Intervalos Entornos

Matemática I – 6° FM
Intervalos y entornos
Intervalos
Definiciones
Sean
a y b son dos números reales, con a < b 1
Llamamos intervalo cerrado al conjunto
{ x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b} = [ a, b] . Gráficamente:
Definición 1)
Definición 2)
Llamamos intervalo abierto al conjunto
{ x ∈ ℝ / a < x < b} = ( a, b ) . Gráficamente:
Análogamente representamos los siguientes conjuntos:
{ x ∈ ℝ / a ≤ x < b} = [ a, b )
{ x ∈ ℝ / a < x ≤ b} = ( a, b]
{ x ∈ ℝ / a < x} = ( a, +∞ )
{ x ∈ ℝ / x < b} = ( −∞, b )
{ x ∈ ℝ / x ≤ b} = ( −∞, b]
{ x ∈ ℝ / a ≤ x} = [ a, +∞ )
Entornos
Definición 1)
Si
a y r son números reales con r > 0 , definimos entorno de centro a y radio r al intervalo ( a − r , a + r ) .
Anotamos
Si
Ea , r = ( a − r , a + r ) . Gráficamente:
x ∈ Ea , r tenemos que a − r < x < a + r , lo que implica que −r < x − a < r . Es decir: x − a < r
Definición 2)
En algunas circunstancias no va a interesar considerar el centro del entorno, razón por la cual llamaremos
entorno reducido de centro
a y radio r al conjunto E * = Ea ,r − {a} . Gráficamente:
No es difícil, entonces, comprender las siguientes definiciones y notaciones, cuya representación gráfica queda a cargo
del lector:
Definicion 3)
Semientorno derecho:
Semientorno izquierdo:
Ea+,r = [ a, a + r )
Ea−,r = ( a − r , a ]
Semientorno reducido derecho:
Semientorno reducido izquierdo:
1
Si
Ea*,+r = ( a, a + r )
Ea*,−r = ( a − r , a )
a = b tenemos un intervalo degenerado, cuyo estudio no interesa en este curso.
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Matemática I – 6° FM
Intervalos y entornos
Ejercicios
1) Escribe como intervalo:
{ x ∈ ℝ / 2 ≤ x ≤ 3}
b) { x ∈ ℝ / 1 < x ≤ 4}
a)
2) Escribe como unión de dos intervalos:
3) Representa:
a)
b)
c)
{ x ∈ ℝ /1 < x < 5, x ≠ 2}
[ 2, 4] ∪ ( 3,8)
[1, 4] ∩ ( 2,5]
[ 2,3] ∩ ( 3,8]
4) Indica para cada una de estas proposiciones si es verdadera o falsa:
a) x ∈ E2, 0,5 ⇒ 1,5 < x < 2,5
b)
x ∈ E2,+ 0,5 ⇒ x − 2 <
1
2
5) Halla:
a)
E2,1 ∩ E2, 0,5
b)
E2,1 ∩ E2,* 0,5
c)
E 2,1 ∩ E2,+ 0,5
6) Dados los reales 1 y 2, ¿existe un real r tal que E1, r
∩ E2,r = ∅ ?
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