Programación lineal. El puente aéreo de Berlín.

Programación lineal. El puente aéreo de Berlín.
Introducción
Los acuerdos de Yalta, durante la Segunda Guerra Mundial dividía Alemania
entre las tres potencias vencedoras (Gran Bretaña, USA y URSS). A su vez la capital
del III Reich, Berlín, también se dividía a su vez en tres partes. Berlín quedaba
enclavada como un islote en la zona soviética.
En 1948, los rusos cortaron las vías de comunicación terrestres, teniendo que ser
abastecida Berlín, por vía aérea. Los aparatos de la época tenían relativamente poca
capacidad y la antigua capital de Alemania estaba destruida por los bombardeos. Se
planteaba un problema de abastecimiento muy difícil y donde había que elegir con
buen criterio los productos que debían llegar y en que orden.
Este problema logístico fue el primer gran problema de Programación Lineal de la
Historia.
Esta rama de las Matemáticas tuvo mucho que ver en la primera victoria Occidental en
la llamada “guerra fría” que finalizó con la caída del “telón de acero”.
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1.- Situación de Berlín en 1948
Ya en la primavera de 1946, Winston Churchill sostuvo: “Desde Stettin, hasta
Trieste, un telón de acero ha caído sobre el continente”. En ese momento todavía
existían relaciones cordiales entre las potencias vencedoras. En 1947 el general
George Marshall anuncia un plan de ayudas americanas a la Europa Occidental, que
estaba terriblemente asolada por la guerra. Esta ayuda no afectaba a la parte alemana
dominada por los soviéticos. Americanos y británicos crean una nueva moneda: El
Deutschemark. La administración soviética pide explicaciones por esta nueva política.
Pocos días después, los controles rusos empezaron a entorpecer el tráfico de trenes
de mercancías con destino a Berlín. Comenzaba así, una escalada de restricciones,
que culminaban el 20 de junio de 1948, fecha en la que se suspendían el tráfico fluvial,
ferroviario y por carretera de mercancías y pasajeros.
Empezaba así la primera batalla de la “guerra fría”, que dejaba dos tercios de la ciudad
de Berlín aislada detrás del “telón de acero”.
¿Podrían sobrevivir los habitantes berlineses de la zona Occidental?
El invierno de 1946-47 fue terrible. Las temperaturas descendieron a -20 grados
centígrados. Las casas seguían destruidas en su mayoría. Los árboles se arrancaban
y convertían en leña. Los rusos ofrecieron abundantes raciones de alimentos y
combustible a la población que se registrara en la parte Oriental, Sólo uno 100000
berlineses aceptaron.
Berlín Occidental necesitaba 12200 toneladas diarias, entre alimentos, carbón,
materias primas y artículos diversos.
2.- Puente aéreo
El 26 de junio empezó a funcionar el puente aéreo. La aviación norteamericana
transportó 73 toneladas y 7 los británicos. A los tres meses se habían transportado
200000 toneladas en casi 50000 vuelos, a razón de 2000 toneladas-día al principio y
3000 toneladas-día al final. Hasta los seis meses de funcionamiento no se alcanzaron
las 4000 toneladas-día que era el mínimo considerado para la supervivencia de la
ciudad.
Pero en diciembre se llegó a las 7000 toneladas diarias y posteriormente en enero y
febrero de 1949 se rondaron las 9000-10000 toneladas diarias, con una cifra record el
día 16 de abril de 1949 de 11440 toneladas
3.- ¿Cómo se consiguió subir tan espectacularmente las
cantidades trasladadas con, prácticamente, los mismos
recursos?
La perfección en la planificación de los vuelos y su escalonamiento permitió el
mejor aprovechamiento logístico de todos los recursos. Se ponía en práctica una parte
de las matemáticas llamada: Programación lineal.
Sólo en el plano alimenticio se optimizó a unas 1304 toneladas diarias de víveres: 586
toneladas de trigo y harina, 113 de otros cereales, 58 de grasas, 99 de carne y
pescado, 163 de patatas deshidratadas (lo que suponía un ahorro de 80 viajes, ya que
de ser frescas habrían sido 816 las toneladas que se hubieran precisado diariamente),
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77 de azúcar, 10 de café, 21 de leche en polvo, 3 de levadura fresca, 131 de verduras
deshidratadas, 34 de sal y 9 de queso. Las perdidas en verduras frescas se
compensaban con tabletas de vitamina C. Con estas cantidades no sobraban en las
diferentes combinaciones que se realizaban, ni se estropeaban alimentos, ni había
necesidad de almacenarlos.
Además hubo que trasladar carbón, combustible líquido, papel, materias primas para
el funcionamiento de las fábricas, ropa, material sanitario…
Respecto a los aviones se eligieron aquellos cuya carga y velocidad permitían obtener
un mayor rendimiento con menores dificultades de tránsito. Se escogieron cuya
velocidad les permitía volar en una larga formación en columna. El avión más utilizado
fue el Douglas C-54 Skymaster muy seguro y fácil de reparar, que sin embargo, no era
ni el más veloz, ni el que tenía mayor capacidad de carga. Era el más óptimo.
Respecto a la organización el puente aéreo se componía de 8 divisiones: personal,
comunicaciones, aeropuertos, planificación, mantenimiento, abastecimiento, carga y
operaciones. Se estructuraban ordenadamente sin entorpecer el trabajo de las demás
divisiones.
No se reparó en gasto de combustible alcanzándose un consumo de 17 millones de
litros. Esta variable no se optimizó.
Por último respecto a la infraestructura del puente aéreo, el acceso a Berlín se trazó
mediante tres pasillos de 32 kilómetros de ancho entre Alemania Occidental y Berlín
Oeste:
•
•
•
El pasillo norte partía de Hamburgo en dirección sudeste
El central de Hannover en dirección este
El del sur Frankfurt hacia el noroeste
Los tres terminaban en Berlín, en los aeropuertos de Tempel off, Gamow y Hegel.
Todos estos inmensos cálculos se realizaron sobre “papel”, utilizando inmensas tablas
y los mejores matemáticos del momento del lado Occidental.
Finalmente destacar que el puente aéreo duró 403 días, en los que se transportaron
2223000 de toneladas de mercancías, en un total de 266700 vuelos.
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4.- ¿Qué es la programación lineal?
La programación lineal es el estudio de modelos matemáticos concernientes a
la asignación eficiente de los recursos limitados en las actividades conocidas, con el
objetivo de satisfacer las metas deseadas (tal como maximizar beneficios o minimizar
costos). El propósito de la programación lineal es el de MAXIMIZAR o MINIMIZAR
funciones lineales de la forma:
f ( X ) = c1x1 + c2 x 2 + ... + cn x n
Sujeta a un sistema de inecuaciones o ecuaciones lineales:
⎧ a11x 1 + a12 x 2 + ... + a1n x n ≤ b1
⎪ a x + a x + ... + a x ≤ b
⎪ 21 1
22 2
2n n
2
⎨
⎪...
⎪⎩ am 1x1 + am 2 x 2 + ... + amn x n ≤ bm
Donde las variables x i (i = 1, 2,3,…, n) son no negativas.
Los problemas de programación lineal para dos variables consiste en optimizar
(maximizando o minimizando) una función lineal de la forma ax + by = z, en la que z es
el valor de la programación lineal (punto que buscamos para conseguir el máximo o el
mínimo), a el coeficiente de la variable x y b el coeficiente de la variable, a la que
llamamos función objetivo, y está sujeta a un sistema de inecuaciones (restricciones)
de la forma ax + by ≤ d ó ax + by ≥ d. Estas inecuaciones determinan un semiplano.
Una inecuación lineal es de la forma:
ax + by + c ≥ 0
ax + by + c ≤ 0
Geométricamente, representa el conjunto de puntos de cada una de los dos
semiplanos en los que la recta de ecuación ax + by + c = 0 divide al plano
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5.- Diversos ejemplos
Ejemplo 1: Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas.
Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero sólo
venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor
8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada
contenedor 2 cajas de naranjas, una de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el
mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B a 300 km, calcular
cuántos contenedores habrá de comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar
tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.
MAYORISTA MAYORISTA Necesidades
A
B
mínimas
Naranjas
8
2
16 cajas
Plátanos
1
1
5 cajas
Manzanas 2
7
20 cajas
Distancia 150 Km
300 Km
VARIABLES INSTRUMENTALES
Llamamos x al número de contenedores del mayorista A
Llamamos y al número de contenedores del mayorista B
FUNCIÓN OBJETIVO (Minimizar): F(X) = 150x + 300y
RESTRICCIONES
REGIÓN DE SOLUCIONES FACTIBLES
SOLUCIÓN FACTIBLE ÓPTIMA
Observamos que el mínimo se alcanza en el punto R(3,2) (solución óptima)
Por tanto el frutero solicitará 3 contenedores del mayorista A y 2 contenedores del
mayorista B.
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Ejemplo 2: Una compañía tiene dos minas: la mina A produce diariamente 1 tonelada
de carbón de antracita de alta calidad, 2 toneladas de carbón de calidad media y 4
toneladas de carbón de baja calidad; la mina B produce 2 toneladas de cada una de
las tres clases. La compañía necesita 70 toneladas de carbón de alta calidad, 130 de
calidad media y 150 de baja calidad. Los gastos diarios de la mina A ascienden a 150
dólares y los de la mina B a 200 dólares. ¿Cuántos días deberán trabajar en cada
mina para que la función de coste sea mínima?
Mina A
Mina B
Necesidades
mínimas
Alta
1
2
70
Media
2
2
130
Baja
4
2
150
Coste
diario
150 $
200 $
VARIABLES INSTRUMENTALES
Llamamos x al número de días trabajados en la mina A
Llamamos y al número de días trabajados en la mina B
FUNCIÓN OBJETIVO (Minimizar) F(X) = 150x + 200y
RESTRICCIONES
REGIÓN DE SOLUCIONES FACTIBLES
SOLUCIÓN FACTIBLE ÓPTIMA
El mínimo se obtiene en el punto R(60,5) es decir, la compañía debe trabajar 60 días
en la mina A y 5 días en la mina B para que el coste sea mínimo.
VALOR DEL PROGRAMA LINEAL
Como la función objetivo es F(X) = 150x + 200y el valor del programa lineal (gasto)
es F(X) = 150·60 + 200·5 = 10.000 $ diarios.
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Ejemplo 3: En la elaboración de un producto A se necesita una sustancia B. La
cantidad de A obtenida es menor o igual que el doble de B utilizada, y la diferencia
entre las cantidades del producto B y A no supera los 2g mientras que la suma no
debe sobrepasar los 5g. Además se utiliza por lo menos 1g de B y se requiere 1 g de
A. La sustancia A se vende a 5 millones y la B cuesta 4 millones el gramo. Calcular la
cantidad de sustancia B necesaria para que el beneficio sea máximo.
VARIABLES INSTRUMENTALES: Llamamos
Llamamos y a la cantidad de sustancia B
x
a la cantidad de sustancia A
FUNCIÓN OBJETIVO (Maximizar): F(X) = 5x + 4y
RESTRICCIONES
REGIÓN DE SOLUCIONES FACTIBLES
SOLUCIÓN FACTIBLE ÓPTIMA
Se encuentra en el punto Q(10/3, 5/3), es decir la cantidad de sustancia B para que el
beneficio sea máximo debe ser 5/3 g.
Bibliografía
Guzmán, M. y Colera, J. “Matemáticas II” Editorial Anaya.
Siglo XX. “La guerra fría” Editorial Orbis.
Imágenes de la Guerra. “Historia de la II Guerra Mundial” Ediciones Rialp.
Pérez, N., Parrado, C. y Vahí, L. “Programación lineal” Fundación Vedruna.
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