2xhoja

Resolviendo Motion Planing
Prof. Teddy Alfaro O.
Seminario Modelo y Métodos
Cuantitativos
Metodologías más usadas
• Los métodos de planificación se pueden
agrupar en 3 grandes grupos
– Planificación basada en mapas (2 fases)
– Métodos basados en descomposición de celdas
(2 fases)
– Metodología de los Campos Potenciales
(Técnica)
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Metodologías basadas en Mapas
Planificación Basada en Mapas
• Idea: aprovechar las características geométricas
del ambiente y de los obstáculos para generar un
grafo de posibles trayectorias
• Centrado en los obstáculos
• Espacio discreto
• Algunas técnicas:
– Grafos de Visibilidad, Diagramas de Voronoi, C.R.G
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Grafos (Mapas) de Visibilidad
• Propuestos por Nilsson en 1969
• Enfoque geométrico para entornos
bidimensionales con obstáculos en forma de
polígonos
• Concepto de visibilidad, con arcos
rectilíneos
• Se requiere información de los vértices de
los objetos
• Se construye un grafo de visibilidad
Grafo de Visibilidad
• Un grafo de visibilidad GV es un grafo no dirigido, que
se define por el par (N, ):
– i) Donde, N resulta un conjunto de nodos formado por la
configuración inicial qa, la configuración final qf, y los
vértices de los obstáculos que pertenencen al conjunto B.
– ii) Y la función definida de NxN [0,1] es no nula si y solo
si los dos nodos referenciados se encuentran conectados. Se
dice que dos nodos están conectados si y solo si se puede
trazar un segmento que los una, de forma que resulte una
arista de un obstáculo de B, o bien yazca por completo en el
espacio libre del entorno Cl.
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Ejemplo de GV
• Los nodos son el conjunto
de vértices de los
obstáculos más el inicial
y final
• Dos nodos están
conectados ssi son
visibles
• También se consideran
visibles los segmentos
que son bordes de los
obstáculos
Observaciones
• Los obstáculos deben ser poligonales o discretizarse
como tales. Como quedaría un mapa conformado
por poligonos con gran cantidad de vértices
• La desventaja es que las trayectorias pasan muy
cerca de los obstáculos y consideran un robot
puntual – se puede aminorar este problema
dilatando a los obstáculos en función del tamaño del
robot (problema con robots no cilíndricos)
• Se complementan con el concepto de entornos
expandidos (visibilidad semi-libre según Latombe)
• Entornos totalmente conocidos
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Diagramas (mapas) de Voronoi
• Elimina el problema de los grafos de
visibilidad ya que se construyen rutas lo
más alejadas de los obstáculos
• Los diagramas de Voronoi son una
proyección del espacio libre en una red de
curvas, conformadas por rectilíneas y
parabólicos
• Se define el concepto de Retracción
Función de Restracción RT
• RT construye un conjunto Cv de Cfree
(notación C-space)
RT (q ) = C free Cv / Cv C free
Retracción del Espacio
s1 nace de e1 y n2
s2 nace de e1 y e2
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Retracción de una configuración
• Dado una configuración q no perteneciente a Cv, existe un
único punto p más cercano perteneciente a un vértice o
arista de un obstáculo. La función RT(q) se define como el
primer corte con Cv de la línea que une p con q
Ejemplo DV
• El algoritmo de
planificación consite
en encontrar la
secuencia de
segmente del
diagrama de voronoi
tal que conecten la
RT(qinit) con
RT(qgoal)
• Algoritmo base:
Las rectas se forman con puntos equidistantes
de dos o más obstáculos.
Las parábolas se forman en los vértices
– Calcular el diagrama
de Voronoi
– Calcular el RT(qinit) y
RT(qgoal)
– Encontrar la ruta más
corta
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Observaciones
• Los obstáculos también son modelados
poligonalmente
• No resulta ser la ruta más corta real
• Trabaja sobre entornos totalmente
conocidos
Cilindros Rectilíneos
Generalizados (CRG)
• También se pretende que el robot navegue
lo más alejado posible de los obstáculos
• Se modela el espacio libre de acuerdo
formas como cilindros o conos
• Se construeyen cilindros a partir de las
artistas de los obstáculos y luego se
conforma un mapa de caminos
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CRG
• El eje de un CRG se define como la bisectriz del
ángulo alfa formado por las rectas que contienen
las aristas x e y de los obstáculos b1 y b2, luego se
construyen segmentos rectilíneos que se proyectan
para ser unidos con otros.
Ejemplo CRG
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Observaciones
• Objetos poligonales
• La ruta más corta a obtener tiende a alejarse
de la distancia más corta real
• Entorno totalmente conocidos
Road Maps en General
• Los más utilizados son los PRM (probabilistic
Road Map), se construye una aproximación semialetoria del la conectividad de confiuraciones del
Cfree
• Consiste en un procesamiento sobre el Cfree en el
cual se utiliza una estrategia de muestreo para
obtener nodos sin colisión y luego se conectan los
nodos basandose en una estrategia de
conectividad simple
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Ejemplo
Observaciones
• Se requiren de una buena estrategia de
muestreo
• Se requiere de una estrategia simple y
rápida de conectividad
• Requiere procesamiento de apoyo: quitar o
agregar nodos estratégicos
• Pueden haber pasadizos que no sen
descubiertos
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Metodologías basadas en
Descomposición de Celdas
Descomposición en Celdas
• Idea: identificar las áreas libres de espacio y
establecer nodos en esas áreas
• Centrado en el espacio libre
• Se puede ajustar el nivel de discretización
• Algunas Técnicas:
– Descomposiciones Trapezoidales, verticales,
horizontales, enrejado
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Descomposición en Celdas
• Basada en la construcción de un camino desde una
configuración inicial a una final, en una entorno
discretizado en celdas
• La ruta no está representada con segmentos como
en las metodologías anteriores, sino por una
secuencia de celdas
• Requiere 2 etapas
– Descomposición de celdas
– Construcción de un grafo de conectividad
Celdas trapezoidales
• Se consideran entre 3 o 4
vértices para formar un
trapezoides
• Cada trapecio representa
una zona libre por la cual
puede transitar el robot
• Cada trapecio representa
un nodo que se conecta
con otros trapecios
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Celdas Trapezoidales
Celdas verticales (horizontales)
• Generar trazos verticales (horizontales)
desde cada uno de los vértices poligonales,
hasta el borde del entorno u otro obstáculo
• Situar dentro de las zonas generadas un
nodo representativo de la zona
• Generar un mapa de camino de acuerdo a la
adyacencia de cada zona (no
necesariamente visibilidad)
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Ejemplo 1
• Descompocisión Vertical
Ejemplo 2
c14
c4
c5
c2
c7
c8
c15
c11
c1
c10
c3
c6
c9
c12
c4
c2
c13
c14
c7
c15
c5
c8
c1
c11
c10
c3
c6
c9
c13
c12
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Ejemplo 3
• Descomposición Horizontal
1
1
3
2
5
3
2
4
5
6
7
7
6
8
4
8
9
11
9
10
11
12
10
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Descomposiciones no exactas
• A la descomposición en trapezoides, celdas
verticales y horizontales, se pueden
encontrar otras formas de celdas
• La información del grafo de conectividad es
solo en adayacencia, por ello el resultado
será una secuencia de zonas que debe visitar
el robot
• Como el robot navega dentro de la zona o
celda, es un tema abierto.
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Engrillado
• Construir una colección de
celdas que no se
superpongan de manera que
cubra aproximadamente
todo el Cfree
• Los obstáculos pueden ser
discretizados en celdas, de
los contrario se tendran
celdas empty, full y mixed
Engrillado
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Engrillado regular
• El tamaño del espacio de búsqueda depende de la
resolusión y de la conectividad
Ajustando resolución
• Dependiendo del nivel de detalle, puede
haber o no solución
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Observaciones
• Ventajas del engrillados
– Simple y descomposición uniforme
– Fácil y eficiente de implementar
– Puede ser re-adaptado de acuerdo a la resolución
requerida
• Desventajas del engrillado
– Gran requerimiento de almacenamiento
– Pérdida de exactitud y zonas de contacto
– Pérdida de completitud (pueder fallar el encontrar un
camino)
– La descomposición no está basada en CB
Arboles de Celdas (trees)
• Para reducir memoria se utilizan quadtree en un
lugar de un engrillado
• Se basa en una sucesión subdivisiones en
cuadrantes
• Proceso:
Una región es recursivamente subdividida en 4 cuadrantes hasta
encontrar una region libre (cuadrante libre) de obstáculos o
hasta un tamaño mínimo de grilla (típicamente A(q) )
• Camino generado es subóptimo ya que la
conexión entre celdas es un segmente entre los
centros de éstas
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Quadtree
• Si la celdas es mixta,
ésta puede tener hijos
(subdividir)
• Si la celda es full, no
tiene hijos y no es
transitable
• Si la celda es empty, la
celda es transitable, y
no hay necesidad de
subdividar
Formación del Arbol
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Dimensionalidad
• Si W=IR2 quadtree
• Si W=IR3 octree
Observaciones
• Si m=dim(W) y h es la profunidad del árbol
– La cantidad de hijos de una celda es 2m
– La altura del h estará dada por el nivel de
resolución máximo
• En el peor caso, ésta técnica no está
acotada. Si determinamos un nivel máximo
de resolución, el árbol tiene 2mh nodos
• Mejoras en la técnica de conexión entre
celdas
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Campos Potenciales
• Técnica de planificación mediante el uso de
campos potenciales artificiales
• Se basa en una analogía:
– El robot se ve como una partícula con carga eléctrica
– El espacio libre se considera como un campo potencial
– Los obstáculos tienen un carga eléctrica del mismo
signo del robot (se repelen)
– La meta tiene una carga eléctrica de signo opuesto al
robot (se atraen)
Campos Potenciales Artificiales
• La función de potencial de
una configuración dada está
compuesta por:
U(q)=UA(q)+UR(q)
• El robot se mueve en función
de la fuerza local
F(q)= U(q)
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Funciones de Potencial
• Para obtener las fuerzas hay que modelar el las
funciones de potencial de la meta y obstáculos –
calculando el potencial para cada punto del
espacio libre:
• Meta – “atractor parabólico”
UA(q) = k1 dist(q, meta)2
• Obstáculo – “barrera potencial exponencial”
UR(q) = k2 dist(q, obstáculo)-1
La velocidad del robot se modela proporcional a la
fuerza
Funciones de Potencial
• Ventajas:
– Se pueden generar trayectorias en tiempo real a partir
del campo de fuerzas
– Las trayectorias generadas son suaves
– Facilita el acoplar la parte de planeación con control
• Desventajas:
–
–
–
–
Mínimos locales!
Anulación de Potencial
Obstáculos Cóncavos pueden generar oscilaciones
Se considera el robot puntual
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