω 2 se denomina
Factor Conforme.
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Por lo tanto, puede sustituirse
g ab
por
g~ab en los
tensores definidos en la sección anterior para obtener así la
formulación conforme de los tensores en Relatividad General.
~
~
Sean Rab el Tensor de Ricci y R el escalar curvatura
~
~
pertenecientes a V . Se dice que V es un espacio de Einstein si y
sólo si se cumple:
1~
~
Rab − R g~ab = 0
4
(5)
que corresponde a las ecuaciones de conformes de Einstein sin
traza de vacío, donde:
(
~
Rab = Rab + 2∇ a ω b − 2ω a ωb + g ab 2ω c ω c + ∇ c ω c
)
(6)
y
[
)]
(
~
R = e −2ω R + 6 ∇ c ω c + ω c ω c , con ω c = ∇ c ω .
De esta manera, una métrica Conforme de Einstein es
aquella que anula la parte sin traza del Tensor de Ricci y satisface
además la ecuación (4).
Aunque en la mayoría de los casos los tensores no
preservan su forma en el proceso de rescaleo, existen tensores que
son invariantes conformes. Un tensor T con cualquier número de
índices covariantes y contravariantes, bajo un rescaleo conforme
transforma como:
~
T = e kω T ,
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donde el número entero k se denomina peso conforme. Si k = 0 , el
tensor T se dice que es invariante conforme. Un ejemplo de este
tipo de tensores es el Tensor de Weyl. En este caso, bajo un
rescaleo conforme se obtiene:
~ d
d
C abc = C abc ,
donde:
1
C abcd = Rabcd + g a [d Rc ]b + g b[c Rd ]a + g a [c g d ]b R .
3
(7)
En la década del ochenta, Kozameh, Newman y Tod
(Kozameh, Newman y Tod, 1985), estudiaron transformaciones
conformes en cuatro dimensiones. En principio, el interés de ese
trabajo se enfocó en una clase especial de espaciotiempos, los
denominados
C-espacios,
para
los
cuales
se
satisface
que
∇ d C abcd = 0 . Un espaciotiempo puede ser transformado en un C-
espacio por medio de una transformación conforme si existe un ω
para el cual se cumple que
∇ d C abcd + ω d C abcd = 0 .
Luego
de
resolver
(8)
algebraicamente
para
ωd ,
esta
ecuación es una condición necesaria y suficiente para definir un
espaciotiempo
conformemente
relacionado
con
un
C-espacio.
Tomando ∇ a a la ecuación (8) y usando además la parte sin traza
de la expresión (6) igualada a cero, se puede demostrar que un
espaciotiempo está conformemente relacionado con un espacio de
Einstein si y sólo si:
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1
⎛
⎞
Bbc = ⎜ ∇ a ∇ d − R ad ⎟C abcd = 0
2
⎝
⎠
(9)
donde B ab es el Tensor de Bach, un tensor de dos índices, simétrico
y sin traza.
Nota: Los espacios conformes de Einstein son una
subclase particular de los C-espacios.
Los resultados obtenidos por Kozameh, Newman y Tod
en cuatro dimensiones fueron generalizados por R. Gover y P.
Nurowski (Gover y Nurowski, 2004) para el caso n -dimensional.
Fijando sus resultados para n = 4 , estos autores afirman que una
métrica g es una métrica conforme de Einstein si y sólo si se
satisface
⎡1
⎤
E ab = Tracefree ⎢ Rab − ∇ a K b + K a K b ⎥ = 0 ,
⎦
⎣2
(10)
4C eabc ∇ d C dabc
K =−
,
C2
(11)
donde:
e
con
1 2 e
C δ d = C eabc C dabc .
4
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El análisis hecho hasta aquí se lleva a cabo suponiendo
que C 2 ≠ 0 ; esta restricción excluye soluciones más generales.
Comparando ambos trabajos, las expresiones (9) y (10)
describen el mismo tipo de espaciotiempos, es decir, ambos
tensores se anulan para métricas conformes de Einstein. El
propósito de este trabajo ahora es escribir estas ecuaciones en el
contexto del Formalismo de Superficies Nulas.
Formalismo de Superficies Nulas
El tensor métrico juega un rol esencial en Relatividad
General, ya que a partir de él se definen las cantidades más
significativas de la teoría. Sin embargo, el Formalismo de
Superficies Nulas (NSF - Null Surface Formalism) propone una
reformulación de las ecuaciones de Einstein en términos de nuevas
variables, que pueden ser consideradas más fundamentales incluso
que la geometría del espacio-tiempo. De esta manera, la estructura
del espaciotiempo pasa a ser un concepto derivado de una
estructura más esencial aún, donde el tensor métrica aparece, pero
como una idea secundaria.
(
El formalismo introduce una función Z x a , ζ , ζ
puntos del espacio-tiempo y (ζ , ζ
que para cada (ζ , ζ
)
)
)
con x a
parámetros sobre la esfera, tal
fijo, Z = cte define una familia de superficies
nulas sobre la variedad. La construcción de la estructura conforme
(
a partir de Z x a , ζ , ζ
)
se obtiene partiendo de esa propiedad. Es
decir, que x a se sitúe sobre una hipersuperficie de Z = cte para
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(ζ , ζ )
fijo, es equivalente a la condición de que x a está conectado
(
) ((
)
al punto u, ζ , ζ = Z x, ζ , ζ , ζ , ζ
)
en ℑ − por medio de una geodésica
(
)
nula y así x a yace sobre el cono de luz del punto u, ζ , ζ en ℑ − , que
es una superficie nula.
Sea ∂ a =
∂
la derivada con respecto a las coordenadas.
∂x a
Los argumentos expuestos en el párrafo anterior demuestran que
el covector ∂ a Z debe ser nulo. Así, la métrica conforme viene
determinada por:
g ab ∂ a Z∂ b Z = 0
(12)
En general, la función de corte Z (x a , ζ , ζ ) no corresponde
a una estructura conforme y por lo tanto, es necesario el
conocimiento de las condiciones que deben ser impuestas sobre
Z = cte para que puedan ser pensadas como tales. En la búsqueda
de estas condiciones surgen dos tipos de ecuaciones, el primero
nos brinda las componentes de la métrica mientras que el segundo
tipo identifica las ecuaciones a satisfacer por Z . Las componentes
y las condiciones se expresan mejor al introducir un sistema de
coordenadas nulo dado por un conjunto de cuatro escalares
asociados con Z , denominados de la siguiente manera:
θ i = (θ 0 ,θ + ,θ − ,θ 1 ) = (Z , ∂/Z , ∂/Z , ∂/∂/Z ) = (u, ω , ω , R ) .
Introduciendo la base coordenada asociada θ ai = ∂ aθ i y su
inversa θ ia (tal que θ iaθ aj = δ i j ), se puede probar que las condiciones
se
escriben
en
términos
de
dos
escalares
Λ ≡ ∂/ 2 Z
Ω 2 ≡ g ab ∂ a Z∂ b (∂/∂/Z ) de la siguiente manera:
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y
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1
∂/Ω = WΩ
2
(mI)
1
⎛
⎞
⎜ ∂ ω − ∂/∂ R ⎟Λ = −[W + ∂/ (ln q )]∂ R Λ
2
⎝
⎠
(mII)
Donde:
q = 1 − ∂ R Λ∂ R Λ
(13)
y
1
1
1
1
⎛ 1
⎞
⎛
⎞ 1
W ⎜1 − ∂ R Λ∂ R Λ ⎟ = ∂ ω Λ + ∂/∂ R Λ + ∂ R Λ⎜ ∂ ω Λ + ∂/∂ R Λ ⎟ − ∂/ ln q − ∂ R Λ∂/ ln q . (14)
2
2
2
4
⎝ 4
⎠
⎝
⎠ 2
Cuando el operador ∂/ y su complejo conjugado ∂/ se
(
aplican sobre una función f x a , ζ , ζ
)
actúan como las derivadas
covariantes en la esfera con respecto a ζ y ζ , respectivamente. De
(
)
todas maneras, si se escribe x a = x a θ i , ζ , ζ , en este sistema de
coordenadas, el operador ∂/ adopta la siguiente forma:
(
)
∂/ = ∂/ '+ω∂ 0 + Λ∂ ω + R∂ ω + ∂/Λ − 2ω ∂ R
También puede demostrarse que, como una consecuencia
de las ecuaciones (mI) y (mII), es posible construir una métrica
( )
g~ ab (x ) , es decir, independiente de los parámetros ζ , ζ , como una
función de Λ y Ω . La forma explícita de la métrica está dada por
( )
g~ ab = g~ ij Λ, Λ θ iaθ bj con Ω 2 g ij = g~ ij y:
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0
0
⎛0
⎜
−1
⎜0 − ∂RΛ
g ij = ⎜
0
−1
− ∂R Λ
⎜
1+
⎜1
g
g 1−
⎝
1 ⎞
⎟
g 1+ ⎟
g 1− ⎟
⎟
11 ⎟
g ⎠
(15)
donde:
g 1+ = g 1− = −
(
1
∂/∂ R Λ + ∂ R ΛW
2
)
y
g 11 = −2 −
Hasta
ahora
( )
1 2
∂/ ∂ R Λ + ∂/∂ ω Λ + O Λ2
2
la
descripción
de
la
teoría
ha
sido
puramente cinemática. Hasta aquí, se ha expuesto que las
variables Λ y Ω deben satisfacer las condiciones de metricidad
(mI) y (mII) para definir métricas Lorentzianas. Ahora, se
incorpora el problema de encontrar una métrica que además
satisfaga la ecuación (5). Contrayendo (5) con θ1aθ1b y usando la
forma explícita de la métrica en este sistema de coordenadas se
obtiene:
∂ R Ω = QΩ
(E)
1
3
1 2
2
Q = − ∂ 2R Λ∂ 2R Λ − (∂ R q ) +
∂RΛ .
q
8q
4q
(16)
2
donde:
Así, las ecuaciones (E), (mI) y (mII) constituyen un
sistema de ecuaciones diferenciales equivalentes a las ecuaciones
de vacío de Einstein. La ecuación (E) deja claro que si se la quiere
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estudiar como una ecuación para la función de corte Z , es
necesario el conocimiento del factor conforme Ω .
Procediendo de la misma manera que con la ecuación (5),
pueden escribirse las distintas formulaciones de las ecuaciones
conformes de Einstein dentro de este formalismo. Analizando en
principio el Tensor de Bach, es decir, contrayendo la ecuación (9)
con θ1aθ1b , se obtiene:
(
)
Babθ1aθ1b = B11 = ∇ c ∇ d + R cd C1c1d = 0
(17)
Puede observarse que, en el contexto del NSF, el
problema de resolver el sistema completo de las nueve ecuaciones
de Bach se reduce a la resolución de una única ecuación, la
componente B11 . Antes de escribir la expresión (17) en términos de
las funciones
Λ
y Ω , se expresa la ecuación (10) en este
formalismo. En primer lugar, sustituyendo la expresión (11) en la
ecuación (10) y trabajando algebraicamente, se obtiene:
( )
1 2 2
C Rab
2
+ C 2 (∇ a Cbcde ) ∇ f C fcde + C 2 C bcde ∇ a ∇ f C fcde − 4 Cbcde ∇ f C fcde C fcde ∇ f C acde = 0
E ab =
(
)
(
)(
)
(18)
Contrayendo ahora la ecuación (18) con θ1aθ1b , se obtiene:
( )
)
1 2 2
C R11
2
+ C 2 (∇1C1cde ) ∇ f C fcde + C 2 C1cde ∇1∇ f C fcde − 4 C1cde ∇ f C fcde C fcde ∇ f C1cde = 0
E abθ1aθ1b = E11 =
(
(
)(
)
19)
Con el fin de que B11 y E11 contengan la estructura
conforme, el tensor de Weyl, el tensor de Ricci y los operadores
derivadas covariantes que aparecen en las ecuaciones (17) y (19)
deben estar definidos para una métrica como la que brinda la
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ecuación (15). El hecho de que sólo sea necesario conocer las
componentes B11 y E11 en lugar de los sistemas completos es cierto
cuando la estructura conforme de estos tensores es independiente
( )
de los parámetros ζ , ζ . En otras palabras, si
( ) ( )
B11 = Bab (x )θ1a ζ , ζ θ1b ζ , ζ
y
( ) ( )
E11 = Eab (x )θ1a ζ , ζ θ1b ζ , ζ ,
entonces pueden obtenerse todas las ecuaciones de Bach y todas
las componentes del tensor
E ab
tomando
∂/
y
∂/ un número
apropiado de veces a cada ecuación respectivamente.
Hasta el momento, tanto B ab como E ab están expresados
en términos de ciertas componentes del Tensor de Weyl y sus
derivadas. En la siguiente sección, estas ecuaciones serán escritas
en términos de Λ y Ω , donde se estudiará cada una de ellas dentro
de un esquema perturbativo.
Esquema Perturbativo
En primer lugar se analizarán las ecuaciones conformes
de Einstein en el contexto en el cual se asume que la métrica de la
ecuación (15) difiere de la métrica para un espaciotiempo plano en
un término h ij , que representa una pequeña desviación en función
de los términos de primer orden en Λ . De esta manera, (15) se
escribe como g ij = η ij + h ij , es decir:
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0
0
0
⎞
⎛0
⎟
⎜
1
0
0
0
1
⎞ ⎜0
⎛
0
− ∂RΛ
− ∂/∂ R Λ
⎟
⎟
⎜
2
⎟
⎜0 0 −1 0 ⎟ ⎜
ij
1
g =⎜
+
⎟
⎜
0
− ∂R Λ
− ∂/∂ R Λ
0 −1 0
0 ⎟ ⎜0
⎟
2
⎟
⎜
⎜1 0
⎟
1
1
1 2
0 − 2 ⎟⎠ ⎜
⎝
⎜ 0 − ∂/∂ R Λ − ∂/∂ R Λ − ∂/ ∂ R Λ + ∂/∂ ω Λ ⎟
2
2
2
⎠
⎝
(20)
y su inversa:
⎛2
⎜
⎜0
g ij = ⎜
0
⎜
⎜1
⎝
⎛ 1 2
⎜ − ∂/ ∂ R Λ + ∂/∂ ω Λ
0
0 1⎞ ⎜ 2
⎟
1
0 − 1 0⎟ ⎜
∂/∂ R Λ
+⎜
2
⎟
−1 0 0 ⎜
1
⎟
∂/∂ R Λ
0
0 0 ⎟⎠ ⎜
2
⎜
0
⎝
1
∂/∂ R Λ
2
− ∂RΛ
0
0
1
⎞
∂/∂ R Λ 0 ⎟
2
⎟
0
0⎟
⎟
⎟
− ∂ R Λ 0⎟
⎟
0
0⎠
(21)
donde se utilizan η ij y η ij para levantar y bajar índices.
En principio, se escriben la ecuación de Einstein de vacío
y las condiciones de metricidad en el marco de esta aproximación
tomando los términos de O (Λ ) de las expresiones (13), (14) y (16).
La versión linealizada de las ecuaciones (E), (mI) y (mII) se
denotan de la siguiente manera:
∂R Ω = 0
2
(E’)
1
⎛
⎞
∂/Ω = ⎜ ∂ ω Λ + ∂/∂ R Λ ⎟Ω
2
⎝
⎠
(mI’)
1
⎛
⎞
⎜ ∂ ω − ∂/∂ R ⎟Λ = 0
2
⎝
⎠
(mII’)
De esta manera, al resolver la ecuación (E’) e imponer
las condiciones (mI’) y (mII’), se obtiene como resultado la función
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Λ , y en su defecto Z , a partir de la cual se define una métrica
conforme de Einstein linealizada.
Se analizan ahora las dos formulaciones para espacios
conformes de Einstein estudiadas en la sección anterior. En
primer lugar, como consecuencia de esta aproximación se hace
∇ a → ∂ a . Luego, es necesario notar que tanto el Tensor de Ricci
como el Tensor de Weyl tienen la forma Rab = O(Λ ) + O(Λ2 ) + L y
( )
C abcd = O(Λ ) + O Λ2 + L ,
argumentos
es
permiten
decir,
despreciar
son
el
al
menos
segundo
O (Λ ) .
término
Estos
de
la
expresión (17), obteniéndose:
B11 = ∂ c ∂ d C1c1d = 0
(22)
y utilizando explícitamente las componentes de la métrica que se
muestran las ecuaciones (20) y (21), la expresión anterior queda:
∂ R ∂/ 2 Λ = 0
5
(23)
(Ver el Apéndice para el detalle de los cálculos auxiliares).
Aplicando las condiciones de borde apropiadas a las ecuaciones de
vacío linealizadas, esta expresión puede ser integrada para dar
como resultado:
∂/ 2 ∂/ 2 Z = ∂/ 2σ + ∂/ 2σ
donde σ = σ (Z 0 , ζ , ζ ) es el shear asintótico linealizado, el cual es el
dato libre para el campo.
Observando ahora la ecuación (19), el primer término
que allí aparece es O(Λ5 ) mientras que los restantes son O(Λ4 ) y por
lo tanto puede ser despreciado. Por otro lado, el segundo y cuarto
término están en función de productos de primeras derivadas
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de C abcd , mientras que el tercer término contiene derivadas
segundas de dicho tensor. Comparando las ecuaciones (22) y (19)
es posible suponer que (22) está contenida en el tercer término de
la ecuación (23). Trabajando específicamente con este término y
después de un cálculo algebraico extenso, puede demostrarse que
(Ver el Apéndice para el detalle de los cálculos auxiliares):
[
)]
(
⎫
⎧ 1
C 2 C1cde ∂ 1∂ f C fcde = C 2 ⎨− ∂ R ∂ ω ∂/∂ R Λ B11 + Otros términos⎬
⎭
⎩ 3
(24)
donde el segundo término del lado derecho de la expresión
anterior
abarca
componente
B11
todos
los
términos
que
no
contienen
la
del tensor de Bach. El cálculo explícito es
prolongado y tedioso, pero se puede afirmar que esos términos se
anulan entre sí, al igual que el segundo y cuarto término de (19).
Conclusiones
Se han analizado dos formulaciones para espacios
conformes de Einstein; la primera de ellas expone como condición
necesaria y suficiente la anulación del Tensor de Bach, mientras
que la segunda afirma que debe anularse el tensor E ab de la
ecuación (10). Ambas formulaciones brindan la misma información
acerca del espaciotiempo que describen. Sin embargo, cuando se
estudian en el marco del NSF y se expresan en términos de la
función
Λ,
las
( )
= O(Λ ) + O(Λ ) + L .
ecuaciones
de
Bach
tienen
la
forma
B11 = O(Λ ) + O Λ2 + L mientras que el tensor E ab se establece como
E11
4
5
Este hecho permite afirmar que, en el
contexto del Formalismo de Superficies Nulas es conveniente
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estudiar las ecuaciones de Bach ya que el proceso de resolución de
E11 = 0 es más dificultoso comparado con B11 = 0 .
Apéndice
Tensores en Relatividad General:
Se exponen aquí los tensores más importantes de la
teoría expresados en términos de las componentes de la métrica.
El tensor de Riemann, también denominado Tensor de
Curvatura es:
(
)
Rabc = ∂ b Γ d ac − ∂ a Γ d bc + ∑ Γ e ac Γ d be + Γ e bc Γ d ae ,
d
e
el tensor de Ricci, correspondiente a la traza del Tensor
de Riemann, se escribe del siguiente modo:
(
)
Rac = g bd Rabcd = ∂ b Γ b ac − ∂ a Γ b bc + ∑ Γ e ac Γ b be + Γ e bc Γ b ae ,
e
y el escalar de Curvatura, que corresponde a la traza del Tensor de
Ricci, es:
⎡
R = g ac Rac = g ac ⎢∂ b Γ b ac − ∂ a Γ b bc +
⎣
∑ (Γ
e
e
b
ac Γ be
⎤
+ Γ e bc Γ b ae ⎥
⎦
)
donde, los Símbolos de Christoffel Γabc están determinados por:
c
Γab
=
1 cd
g (∂ a g bd + ∂ b g ad − ∂ d g ab ) .
2
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La versión linealizada de cada una de estas expresiones y
del tensor de Weyl, presentado en la ecuación (7) del texto
principal, es:
1
Γ' cab = η cd (∂ a hbd + ∂ b had − ∂ d hab )
2
d
R' abc = ∂ b Γ' d ac −∂ a Γ' d bc
R' ac = η bd R' abcd = ∂ b Γ' b ac −∂ a Γ' b bc
[
R' = η ac R' ac = η ac ∂ b Γ' b ac −∂ a Γ' b bc
]
1
C ' abcd = R ' abcd +η a [d R ' c ]b +η b[c R ' d ]a + η a [cη d ]b R '
3
Obtención de la expresión (23):
Sumando sobre todos los valores posibles de los índices c
y d de la ecuación (22), se obtiene:
B11 = ∂ 0 ∂ 0 C1010 + ∂ + ∂ + C1+1+ + ∂ − ∂ − C1−1− + 2∂ + ∂ 0 C1+10 + 2∂ 0 ∂ − C101− + ∂ + ∂ − C1+1−
Bajando los índices de las derivadas usando ∂ i = η ij ∂ j se llega a:
B11 = ∂ 1 C1010 + ∂ − C1+1+ + ∂ + C1−1− − 2∂ − ∂ 1C1+10 − 2∂ 1∂ + C101− + ∂ + ∂ − C1+1−
2
2
2
(A.1)
A continuación se detalla la versión linealizada de cada
una de las componentes del Tensor de Weyl que aparecen en la
expresión anterior:
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(
)
1 2
1 2
C1+1+ = C1−1− = − ∂ 1 h+ + , C1+10 = C1−10 = − ∂ 1 h+ 0 + ∂ 1∂ − h+ + ,
2
4
C1+1− = 0 y C1010 = −
(A.2)
(
)
1 2
2
2
∂ 1 h00 + ∂ + h− − + ∂ − h+ + + ∂ 1∂ − h0 + + ∂ 1∂ + h0 − .
6
Sustituyendo (A.2) en (A.1), se obtiene:
B11 = −
(
) (
1 4
1
∂ 1 h00 + ∂ 12 ∂ 2+ h− − + ∂ 12 ∂ 2− h+ + + ∂ 13 ∂ + h0− + ∂ 13 ∂ − h0+
6
3
)
(A.3)
Reemplazando en (A.3) las componentes de la métrica
que se detallan en la expresión (15), se obtiene:
B11 =
1
5
∂ R ∂/ 2 Λ
12
y a partir de aquí se llega a la ecuación (23) que figura en el texto
principal.
Obtención de la expresión (24):
La idea es encontrar la componente B11 del Tensor de
Bach en el tercer término de la expresión (19), es decir, en:
(
C 2 C1cde ∂ 1∂ f C fcde = C 2 C1cde ∂ 1∂ 0 C 0cde + C1cde ∂ 1∂ + C + cde + C1cde ∂ 1∂ − C − cde + C1cde ∂ 1∂ 1C 1cde
Si se analiza la expresión (A.1), es fácil visualizar que los
términos C1cde ∂ 1∂ 0 C 0cde no contribuyen, ya que no se observa ∂ 0 de
ninguna componente del Tensor de Weyl. También es posible
afirmar que no todos los términos C1cde ∂ 1∂ i C icde (con i = +,−,1 ) aportan
a la obtención de B11 , sino sólo aquellos que se detallan a
continuación:
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)
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C 2C1cde ∂1∂ f C fcde = C 2 (C1001∂1∂ + C +001 + C10+ − ∂1∂ + C +0+ − + C1−0+ ∂1∂ + C + −0+ + C1001∂1∂ − C −001
+ C1+ 0− ∂1∂ − C − +0 − + C10 + − ∂1∂ − C −0 + − + C1001∂1 C 1001 + C10+ − ∂1 C 10 + − + C1+ 0− ∂1 C 1+ 0 − + C1−0+ ∂1 C 1−0 +
2
2
2
2
+ Otros términos)
Bajando índices con la métrica de Minkowski η ab y
asociando convenientemente, se llega a:
(
)+ C (∂
)
(
C 2C1cde ∂1∂ f C fcde = C 2 [C1010 ∂1 C0101 − ∂1∂ + C−101 − ∂1∂ − C+101 + C10+ − ∂1 C10+ − − ∂1∂ + C1− + − + ∂1∂ − C1+ − +
2
(
+ C1+ 0− ∂1 C1+ 0− + ∂1∂ − C1+ − +
2
1− 0 +
Notando que
2
1
)
2
)
C1−0+ + ∂1∂ + C1− + − + Otros términos]
1
1
C1+ 0 − = C1−0 + = − C1010 + C10 + − , la expresión
2
2
anterior se puede reescribir como:
(
)
(
3
3
2
2
C 2C1cde ∂1∂ f C fcde = C 2 [ C1010 ∂1 C1010 − ∂1∂ + C−101 − ∂1∂ − C+101 + C10+ − ∂1 C10+ − − ∂1∂ + C−101 + ∂1∂ − C+101
2
2
+ Otros términos]
Reemplazando
explícitamente
las
componentes
correspondientes al Tensor de Weyl en esta expresión se obtiene:
(
) (
)
1
1
⎛ 1
⎞
C 2C1cde ∂1∂ f C fcde = C 2 [ − ∂1∂ + ho − ⎜ − ∂14 h00 + ∂12 ∂ 2+ h− − + ∂12 ∂ 2− h+ + + ∂13∂ + h0− + ∂13∂ − h0+ ⎟
2
4
2
⎝
⎠
+ Otros términos]
Por comparación con la expresión (A.3) se observa que el
paréntesis en (A.4) es igual a
2
B11 , lo cual conduce a la expresión
3
(24) en el texto principal.
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)
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Referencias
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surfaces. Journal Mathematical Physics, 36, 9, 4984-5004.
Gover, Rod A. y Nurowski, Pawel (2004). Obtructions to Conformal
Einstein Metrics in n Dimensions, Recuperado el 1 de Agosto de
2008, de http://arxiv.org/abs/math/0405304.
Iriondo, M.; Kozameh, C. N.; Rojas, T. A. (1997). Null surfaces and the Bach
equations. Journal Mathematical Physics, 38, 9, 4714-4729.
Kozameh, C. N.; Newman, E. T. y Tod, K. P. (1985). Conformal Einstein
Spaces. General Relativity and Gravitation, 17, 4, 343-352.
Mason, L. J. (1995). The vacuum and Bach equations in terms of light cone
cuts. Journal Mathematical Physics, 36, 7, 3704-3721.
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