UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
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UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS ESCUELA DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS MA0610 Introducción a la Variable Compleja II Ciclo–2013 I. INFORMACION GENERAL Nombre del curso: Introducción a la variable compleja Sigla: MA0610 Naturaleza del curso: Teórico-Práctico No de horas presenciales: 5 No de horas estudio independiente: 10 Horas totales: 15 Modalidad: Semestral Créditos: 4 Requisito: MA552 Correquisito: Ninguno II. DESCRIPCIÓN Reciba la más cordial bienvenida al curso Ma-0610 Introducción a la Variable Compleja, dirigido a estudiantes del programa de Licenciatura en Enseñanza de la Matemática. Este curso le ofrece un primer acercamiento con el campo de los números complejos y generaliza algunos resultados estudiados en los cursos del análisis real. Para este curso es indispensable su disposición en términos de asistencia al curso, estudio individual fuera de horario lectivo, realización de tareas, participación en clase y lo más importante, esmerarse en poner en práctica los conocimientos como futuros docentes de secundaria. III. OBJETIVOS Al finalizar este curso, se espera que el estudiante sea capaz de: 1. Operar con números complejos y su algebra 2. Reconocer conjuntos en el plano complejo 3. Definir formalmente el concepto de continuidad de una función de variable compleja 4. Aplicar las condiciones necesarias y suficientes para la analiticidad de una función 1 5. Representar y analizar las funciones de variable compleja con la misma naturalidad que aplica las funciones de variable real. 6. Manejar con soltura las funciones exponencial, logaritmo, trigonométricas e hiperbólicas complejas. 7. Resolver integrales con variable compleja. 8. Aplicar la formula integral de Cauchy a integrales complejas 9. Analizar series de variable compleja. 10. Analizar las singularidades aisladas mediante series 11. Resolver problemas que involucren integración de contornos 12. Resolver problemas que involucren mapeos conformes IV. CONTENIDOS Tema 1: Los números Complejos Números complejos y su algebra. Representación cartesiana y polar de un número complejo. Ecuaciones complejas. La formula de Moivre. Desigualdad triangular. Potencias complejas. Conjuntos en el plano complejo. Transformaciones en el plano complejo: traslaciones, rotaciones, inversiones y reflexiones. Tema 2: Limites, continuidad y derivación compleja. Definición de función de variable compleja. Concepto de límite en variable compleja. Propiedades algebraicas. Funciones continuas. La esfera de Riemann y el punto infinito. Funciones analíticas. Condiciones necesarias y suficientes para la analiticidad. Funciones inversas. Diferenciación compleja. Tema 2: Funciones Básicas de Variable Compleja Funciones básicas: funciones polinomiales, función exponencial compleja, funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas, función logaritmo complejo y potencia compleja. Geometría de funciones elementales. Tema 3: Integración Compleja Integrales de contorno. Teorema fundamental del cálculo. El teorema de Green y sus consecuencias. Teorema de la integral de Cauchy. Teorema de Liouville y principio del máximo. Teorema de Cauchy Goursat. 2 Tema 4: Series Infinitas Series de Taylor. Convergencia uniforme de series. Series de Laurent. Clasificación de singularidades. Teorema de Riemann y sus consecuencias. Teorema del residuo. Tema 5: Integración en contornos Teorema del residuo. Evaluación de integrales reales definidas. Evaluación de integrales reales impropias. Integrales con polos sobre el eje real. V. EVALUACIÓN Los estudiantes serán evaluados a partir de su desempeño en tareas, quices, exposiciones y exámenes parciales. Se realizaran dos exámenes parciales con un valor de 30% cada uno. Por otro lado se realizaran 6 quices cortos con un valor de 5% cada uno. Los quices no se reponen. Se realizara un quiz extra y se eliminará el quiz con nota mas baja, para no afectar al estudiante que por alguna razón no pueda realizar alguno de ellos. El 10% faltante se evaluará en una exposición con un valor de 5% y alguna búsqueda de información en la web con un valor de 5%, sobre aplicaciones o historia de algún tema relacionado. La nota mínima es 70. Si alguno tiene nota entre 60 y 67, tendrá derecho a un examen de ampliación. Este examen evaluara solamente las partes correspondientes a los exámenes en que obtuvo nota inferior a 70. Las fechas y los porcentajes asignados a los rubros anteriores se detallan en la tabla siguiente: RUBRO Investigación en la web VALOR 5% FECHA Tema a asignar Quices 30% Cada dos semanas Exposiciones 5% Tema a asignar I Examen parcial 30% Martes 1 de octubre III Examen parcial 30% Martes 26 de noviembre PORCENTAJE TOTAL 100% VI. BIBLIOGRAFÍA Derrick, W (1987). Variable compleja y aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica Murray R. Spiegel. (2000). Variable compleja. Editorial Mc Graw-Hill 3 Churchill, R.V (1992). Variable compleja y aplicaciones. Editorial Mc Graw-Hill Marsden y Hoffman. (1996). Analisis basico de Variable compleja. Editorial Trillas Colwell y Mathews.. (1976). IntroduccionVariable compleja. Editorial Trillas VII. CRONOGRAMA El avance del curso está programado según se especifica en el siguiente cronograma FECHA TEMAS K 13 ago. Definiciones básicas. Números complejos y su algebra. V 16 ago. Representación cartesiana y polar de un número complej K 20 ago. Quiz 1. Conjuntos en el plano complejo. V 23 ago Funciones continuas de una variable. K 27 ago. Condiciones necesarias y suficientes para la analiticidad. V 30 ago. . Exponenciales complejas. K 3 sept Quiz 2. ***** Exposiciones. Aplicaciones e Historia **** V 7 sept Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas. K 10 sept Función logaritmo y potencia complejas V 13 sept Integración compleja. Integrales de línea. K 17 sep Teorema fundamental del cálculo. V 20 sep. El teorema de Green y sus consecuencias. K 24 sep. Quiz 3. La formula integral de Cauchy. V 27 sep. Teorema de Liouville y principio del máximo. K 1 oct Práctica para examen V 4 oct ***** Exposiciones. Aplicaciones e Historia **** K 8 oct **** I Examen Parcial **** 4 V 11 oct Series infinitas. Series de Taylor. K 15 oct Quiz 4. Convergencia uniforme de series. V 18 oct Series de Laurent. K 22 oct Singularidades aisladas. V 25 oct Quiz 5. Integración de contornos. Teorema del residuo. K 29 oct Evaluación de integrales reales definidas. V 1 nov Evaluacion de integrales reales impropias. K 5 nov Quiz 6. Integración con polos sobre el eje real. V 8 nov Integración de funciones multivaluadas. K 12 nov El principio del argumento. V 15 nov Funciones armónicas. K 19 nov Quiz 7. El problema de Dirichlet V 22 nov Práctica para examen. K 26 nov ***** II Examen Parcial ***** V 30 nov Exposiciones Deseándoles el mayor éxito, se despide Oficina 411(I) FM, lorena.salazarsoló[email protected] 5
