capitulo 6

CAPÍTULO 6
DIRECCIÓN DE LOS HACES DIFRACTADOS
6.1 DIFRACCIÓN DE RAYOS X
Cuando los rayos X son dispersados por el entorno ordenado de un cristal, tienen lugar
interferencias - tanto constructivas como destructivas - entre los rayos dispersados ya que las
distancias entre los centros de dispersión son del mis o orden de magnitud que la longitud de
onda de la radiación. El efecto acumulativo de esta dispersión desde los centros regularmente
espaciados del cristal es la difracción.
Los requisitos para la difracción de rayos X son:
(1) que el espaciado entre capas de átomos sea aproximadam
onda de la radiación.
el mismo que la longitud de
(2) que los centros de dispersión estén distribuidos en el espacio de una manera muy regular.
6.2 LEY DE BRAGG
La difracción de los rayos X por los cristales fue estudiada por W. L. Bragg quien estableció
que para un haz monocromático de rayos X, de longitud e onda λ , habrá sólo ciertos valores
del ángulo de incidencia θ, determinados por la distancia d entre los planos del cristal, a los
cuales ocurrirá difracción, de acuerdo a la relación:
n λ = 2 d sen θ
(6.1)
Donde n es el orden de la difracción.
6.3 ESPECTROSCOPIA DE RAYOS X
Experimentalmente, la ley de Bragg puede ser utilizada es dos formas:
Análisis estructural: Usar rayos x de longitud de onda λ conocida y medir θ para determinar el
espaciado d de diferentes planos en un cristal.
Espectroscopia de rayos x : Usar un cristal con planos de espaciados d conocidos, medir θ para
determinar la longitud de onda λ de la radiación usada.
Para un cristal cúbico el espaciado d de los planos puede obtenerse a partir de la medida de su
densidad, según:
Densidad =
peso de los átomos en la celda unitaria
ó
volumen de la celda unitaria
ρ=
∑A
N0 V
( 6.2)
Donde:
ρ = densidad ( g / cm3 ) , ∑ A = suma de los pesos atómicos de los átomos en la celda unitaria,
N 0 = Número de Avogadro = 6,023 × 10 23 moléculas / mol y V = volumen de la celda unitaria.
76
6.4 DIRECCIONES DE DIFRACCIÓN
La relación que predice el ángulo de difracción para cualquier conjunto de pla nos se obtiene
combinando la ley de Bragg y la ecuación de los espaciados de los planos.
1
Para un cristal cúbico:
d2
sen 2 θ =
por lo que:
1
Para un cristal tetragonal:
d2
=
(h 2 + k 2 + l2 )
λ2
4a 2
=
(6 .3)
a2
(h 2 + k 2 + l2 )
h2 + k2
+
(6.4)
l2
(6.5)
a2
c2
λ2  h 2 + k 2 l 2 


sen 2 θ =
+

4  a 2
c2 
por lo que:
(6.6)
Para un cristal romboédrico:
1
d2
=
(h 2 + k 2 + l 2 ) sen 2 α + 2 (hk + kl + hl) (cos 2 α − cos α)
a 2 (1 − 3 cos 2 α + 2 cos 3 α)
λ2
por lo que: sen θ =
4
2
 ( h 2 + k 2 + l 2 ) sen 2 α + 2 (hk + kl + hl) (cos 2 α − cos α) 


a 2 (1 − 3 cos 2 α + 2 cos 3 α)


(6.7)
(6.8)
6.5 MÉTODOS DE DIFRACCIÓN
La difracción puede ocurrir cada vez que se satisface la ley de Bragg, n λ = 2 d sen θ . Esta
ecuación pone condiciones estrictas en λ y θ para cualquier cristal dado. Con radiación
monocromática, un montaje arbitrario de un monocristal en un haz de rayos X no producirá, en
general, haces difractados. Alguna forma de satisfacer la ley Bragg debe ser ideada, y esto
puede ser hecho variando continuamente ya sea λ o θ durante el experimento. Las maneras en
las que estas cantidades son variadas, distinguen los es métodos principales de difracción:
Método
λ
θ
Laue
Variable
Fija
Cristal rotante
Fija
Variable (en parte)
Debye-Scherrer
Fija
Variable
6.6 MÉTODO DE LAUE
Las fotografías de Laue son la clase de patrón de difracción más fácil de realizar. Se requiere
radiación blanca proveniente de un tubo de rayos X con un ánodo de metal pesado. La
presencia de componentes características intensas no c mplican el patrón de difracción y sólo
serán reflejadas si un conjunto de planos en el crista está orientado de tal forma que se
satisface la ley de Bragg para esas componentes, y el
efecto será la formación de una
mancha de Laue de alta intensidad.
La muestra usada en este método es un monocristal. Esto puede significar un monocristal
aislado o un grano cristalino particular de un agregado policristalino.
77
Las manchas de Laue son formadas por el solapamiento d reflexiones de diferentes órdenes
debido a que los planos correspondientes a esas reflexiones son paralelos.
Existen dos variaciones del Método de Laue, dependiendo de la posición de la fuente, cristal y
película: Método de transmisión y Método de retroreflexión. En cada caso, la película es plana
y ubicada perpendicularmente al haz incidente.
6.6.1 MÉTODO DE TRANSMISIÓN
En este método la película se ubica detrás del
cristal a fin de registrar los haces difractados
hacia adelante. El ángulo de Bragg θ
correspondiente a cualquier mancha de Laue de
una cámara de transmisión, esquematizada en
la Figura 6.1, es dado por:
r
tan 2θ = 1
(6.9)
D
Figura 6.1.- Cámara de Laue de Transmisión
Donde: r1 es la distancia de la mancha desde el centro de la película y D es la distancia de la
muestra a la película .
Una muestra para el método de transmisión debe tener absorción lo suficientemente baja para
transmitir los haces difractados; en la práctica, esto quiere decir que las muestras relativamente
gruesas de un elemento ligero como el alumin io se pued usar, pero que el espesor de un
elemento medianamente pesado como el cobre debe ser re cido, por ataque de ácido, por
ejemplo, a unas cuantas milésimas de pulgada. Por otro lado, la muestra no debe ser demasiado
delgada o la intensidad difractada será demasiada baja, dado que la intensidad de un haz
difractado es proporcional al volumen del material difractante.
6.6.2 MÉTODO DE RETROREFLEXIÓN
En este método, la película es ubicada entre el cristal y la
fuente de rayos X. El haz incidente pasa a través de un
agujero en la película y se registran los haces difractados en
una dirección hacia atrás. El ángulo de Bragg θ
correspondiente a cualquier mancha de un patrón de
difracción obtenido en una cámara de retro-reflexión de
Laue, esquematizada en la Figura 6.2, es dado por:
r
tan (180º − 2θ) = 2
(6.10)
D
Figura 6.2.- Cámara de Laue
de retro-reflexión
Donde: r2 es la distancia de la mancha desde el centro de la película y D es la distancia de la
muestra a la película.
En el método de retro- reflexión, no existe restricción en el espesor de la muestra y mu ras
considerablemente macizas pueden ser examinadas, dado que los haces difractados se originan
en sólo una capa delgada de la superficie de la muestra. Esta diferencia entre los dos métodos
puede ser puesta de manifiesto de otra manera y que bi
cordar: cualquier información
acerca de una muestra gruesa obtenida por el método de retro-reflexión se aplica sólo a una
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capa delgada de la superficie de esa muestra, mientras que la información registrada en un
patrón de transmisión es representativa del espesor completo de la muestra, simplemente
porque la muestra de transmisión necesariamente debe s r lo suficientemente delgada para
transmitir los haces difractados desde todas las partes de su sección transversal.
6.6.3 PORTAMUESTRAS
Existe una gran variedad de portamuestras en uso, cada uno
destinado a algún propósito particular. El más simple consiste
de un poste fijo al cual la muestra es adherida con cera o
plastilina. Un portamuestra más elaborado es requerido
cuando es necesario fijar un cristal en alguna orientación
particular relativa al haz de rayos X. En este caso, se usa una
cabeza goniomé trica de tres círculos (Figura 6.3); tiene tres
ejes de rotación mutuamente perpendiculares, dos verticales
y uno horizontal, y es construido tal que el cristal, fijado con
cemento a la punta de la barra pequeña de metal en la
cúspide, no es desplazado en el espacio por cualquiera de las
tres rotaciones posibles.
Figura 6.3.- Cabeza Goniométrica
En el examen de muestras de láminas, es frecuentemente
necesario obtener patrones de difracción de diversos puntos sobre la superficie, y esto requiere
del movimiento de la muestra, entre exposiciones, en dos direcciones a ángulo recto en el plano
de la superficie de la muestra, siendo esta superficie perpendicular al haz de rayos x incidente.
6.6.4 COLIMADORES
Los colimadores son dispositivos diseñados para producir un haz compuesto de rayos casi
paralelos y son usados en todas las variedades de cámaras de rayos x. El colimador más simple
consiste de dos aberturas circulares de diámetro d separadas una distancia u(>>d).
Si una fuente puntual de radiación se sitúa en S sobre el eje del colimador y a una distancia v
del orificio de salida, como se muestra en la Figura 6.4, los rayos desde el colimador no son
paralelos y el haz tiene forma cónica con un ángulo má
o de divergencia β1 , expresado en
radianes, por:
β1 =
d
v
(6.11)
Figura 6.4.- Colimador y fuente puntual
Si un tubo de rayos x que tiene un espacio focal de forma cuadrada y de lado h, es ubicado en S
simétricamente sobre el eje del colimador y a una distancia v del orificio de salida, como se
muestra en la Figura 6.5, tal que los rayos convergentes desde los bordes de la fuente s cruzan
en el centro del colimador y luego divergen, el ángulo máximo de divergencia, en radianes, es:
79
2d
(6.12)
u
y el centro del colimador puede ser considerado como una fuente virtual de esos rayos
divergentes.
β2 =
Figura 6.5.- Colimador y fuente grande
El haz que se emite desde el colimador contiene no sol mente rayos paralelos y divergentes
sino también convergentes que inciden sobre un cristal ubicado a una distancia w del orificio
d
de salida con un ángulo máximo de convergencia, en radianes, dado por: α =
(6.13)
u+w
2v 
El tamaño de la fuente mostrada en la Figura 6 .5 es dada por: h = d 
− 1
(6.14)
 u

6.6.5 FORMAS DE LAS MANCHAS
Aquí estamos interesados con las formas de las manchas obtenidas de cristales perfectos, sin
distorsión. Estas formas son grandemente influenciadas por la natu eza del haz de incidente,
i.e., por su convergencia o su divergencia, y es importante darse cuenta de este hecho, o las
manchas de Laue de forma "inusual" pueden erróneamente ser tomadas como la evidencia de
distorsión del cristal.
Figura 6.6.- Focalización de un haz difractado en el método de transmisión
Consideremos primero el caso de transmisión, y asumiremos que el cristal es delgado y más
grande que la sección transversal del haz primario en punto de la incidencia. Si este haz es
principalmente divergente, entonces el cual es el caso usual en la práctica (Fig. 6.4 o 6.5),
entonces una acción de enfoque tiene lugar en la difracción. La Figura 6.6 es una sección a
través del haz incidente y cualquier haz difractado; el haz de incidente, cuya sección
transversal en cualquier punto es circular, es mostrado fluyendo desde una fuente pequeña, real
o virtual. Cada rayo del haz de incidente que cae en el plano del dibujo golpea a los planos
80
reflectantes de la red del cristal a un ángulo de Bragg ligeramente diferente, éste ángulo es un
máximo en A y decrece progresivamente hacia B. Los rayos más bajos son por consiguiente
desviados a través un ángulo 2θ más grande que los superiores, con el resultado de que el haz
difractado converge a un foco en F. Esto es cierto sólo de los rayos en el plano del dibujo; esos
en un plano a ángulo recto continúan para diverger des ués de la difracción, con el resultado de
que el haz difractado es elíptico en la sección
transversal. La película intersecta diferentes haces
difractados a diferentes distancias del cristal, de tal
manera que se observan manchas elípticas de tamaños
diversos, como se muestra en la Figura 6.7. Éste no es
un esquema de un patrón Laue sino una ilustración de
tamaño de la mancha y la forma como una función de
posición de la mancha en un cuadrante de la película.
Notar que las manchas son todas elípticas con sus ejes
menores alineados en una dirección radial y que las
manchas cercas al centro y el borde del patrón son más
gruesos que aquéllas en las posiciones intermedias, la
últimas formadas por haces cerca de su punto focal. Las Figura 6.7.- Forma de las manchas de
manchas que tienen las formas ilustradas son bastante Laue de Transmisión como una función
de la posición.
comunes.
En retro-reflexión, ninguna focalización ocurre y un haz incidente divergente continúa para
divergir en todas las direcciones después de la difracción. Las manchas de retro-reflexión de
Laue son por consiguiente más o menos circulares cerca del centro del patrón, y llegan a ser
progresivamente elípticas hacia el borde, debido a la incidencia oblicua de los rayos sobre la
película, los ejes principales de las elipses son aproximadamente radiales .
6.7 MÉTODO DE DEBYE-SCHERRER
Figura 6.8.- Cámara Debye-Scherrer
La Figura 6.8 muestra las vistas lateral y frontal de las partes de una típica cámara DebyeScherrer . Consiste de una cámara cilíndrica con una cubierta,
colimador para admitir y
81
definir el haz incidente, un atrapador del haz para confinar y detener el haz transmitido, un
medio para soportar la película contra la circunferenc a interior de la cámara y un portamuestra
que puede ser rotado. Los diámetros de la cámara varía esde unos 5 a 20 cm.
La geometría del método Debye-Scherrer se muestra en
la Figura 6.9. Si S es la distancia medida sobre la película
desde una línea de difracción particular al punto donde el
haz transmitido incidiría sobre la película, entonces:
S = 2θ R
Donde R es el radio de la cámara.
(6.15)
El poder de resolución es la habilidad de la cámara pa
separar líneas de difracción desde conjuntos de planos de
casi el mismo espaciado y es dado por:
Figura 6.9.- Geometría del método
d
− 2R
Debye.Scherrer
Poder de resolución =
=
tan θ
(6.16)
∆d
∆S
Donde d es el espaciado medio de los dos conjuntos de planos, ∆d es la diferencia en sus
espaciados y ∆S es la separación de las dos líneas de difracción que aparecen resueltas sobre la
película.
6.7.1 PREPARACIÓN DE LA MUESTRA
Los metales y las aleaciones pueden ser convertidos a olvo por limando o, si son
suficientemente frágiles, por reducción a polvo en un mortero pequeño de ágata. En uno u otro
caso, el polvo debería ser limado o molido tan fino como sea posible, preferentemente para
pasar un tamiz de 325 mesh, para producir líneas de difracción suaves y continuas. El polvo
tamizado es usualmente endurecido por calor en cápsulas evacuadas de vidrio o de cuarzo para
aliviar las tensiones debido al limado o la molienda.
Precauciones especiales son necesarias para tamizar aleaciones de dos fases. Si una pequeña
muestra representativa es seleccionada de un lingote para análisis de rayos X, entonces esa
muestra completa debe ser molida o limada para pasar a ravés del tamiz. El método común de
molienda hasta que una cantidad suficiente para la mue ra de rayos X ha pasado el tamiz, el de
tamaño muy grande es desechado, puede conducir a resultados muy erróneos. Una fase de la
aleación es usualmente más frágil que la otra, y esa fase será más fácilmente convertida en
partículas finas; si la molienda y el cribado son interrumpidos en cualquier punto, entonces el
material resta nte sobre la pantalla contendrá menos de la fase más q ebradiza que la muestra
original mientras que los de tamaño reducido contendrán más, y ninguno de los dos será
representativo.
La muestra final para la cámara Debye debería ser de forma de una barra delgada, 0.5 mm o
menos de diámetro y acerca de 1 cm de largo. Hay diversas formas de preparar tal muestra, una
de las más simples es revestir el polvo sobre la superficie de una fibra de vidrio fina con una
cantidad pequeña de goma o la vaselina. Otros métodos consisten en empacar el polvo en un
tubo de paredes delgadas hecho de una substancia débilmente absorbente tal como el celofán o
vidrio de borato de litio, o en comprimir una mezcla de polvo y agavilladora a tr vés de un
agujero pequeño. Los alambres policristalin os pueden ser usados directamente, pero ya que
usualmente exhiben alguna orientación preferida, el patrón resultante de difracción debe ser
interpretado con ese hecho en mente.
82
6.7.2 CARGADO DE LA PELÍCULA
La Figura 6.10 muestra tres métodos de disponer la película en el método Debye-Scherrer y las
relaciones que permiten determinar el valor de θ en cada caso.
Método (a)
4θ R = U (6.17)
Método (b)
( 2 π − 4θ ) R = V
(6.18)
Método (c)
2θ S
=
(6.19)
π W
Figura 6.10.- Métodos de cargar las películas en cámaras de Debye-Scherrer
6.7.3 CÁMARAS DE ALTA Y BAJAS TEMPERATURAS
Las investigaciones frecuentemente requieren que la es ructura cristalina de una fase estable
solamente pueda ser determinada a altas temperaturas. En muchos casos, esto puede ser
realizado apagando la muestra a tasa lo suficientemente alta para suprimir a descomposición
de la fase de alta temperatura y luego examinar la muestra en una cámara ordinaria a la
temperatura ambiente. En otros casos, la transformación entre las fases estables a la
temperatura ambiente no puede suprimirse, y una cámara de alta temperatura es necesaria para
que la muestra pueda ser examinada a la temperatura en la cual la fase en cuestión es estable.
El diseño de cámaras Debye de alta temperatura varia m s o menos de laboratorio a
laboratorio. Todas ellas incluyen un horno pequeño, usualmente del tipo de resistencia
eléctrica, para calentar la muestra y una termocupla para medir su temperatura. El problema
principal del diseño es mantener la película fría sin
incremento demasiado grande en el
diámetro de la cámara; esto requiere de refrigeración por agua del cuerpo de cámara y/o la
colocación cuidadosa de blindajes contra la radiación
re el horno y la película, blindajes
bien diseñados que no interferirán con los haces de rayos X difractados. El horno que rodea la
muestra también debe ser provisto de algún tipo de ran
para permitir el pasaje de los haces
incidente y difractados. Si la muestra es susceptible a la oxidación a altas temperaturas,
entonces deben proveerse los medios para desocupar la cámara o el llenado con
gas inerte;
alternativamente, la muestra en polvo puede ser sellada en un tubo de silicio de paredes
delgadas. Debido al tamaño pequeño del horno en una cámara de al temperatura, los
83
gradientes de temperatura en ella son usualmente muy pronunciadas, y debe haber el cuidado
especial para asegurar que la temperatura registrada p la termocupla es realmente la de la
muestra misma. Dado que la intensidad de cualquier reflexión es dismi ida por un incremento
en la temperatura, el tiempo de exposición requerido para un patrón de difracción de alta
temperatura es normalmente más larga.
Las cámaras de Debye son también ocasionalmente requeridas para el tr
a temperaturas
debajo de la temperatura ambiente. La refrigeración de la muestra es usualmente realizada
dirigiendo un chorro delgado de líquido refrigerante, tal como aire líquido, sobre la muestra
durante toda la exposición a los rayos X. El patrón de difracción del líquido refrigerante
también será registrado pero esto es fácilmente distinguido de la de un sólido cristalino, porque
el patrón típico de un líquido contiene solo uno o dos máximos muy difusos en contraste con
las líneas puntiagudas de difracción de un sólido. La dispersión del líquido, sin embargo,
aumentará el ennegrecimiento del fondo de la fotografía.
6.8 FOTOGRAFÍAS PINHOLE
Cuando radiación monocromática se usa
para examinar muestras policristalinas en
una cámara de Laue, el resultado es
llamado una fotografía pinhole. Para este
fin una cámara de transmisión o de retroreflexión puede ser usada, como se muestra
en la Figura 6.20.
En el método de transmisión, el valor de θ
para una reflexión particular es dada por:
U
tan 2θ =
(6.20)
2D
En el método de retro-reflexión, el valor de
θ para una reflexión particular es dada por:
Figura 6.7.- Cámara Pinhole
V
(6.21)
2D
Donde U y V son los diámetros del anillo de Debye en cada método y D es la distancia de la
muestra a la película.
tan ( π − 2 θ) =
6.9 ELECCIÓN DE LA RADIACIÓN
Con cualesquiera de los métodos de polvo descritos antes, el investigador debe elegir la
radiación más apropiada para el problema por resolver. Para hacer esta elección, las dos
consideraciones más importantes son:
(1) La longitud de onda característica usada no debería ser más corta que el borde de absorción
K de la muestra, o la radiación fluorescente producida oscurecerá la pe ícula. En el caso de
aleaciones o compuestos, puede ser difícil o imposible satisfacer esta condición para cada
elemento en la muestra.
(2) La ley Bragg muestra que a más pequeña longitud de onda, más pequeño es el ángulo
Bragg para planos de un espaciamiento dado. Disminuyendo la longitud de onda por lo
tanto cambiará cada línea de difracción a más bajos ángulos de Bragg y aumentará el
número total de líneas en la película, mientras que incrementando la longitud de onda se
84
tendrá el efecto de contrario. La elección de una corta o larga longitud de onda depe de del
problema en particular.
Las radiaciones características usualmente utilizadas n la difracción de rayos X son las
siguientes:
Mo Kα:
0.711A
Cu Kα:
1.542
Co Kα:
1.790
Fe Kα:
1.937
Cr Kα:
2.291
En Cada caso, el filtro apropiado se usa para suprimir el componente Kβ de la radiación. En
general, la radiación Cu Kα es generalmente la más usada. No puede ser utilizada con
materiales ferrosos, sin embargo, ya que causará radiación fluorescente del hierro en la
muestra; en cambio, la radiación Co Kα, Fe Kα o Cr Kα deberían ser usadas.
La medida del parámetro preciso de la red requiere que exista un número de líneas en la región
de retro-reflexión, mientras algunas muestras pueden producir solamente una o dos. Esta
dificultad puede ser evitada usando radiación no filtr da, para tener presentes las líneas Kβ así
como también la Kα, y usando un blanco de aleación. Por ejemplo, si una aleación de Fe-Co al
50 por ciento atómico es usada como blanco, y ningún filtro es usado en el haz de rayos X, la
radiación contendrá las longitudes de onda Fe Kα, Fe Kβ , Co Kα y Co Kβ , ya que cada
elemento emitirá su radiación característica independientemente. Desde luego, blancos
especiales pueden ser usados sólo con tubos de rayos X esmontables.
85
LABORATORIO 12
MÉTODO DE LAUE
OBJETIVOS.Obtener el registro del patrón de difracción de Laue de un monocristal de LiF y asignar los
índices de Miller.
TEORÍA.-
Las fotografías de Laue se obtienen irradiando monocristales con rayos X policromáticos. Este
método se utiliza principalmente para determinar simetrías cristalinas y orientaciones
cristalográficas. Se puede hacer una evaluación a los patrones e reflexión de Laue de
estructuras simples.
La figura. 1 muestra el patrón de reflexión Laue de
un monocristal de LiF que tiene una estructura de
red cúbica cara centrada (FCC). Si el patrón da una
rotación de 90 ° alrededor de la dirección del haz
primario, es de nuevo coherente consigo mismo.
Por tanto, tenemos aquí una cuádruple simetría, con
la coincidencia entre la dirección del haz y la
dirección cristalográfica (100). La intensidad de las
reflexiones depende tanto de las características
cristalográficas como de la distribución espectra l
de la intensidad de los rayos X.
La condición de interferencia constructiva está
determinada por relación de Bragg:
2 d sen θ = n λ
donde:
d = la distancia entre los planos reticulares
λ = longitud de onda
(1)
Figura 1.- Foto de Laue de un cristal de LiF
θ = el ángulo de Bragg
n = el orden de la difracción
La muestra de LiF consiste en un cristal cúbico con constante de red a .
La siguiente ecuación es válida para las distancias d( hkl ) entre la red y los planos del sistema
a
cúbico:
(2)
d (hkl) =
h 2 + k 2 + l2
Si L es la distancia entre una reflexión y el centro del patrón de difracción, y D la distancia
entre la muestra y la película, entonces el ángulo experimental determinado es:
1
L
θ exp = tan −1   ;
L = y2 + z2
(3)
2
D
 
Donde y y z son las coordenadas de reflexión medidos del centro d el patrón.
Si el haz de rayos X que coincide con la dirección cristalográfica [ h * k * l * ] (que aquí es
[100]) incide en un plano ( hkl ) del cristal, ver Figura 2, entonces el ángulo de incidencia α
está determinado por el producto escalar del vector no mal del plano y el vector incidente.
86
cos α =
hh * +kk * + ll *
(h 2
+k2
+ l 2 ).(h *2
+k *2
+ l *2 )
(4)
De la Figura 2, θ cal = 90° − α y considerando que
( h * k * l * ) = (100 ) , de (4) se obtiene que :
sen θ cal =
h
h2
+ k2
+ l2
(5)
La asignación de las reflexiones individuales
correspondientes a los planos reticulares se
encuentra cuando:
(6)
θ exp = θ cal
Además de (6), la relación k / l = y / z también
debe ser válida , cuando z e y son las coordenadas
de la reflexión medidas desde el centro del patrón.
Figura 2.- Reflexión de un plano de la red
con orientación al azar.
EQUIPOS Y MATERIALES.Unidad básica de Rayos X
Cristal de LiF(100) d = 2.014 × 10 −1 0 m
Portapelículas
Película Polaroid, (ISO 3000), (9 × 12) cm
Tubo de Rayos X con ánodo de Cu
Portamuestras para la difracción de Laue
Calibrador Vernier de plástico
Adaptador de película Polaroid
PROCEDIMIENTO .-
1. Instalar el tubo de rayos X con ánodo de cobre y montar el experimento como se muestra en
la Figura 3.
Figura 3 .- Montaje experimental para el método de Laue
87
2. Fijar el diafragma tubular de 1 mm de diámetro en la salida del tubo de rayos X y montar el
monocristal de LiF con sus dos alfileres en el portamuestra de la difracción de Laue, de
manera que el lado ovalado del cristal esté siempre hacia la fuente de rayos-X.
3. Colocar la película de rayos X con su envoltura resistente a la luz en el soporte de película
con la ayuda de las dos láminas imantadas y a una distan ia alrededor de 1,5 cm a 2 cm del
cristal, a fin de obtener un patr ón de Laue sin distorsiones
4. Asegúrese de que las superficies del cristal y la película plana sean paralelas entre sí, y que
amba s son perpendiculares al haz principal.
5. Exponer la película en los valores máximos de tensión de ánodo, es to es 35KV y 1mA, con
un tiempo de exposición de 2 horas.
6. Medir exactamente la distancia entre el cristal y la película para la determinación posterior
de las direcciones.
7. Luego de haber expuesto la película a la radiación dur nte el tiempo mencionado
anteriormente, proceda a revelarla, como se indica en el Apéndice .
CUESTIONARIO .-
1. Determinar los valores experimentales de θ para cada mancha de Laue de la fotografía,
usando la ecuación (3).
2. Asignar los índices de Miller a cada una de las manchas de Laue de la fotografía.
3. Calcular los valores de θ para cada mancha de Laue de la fotografía y comparar us
resultados con los hallados en la pregunta 1.
4. Usando la ecuación (2), determinar las distancias interplanares de los planos que han
producido las reflexiones en la fotografía.
5. Hallar las longitudes de onda de los haces de rayos X ue han producido las manchas de
Laue de la fotografía, usando la ecuació n (1).
88
LABORATORIO 13
MÉTODO DE DEBYE- SCHERRER
OBJETIVOS.• Obtener fotografías de Debye Scherrer de muestras de p vo de NaCl y CsCl.
• Determinar las constantes de red de las muestras analizadas.
• Determinar el número de átomos en las celdas unitarias.
TEORÍA.Cuando los rayos X inciden sobre los átomos de un material sólido son dispersados por los
electrones de los átomos. El poder de dispersión de un sólo átomo está representado por el
factor de dispersión atómica f, que es aproximadamente proporcional al número de electrones
en el átomo o su número atómico Z. Así tenemos que :
f ∝Z
(1)
Si el sólido tiene una estructura periódica ordenada, a interferencia constructiva se produce
sólo entre las ondas dispersadas. La dirección de la reflexión resultante se determina por la
2 d sen θ = n λ
relación de Bragg:
(2)
donde:
d = la distancia entre los planos reticulares
θ = el ángulo de Bragg
λ = longitud de onda
n = el orden de la difracción
La intensidad de las reflexiones difractadas es proporcional a la magnitud del cuadrado de la
amplitud F . Este último se obtiene de la suma de las amplitudes dispersa das y sus fases de
todos los n átomos de la celda unidad del cristal. Si las coorden
de los n átomos se
denominan u n , v n y w n , la siguiente relación es válida para F (h , k, l) , (donde h, k , l son los
índices de Miller del plano reflectante de la red):
F (h , k, l) =
∑ f . exp[−2 π i (h u
n
n
+ k vn + l w n )]
(3)
n
Para una red cúbica centrada en el cuerpo (bcc), las siguientes relaciones son válidas:
Las posiciones de los átomos en una celda unidad: (0, 0, 0) , (1 / 2, 1 / 2,1 / 2)
F = 0 , si la suma de los índices ( h + k + l ) = 2 n + 1 , (esto es, un número impar)
F
2
= 4 f 2 , si la suma de los índices ( h + k + l ) = 2 n (esto es, un número par).
Para una red cúbica cara centrada (fcc), las siguientes relaciones son válidas:
Las posiciones de los átomos en una celda unidad: (0, 0, 0) , (1 / 2,1 / 2, 0) , (1 / 2 , 0, 1 / 2) ,
(0,1 / 2, 1 / 2) .
F = 0 , si h, k y l son mixtos, es decir, impar, o par
F
2
= 16 f 2 , si los índices h, k y l son todos pares o todos impares.
Cuando rayos X monocromáticos inciden sobre una muestra policristalina , con cristalitos
distribuidos al azar, algunos de los cristalitos se orientarán de tal manera que sus planos de red
y la dirección del haz primario cumplen con la ley de Bragg. Por lo tanto, todas las reflexiones
que pertenecen a un plano particular de la red, se distribuirán sobre la superficie de un cono
circular, cuyo eje es el haz principal y el ángulo de divergencia es 4θ. Una película de rayos X
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ubicada perpendicularmente al haz primario registrará círculos concéntricos como imágenes de
la reflexión (anillos de Debye-Scherrer). Si el diámetro de un anillo de difracción es D, y x es
la distancia entre la muestra y la película, el ángulo de Bragg es dado por la expresión:
1
D
θ = tan −1
(4)
2
2x
Si la muestra se compone de cristales cúbicos con constante de red a, la siguiente relación es
válida para la distancia d( hkl ) entre los planos (h, k, l ):
a
(5)
d (hkl) =
h 2 + k 2 + l2
Utilizando (4) y (5), obtenemos de (2):
1
D  λ2
 =
sen 2 θ = sen 2  tan −1
(h 2 + k 2 + l 2 )
(6)
2
2
2
x

 4a
A los anillos de interferencia le son asignados los índices de los planos reflectantes de la red
como sigue: los cocientes se obtienen a partir de la suma de los cuadrados de los tripletes
( h, k, l) y luego se busca la coincidencia de esos cocientes y los cocientes de los valores
observados de sen 2 θ relacionados a uno de los anillos de interferencia ma interno. Para
comenzar, la coincidencia se busca asumiendo que el anillo más interno debe ser asignado al
plano (100). Si esto no da un resultado satisfactorio, se trata con el plano (110) y así
sucesivamente hasta que se encuentra la coincidencia satisfactoria de los cocientes.
EQUIPOS Y MATERIALES.-
Unidad básica de Rayos X
Mortero y pistilo
Calibrador Vernier de plástico
Cloruro de Sodio, 250 g
Película Polaroid, (ISO 3000), (9 x 12) cm
Filtro de Zirconio
Tubo de Rayos X con ánodo de Mo
Cuchara con extremo en forma de espátula
Portapelículas
Cloruro de Cesio, 5 g
Adaptador de película Polaroid
PROCEDIMIENTO .-
1. Preparar la muestra en polvo, echa ndo una pequeña cantidad de NaCl en el mortero y
molerla hasta lograr pulverizar la sustancia.
2. En una hoja de papel bond de 80gr hacer un agujero con un perforador y por uno de los
lados cubrir con cinta adhesiva el agujero de manera que al dar vuelta la hoja , en el lado
que contiene el pegamento se pueda rociar la muestra pulverizada de forma equitativa hasta
cubrir todo el agujero.
3. Cubrir con cinta adhesiva el otro lado del agujero de manera que la muestra quede
compacta.
4. Pegar la muestra en el filtro de Zircon io.
5. Instalar el tubo de rayos X con ánodo de Molibdeno y montar el experimento como se
muestra en la Figura 1.
6. Colocar la película de rayos X con su envoltura resistente a la luz en el soporte de película
con la ayuda de las dos láminas imantadas y a una distancia alrededor de 2,5 cm a 3,5 cm
del cristal. A fin de obtener patrones sin distorsiones.
7. Exponer la película en los valores máximos de tensión de ánodo es decir 35KV y 1mA con
un tiempo de exposición de 2.5 horas.
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8. Medir la distancia entre la muestra y la película exactamente para la determinación
posterior de las direcciones.
9. Luego de haber expuesto la película a la radiación durante el tiempo indicado
anteriormente, proceda a revelarla como se indica en el Apéndice .
10. Repita los pasos anteriores para una muestra de CsCl.
Figura 1.- Montaje experimental para el método de Debye-Scherrer
CUESTIONARIO .-
1. Usando la ecuación (4), determinar los valores de los ngulos de Bragg para cada uno de
los anillos de la fotografía Debye-Scherrer del polvo de NaCl.
2. Determinar los índices de Miller de los planos del cri tal de NaCl que han producido los
anillos de la fotografía.
3. Usando la ecuación (5) determinar las distancias interplanares de los planos identificados
en la pregunta 2.
4. Determinar el valor experimental de la constante de re el NaCl usado en la experiencia.
5. Usando la ecuación (4), determinar los valores de los ángulos de Bragg para cada uno de
los anillos de la fotografía Debye-Scherrer del polvo de CsCl.
6. Determinar los índices de Miller de los planos del cri tal de CsCl que han producido los
anillos de la fotografía.
7. Usando la ecuación (5) determinar las distancias interplanares de los planos identificados
en la pregunta 6.
8. Determinar el valor experimental de la constante de re el CsCl usado en la experiencia.
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