Matriz de masa concentrada - Cálculo de estructuras por el método

20 – Dinámica + elementos finitos
(caso lineal)
Diego Andrés Alvarez Marín
Profesor Asociado
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
1
Ecuaciones de la elástodinámica
Las ecuaciones diferenciales de equilibrio son:
Las ecuaciones dinámicas de Cauchy-Navier son:
2
Interpolación de los
desplazamientos, velocidades y
aceleraciones en el caso dinámico
3
Energía cinética
Matriz de masa
consistente
4
Energía potencial elástica
5
Trabajo realizado por las fuerzas
externa ejercida
externas Energía
respectivamente por las
fuerzas másicas,
superficiales y puntuales
actuando sobre el sólido
Vector de fuerzas nodales de equilibrio
6
Vector de fuerzas nodales equivalentes
Funcional lagrangiano
7
Fuerzas conservativas
8
Propiedades del variacional primero
9
Principio de Hamilton
10
Las condiciones iniciales y
finales son conocidas
(condición 3 del principio
de Hamilton)
11
12
Principio de D'Alembert
Este principio permite extender la segunda ley de
Newton sobre equilibrio estático al caso dinámico
por medio de la simple consideración que la
fuerza de inercia (que para un cuerpo de masa
constante es igual al producto de la masa por la
aceleración) es una fuerza de sentido opuesto al
sentido positivo de la aceleración.
https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle
13
Deducción alternativa (e incorrecta, pero popular):
modificación del principio de los trabajos virtuales
Utilizando el principio de D'Alembert se puede incluir las
fuerzas de inercia en el principio del trabajo virtual como
términos adicionales a las fuerzas másicas:
donde:
DEDUCCION INCORRECTA!
Recuerde que la deducción correcta se
hace usando el principio de Hamilton
y ρ es la masa por unidad de volumen (densidad).
15
Por lo tanto, haciendo:
y reemplazando en el PTV obtenemos (aquí por
cuestión de espacio solo consideramos las
fuerzas de inercia y las otras fuerzas másicas b):
16
Ecuación de movimiento de un
sistema no amortiguado
17
Matriz de masa consistente
(consistent mass matrix)
La matriz M que hemos encontrado es la llamada
matriz de masa consistente:
donde ρ es la masa por unidad de volumen (densidad).
18
Matriz de masa concentrada
(lumped mass matrix)
En los algoritmos de dinámica se requiere
frecuentemente invertir la matriz M; por dicha razón, se
emplea frecuentemente la matriz de masa concentrada.
Este esquema crea una matriz diagonal empleando así
menos recursos computacionales. Existen varias formas
de generar esta matriz. Un esquema correcto debe
preservar la masa total correcta para el elemento y
preservar correctamente el centro de gravedad del
mismo. Sería deseable también preservar el primer y
segundo momento de inercia, pero esto raramente se
logra.
19
Matriz de masa concentrada
(lumped mass matrix)
No existe un procedimiento único para calcular la
matriz de masa concentrada. Existen en la
literatura varios métodos para calcular dicha
matriz, por ejemplo:
●
Método de Archer (Direct Mass Lumping)
●
Método HRZ
●
Otros métodos
20
Método de Archer (1963, 1965)
Fue el primer método para crear la matriz de masa
concentrada.
Este método solo asigna masas a los grados e libertad
traslacionales
Ejemplo:
Matriz de masa concentrada (lumped)
de una viga. Observe que la masa solo
está dispuesta en el grado de libertad
traslacional
21
DLMM=
Direct
Lumped
Mass
Matrix
22
Método HRZ
(Hinton-Rock-Zienkiewicks, 1976)
23
24
Condensación de HRZ para un
elemento de viga
25
Otros métodos
●
●
Isaac Fried, David S. Malkus (1975). Finite element
mass matrix lumping by numerical integration with no
convergence rate loss, International Journal of Solids
and Structures, Volume 11, Issue 4, Pages 461-466,
http://dx.doi.org/10.1016/0020-7683(75)90081-5
Shen R. Wu (2006). Lumped mass matrix in explicit
finite element method for transient dynamics of
elasticity, Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering, Volume 195, Issues 44–47, , Pages 59835994. http://dx.doi.org/10.1016/j.cma.2005.10.008
26
¿Cuál tipo de formulación utilizar?
La matriz de masa consistente en general dará
resultados más precisos (pero no mucho más).
Algunos otros autores no afirman esto.
El cálculo con la matriz de masa concentrada es
más rápido ya que la inversa de una matriz
diagonal también es diagonal.
Si una malla es lo suficientemente refinada, los
resultados serán aproximadamente los mismos
independientemente si se usa matriz de masa
consistente o concentrada.
27
La matriz de masa consistente hace una
representación más precisa de las propiedades
inerciales de la estructura y además produce
frecuencias naturales mayores o iguales que las
exactas; además utilizando un número suficiente de
elementos se pueden obtener resultados muy
precisos.
La representación de masa concentrada no es tan
precisa (algunos autores no afirman esto) y puede
producir frecuencias naturales más altas o más bajas
que las exactas. Sin embargo, para problemas
grandes la representación de masa concentrada
supone un ahorro considerable en el cálculo ya que da
lugar a una matriz de masa diagonal.
28
En conclusión:
No hay una respuesta definitiva a que
tipo de matriz utilizar. La matriz de
masa consistente no es
necesariamente la que brinda mejores
resultados.
29
Particularizaciones de la matriz de
masa consistente
Caso tridimensional:
Caso bidimensional (tensión/deformación plana):
Caso axisimétrico:
Caso barra unidimensional:
30
Formulación para barras sometidas
a fuerzas axiales
31
b
32
33
Matriz de rigidez del elemento
cercha
34
Matriz de masa del elemento cercha
35
36
Formulación para vigas
37
Formulación para el elemento viga
de dos nodos
Matriz de masa consistente
Matriz de masa concentrada (lumped)
Observe que la masa solo está dispuesta
en el grado de libertad translacional
38
Formulación para elementos de
pórtico
39
Matriz de rigidez de un elemento prismático
sometido en sus extremos a carga axial,
flexión y cortante
40
Matriz masa consistente para elemento pórtico 2D
Matriz de masa
para el elemento
viga
Matriz de masa
para un elemento
bajo movimiento
axial
Y superponiendo las contribuciones:
41
Matriz de masa condensada para
elemento pórtico 2D
42
Matriz de
transformación
43
45
Elemento triangular de tres nodos
t
t
46
Elemento rectangular de cuatro
nodos
t
t
47
48
Matriz de masa consistente para un
elemento hexahédrico de 8 nodos
49
Análisis modal de sistemas no
amortiguados
Dicha ecuación se puede resolver ya sea con:
●
Análisis modal
●
Integración directa
–
Método de Newmark
–
Método de Wilson
–
Método de las diferencias centrales
–
etc.
50
Análisis modal
Métodos numéricos para calcular valores y vectores
propios:
●
Método de Jacobi
●
Método de Given
●
Método de Housholder
●
Método de la bisección (usando secuencias de
Sturm)
●
Iteración inversa
●
Método QR
●
Método de Lanczos
51
Análisis modal con MATLAB
52
Análisis modal de sistemas
amortiguados
53
Ecuación de movimiento para
vibración forzada para sistemas de
múltiples grados de libertad
54