Espacios de dimensión finita

Tema
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Espacios de dimensión finita
En este tema vamos a dar contenido topológico al hecho de que KN es, salvo isomorfismos,
el único espacio vectorial de dimensión N sobre K. Conocemos una amplia gama de normas en
KN , las normas k · k p con 1 6 p 6 ∞, y sabemos que todas ellas son equivalentes, generan la
topología usual o topología producto en KN . De hecho, vamos a ver que todas las normas en
KN son equivalentes; más aún, trabajando en el contexto de los espacios vectoriales topológicos
(EVT), veremos que la topología producto es la única topología en KN digna de consideración,
en un sentido muy preciso. También obtendremos una caracterización puramente topológica de
los espacios normados de dimensión finita.
4.1.
Preliminares
Empezamos concretando cuándo podemos identificar dos EVT. Naturalmente deberá existir una aplicación de uno en otro que los identifique como espacios vectoriales, es decir, una
biyección lineal, pero que también los identifique como espacios topológicos, es decir, que sea
un homeomorfismo. A una aplicación que cumpla estas dos condiciones la llamaremos isomorfismo topológico. Así pues, si X e Y son dos EVT, un isomorfismo topológico de X sobre Y
es una biyección lineal T : X → Y tal que T y T −1 son continuas. Naturalmente, cuando tal
isomorfismo existe, decimos que X e Y son topológicamente isomorfos.
Obsérvese que esta noción se aplica en particular a espacios normados; es claro que dos
espacios normados isométricamente isomorfos también son topológicamente isomorfos, pero
el recíproco no es cierto. Por ejemplo, los espacios l12 y l22 son topológicamente isomorfos,
pero se puede comprobar sin dificultad que no son isométricamente isomorfos. Cuando dos
espacios normados son topológicamente isomorfos, podemos identificarlos como EVT, pero en
general no podemos identificarlos totalmente como espacios normados. Observemos también
que dos normas en un mismo espacio vectorial X son equivalentes si, y sólo si, la identidad es
un isomorfismo topológico de X con una norma en X con la otra.
Nuestro primer objetivo es probar que, salvo isomorfismos topológicos, KN con la topología
producto es prácticamente el único EVT de dimensión N sobre K. El término “prácticamente”
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se debe a que esta afirmación sólo es cierta si descartamos ciertos EVT que son poco o nada
interesantes. Obsérvese que, incluso para N = 1, K con la topología trivial es un EVT que no
puede ser topológicamente isomorfo a K con la topología usual. Para N > 1 también debemos
descartar otras topologías en KN igualmente poco relevantes. Por tanto, para evitar topologías
que no nos interesan, trabajamos solamente con EVT “separados” en el sentido que vamos a
explicar.
Recordemos que en Topología se manejan varios “axiomas de separación” que van siendo
progresivamente más fuertes. Concretamente, un espacio topológico X verifica el axioma T0
cuando dados x, y ∈ X, con x 6= y, o bien existe un entorno de x que no contiene a y, o bien existe
un entorno de y que no contiene a x. Cuando ocurren ambas cosas, equivalentemente, cuando los
conjuntos con un sólo punto son subconjuntos cerrados de X, se dice que X verifica el axioma
T1 . Finalmente, cuando cada dos puntos distintos de X tienen entornos disjuntos, se dice que
X verifica el axioma T2 o también que X es un espacio de Hausdorff. Pues bien, no es difícil
comprobar que, si X es un EVT, los tres axiomas anteriores son equivalentes y X los verifica si,
y sólo si, el conjunto {0} es cerrado en X. Cuando esto ocurre decimos, simplemente, que X es
un EVT separado.
4.2.
El Teorema de Tihonov
Preparamos el primer resultado importante de este tema con la siguiente observación:
Para cualquier N ∈ N, toda aplicación lineal de KN con la topología usual, en cualquier
EVT, es continua.
Esta afirmación se comprueba fácilmente por inducción sobre N y podemos ya enunciar:
Teorema (Tihonov, 1935). Toda biyección lineal entre dos EVT separados de dimensión
finita es un isomorfismo topológico.
Demostración. Podemos suponer sin perder generalidad que el espacio de partida de nuestra
biyección lineal es KN con la topología producto. Sea pues Φ una biyección lineal de dicho
espacio en cualquier otro EVT separado, digamos Y . La observación previa al enunciado nos
asegura que Φ es continua, luego resta probar que Φ−1 es continua, o equivalentemente, que Φ
es abierta.
Llamando B a la bola unidad abierta en KN con la norma euclídea (en realidad podríamos
usar cualquier norma en KN que genere la topología producto), es suficiente probar que Φ(B) es
un entorno de cero en Y . En efecto, usando que las traslaciones y homotecias son homeomorfismos de Y (consecuencia evidente de la continuidad de la suma y el producto por escalares), de
ser Φ(B) un entorno de cero en Y deducimos fácilmente que, para cualquier x ∈ KN , la imagen
por Φ de cualquier entorno de x es un entorno de Φ(x), luego Φ es abierta.
Consideremos ahora la esfera unidad S = {x ∈ KN : kxk2 = 1}. Puesto que S es un subconjunto compacto de KN (es cerrado y acotado), la continuidad de Φ nos asegura que Φ(S) es un
subconjunto compacto de Y que, por ser Y un espacio de Hausdorff, será cerrado. Puesto que
/ La intuición nos
0∈
/ Φ(S), existirá en Y un entorno de cero, digamos U, tal que Φ(S) ∩U = 0.
dice que Φ(B) debería contener a U y habríamos terminado. De hecho eso es lo que ocurriría
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si Y fuese un espacio normado y hubiésemos tomado como U una bola de centro cero, pero en
general el entorno de cero U puede ser inadecuado y lo que vamos a hacer es sustituirlo por otro
más pequeño que tenga la forma adecuada.
Concretamente, usando que el producto por escalares de Y es continuo en (0, 0), obtenemos un δ > 0 y un entorno de cero V en Y , tales que λy ∈ U siempre que y ∈ V y |λ| 6 δ.
Equivalentemente, poniendo W = {λy : y ∈ V, |λ| 6 δ} tenemos W ⊆ U, luego seguirá siendo
/ Además W es un entorno de cero en Y , ya que contiene a δV que es entorno de
W ∩ Φ(S) = 0.
cero por serlo V . Obsérvese lo ganado al sustituir U por W : si tomamos ρ ∈ [0, 1] es claro que
ρW ⊆ W cosa que U podría no cumplir.
Terminamos ya la demostración probando que W ⊆ Φ(B). Dado y ∈ W , tomamos x ∈ KN
tal que y = Φ(x) y bastará probar que x ∈ B, es decir, kxk2 < 1. En efecto, si fuese kxk2 > 1,
tomando ρ = 1/kxk2 tendríamos 0 < ρ 6 1 y ρx ∈ S, luego ρy ∈ Φ(S) y ρy ∈
/ W , lo cual es una
contradicción, ya que y ∈ W y ρW ⊆ W .
¥
4.3.
Primeras consecuencias
Antes de empezar a obtener importantes consecuencias del teorema de Tihonov, merece
la pena hacer un comentario importante sobre su enunciado: por supuesto que el teorema nos
asegura que dos EVT separados de la misma dimensión finita son topológicamente isomorfos,
pero es que el teorema dice más: no sólo nos dice que existe un isomorfismo topológico entre
los dos espacios, sino que cualquier biyección lineal entre ellos es un isomorfismo topológico.
Expliquémoslo de una forma equivalente, que puede ser clarificadora. Fijado un espacio
vectorial X de dimensión N sobre K, para establecer una biyección lineal de X sobre KN basta
fijar una base (algebraica) de X y hacer corresponder a cada vector x ∈ X su N-upla de coordenadas en esa base, pero tenemos que fijar una base para poder hacerlo. Naturalmente, fijada
una base y establecida una biyección lineal Φ : X → KN , podemos “transportar” la topología
producto de KN a X decretando que un subconjunto A de X va a ser abierto cuando Φ(A) sea
abierto en KN . Con esa topología X se convierte desde luego en un EVT separado, pero su
topología parece depender de Φ, es decir, de la base que hemos fijado en X. Dos bases distintas dan lugar a dos biyecciones lineales distintas, digamos Φ1 y Φ2 , luego en principio a dos
topologías distintas, digamos T1 y T2 . Si el teorema sólo nos dijera que (X, T1 ) es topológicamente isomorfo a (X, T2 ) su contenido sería evidente, ya que es evidente que Φ−1
2 ◦ Φ1 es
un isomorfismo topológico entre esos dos espacios. No, el teorema nos asegura que la identidad en X es un homeomorfismo entre esos dos espacios, es decir, que las dos topologías son
iguales. En resumen un espacio vectorial de dimensión finita tiene una única topología que le
convierte en EVT separado y esa topología no depende, para nada, de la base que podamos
fijar en el espacio para verlo como KN . Las observaciones anteriores son esenciales para poder
deducir del Teorema de Tihonov el siguiente enunciado, que había sido probado previamente
por Hausdorff:
Corolario. Todas las normas en KN son equivalentes.
Como segunda consecuencia del Teorema de Tihonov podemos ahora reformular la observación que habíamos hecho antes de enunciarlo:
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Corolario. Toda aplicación lineal de un EVT separado de dimensión finita en cualquier
otro EVT es continua.
Obsérvese que el corolario anterior incluye el Teorema de Tihonov, ya que si Φ es cualquier
biyección lineal entre dos EVT separados de dimensión finita, el corolario nos asegura que Φ
y Φ−1 son continuas. En Análisis Funcional, los espacios de dimensión finita suelen aparecer
como subespacios de espacios de dimensión infinita. En esa situación, el Teorema de Tihonov
nos da la siguiente información:
Corolario. Todo subespacio de dimensión finita de un EVT separado es cerrado.
En efecto, sea M un subespacio de dimensión finita de un EVT separado X, supongamos que
M no es cerrado en X y sea x0 ∈ M \ M. Tomando Y = M + Kx0 es claro que Y sigue teniendo
dimensión finita y definiendo f (m + λx0 ) = λ, para cualesquiera m ∈ M y λ ∈ K, obtenemos
un funcional lineal en Y con núcleo M. Puesto que Y es separado (por serlo X), el corolario
anterior nos asegura que f es continuo, luego M es cerrado en Y , es decir, M ∩Y = M. Esto es
una contradicción, ya que x0 ∈ M ∩Y pero x0 ∈
/ M.
4.4.
Cociente de EVT
Para obtener nuevas consecuencias interesantes del Teorema de Tihonov, necesitamos la
factorización de un operador lineal, pasando a cociente por su núcleo, por lo que es necesario
dotar a dicho cociente de una topología adecuada, y eso es lo que vamos a hacer ahora.
Sea X un EVT, M un subespacio de X, consideremos el espacio vectorial cociente X/M
y la aplicación cociente π : X → X/M, lineal y sobreyectiva:
X/M = {x + M : x ∈ X} ;
π(x) = x + M
(x ∈ X).
Es fácil comprobar que la familia T, de todos los subconjuntos G ⊆ X/M tales que π−1 (G)
es abierto en X, es una topología en X/M, a la que llamaremos topología cociente. También se
comprueba sin dificultad que X/M con la topología cociente es un EVT, el EVT cociente de X
por M.
Es evidente que, dando a X/M la topología cociente, π es continua. Además, si Ω es
cualquier espacio topológico, una función f : X/M → Ω es continua si, y sólo si f ◦π : X → Ω
es continua. Resaltamos que Ω no tiene por qué ser un espacio vectorial y, aunque lo sea, f no
tiene por qué ser lineal. La aplicación cociente π también es abierta. En efecto, si A ⊆ X, es
claro que
[
π−1 [π(A)] = A + M =
A+m ;
m∈M
como las traslaciones en X son homeomorfismos, si A es abierto en X, también lo es A + m para
cada m ∈ M, luego π−1 [π(A)] es abierto en X y π(A) es abierto en X/M. Es casi evidente que
la topología cociente es la máxima topología en X/M que hace que π sea continua y la mínima
que hace que π sea abierta; por tanto, la topología cociente es la única topología en un espacio
vectorial cociente que hace que la aplicación cociente sea simultáneamente continua y abierta.
Observemos también que un subconjunto F ⊆ X/M es cerrado si, y sólo si, π−1 (F) es
cerrado en X. Como X/M es separado cuando {0} es cerrado en X/M, deducimos que el EVT
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cociente X/M es separado si, y sólo si, M es cerrado en X. Por tanto, puede ocurrir que X/M
sea separado sin que lo sea X y viceversa. Ejemplos sencillos muestran que π no tiene por qué
ser cerrada: tomando X = R2 , M = R × {0} y C = {(x, y) ∈ R2 : xy = 1}, es claro que C es
cerrado en X, pero π(C) no es cerrado en X/M.
Nos interesa especialmente el caso en que X es un espacio normado; es lógico buscar una
norma en X/M que genere la topología cociente. Para ello M deberá ser cerrado, pues en otro
caso X/M no sería separado y un espacio normado siempre es separado. Pues bien, dado un
subespacio cerrado M de un espacio normado X comprobamos fácilmente que definiendo:
kx + Mk = ı́nf{kx + mk : m ∈ M} = d(x, M)
(x + M ∈ X/M),
obtenemos una norma en X/M que recibe el nombre de norma cociente. Para comprobar que
la topología asociada es la topología cociente basta observar que la aplicación cociente π también es continua y abierta cuando consideramos en X/M la norma cociente. De la desigualdad
kπ(x)k 6 kxk, válida para cualquier x ∈ X, deducimos que π es un operador lineal continuo
con kπk 6 1 . Además, es fácil ver que la imagen por π de la bola unidad abierta de X es la
bola unidad abierta de X/M, de donde deducimos claramente que π es abierta y, de paso, que
kπk = 1.
Finalmente, usando la caracterización de la complitud en términos de series, es fácil comprobar que el cociente de un espacio de Banach por un subespacio cerrado es un espacio de
Banach con la norma cociente.
4.5.
Sumas topológico-directas
Estrechamente ligada a la noción de espacio vectorial cociente está la descomposición de
un espacio vectorial como suma directa de dos subespacios. Vamos a refrescar esa relación y a
darle contenido topológico.
Dado un subespacio Y de un espacio vectorial X, siempre existe otro subespacio Z de X
tal que Y + Z = X, Y ∩ Z = {0}. En efecto, dada una base algebraica A del subespacio Y , A
es un conjunto de vectores linealmente independientes en X, que estará contenido en una base
algebraica B, con lo que basta tomar como Z el subespacio engendrado por B \ A. Decimos que
X es suma directa algebraica de Y con Z, escribimos X = Y ⊕ Z y decimos también que Z es
un complemento algebraico de Y en X.
La noción de suma directa algebraica nos indica la forma “correcta” de descomponer un
espacio vectorial: recuperamos la estructura de espacio vectorial de X a partir de las inducidas
en sus dos subespacios, ya que X resulta ser isomorfo al espacio vectorial producto Y × Z. Más
concretamente, definiendo ϕ(y, z) = y + z tenemos una biyección lineal ϕ : Y × Z → X.
Al echar un vistazo a la inversa de ϕ, observamos que los complementos algebraicos de
Y en X están en correspondencia biunívoca con las proyecciones lineales en X con imagen Y .
Más concretamente, una proyección lineal en X es un operador lineal P de X en sí mismo que
verifica P ◦ P = P, o si se quiere, P2 = P. Concretamos ahora esa correspondencia:
Si P es una proyección lineal en X, es inmediato que X = P(X) ⊕ ker P. Recíprocamente,
si X = Y ⊕ Z, cada vector x ∈ X se expresa de manera única como suma de un vector de Y , que
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podemos llamar P(x), con un vector de Z, que obviamente no podrá ser otra cosa que x − P(x);
de nuevo es inmediato que P es una proyección lineal en X, que claramente verifica P(X) = Y ,
ker P = Z. Para la biyección lineal ϕ : Y × Z → X, que habíamos comentado anteriormente, es
claro que ϕ−1 (x) = (P(x), x − P(x)), para todo x ∈ X.
La misma forma en que hemos visto que un subespacio Y siempre admite un complemento
algebraico Z, muestra que Z está lejos de ser único (salvo casos triviales Y = X, Y = {0}). Sin
embargo, si consideramos la aplicación cociente π : X → X/Y , es inmediato que su restricción
a Z, llamémosla ψ, es una biyección lineal de Z sobre el cociente X/Y . Así pues, todos los
complementos algebraicos de Y en X son isomorfos al espacio vectorial cociente X/Y , que se
convierte en una especie de “complemento canónico”, pues no usamos ninguna base algebraica
en X o en Y para construir X/Y ; cualquier descomposición de X como suma directa algebraica
de Y con otro subespacio nos lleva simplemente a observar que X es isomorfo a Y × X/Y .
Pues bien, ya está todo preparado para poner topología y veremos que la situación se complica (o se enriquece, según se mire):
Sea X un EVT, Y un subespacio vectorial de X y Z cualquier complemento algebraico de Y
en X. Queremos saber si tenemos una descomposición correcta de X como EVT y no sólo como
espacio vectorial. Para ello deberíamos recuperar la topología de X a partir de las inducidas
en Y y en Z. Lo lógico es dotar a Y × Z con la topología producto, que lo convierte, esto se
comprueba sin dificultad, en un EVT. La pregunta es si al identificar Y × Z con X, la topología
producto en Y × Z nos devuelve la topología de partida en X. Equivalentemente, queremos saber
si definiendo otra vez ϕ(y, z) = y + z obtenemos un isomorfismo topológico de Y × Z (con la
topología producto) sobre X (con la topología de partida).
La cosa no empieza mal, porque ϕ es continua, por ser la restricción a Y × Z de la operación
suma, que era continua en X × X, por ser X un EVT. El problema se concentra pues en la
continuidad de ϕ−1 y aquí la cosa se complica; ϕ−1 será continua cuando lo sean sus dos
componentes: la primera es la proyección lineal P de X sobre Y , con núcleo Z; la otra es I − P
donde I denota la identidad en X. Evidentemente, P será continua si, y sólo si, lo es I − P, pero
recordando la forma en que construíamos el complemento algebraico Z, o equivalentemente la
proyección lineal P, no está nada claro que P tenga que ser continua.
Sin embargo, continuemos nuestra discusión. Sabemos que Z es isomorfo, como espacio
vectorial, al cociente X/Y , concretamente tenemos una biyección lineal ψ : Z → X/Y que no
es más que la restricción a Z de la aplicación cociente π : X → X/Y . Es lógico pedir que ψ sea
también un isomorfismo topológico, de forma que Z sea topológicamente isomorfo a X/Y . De
nuevo es claro que ψ es continua, por serlo π ; pero observamos que ψ−1 (x +Y ) = x − P(x) para
cualquier clase de equivalencia x +Y ∈ X/Y , y la caracterización de la continuidad de funciones
que parten de un cociente, vista en el apartado anterior, nos dice que ψ−1 es continua si, y sólo
si, lo es I − P, o equivalentemente P.
Podemos ya recapitular toda la discusión anterior: Sea X un EVT, Y un subespacio de X y Z
un complemento algebraico de Y en X. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
La biyección lineal ϕ : Y × Z → X, definida por ϕ(y, z) = y + z para todo (y, z) ∈ Y × Z,
es un isomorfismo topológico (considerando en Y × Z la topología producto y en X la
topología de partida).
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La única proyección lineal P en X que verifica P(X) = Y y ker P = Z es continua
La biyección lineal ψ : Z → X/Y , definida por ψ(z) = z + Y para todo z ∈ Z, es un
isomorfismo topológico.
Cuando se verifica una cualquiera de la condiciones anteriores (y por tanto todas), decimos
que el EVT X es suma topológico-directa de Y con Z y también que Z es un complemento
topológico de Y en X. Es el momento de dar un ejemplo de suma directa algebraica que no es
una suma topológico-directa: supongamos que X es separado (por ejemplo, cualquier espacio
normado), sea Z un subespacio de X que no sea cerrado (conocemos ejemplos de sobra); si Y
es cualquier complemento algebraico de Z en X, la proyección lineal de X sobre Y con núcleo
Z nunca podrá ser continua, porque su núcleo no es cerrado. Así pues, si un EVT separado X
es suma topológico-directa de dos subespacios Y y Z, entonces Y y Z son cerrados en X. Más
adelante veremos que el recíproco también es cierto en condiciones no demasiado restrictivas.
Finalmente, decimos que un subespacio Y de un EVT X está complementado en X cuando
existe un complemento topológico de Y en X, o equivalentemente, cuando existe una proyección
lineal continua P en X tal que P(X) = Y . Obsérvese que en un EVT separado, cualquier subespacio complementado ha de ser cerrado, pero aún siendo nuestro subespacio cerrado, nadie nos
garantiza que tenga un complemento algebraico cerrado, condición obviamente necesaria para
ser un complemento topológico. No es demasiado difícil probar, pero tampoco es nada fácil,
que c0 no está complementado en l∞ . De hecho, la inmensa mayoría de los espacios de Banach
de dimensión infinita contienen subespacios cerrados que no están complementados.
Para concluir este apartado con una visión positiva, resaltamos que si X es un EVT que tiene
un subespacio complementado Y , todos los complementos topológicos de Y en X son topológicamente isomorfos al EVT cociente X/Y , así que, X/Y hace el papel de modelo “canónico” de
complemento topológico de Y en X, cualquier descomposición de X como suma topológicodirecta de Y con otro subespacio acaba llevándonos a observar que X es topológicamente isomorfo al producto Y × X/Y . Cuando Y no está complementado, siempre le podemos pedir a
X/Y que sustituya a ese complemento topológico que nos gustaría tener pero no tenemos. La
abundancia de subespacios no complementados hace que el paso a cociente resulte más útil,
más necesario para EVT que para simples espacios vectoriales.
4.6.
Nuevas consecuencias del Teorema de Tihonov
Tras el paréntesis que hemos tenido que hacer para disponer del cociente de EVT y de
las sumas topológico-directas, podemos ahora sacar más provecho al Teorema de Tihonov.
Recordemos que una aplicación lineal que parte de un EVT separado de dimensión finita siempre es continua. Cabe ahora preguntarse lo que ocurre cuando es el espacio de llegada el que
tiene dimensión finita. La respuesta la da el siguiente enunciado:
Corolario. Sea X un EVT arbitrario y f una aplicación lineal de X en un EVT separado de
dimensión finita Y . Entonces:
(a) f es continua si, y sólo si ker f es cerrado en X.
(b) f es abierta si, y sólo si, f (X) = Y .
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Demostración. Es fácil, usando la factorización canónica de la aplicación lineal f . Considerando el EVT cociente X/ker f , y llamando, como siempre, π a la aplicación cociente, hay
una única aplicación lineal f˜ : X/ker f → Y tal que f˜ ◦ π = f . Es claro que f˜ es inyectiva, luego
X/ker f tiene dimensión finita.
(a) Si f es continua, ker f = f −1 ({0}) es cerrado en X ya que {0} es cerrado en Y por ser
Y separado. Recíprocamente, si ker f es cerrado, X/ker f es separado y f˜ es continua (porque
parte de un EVT separado de dimensión finita), luego f es continua por ser una composición
de funciones continuas. Obsérvese que en esta última implicación (la más útil) no es necesario
que Y sea separado: cualquier aplicación lineal entre EVT que tenga núcleo cerrado e imagen
de dimensión finita es continua.
(b) Si f es sobreyectiva, entonces f˜ es biyectiva y f˜−1 es continua (de nuevo porque parte
de un EVT separado de dimensión finita) luego f˜ es abierta y f es abierta como composición de
aplicaciones abiertas. El recíproco se debe a un hecho general, fácil de comprobar y que merece
destacarse: En cualquier EVT un subespacio propio (que no sea el total) siempre tiene interior
vacío.
¥
Merece la pena comentar que la afirmación (a) del corolario anterior incluye como caso
particular (tomando Y = K) algo que ya sabíamos: un funcional lineal en un EVT es continuo
si, y sólo si, su núcleo es cerrado.
Con respecto a subespacios complementados, el Teorema de Tihonov nos da la siguiente
información:
Corolario. Si X es un EVT e Y es un subespacio cerrado de X, de codimensión finita (es
decir, X/Y tiene dimensión finita), entonces Y está complementado en X. De hecho, todo complemento algebraico de Y en X es un complemento topológico.
En efecto, si Z es cualquier complemento algebraico de Y en X, la proyección lineal de X
sobre Z con núcleo Y es continua, porque tiene núcleo cerrado e imagen de dimensión finita.
4.7.
Algunos contraejemplos en dimensión infinita
Vamos a presentar algunos ejemplos para mostrar que las hipótesis de dimensión finita en
el Teorema de Tihonov y sus consecuencias son imprescindibles. Empezamos con el hecho de
que en KN todas las normas son equivalentes. Eso sólo ocurre en espacios de dimensión finita:
En cualquier espacio vectorial de dimensión infinita siempre hay dos normas que no son
equivalentes.
En efecto, dado un espacio vectorial X de dimensión infinita, podemos fijar una base algebraica E, expresar cada vector x ∈ X (de manera única) como combinación lineal de elementos
N
de E, digamos x =
vectores de la base
∑
αk xk donde el número natural N, los escalares α1 , α2 , . . . , αN y los
k=1
x1 , x2 , . . . , xN , dependen de x, pero están determinados por x. Si definimos:
N
kxk1 =
∑ |αk | ;
k=1
kxk∞ = máx{|αk | : k = 1, 2, . . . , N},
4. Espacios de dimensión finita
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y hacemos todo esto para cada x ∈ X, obtenemos dos normas en X. Es claro que k · k∞ 6 k · k1 ,
pero mirando solamente a los vectores de la base, la suma de n de ellos tiene norma 1 según
k · k∞ y norma n según k · k1 , luego una desigualdad del tipo k · k1 6 Mk · k∞ , para alguna
constante M > 0, implicaría que el número de elementos de la base E no puede exceder de M,
contra la hipótesis de que X tiene dimensión infinita. Así pues, las dos normas definidas no
son equivalentes, las topologías que generan son comparables pero distintas. Obsérvese que en
realidad lo que estamos haciendo es ver X como K(Λ) , para un conjunto infinito Λ, y restringir
a él las normas de l1Λ y l∞Λ , que sabíamos no eran equivalentes en K(Λ) porque daban lugar a
completaciones diferentes.
Respecto a la continuidad de las aplicaciones lineales que parten de un EVT separado de
dimensión finita tenemos:
Todo espacio normado de dimensión infinita admite un funcional lineal discontinuo.
En efecto, dada una base E de un espacio normado de dimensión infinita X, como E es
un conjunto infinito, contendrá un subconjunto infinito numerable {en : n ∈ N} . Para definir
un funcional lineal f en X basta decidir los valores de f en E y podemos hacerlo con entera
libertad, así que podemos tomar f (en ) = nken k y, por ejemplo, f (e) = 0 para cualquier e ∈ E
que no esté en la sucesión {en }. Es obvio que el único funcional lineal f que cumple esas
condiciones no está acotado en la esfera unidad de X, luego no es continuo.
Usando el funcional del ejemplo anterior conseguimos otro ejemplo instructivo. En efecto,
fijamos un u ∈ X tal que f (u) = 1 y definimos T (x) = x − 2 f (x)u para todo x ∈ X. Es inmediato
que T es una biyección lineal de X sobre sí mismo tal que T no es continua y T −1 tampoco. De
hecho T −1 = T y es claro que, si T fuese continua, también lo sería f . Esta biyección lineal
T tiene clara interpretación geométrica: viendo X como suma directa ¡algebraica! del núcleo de
f con Ku, cuando escribimos un vector x ∈ X en la forma x = y + λu, con y ∈ ker f y λ ∈ K,
tenemos claramente que T (x) = y − λu, así que T se interpreta como la simetría con respecto al
hiperplano ker f , claro que es difícil imaginarse esta simetría, ya que dicho hiperplano es denso
en X. En cualquier caso, hemos comprobado lo siguiente:
En todo espacio normado de dimensión infinita existe una biyección lineal discontinua.
La biyección T del ejemplo anterior nos permite definir en X otra norma que no es equivalente a la norma de partida, basta tomar:
kxkT = kT xk
(x ∈ X).
Obsérvese que, viendo T como un operador de X con la norma k · kT en X con la norma de
partida, T es un isomorfismo isométrico, mientras que con la norma de partida en ambos lados
no era siquiera continuo, así que desde luego ambas normas no son equivalentes. Pero tenemos
aquí una situación que merece la pena resaltar: dadas dos normas en un mismo espacio vectorial
X, puede ocurrir que X con una de ellas sea topológicamente isomorfo, incluso isométricamente
isomorfo, a X con la otra, pero eso no implica que las normas sean equivalentes, las topologías
asociadas pueden no ser siquiera comparables. Probablemente se comprende ahora mejor cuánta
diferencia había en el Teorema de Tihonov entre decir que dos EVT separados de la misma
dimensión finita son topológicamente isomorfos, y decir que toda biyección lineal entre ellos
es un isomorfismo topológico.
4. Espacios de dimensión finita
4.8.
41
El Teorema de Riesz
El segundo resultado fundamental de este tema asegura que, prescindiendo de la estructura
de espacio vectorial, la topología de un espacio normado es capaz por sí sola de decirnos si
el espacio tiene o no dimensión finita. Establece por tanto la equivalencia entre una propiedad
puramente topológica y una propiedad puramente algebraica.
Es bien sabido que en cualquier espacio métrico un subconjunto compacto ha de ser cerrado y acotado. En un espacio normado de dimensión finita, es decir, en K N con cualquier
norma, el Teorema de Heine-Borel-Lebesgue nos asegura que el recíproco también es cierto,
todo subconjunto cerrado y acotado de KN es compacto. En particular la bola cerrada unidad de
cualquier espacio normado de dimensión finita es compacta y, por tanto, toda bola cerrada es
compacta, luego todo punto tiene un entorno compacto, es decir, el espacio es localmente compacto. Recíprocamente, si cada punto tiene un entorno compacto es claro que las bolas cerradas
serán compactas, de donde deducimos que cualquier conjunto cerrado y acotado es compacto.
Pues bien, cualquiera de las propiedades comentadas caracteriza a los espacios normados de
dimensión finita:
Teorema (F. Riesz, 1918). Para un espacio normado X, la siguientes afirmaciones son
equivalentes:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Todo subconjunto cerrado y acotado de X es compacto
La bola cerrada unidad de X es compacta
X es localmente compacto
X tiene dimensión finita.
Demostración. Ya se ha comentado la equivalencia entre las tres primeras afirmaciones y
que la cuarta implica cualquiera de ellas, luego basta probar, por ejemplo, que (ii) ⇒ (iv).
Sea pues B la bola cerrada unidad de X, supongamos que B es compacta y sea 0 < ρ < 1.
Las bolas abiertas centradas en puntos de B y con radio ρ forman un recubrimiento de B por
abiertos, del cual se podrá extraer un subrecubrimiento finito. Deducimos que existe un conjunto
finito F ⊆ B tal que B ⊆ F + ρB. Llamando M al subespacio engendrado por F, es claro que M
tiene dimensión finita y verifica:
B ⊆ M + ρ B.
(∗)
La demostración se concluirá probando que X = M. Para ello empezamos por iterar la inclusión
anterior:
B ⊆ M + ρB ⊆ M + ρ(M + ρB) = M + ρM + ρ2 B ⊆ M + ρ2 B,
de donde deducimos claramente, por inducción sobre n, que
B ⊆ M + ρn B,
para todo n ∈ N. Dado x ∈ B, la inclusión anterior nos dice que d(x, M) 6 ρn para todo n ∈ N,
luego d(x, M) = 0 y x está en el cierre de M. Así pues, B ⊆ M, pero M es cerrado en X, por ser
un subespacio de dimensión finita de un EVT separado, luego B ⊆ M y esto implica claramente
¥
que X = M, como se quería.
Merece la pena resaltar la última parte de la demostración anterior, pues el hecho de que
M tiene dimensión finita sólo se ha usado para asegurarnos de que M es cerrado en X. Dicho
4. Espacios de dimensión finita
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de otra forma, si suponemos que un subespacio cerrado M de X verifica la inclusión (∗), deducimos igualmente que M = X. Enunciada por el contra-recíproco, esta afirmación se conoce
como Lema clásico de Riesz: dado un un espacio normado X, un subespacio cerrado propio M
(M = M 6= X) y 0 < ρ < 1, existe x ∈ X tal que kxk = 1 y d(x, M) > ρ. Cuando M tiene dimensión finita, un sencillo argumento de compacidad permite conseguir incluso kxk = 1 = d(x, M).
Esta observación permite poner de manifiesto cuán lejos está de ser compacta la bola cerrada
unidad B de un espacio normado de dimensión infinita X: existe una sucesión {xn } en B tal
que kxn − xm k > 1 para cualesquiera n, m ∈ N con n 6= m; cualquier sucesión parcial de {xn }
verifica la misma condición, luego está muy lejos de ser convergente. En espacios concretos se
puede encontrar sucesiones cuyos términos estén aún más separados unos de otros. Por ejemplo, la sucesión {en } de los vectores unidad en l p , con 1 6 p < ∞, verifica evidentemente que
ken − em k p = 21/p para n 6= m; el caso extremo se presenta para p = 1.
A la vista de las consideraciones anteriores, es claro que en un espacio normado X de dimensión infinita no es fácil encontrar subconjuntos compactos. De hecho el Teorema de Riesz
nos asegura que un subconjunto compacto de X ha de tener interior vacío. Los conjuntos compactos más sencillos que podemos encontrar son, naturalmente, los subconjuntos cerrados y
acotados de cualquier subespacio de dimensión finita. Cabe preguntarse si, recíprocamente, todo subconjunto compacto ha de estar contenido en un subespacio de dimensión finita. Enseguida
observamos que esto no es cierto, más concretamente, existen conjuntos compactos que contienen infinitos vectores linealmente independientes. En efecto, en X tenemos evidentemente
una sucesión {xn } formada por vectores linealmente independientes; podemos tomar entonces
K =
© xn
ª
: n ∈ N ∪ {0}.
nkxn k
Se comprueba sin dificultad que K es un subconjunto compacto de X que, evidentemente, no
está contenido en ningún subespacio de dimensión finita. Obsérvese que, si X es separable,
podemos tomar la sucesión {xn } de forma que sea una base algebraica de un subespacio denso
en X y concluimos que X = Lin(K), es decir, K no estará contenido en ningún subespacio
cerrado propio de X.
En otro orden de ideas, podemos preguntarnos por una versión del Teorema de Riesz para
EVT generales. Para formular la primera afirmación del teorema necesitaríamos una noción de
acotación en EVT generales que no vamos a presentar y, aunque lo hiciéramos, esa primera afirmación dejaría de ser equivalente a las demás. Sin embargo, las otras tres afirmaciones siguen
siendo equivalentes, reformulando una de ellas de la manera que cabría esperar:
Teorema (de Riesz generalizado). Para un EVT separado X, las siguientes afirmaciones
son equivalentes:
(i) Existe en X un entorno de cero compacto
(ii) X es localmente compacto
(iii) X tiene dimensión finita.
La demostración de este resultado puede ser un buen ejercicio para concluir este tema.