Apuntes

Anexo A
Introducción al Cálculo de
Variaciones
A.1.
Funcionales y delta de Dirac
Las ideas que se exponen en esta Sección han sido tomadas de [2] y [23].
Un funcional es una función cuyo dominio es un espacio vectorial de funciones y
su imagen un conjunto de números reales o complejos. Por ejemplo, en el conjunto
de funciones reales continuas de una variable real (que es un espacio vectorial sobre
R) podemos definir el funcional
żb
Jpf q “
f pxqdx
(A.1)
a
que asocia a cada función f su integral en el intervalo ra, bs. Formalmente, si Cppc, dq, Rq
representa el espacio vectorial (de dimensión infinita) de las funciones continuas en
el intervalo abierto pc, dq con valores en R y ra, bs Ă pc, dq entonces
J : Cppc, dq, Rq ÝÑ
ÞÑ
f
żb
a
R
f pxqdx
Muchos funcionales de interés, como J de (A.1), vienen definidos mediante integrales y ese es el caso de los que aparecen en la Teorı́a de Control Óptimo. No
159
160
Introducción al cálculo de variaciones
obstante, se pueden definir funcionales de muchas otras formas. Por ejemplo, si consideramos el conjunto de las funciones de variable real con valores reales o complejos
que están definidas en x “ 3, el funcional
Jpf q “ f p3q
está perfectamente definido. De hecho es un funcional lineal. En efecto, el conjunto
de las funciones definidas en x “ 3 es un espacio vectorial sobre C y si f y g son dos
de tales funciones y α, β son números complejos arbitrarios entonces con h “ αf `βg
tenemos
Jphq “ hp3q “ αf p3q ` βgp3q “ αJpf q ` βJpgq;
es decir, J es una aplicación lineal entre el espacio de funciones reales definidas en
x “ 3 y C.
La delta de Dirac es un funcional que se define de una forma muy similar a la
de este último ejemplo. Sea Cb pRq el conjunto de las funciones continuas en R y
acotadas. Es decir, f P Cb pRq si f es continua en R y para todo x P R existe un
número real K ą 0 tal que |f pxq| ď K. Si f pxq P C entonces |f pxq| representa el
módulo o valor absoluto del número complejo f pxq.
Definición A.1 δ es el funcional:
δ : Cb pRq Ñ C
f
ÞÑ f p0q
(A.2)
i.e., para cada f P Cb pRq, δpf q ” f p0q.
Escribiremos también δ “ δ0 dado que la definición especifica el valor 0 de f .
De forma parecida definimos la delta de Dirac δa en a P R como
δa : Cb pRq Ñ C
f
ÞÑ f paq
(A.3)
Ası́ pues, aunque coloquialmente se habla de la función delta de Dirac, δ no es
una función en sentido clásico (y en realidad no fué descubierta por Dirac), sino un
funcional. Nuestro objetivo es dar sentido a la expresión
lı́m dT,a ptq “ δptq
T Ñ8
ası́ como
ż `8
´8
f puqδpt ´ uqdu “
ż `8
´8
f pt ´ uqδpuqdu “ f ptq.
A.1 Funcionales y delta de Dirac
Recordemos que dT,a ptq es la función
función rampa; i.e.,
$
’
&
dT,a ptq “
’
%
161
(ahora sı́ en el sentido clásico) derivada de la
0, t ă a
1
, aătăa`T
T
0, t ą a ` T.
e identificamos dT ptq :“ dT,0 ptq. También queremos relacionar la delta de Dirac con
la función de Heaviside (salto unidad).
Para empezar, recordemos que
"
*
żb
1
Lloc pRq “ f : R Ñ C : @a ă b, |f ptq| dt ď 8
a
y
*
"
ż `8
|f ptq| dt ď 8
L pRq “ f : R Ñ C : }f }L1 pRq :“
1
´8
denotan los espacios de funciones localmente integrables y de funciones integrables
en R, respectivamente. Aunque de forma natural las integrales que aparecen en la
definición de estos conjuntos son integrales de Lebesgue, para nuestro desarrollo se
puede pensar sin problemas en integrales Riemann.
Recordemos también que L8 pRq es el espacio de las funciones que son acotadas excepto quizás en un conjunto de medida cero. Para f P L8 pRq, }f }L8 pRq es
intuitivamente el supremo de |f | en R. Técnicamente
}f }L8 pRq “ ı́nftM : |tt P R : |f ptq ą M u| “ 0u,
aunque para funciones infinitamente diferenciables,
}f }L8 pRq “ supt|f ptq| : t P Ru.
Definición A.2 Una identidad aproximada es una familia de funciones integrables en R tkλ : R Ñ C, λ ą 0u Ď L1 pRq con las siguientes propiedades:
a) @λ ą 0,
ż `8
´8
kλ ptq dt “ 1;
b) DK tal que @λ ą 0,
c) @η ą 0, lı́m
ż
λÑ8 |t|ěη
ż `8
´8
|kλ ptq| dt ď K;
|kλ ptq| dt “ 0.
162
Introducción al cálculo de variaciones
Proposición A.3 La familia tkT ptq “ d1{T ptq, T ą 0u es una identidad aproximada.
Demostración.- Ya hemos visto
ż `8que para cada T ą 0, kT ptq es una función
integrable (por ser escalonada) y
kT ptq dt “ 1. Además kT ptq ě 0 para todo
´8
t P Rzt0u por lo que de a) se deduce b). Para el apartado c) tomamos η ą 0 y,
teniendo en cuenta que kT ptq “ 0 para t ă 0 y que kT ptq ě 0 para todo T ą 0,
calculamos
ż
ż
|t|ěη
|kT ptq| dt “
`8
η
kT ptqdt.
Pero para cada T ą 0, kT ptq “ 0 si t ą 1{T . Por lo tanto,
ż `8
η
|kT ptq| dt “
ż 1{T
η
kT ptqdt.
Ahora bien, para T suficientemente grande (en particular para T ą 1{η), 1{T ă η
de modo que
ż 1{T
żη
kT ptqdt “ ´
kT ptqdt “ 0,
η
1{T
porque,
ż como hemos dicho, kT ptq “ 0 si t ą 1{T . Queda demostrado entonces que
lı́m
|kT ptq| dt “ 0.
T Ñ8 |t|ěη
Otra familia de funciones que es una identidad aproximada es la familia de
dilataciones u homotecias:
tkλ ptq “ λkpλtq, λ ą 0u.
La demostración es similar a la de la Porposición A.3.
Recordemos que la convolución de dos funciones f, g P L1 pRq se define de la
siguiente manera:
pf ˚ gqptq “
ż `8
´8
f pt ´ uqgpuqdu “
Se puede demostrar que f ˚ g P L1 pRq.
ż `8
´8
f puqgpt ´ uqdu.
(A.4)
Las siguientes propiedades de las identidades aproximadas son importantes para
lo que se discutirá posteriormente.
A.1 Funcionales y delta de Dirac
163
Teorema A.4 (a) Sea f P L1 pRq. Si tkλ : λ ą 0u Ď L1 pRq es una identidad
aproximada, entonces
lı́m }f ´ f ˚ kλ }L1 pRq “ 0.
λÑ8
(b) Sea f P L8 pRq una función continua en R. Si tkλ : λ ą 0u Ď L1 pRq es una
identidad aproximada, entonces
@t P R,
lı́m pf ˚ kλ qptq “ f ptq
λÑ8
Demostración.- Usamos la propiedad
ż `8
´8
}f ´ f ˚ kλ }L1 pRq
kλ ptqdt “ 1 para el siguiente cálculo:
ˇ
ż `8 ˇ
ż `8
ż `8
ˇ
ˇ
ˇf ptq
ˇ dt
“
k
puqdu
´
k
puqf
pt
´
uqdu
λ
λ
ˇ
ˇ
´8
´8
´8
ˇ
ż `8 ˇż `8
ż `8
ˇ
ˇ
ˇ
“
f ptqkλ puqdu ´
kλ puqf pt ´ uqduˇˇ dt
ˇ
´8
´8
ˆż `8
˙
ż´8
`8
|kλ puq|
|f ptq ´ f pt ´ uq|dt du.
ď
´8
´8
Apelamos ahora a la siguiente propiedad fundamental de L1 pRq: @ ą 0 existe
η “ ηpq tal que si |u| ă η entonces }f ´ τu f }L1 pRq ă donde pτu f qptq “ f pt ´ uq
como función de t. Con esta propiedad en mente, fijamos un ą 0 y sean 1 ą 0,
2 ą 0 tales que 1 ` 2 ă . Aplicando la propiedad anterior con 1 , existe η “ ηp1 q
tal que
@|u| ă η,
}f ´ τu f }L1 pRq ă 1 {K,
donde }kλ }L1 pRq ď K; garantizado por la definición de identidad aproximada. Ası́ pues,
por una parte
ż
ż
|kλ puq|}f ´ τu f }L1 pRq du ď 2}f }L1 pRq
|kλ puq|du;
|u|ěη
y por otra
|u|ěη
ż
ż
1
|kλ puq|}f ´ τu f }L1 pRq du ă
|kλ puq|du.
K |u|ďη
|u|ďη
ż
Por lo tanto, teniendo en cuenta que
|kλ puq|du ď }kλ }L1 pRq ď K, concluimos
|u|ďη
}f ´ f ˚ kλ }L1 pRq ď 2}f }L1 pRq
ż
|u|ěη
|kλ puq|du ` 1 .
164
Introducción al cálculo de variaciones
Ahora bien, por ser tkλ : λ ą 0u una identidad aproximada se tiene lı́m
ż
λÑ8 |u|ěη
ż
0. Esto significa que para el 2 ą 0 fijado y para λ suficientemente grande
|kλ puq|du “
|u|ěη
|kλ puq|du ă
2 }f }L1 pRq {2. En conclusión, para el ą 0 fijado y para λ suficientemente grande
}f ´ f ˚ kλ }L1 pRq ă 1 ` 2 ă , lo cual demuestra el apartado (a).
ż `8
kλ puqdu “ 1, se sigue
La demostración del apartado (b) es parecida. De
´8
que para cada t P R
ˇ
ˇż `8
ˇ
ˇ
ˇ
kλ puqpf ptq ´ f pt ´ uqqduˇˇ
|f ptq ´ pf ˚ kλ qptq| “ ˇ
´8
ż `8
ď
|kλ puq| |pf ptq ´ f pt ´ uqq|du.
´8
Procedemos ahora como en la demostración del apartado (a). Sea ą 0 y 1 ą 0,
2 ą 0 tales que 1 ` 2 ă . Por ser f continua, existe η ą 0 tal que si 0 ď |u| ă η
entonces |f ptq ´ f pt ´ uq| ă 1 {K, donde }kλ }L1 pRq ď K. Por otra parte, como
f P L8 pRq |f ptq ´ f pt ´ uq| ď 2}f }L8 pRq para todo t, u P R. Ası́
ż
|f ptq ´ pf ˚ kλ qptq| ď 1 ` 2}f }L8 pRq
|kλ puq|du.
|u|ěη
La demostración se concluye como en el apartado (a).
El teorema A.4 da una idea de por qué a la familia tkλ : λ ą 0u se le llama
identidad aproximada; es como si tkλ u se aproximara a una función que juega el
papel de la unidad respecto a la convolución en L1 pRq. Es decir, si existiera tal
función, digamos δ, deberı́a cumplir f ˚ δ “ f para toda f P L1 pRq, o lo que es lo
mismo, para toda f P L1 pRq
ż `8
δpuqf pt ´ uqdu “ f ptq,
@t P R.
(A.5)
´8
Sin embargo, se puede demostrar (ver [2, Cap. 2]) que tal función no existe; es decir,
L1 pRq no posee una unidad para la convolución. Por lo tanto, no existe ninguna
función δ en L1 pRq para la que se cumpla (A.5). A pesar de ello, a esta expresión se
le puede dar un sentido. Éste se desprende del siguiente resultado.
Proposición A.5 Sea tkλ u Ď L1 pRq una identidad aproximada. Entonces
ż `8
@f P Cb pRq,
lı́m
kλ ptqf ptqdt “ δt pf q
λÑ8 ´8
donde δt es la delta de Dirac en t; i.e., δt pf q “ f ptq.
A.1 Funcionales y delta de Dirac
165
La demostración de esta Proposición es muyżparecida a la del Teorema A.4.
`8
Antes de proceder, hacemos observar que si lı́m
kλ ptqf ptqdt “ f p0q entonces
para cada t P R se tiene que
lı́m
λÑ8 ´8
ż `8
λÑ8 ´8
kλ puqf pt ´ uqdu “ f ptq.
En efecto, definiendo gpuq “ f pt ´ uq (para t P R fijo) tendrı́amos
lı́m
ż `8
λÑ8 ´8
kλ puqf pt ´ uqdu “ lı́m
ż `8
λÑ8 ´8
kλ puqgpuqdu “ gp0q “ f ptq.
Es en este sentido en el que debemos entender la expresión (A.5): escribiremos
ż `8
´8
como equivalente de
lı́m
δpuqf pt ´ uqdu “ δt pf q “ f ptq
ż `8
λÑ8 ´8
kλ puqf pt ´ uqdu “ f ptq,
para cualquier identidad aproximada tkλ u. En particular, como tkT ptq “ d1{T ptq, T ą
0u (la familia de funciones derivada de la función rampa unidad) es una identidad
aproximada, podemos escribir la expresión (A.5) como equivalente de
lı́m
ż `8
T Ñ8 ´8
d1{T puqf pt ´ uqdu “ f ptq.
Demostración de la Proposición A.5.- Teniendo en cuenta que
ż `8
1 podemos escribir
ˇż `8
ˇ
ˇż `8
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ “ ˇ
ˇ
k
ptqf
ptqdt
´
f
p0q
k
puqpf
puq
´
f
p0qqdu
λ
λ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
´8
´8
ż `8
ď
|kλ puq| |f puq ´ f p0q|du.
´8
kλ puq “
´8
Sea ą 0 y 1 ą 0, 2 ą 0 números reales tales que 1 ` 2 ă . Como f es continua,
existe η ą 0 tal que si 0 ď |u| ă η entonces |f puq´f p0q| ă K1 donde }kλ }L1 pRq ď K.
Como f está acotada en R tiene un supremo. Sea
M “ suptf ptq, t P Ru.
166
Introducción al cálculo de variaciones
Entonces
ż `8
ż
|kλ puq| |f puq´f p0q|du ď
´8
|u|ăη
ż
1
|kλ puq|du`
K
ż
|uěη
2M |kλ puq|du ď 1 `2M
ż
ż
|u|ěη
|kλ puq|du,
|kλ puq|du ď }kλ }L1 pRq ď K. Además, como lı́m
|kλ puq|du “
λÑ8 |u|ěη
ż
2
|kλ puq|du ă
0, para λ suficientemente grande
. En consecuencia, para λ
2M
|u|ěη
suficientemente grande
ˇż `8
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ ă ,
k
ptqf
ptqdt
´
f
p0q
λ
ˇ
ˇ
donde se ha usado que
|u|ăη
´8
que es lo que se querı́a demostrar.
A pesar de que δ es un funcional y por lo tanto su dominio es un espacio de
funciones, a veces se escribe δptq en vez de δt . En tal caso se suele reemplazar la
notación δt pf q por la, aparentemente más confusa de
δptqpf ptqq.
La razón de hacer esto es que se quiere pensar en δ como si fuera una función
ordinaria que se puede aproximar por funciones ordinarias como la d1{T ptq o, en
general, por aproximaciones de la unidad. Es en este sentido en el que podemos
decir que δ es una
ż función que vale 0 en todo R excepto en 0 donde es tan grande
como para que
`8
´8
δpuqdu “ 1. Esta forma de pensar nos permite dar sentido,
por ejemplo, a expresiones δpat ` bq. En efecto, con la interpretación que venimos
manteniendo:
ż `8
ż `8
δpat ` bqpf ptqq “
δpat ` bqf ptqdt “ lı́m
kλ pat ` bqf ptqdt.
λÑ8 ´8
´8
Ahora bien,
ż `8
´8
1
kλ pat ` bqf ptqdt “
|a|
ż `8
´8
kλ puqf
ˆ
u´b
a
que por la Proposición A.5
ˆ
˙
ˆ ˙
ż `8
u´b
b
du “ f ´
.
lı́m
kλ puqf
λÑ8 ´8
a
a
˙
du,
A.1 Funcionales y delta de Dirac
167
Entonces
1
δpat`bqpf ptqq “
lı́m
|a| λÑ8
ż `8
´8
kλ puqf
ˆ
u´b
a
˙
1
du “
f
|a|
ˆ
b
´
a
˙
“
1
1
δ´ b pf q “
δ b ptqpf ptqq.
a
|a|
|a| ´ a
Es decir,
δpat ` bq “
1
1
δ´ b ptq “
pτ b δqptq,
a
|a|
|a| ´ a
donde, como en la demostración del Teroema A.4, pτu δqptq “ δpt ´ uq.
A.1.1.
Distribuciones
El funcional δ de la Definición A.1 es un ejemplo de distribución cuando el
dominio se restringe al conjunto Cc8 pRq que pasamos a definir. En primer lugar
C 8 pRq denota el espacio de funciones infinitamente diferenciables definidas en R y
con valores complejos. Si f : R ÝÑ C es una función compleja de variable real, el
soporte de f , que denotaremos por supp f , se define como la adherencia del conjunto
de puntos donde no se anula f . En sı́mbolos
supp f “ tx P R : f pxq ‰ 0u.
Y en palabras, es el menor conjunto cerrado fuera del cual se anula f . Finalmente,
Cc8 pRq es el subconjuto de C 8 pRq con soporte compacto (recordemos que los conjuntos compactos de R son los cerrados y acotados). Es fácil ver que Cc8 pRq es un
subespacio vectorial.
Hablando de forma laxa, las distribuciones son elementos del espacio vectorial
dual de Cc8 pRq que cumplen ciertas propiedades de convergencia. Enseguida daremos
la definición formal. Antes, quizá sea conveniente presentar algunos ejemplos de
funciones en Cc8 pRq. Sea
φptq :“
"
e1{t , si t ă 0
,
0,
si t ě 0
y definamos f ptq “ cφp|t|2 ´ 1q. Se tiene que f es infinitamente diferenciable y
f ptq “ 0 para |t| ě 1 de
ż modo que supp f “ r´1, 1s. Habitualmente, la constante c
se elige de forma que
8
´8
f ptqdt “ 1. Se puede demostrar además que si g P L1 pRq
tiene soporte compacto, con la función f recién definida, se tiene que la convolución
(cf. (A.4)) f ˚ g P Cc8 pRq. Se pueden generar de esta manera muchos otros ejemplos
de funciones con soporte compacto.
168
Introducción al cálculo de variaciones
Definición A.6 Una distribución o función generalizada es una función lineal
T : Cc8 pRq ÝÑ
C
f
ÞÑ T pf q
con la propiedad: lı́m T pfn q “ 0 para toda sucesión de funciones tfn u Ď Cc8 pRq que
nÑ8
satisfaga las siguientes condiciones:
(i) DK Ď R, compacto, tal que @n, supp fn Ď K.
(ii) @k ě 0, lı́m }fnpkq }L8 pRq “ 0, siendo fnpkq la k-ésima derivada de fn .
nÑ8
Las condiciones de la definición garantizan que el espacio de las distribuciones
sobre R, que denotaremos como D1 pRq, es el dual topológico de Cc8 pRq cuando en
este conjunto se considera la topologı́a definida por la siguiente convergencia: Dada
una sucesión tfn u Ă Cc8 pRq diremos que fn Ñ f P Cc8 pRq si se cumplen la condición
(i) de la Definición A.6 y
(ii’) la sucesión fn converge uniformemente a f en K y las sucesiones de todas las
derivadas de orden finito de fn convergen también uniformemente en K a la
respectiva derivada de orden finito de f .
Ese tipo de convergencia convierte al espacio vectorial Cc8 pRq en un espacio topológico D “ pCc8 pRqq, T q cuyo dual topoólgico (i.e., el espacio de las funciones lineales
continuas, con esta topolgı́a, Cc8 pRq ÝÑ C) es D1 pRq. Ası́ pues, las distribuciones
son las funciones continuas respecto a dicha convergencia (o equivalentemente la
topologı́a generada). Es decir, si T es una distribución se cumplirá que:
D
D1 pRq
fn ÝÑ f ðñ T pfn q ÝÑ T pf q.
Debe notarse que D1 pRq es un espacio vectorial sobre C. En efecto, si T1 , T2 P D1 pRq
y c1 , c2 P C entonces c1 T1 ` C2 T2 es la distribución definida por la regla:
@f P Cc8 pRq,
pc1 T1 ` c2 T2 qpf q “ c1 T1 pf q ` c2 T2 pf q.
Un ejemplo caracterı́stico de distribuciones es el siguiente.
Ejemplo A.7 Sea g P L1loc pRq una función localmente integrable. Definamos el
funcional:
Tg : Cc8 pRq ÝÑ
C
ż `8
f
ÞÑ Tg pf q “
gptqf ptqdt
´8
A.1 Funcionales y delta de Dirac
169
Veamos que Tg P D1 pRq. En efecto, supongamos tfn u Ă Cc8 pRq tal que @n, supp fn Ď
K para algún compacto K y lı́m }fnpkq }L8 pRq “ 0 para todo k ě 0. Como K es comnÑ8
pacto, fn es continua en todo R y fn pxq “ 0 para todo x R K, cada fn está acotada
en K. Sea kn “ supt|fn ptq| : t P Ku “ supt|fn ptq : t P Ru “ }fn }L8 pRq que converge
a 0 cuando n Ñ 8. Ası́ pues
ż
ż
ż
ż
|gptq| |fn ptq|dt ď
|gptq|kn dt “ kn
|gptq|dt.
|Tg pfn q| ď |gptq| |fn ptq|dt “
R
K
K
K
Además, como K es compacto, es acotado por lo que existen a, b P R tales que
K Ď ra, bs. Entonces, teniendo en cuenta que g es localmente integrable, existe
r P R, r ě 0, tal que
żb
|Tg pfn q| ď kn |gptq|dt ď rkn .
a
Como kn Ñ 0 cuando n Ñ 8, concluimos que lı́m Tg pfn q “ 0.
nÑ8
Otro ejemplo importante de distribución es la delta de Dirac cuando su dominio
de definición se restringe a Cc8 pRq:
δ : Cc8 pRq Ñ
C
f
ÞÑ δpf q “ f p0q
(A.6)
En este caso, es fácil ver que δ ası́ definida es una distribución. En efecto, hay
que probar que tfn p0qu converge a 0 cuando n Ñ 8 para toda sucesión de funciones
tfn u Ă Cc8 pRq para las que existe un compacto K Ď R tal que supp fn Ď K y
lı́m }fn pkq}L8 pRq “ 0. Sea pues tfn u una tal sucesión de funciones. Si 0 R K entonces
nÑ8
fn p0q “ 0. Y si 0 P K entonces |fn p0q| ď }fn pkq}L8 pRq . Como esta última converge a
0, fn p0q Ñ 0 cuando n Ñ 8. En cualquier caso lı́m δpfn q “ lı́m fn p0q “ 0.
nÑ8
1
nÑ8
1
La derivada distribucional T de T P D pRq es otra distribución que se define
por la fórmula:
@f P Cc8 pRq,
T 1 pf q “ ´T pf 1 q.
Se puede ver sin dificultad que T 1 P D1 pRq. Esta propiedad se deriva del hecho de
que supp f 1 Ď supp f y por lo tanto tfn1 u cumple las condiciones de convergencia (i)
y (ii) de la Definición A.6.
Para concluir esta sección demostraremos que la derivada de la función salto
unidad (Función de Heaviside) es, en el sentido distribucional, la delta de Dirac.
Para ello, definimos la distribución de Heaviside como el funcional del Ejemplo A.7
aplicado a la función salto unidad:
"
0 si t ă 0
γptq “
1 si t ą 0
170
Introducción al cálculo de variaciones
Podemos, en efecto, aplicar la definición del Ejemplo A.7 porque γ P L1loc pRq:
ż8
γptqf ptqdt,
@f P Cc8 pRq.
Tγ pf q “
´8
Como γptq “ 0 para t ă 0 y γptq “ 1 para t ą 0 tenemos
ż8
f ptqdt,
@f P Cc8 pRq.
Tγ pf q “
0
Ası́ pues, para f P Cc8 pRq
Tγ1 pf q
1
“ ´Tγ pf q “ ´
ż8
0
f 1 ptqdt “ f p0q
porque f ptq “ 0 para t suficientemente grande por tener f soporte compacto (K Ă
ra, bs y f pbq “ 0). Ahora bien, f p0q “ δpf q de donde deducimos que Tγ1 pf q “ δpf q
para toda f P Cc8 pRq. En definitiva, Tγ1 “ δ en el sentido de la derivada distribucional.
Es interesante observar que γ 1 ptq “ 0 para t P Rzt0u de modo que γ 1 P L1loc pRq.
Sin embargo, Tγ 1 “ 0 ­“ Tγ1 . En general es cierto que si g es una función localmente
absolutamente continua entonces Tg1 “ Tg1 pero, como acabamos de ver, esta propiedad no es verdadera para todas las funciones g P L1loc pRq, localmente integrables.
Una función F : ra, bs ÝÑ C se dice que es absolutamente continua (F P ACpra, bsq)
si @, Dδ “ δpq tal que para toda familia finita de subintervalos pxj , yj q Ď ra, bs,
j “ 1, . . . , n se tiene que
n
ÿ
pyj ´ xj q ă δ ùñ
j“1
n
ÿ
j“1
|F pyj q ´ F pxj q| ă .
Y una función F : R ÝÑ C es localmente absolutamente continua (F P ACloc pRq) si
F P ACpra, bsq para cada intervalo ra, bs Ď R. Una caracterización de las funciones
absolutamente continuas nos la da el Teorema Fundamental del Cálculo:
Teorema A.8 (Teorema Fundamental del Cálculo) La función F : ra, bs ÝÑ
C es absolutamente continua en ra, bs si y sólo si existe f P L1 pra, bsq tal que
żt
@t P ra, bs,
F ptq ´ F paq “ f puqdu.
a