La integral indefinida. Formulas y ejemplos

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La integral indefinida. Formulas
y ejemplos
Autor: jose maria guzman perez
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Presentación del curso
En el siguiente curso que te presentamos a continuación tendrás la posibilidad de
tener una guía sobre el estudio de las integrales indefinidas con ejemplos y teoría
que hará que aprendas de manera rápida y muy fácil.
La integración es el proceso contrario a la derivación y es un concepto fundamental
en el campo de cálculo y análisis matemáticos en lo que se refiere a matemáticas
avanzadas. El cálculo integral es muy común en la ingeniería y matemáticas ya que
se la utiliza principalmente para calcular aéreas y volúmenes de regiones.
La integración tiene como principal objetivo estudiar el área de una región plana,
integrales trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, métodos de integración,
integrales indefinidas, teorema fundamental del cálculo, integrales impropias,
volumen de un sólido de revolución, integrales definidas, cambio de variables,
integrales múltiples.
De igual forma tiene propiedades que las caracterizan como ser: La integral del
producto de dos funciones es el producto de las integrales de las funciones, la
integral de la derivada de una función es la función, la integral del producto de una
constante por una función es el producto de la integral de la función, la integral de
la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de las integrales de las
funciones.
En resumen una integral se utilizará cuando se quiera dar idea sobre la totalidad de
una determinada cuestión, básicamente la integral calcula el área debajo de una
curva. Cualquier tabla de derivadas, leída al contrario, se convierte en una tabla de
integrales. Si deseas aprender lo anteriormente dicho con ejemplo pues solo debes
seguir nuestro curso y verás que de manera muy fácil estarás haciendo las integrales
como todo un matemático. ¡Vamos adelante!
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1. Integral indefinida. Calculo
En el bachillerato y en las Ingenierías, es muy frecuente encontrarse con que los
alumnos tienen dificultad para identificar la fórmula que requieren para hallar la
función primitiva de alguna integral.
Observé en mi actividad docente de muchos años, que el principal obstáculo es “el
completar la diferencial”.
En las páginas siguientes escribiré mi experiencia al respecto, en el sentido de cómo
consideré oportuno hacer frente a este asunto.
LA INTEGRAL INDEFINIDA.
“Integrar”, en el Cálculo, es el proceso inverso de la Derivación de funciones.
Consideremos las siguientes funciones de la forma y= f(x):
Sé que eres muy observador y ya te diste cuenta que las cuatro funciones, en lo
único que difieren es en la constante, que en las cuatro, es diferente… pero tienen
algo en común…
La derivada de las cuatro funciones ES LA MISMA:
Bien, como sabes que al integrar DEBEMOS OBTENER “LA FUNCIÓN ORIGINAL”, te das
cuenta que ya tienes un problema: ¿cuál de las cuatro funciones originales
obtendrás?
De momento, como no sabes cuál de las cuatro constantes escribir, entonces usarás
una CONSTANTE DE INTEGRACIÓN, que denotarás por C.
Habrás de tener presente que al hablar de CONSTANTE DE INTEGRACIÓN, ella puede
ser cualquier número. Esta constante de integración tiene un valor indefinido. Pon
atención en lo siguiente:
Si C es constante de integración, valor que no conoces, le puedes sumar, restar,
multiplicar, dividir y seguirás obteniendo una cantidad indefinida que puedes seguir
representando por C.
Si C es constante de integración sujeta a cualquier tipo operación matemática, al
realizar dicha operación, seguirás obteniendo algo indefinido, por eso puedes seguir
escribiendo C.
…PERO SÓLO SI C ES CONTANTE DE INTEGRACIÓN...
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Ahora irás escribiendo tu formulario para integrar y que es conveniente tenerlo
siempre presente al realizar integrales:
HE AQUÍ tus cuatro primeras fórmulas para integrar.
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2. Formulas. Integrales
Sé que ya estás desesperado por iniciar. Bueno pues, adelante, sólo se requiere de
tu atención y concentración.
Las dos primeras, más que fórmulas, son propiedades de la integral, semejantes a
las de la derivación.
La número uno, te dice que si tienes la “integral de una suma algebraica de
diferenciales” será igual a la “suma algebraica de la integral de cada diferencial”. La
número dos, te habla de que en la “integral del producto de una constante por una
diferencial, esa constante “sale” a la izquierda del signo de integral”.
La número tres te rumora que “la integral de la diferencial de la variable v es igual a
la variable v, más la constante de integración, porque no sabes cuál constante “traía”
la función original.
La número cuatro te grita que “la integral de una variable que está elevada a una
potencia n, es igual a un cociente, cuyo numerador es dicha variable elevada a la
potencia n+1 y el denominador es n+1 y sin que olvides la constante de integración
C. Recuerda, que no sabes qué constante “traía” la función original, por eso son
INTEGRALES INDEFINIDAS.
EMPIEZA A USAR TUS CUATRO PRIMERAS FÓRMULAS PARA INTEGRAR, utilizando
nuestro ejemplo:
Después del =, la primera y segunda integrales, las puedes identificar con la fórmula
4, ya que el integrando es la variable “x” elevada a la potencia 2 y a la potencia 1,
respectivamente. Finalmente la tercera integral es como la que está a la izquierda
del signo =, por lo tanto, ya puedes integrarlas. Sale….
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Y LISTO, ya tienes a la función primitiva, lo único que falta es determinar, definir, su
constante PARTICULAR. Más adelante estarás capacitado para que, bajo ciertas
condiciones, llegues a obtener cada constante particular.
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3. Integrales. Ejemplos (1/5)
Pues vienen más ejemplos, ya que sólo así podrás ir afianzando lo que ya has estado
aprendiendo.
Ejemplo uno:
Ejemplo dos:
Recuerda que esta constante C, YA está representando a TODAS las constantes de
integración de cada integral.
Ejemplo tres:
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Nuevamente el álgebra, en este caso propiedades de las fracciones y de los
exponentes, te permite manipular el integrando, para mejor identificación de las
fórmulas que vas a aplicar.
Esta constante de integración C, está representando a todas las constantes de
integración de cada integral.
Ejemplo cuatro:
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4. Integrales. Ejemplos (2/5)
Ejemplo cinco:
…pero… ¿te imaginas si la integral fuera de ese mismo binomio, pero a una potencia
entera más grande? O ¿potencia entera negativa, o potencia fraccionaria, tanto
positiva como negativa?
CONSIDERACIÓN: habrá muchos estudiantes que sí entendieron y aprendieron bien a
integrar “completando la diferencial”, pero este es un momento que se puede
aprovechar para ir aprendiendo uno de los métodos de integración, conocido como
“cambio de variable” o también “integración por sustitución” y se verá en su forma
más simple, puesto que en el estudio de este método de integración, hay cambios
más elaborados.
Pues concéntrate y verás qué interesante es la aplicación del cambio de variable,
sobre todo cuando se está incursionando en el aprendizaje de las integrales.
Aplicar un cambio de variable en una integral consiste en presentar la integral
original dependiendo de una nueva variable y de su nueva diferencial. Para ello nos
“escogemos la parte más complicada” del integrando para que sea representada por
una nueva variable….
Regresaremos a la integral del ejemplo cuatro:
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Ahora hacemos que el resultado quede en términos de la variable original,
sustituyendo la “v” por lo que nos representa:
y listo…claro que aparentemente el resultado que obtuviste en el ejemplo cuatro y
éste que se acaba de obtener, no son iguales. Pero podemos darnos a la tarea de ver
que son equivalentes.
Fíjate. Partiremos de los dos resultados y desarrollaremos este último:
ENTONCES LOS RESULTADOS SON EQUIVALENTES.
Claro que si tuvieras que resolver integrales como las siguientes, te conviene aplicar
el mismo cambio de variable a las tres, pero ya con la seguridad de que su resultado
tiene equivalencia con el que se hubiera obtenido desarrollando esos binomios “a la
n”, si es que se pudieran desarrollar.
Mira: tres integrales diferentes para las que se propone el mismo cambio de
variable.
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5. Integrales. Ejemplos (3/5)
Ejemplo seis:
Con este método, ya puedes aventurarte a realizar integrales con cambio de
variable, pero debes tener en cuenta que, como sugerencia, se elije “la parte más
fea” para cambio de variable.
También debes tener en cuenta que una manera de checar que el cambio de variable
es acertado y funciona, si al ser sustituido en la integral original, ésta queda
exclusivamente en términos de la variable nueva y de su diferencial. Si llegara a
prevalecer la variable original, te querrá decir que ese cambio de variable que
propusiste, no es el adecuado y tendrás que proponer otro o en su defecto, recurrir
al álgebra, trigonometría, etc., para darle otro aspecto a la integral.
Y si aún así, no te funciona, puede que la integral tenga que resolverse con otro
método. Pero estos casos serán abordados más adelante.
Te presento otros ejemplos:
Ejemplo siete:
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Ejemplo ocho:
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6. Integrales. Ejemplos (4/5)
Ejemplo nueve:
Ejemplo diez:
Ejemplo once:
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7. Integrales. Ejemplos (5/5)
Ejemplo doce:
Ejemplo trece:
Ejemplo catorce:
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8. Ejemplos. Formulas de integración (1/3)
Te presentaré otros pocos ejemplos que te ilustrarán la aplicación de estas siete
fórmulas de integración. A estas alturas, ya te estás ambientando más en esto de ir
aprendiendo a integrar, así que iré abreviando pasos. Sin embargo puedes
consultarme, mediante correo y con todo gusto trataréde aclarar tus dudas.
RECUERDA: en un cociente de polinomios se puede hacer la división si el grado del
denominador es igual o menor que el grado del numerador.
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Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
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9. Ejemplos. Formulas de integración (2/3)
Ejemplo 5
En este ejemplo anterior te darás cuenta que la trigonometría también auxilia mucho
en el trabajo de las integrales.
Entonces las identidades trigonométricas, el álgebra, propiedades de los logaritmos,
juntamente con las fórmulas de integración, deberás tenerlos siempre a la mano.
Ejemplo 6
Ejemplo 7
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Ejemplo 8
Ejemplo 9
Considero que con esto ya puedes aventurarte a resolver muchas integrales usando
esta técnica del “cambio de variable”. Consigue libros de Cálculo Integral y a echarle
ganas.
Sigo haciendo la aclaración de que aquellos alumnos que le entienden bien a lo de
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Sigo haciendo la aclaración de que aquellos alumnos que le entienden bien a lo de
“completar la diferencial” pues ¡adelante!, resolviendo integrales.
Y para los que usarán esta técnica, les comento que aquellas integrales que no
puedan resolverlas con ella, pues será conveniente esperarse al trabajo que pronto
saldrá, para utilizar las fórmulas de la 8 a la 17, donde aparecen en el integrando
funciones trigonométricas con ciertas características que en su momento se verán.
Consúltame con toda confianza, intentaré resolver tus dudas.
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10. Ejemplos. Formulas de integración (3/3)
Ejemplo 10
Ejemplo 11
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