ACT-11302: Cálculo Actuarial III –Notas de Clase

ACT-11302: Cálculo Actuarial III
–Notas de Clase–
Juan Carlos Martı́nez-Ovando
ITAM
30 de agosto de 2016
Agenda
Modelos de riesgo
Notación
Racionalidad
Frecuencia de severidades
Descripción
Modelos de riesgo
Definición
Definición
Son modelos estacásticos que miden la incertidumbre asociada con un portafolio de
seguros.
Para ésto, se distinguen las siguientes caracterı́sticas:
I J es la suscripción de un portafolio de seguros en un periodo de tiempo dado
I Yj es la variable aleatoria que mide el monto de siniestro de una póliza
(j = 1, . . . , J)
I Xj es el monto de reclamo del siniestro en la póliza j
I Dj es el monto del siniestro a cargo del asegurado
I Zj es el monto del siniestro a cargo de la reaseguradora
Agregación
Ası́, para cada póliza j = 1, . . . , J,
Yj = Dj + Xj + Zj .
Mientras que,
PJ
I
j=1 Yj es la severidad acumulada de siniestros
PJ
I
j=1 Xj es la severidad acumulada de siniestros a cargo de la aseguradora
(1)
Definición
Definición
Son modelos estacásticos que miden la incertidumbre asociada con un portafolio de
seguros.
Para ésto, se distinguen las siguientes caracterı́sticas:
I J es la suscripción de un portafolio de seguros en un periodo de tiempo dado
I Yj es la variable aleatoria que mide el monto de siniestro de una póliza
(j = 1, . . . , J)
I Xj es el monto de reclamo del siniestro en la póliza j
I Dj es el monto del siniestro a cargo del asegurado
I Zj es el monto del siniestro a cargo de la reaseguradora
Agregación
Ası́, para cada póliza j = 1, . . . , J,
Yj = Dj + Xj + Zj .
Mientras que,
PJ
I
j=1 Yj es la severidad acumulada de siniestros
PJ
I
j=1 Xj es la severidad acumulada de siniestros a cargo de la aseguradora
(1)
Siniestralidad
No todas las pólizas experimentaron un siniestro (principio del seguro). Ası́,
Siniestralidad
I En caso de siniestro, Yj > 0
I En caso de no siniestro, Yj = 0.
Agregación
Ası́,
J
X
Yj
=
j=1
X
j|Yj =0
=
X
Yj +
X
Yj I(Yj = 0) +
j
=
N
X
Yj
j|Yj >0
X
Yj I(Yj > 0)
j
Yj I(Yj > 0),
(2)
j
donde,
I N es el número de siniestros en el periodo dado (a.k.a. frecuencia de siniestros).
Siniestralidad
No todas las pólizas experimentaron un siniestro (principio del seguro). Ası́,
Siniestralidad
I En caso de siniestro, Yj > 0
I En caso de no siniestro, Yj = 0.
Agregación
Ası́,
J
X
Yj
=
j=1
X
j|Yj =0
=
X
Yj +
X
Yj I(Yj = 0) +
j
=
N
X
Yj
j|Yj >0
X
Yj I(Yj > 0)
j
Yj I(Yj > 0),
(2)
j
donde,
I N es el número de siniestros en el periodo dado (a.k.a. frecuencia de siniestros).
Siniestralidad
Consideraciones
I Intrı́nsecamente, N (antes de observarse) es incierto y aleatorio
I La magnitud individual del siniestro, Yj I(Yj > 0) (antes de observarse) es
incierta y aleatoria, ası́ como la ocurrencia de siniestro, I(Yj > 0).
Agregación
Para,
S
=
N
X
Yj I(Yj > 0),
j
las fuentes de aleatoriedad son:
I N - frecuencia de siniestros
I Sj - severidad individual de siniestros
(3)
Siniestralidad
Consideraciones
I Intrı́nsecamente, N (antes de observarse) es incierto y aleatorio
I La magnitud individual del siniestro, Yj I(Yj > 0) (antes de observarse) es
incierta y aleatoria, ası́ como la ocurrencia de siniestro, I(Yj > 0).
Agregación
Para,
S
=
N
X
Yj I(Yj > 0),
j
las fuentes de aleatoriedad son:
I N - frecuencia de siniestros
I Sj - severidad individual de siniestros
(3)
Enfoques de modelación
Modelo de riesgo individual
El monto agregado de siniestro, S, se define por
I N es fijo
I Yj I(Yj > 0) es aleatorio, para todo j = 1, . . . , J.
Modelo de riesgo colectivo
El monto agregado de siniestro, S, se define por
I N , frecuencia aleatoria
I Yj I(Yj > 0) es aleatorio, para todo j = 1, . . . , J.
Enfoques de modelación
Modelo de riesgo individual
El monto agregado de siniestro, S, se define por
I N es fijo
I Yj I(Yj > 0) es aleatorio, para todo j = 1, . . . , J.
Modelo de riesgo colectivo
El monto agregado de siniestro, S, se define por
I N , frecuencia aleatoria
I Yj I(Yj > 0) es aleatorio, para todo j = 1, . . . , J.
Frecuencia de severidades
Distribuciones
Binomial negativa
Quizás, el modelo más intuitivo para N consiste en:
I Suponer que I(Yj > 0) ∼ Be(θ), donde θ ∈ (0, 1) es la probabilidad de siniestro
I La ocurrencia de siniestros entre integrantes del portafolio es mutuamente
independiente
I Ası́, tiene una distribución
(N = n)
∼
BN(n|J, θ)
∝ θn (1 − θ)J−n I{0,1,...,J} (n),
(4)
donde J es la suscripción del portafolio de seguros.
Se sigue,
I E(N |J, θ) = Jθ
I Var(N |J, θ) = Jθ(1 − θ)
Ejercicio
Encuentra el EMV para θ. Encuentra la distribución inicial conjugada para θ, ası́ como
la distribución actualizada con un conjunto de datos. Se puede estimar J, si fuese
desconocido?
Distribuciones
Binomial negativa
Quizás, el modelo más intuitivo para N consiste en:
I Suponer que I(Yj > 0) ∼ Be(θ), donde θ ∈ (0, 1) es la probabilidad de siniestro
I La ocurrencia de siniestros entre integrantes del portafolio es mutuamente
independiente
I Ası́, tiene una distribución
(N = n)
∼
BN(n|J, θ)
∝ θn (1 − θ)J−n I{0,1,...,J} (n),
(4)
donde J es la suscripción del portafolio de seguros.
Se sigue,
I E(N |J, θ) = Jθ
I Var(N |J, θ) = Jθ(1 − θ)
Ejercicio
Encuentra el EMV para θ. Encuentra la distribución inicial conjugada para θ, ası́ como
la distribución actualizada con un conjunto de datos. Se puede estimar J, si fuese
desconocido?
Distribuciones
Poisson
Un modelo bastante útil consiste en
I Suponer que N tiene soporte numerable
I Suponer que I(Yj > 0) ∼ Bernoulli
I La ocurrencia de siniestros entre integrantes del portafolio es mutuamente
independiente
I Ası́,
(N = n)
∼
Po(n|θ)
∝ exp{−θ}θn I{0,1,2,...} (n),
(5)
donde θ > 0 es la intensidad de siniestros correspondiente al perido dado.
Se sigue que,
I E(N |θ) = θ
I Var(N |θ) = θ
Ejercicio
Encuentra el EMV para θ. Encuentra la distribución inicial conjugada para θ, ası́ como
la distribución actualizada con un conjunto de datos.
Distribuciones
Poisson
Un modelo bastante útil consiste en
I Suponer que N tiene soporte numerable
I Suponer que I(Yj > 0) ∼ Bernoulli
I La ocurrencia de siniestros entre integrantes del portafolio es mutuamente
independiente
I Ası́,
(N = n)
∼
Po(n|θ)
∝ exp{−θ}θn I{0,1,2,...} (n),
(5)
donde θ > 0 es la intensidad de siniestros correspondiente al perido dado.
Se sigue que,
I E(N |θ) = θ
I Var(N |θ) = θ
Ejercicio
Encuentra el EMV para θ. Encuentra la distribución inicial conjugada para θ, ası́ como
la distribución actualizada con un conjunto de datos.
Gracias por su atención...
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