De una partida de billar al martirio de Boltzmann

mostrando a Boltzman durante una clase.
Caricatura de Ludwing Boltzman hecha por K. Przibram,
De una partida de billar al martirio de Boltzmann
Ricardo Pérez
Una partida de billar
Se encontraba el campeón mundial de billar en algún lugar perdido del mundo,
bebía cerveza y taco en mano sin perder estilo hacía jugadas que parecían de
fantasía. De pronto entró un hombre vistiendo un saco negro hasta las rodillas
ajustado al torso que se hacía más amplio de la cintura para abajo, las mangas
eran anchas con ribete en los extremos. Debajo del saco llevaba un chaleco negro y
una camisa sin cuello con una gorguera blanca de finos encajes. Sus pantaloncillos
Qué es un gas para un físico, el martirio de Boltzmann / CIENCIORAMA 1
negros llegaban un poco por debajo de las rodillas y usaba medias blancas. Calzaba
zapatos oscuros de tacón con hebilla y punta cuadrada. Casi nadie le prestó
atención pues la luz del lugar alumbraba en mayor parte la mesa de billar. Aquel
hombre de peluca rizada y blanca hasta los hombros, pidió un gin tonic. Observó al
campeón por algún momento y dirigió sus pasos hacia él, hubo un diálogo tenso
entre ambos y finalmente el hombre dijo: “soy Sir Isaac Newton, mejor conocido
como el padre de la mecánica clásica y sé más acerca de este juego que usted
cree dominar”.
Hay que saber pegarle a la bola
En el billar tenemos 15 bolas extremadamente duras sobre una mesa cuadrangular.
El juego consiste en impactar la bola blanca con el taco y dirigirla contra las demás
para meterlas en las buchacas. Quien se jacte de jugar muy bien debe saber
golpear la bola de cierto modo para conseguir efectos en su trayectoria; pero estos
golpes calculados y aprendidos a base de experiencia, se pueden anticipar utilizando
las leyes de la mecánica.
Si un día un físico lo reta a jugar billar, será mejor que tome en cuenta que
al golpear la bola blanca con el taco, la ponemos en movimiento con cierta
velocidad y además sabemos que la bola tiene masa. Con estas dos cualidades se
define una propiedad que sirve para describir el movimiento de los cuerpos, nos
referimos al momento lineal, que es el producto de la velocidad de un cuerpo por
su masa (mv). El momento se transfiere al haber una colisión, si una bola impacta a
otra en reposo sobre la mesa, habrá transferencia de momento, y de este modo la
bola en reposo comenzará a moverse. El momento es una cantidad que se debe
mantener constante. En la colisión frontal entre dos bolas, la que impacta perderá
velocidad y la otra en reposo ganará tanto como pierda la primera; por tanto el
Qué es un gas para un físico, el martirio de Boltzmann / CIENCIORAMA 2
momento al final de la colisión entre las dos bolas se mantendrá constante. Al igual
que el momento, la energía debe mantenerse constante.
Conservación de momento en el choque de dos bolas de billar.
La energía de un sistema mecánico tiene dos componentes: por un lado está la
energía cinética relacionada directamente con la velocidad de un cuerpo, y por otro
la energía potencial; un ejemplo de ésta lo encontramos cuando subimos un objeto
a cierta altura; debemos vencer la fuerza de gravedad que actúa sobre él y
aumenta la energía potencial del sistema Tierra-objeto. Al soltar el objeto cae
acelerándose por acción de la fuerza de gravedad terrestre. La energía cinética
aumenta y la potencial disminuye con la altura, de modo que la energía total es
constante. Este principio lo vemos en una montaña rusa, al subir se adquiere
energía potencial y al bajar el carro comienza a acelerarse aumentando su velocidad
y con esto su energía cinética; pero la energía potencial disminuye.
Qué es un gas para un físico, el martirio de Boltzmann / CIENCIORAMA 3
Esferas de Newton. Dispositivo con el que se muestra la conservación de momento y de la energía.
Cuando una bola en los extremos se levanta, al caer choca con la esfera contigua en reposo; se
transmite entonces una fuerza a través de las esferas estacionarias y la esfera del extremo opuesto
se eleva. Cuando esta esfera cae se repite el proceso de forma inversa y así sucesivamente (imagen
wikipedia)
Billar con 6x10²³ bolas
El juego de billar sirvió para entender los gases de forma sencilla. Imaginemos una
mesa de billar con muchas bolas chocando unas con otras y rebotando en las
bandas. Si en vez de tenerlas en una mesa las tuviéramos en una caja donde no
existiera la fuerza de gravedad, las veríamos chocando sin parar. Podemos
imaginar
así a los átomos y moléculas del gas, como esferas duras moviéndose libremente.
La existencia de los átomos la propuso Leucipo de Mileto en el año 450 A.C.,
ya entonces se intentaba dilucidar la composición de la materia; casi 2000 años
después, en 1803, esta idea fue retomada por Dalton. El paso del atomismo como
especulación filosófica a una teoría física comprobable experimentalmente fue un
largo proceso, y el desarrollo tanto teórico como experimental sobre la teoría de los
Qué es un gas para un físico, el martirio de Boltzmann / CIENCIORAMA 4
gases fue dando pistas para demostrar
la existencia de los átomos.
El primer concepto que permitió un acercamiento experimental a los gases fue
la presión. Galileo registró el efecto de la presión atmosférica en 1638 al operar
una bomba de agua, ésta no puede impulsar el líquido a través de una tubería por
más de 10.5 metros. En 1643, Evangelista Torricelli realizó el mismo experimento,
pero en lugar de agua empleó mercurio, un elemento aproximadamente 14 veces
más denso que el agua, y encontró que la altura necesaria de la columna de
mercurio necesaria para equilibrar el peso del aire era de 760 mm. Éste fue
probablemente el primer instrumento para medir la presión atmosférica.
Barómetro de mercurio. Para realizar este experimento se llena un tubo de ensayo, largo, con
mercurio. Luego se voltea en una caja de petri y la altura del mercurio alcanzará los 760 mm.
Ya se tenían observaciones fenomenológicas acerca de la presión, pero fue Robert
Boyle quien obtuvo la primera relación matemática entre la presión y el volumen
ocupado por un gas: a temperatura ambiente, el producto de la presión (P) que
ejerce
un
gas
por
el
volumen
(V)
que
ocupa,
es
una
cantidad
constante
Qué es un gas para un físico, el martirio de Boltzmann / CIENCIORAMA 5
(PV=constante). Ésta es la ecuación de estado de un gas ideal a una temperatura
fija. La ecuación de estado describe el estado termodinámico de un sistema (por
ejemplo un gas) dado por los valores de la presión, el volumen y la temperatura.
Ahora se sabe que la constante hallada por Boyle es NkT, donde
N es el número
de Avogadro (N=6x10²³), k la constante de Boltzmann y T la temperatura del gas.
Newton en los Principia, publicados en 1687, propuso que los gases estaban
compuestos por átomos, y supuso una fuerza repulsiva entre ellos para explicar la
relación obtenida por Boyle. En su hipótesis imaginó a los átomos como pequeños
resortes en contacto unos con otros, por lo que el gas se resistía a ser
comprimido, tal como lo haría un resorte de metal. Años después, en 1738, Daniel
Bernoulli supuso que los gases estaban formados por esferas duras como bolas de
billar,
pero
su
idea
fue
tomada
como
una
sobresimplificación
y
pasaron
aproximadamente 100 años para que este modelo fuera retomado, para esto fue
necesaria la caída de la “teoría del calórico”, con la que se explicaba en esos
tiempos el calor en los cuerpos.
Esquema del modelo de Newton, quién pensaba a los gases formados por átomos que se repelían
como resortes cuando se comprimía el gas.
Qué es un gas para un físico, el martirio de Boltzmann / CIENCIORAMA 6
La termodinámica entra en escena
Se asumía al calórico como una especie de fluido compuesto de partículas que se
repelían entre sí y eran atraídas por la materia ordinaria, capaz de difundirse en sus
intersticios. Su densidad aumentaba con la temperatura y como resultado, los
cuerpos se expandían. Por otro lado, si un cuerpo era comprimido, el calórico salía
por la superficie en forma de calor volátil o vapor. Esta teoría debió desecharse
para dar paso a la teoría cinética de los gases. Hoy en día se sabe que el calor es
una forma de energía en vez de una sustancia como el calórico. En el siglo XIX,
hubo varias aportaciones importantes en el conocimiento del comportamiento de los
gases y sobre el calor; por los años de 1840, gracias a Mayer, Joule y Helmholtz,
se desarrolló el principio general de la conservación de energía, y a comienzos de
1850 Clausius, Thomson y Rankine lograron formular las leyes de la termodinámica.
Sin embargo se mueven
Después de haber sido olvidada por muchos años, la teoría cinética volvió a ser de
interés gracias a Karl Kröning. En 1856 Kröning consideró nuevamente a los átomos
como esferas duras, todos con la misma velocidad, lo cual no es muy realista en
términos físicos, pero bajo esta suposición pudo establecer en términos matemáticos
la relación entre presión, volumen y temperatura para un gas ideal —a esta relación
se le conoce como ecuación de estado—.
Al imaginar al gas formado por esferas
duras, donde todas las partículas chocan entre sí y con las paredes del contenedor,
sus velocidades tienden a tornarse aleatorias; es decir que cada partícula tiene una
velocidad arbitraria. El número de partículas dentro del gas es del orden de 6x10²³
(número de Avogadro) y si quisiéramos conocer la velocidad exacta de cada una de
las partículas tendríamos demasiada información y sería extremadamente difícil
manejarla; por esta razón es más fácil pensar que cada valor posible de la
Qué es un gas para un físico, el martirio de Boltzmann / CIENCIORAMA 7
velocidad tiene una cierta probabilidad de aparecer en el conjunto de partículas,
como si fuera una lotería.
Átomos en un gas considerados como esferas duras dentro de una caja.
De cómo nació la mecánica estadística
No todas las velocidades poseen la misma probabilidad de presentarse en el
conjunto de partículas dentro del gas. Sería, por ejemplo, imposible encontrar alguna
con velocidad cero, por lo que su probabilidad sería nula. Por otro lado, la
probabilidad para velocidades muy grandes disminuye rápidamente. James Clerk
Maxwell propuso una distribución para la probabilidad de las partículas según su
velocidad —distribución de velocidades de Maxwell—. El trabajo de Maxwell,
junto
con el de Boltzmann, ayudó a establecer lo que ahora se conoce como mecánica
estadística.
Qué es un gas para un físico, el martirio de Boltzmann / CIENCIORAMA 8
Distribución de velocidades de Maxwell para un gas de hidrógeno a diferentes temperaturas. P(v) es la
probabilidad de encontrar una partícula con velocidad v. La velocidad esta dada en m/s.
El fin de la visión mecanicista del mundo
En 1866 Boltzmann comenzó a estudiar la relación entre la mecánica clásica y la
segunda ley de la termodinámica. La segunda ley establece el hecho de que un
sistema termodinámico tiende a ir a algún estado de equilibrio. El equilibrio
termodinámico en un gas se alcanza cuando las cantidades termodinámicas como la
presión, el volumen y la temperatura se mantienen constantes después de un
tiempo. Más aún, esta ley establece que el proceso nunca se invierte. Por ejemplo,
en un gas que se expande libremente dentro de una habitación, nunca veremos que
después de algún tiempo se vuelva a concentrar en una esquina de forma
espontánea,
para
ello
deberíamos
realizar
trabajo
(ver
en
Cienciorama
“La
termodinámica del bolillo”). La entropía es una cantidad que caracteriza esta
tendencia y depende del volumen, de la temperatura y además del número de
partículas en el gas.
Qué es un gas para un físico, el martirio de Boltzmann / CIENCIORAMA 9
La entropía se entiende como una medida del desorden en un sistema. En el
ejemplo del gas, cuando está concentrado ocupa menos volumen y podemos pensar
que este estado es más ordenado. Al expandirse, las moléculas tienen más espacio
para desplazarse y podemos encontrar muchas configuraciones diferentes del gas
que resulten en un mismo estado macroscópico del sistema —las configuraciones
dependen de las posiciones y velocidades de las partículas—. Así, la entropía tiende
a aumentar de forma natural con el desorden del sistema y el proceso se detendrá
cuando el valor de la entropía sea el mayor posible en el sistema completo.
Ejemplificación de la entropía en un gas dentro de un contenedor, al expandirse ocupa todo el
volumen y el desorden aumenta.
El logro de Boltzmann radicó en establecer el puente entre los fenómenos
macroscópicos y el mundo microscópico, con la relación que obtuvo entre la
entropía y las configuraciones posibles de las partículas de, por ejemplo un gas. Los
Qué es un gas para un físico, el martirio de Boltzmann / CIENCIORAMA 10
métodos desarrollados por Boltzman se convirtieron en una herramienta fundamental
en el desarrollo de la mecánica cuántica; Planck hizo uso de estos métodos
estadísticos al estudiar el problema de la radiación de un cuerpo en función de su
temperatura (radiación de cuerpo negro) y estos mismos métodos se usaron para
interpretar el movimiento browniano, fenómeno descubierto por el biólogo Robert
Brown en 1827. Brown observó que al tener partículas de polen en una solución con
agua, éstas se movían aleatoriamente. Einstein y Marian von Smoluchowski fueron
capaces de interpretar el movimiento de las partículas de polen suspendidas como
producto de los choques con las moléculas de agua. La primera evidencia directa
de la existencia de los átomos se estableció en el siglo XX con los trabajos
experimentales del físico francés Jean Perrin, así se comprobó el trabajo teórico de
Einstein-Smoluchowski.
Se reproducen tres trazos del movimiento de partículas coloidales vistas con microscopio, con ello se
muestra el movimiento browniano. Posiciones sucesivas cada 30 segundos, unidas con líneas rectas.
Reproducción del libro de Jean Baptiste Perrin, Les atoms.
Qué es un gas para un físico, el martirio de Boltzmann / CIENCIORAMA 11
Boltzman fue de los últimos defensores de la visión mecanicista que pretendía
explicar todos los fenómenos físicos en la naturaleza y también un fuerte defensor
del atomismo. Por sus ideas Boltzmann tuvo varios detractores; se defendía,
empecinado, de los ataques de los empiristas debido a su creencia en la existencia
de los átomos, y por otro lado contra quienes atacaban su interpretación mecánico
estadística de la segunda ley de la termodinámica. Estaba atrapado entre dos
frentes y contaba con poco apoyo a sus ideas. Boltzmann sufría de un trastorno
depresivo que lo llevó a estar hospitalizado. Dio su último curso de física teórica en
la Universidad de Viena en el semestre de invierno de 1905-1906, y en el semestre
de verano de 1906 fue incapaz de continuar con sus actividades académicas debido
a sus padecimientos. En ese verano, durante unas vacaciones familiares, mientras su
esposa e hija nadaban, Boltzmann se quitó la vida colgándose. Su hija fue la
primera en descubrir el cuerpo, al regresar a ver por qué su padre no llegaba nadar
con ellas.
Boltzmann no dejó ninguna nota de suicidio; pero en el prefacio de sus
lecciones sobre mecánica que escribió en lo que ahora es Opatija (Croacia), en
agosto de 1897, abre con una nota que da una idea de su visión de la vida y la
ciencia.
Haz avanzar lo que es cierto, escribe lo que está claro ¡y pelea por eso hasta
el final!
Qué es un gas para un físico, el martirio de Boltzmann / CIENCIORAMA 12
Caricatura de Ludwing Boltzman hecha por K. Przibram, mostrando a Boltzman paseando en bicileta,
actividad que disfrutaba.
Bibliografía
1.
Giovanni Gallavotti, Wolfang L. Reiter y Jakob Yngvason (eds.), Boltzmann's Legacy, European
Mathematical Society, Alemania,
2.
2008.
Stephen G. Brush, The kinetic theory of gases, An anthology of classic papers with historical
commentary, Imperial College Press, Londres, 2003.
3.
Montroll E. W., Lebowitz J. L., Studies in statistical mechanics, vol. VI, North-Holland Publishing
Company, 1976.
4.
Jan von Plato, Creating Modern Probability, Its mathematics, physics and philosophy in
historical perspective, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
Qué es un gas para un físico, el martirio de Boltzmann / CIENCIORAMA 13