Axiomas de numerabilidad y convergencia de sucesiones

CAPı́TULO 5
Axiomas de numerabilidad y convergencia de sucesiones
En este capı́tulo estudiaremos dos importantes propiedades topológicas que
están relacionadas con el mı́nimo cardinal de las bases de abiertos de una topologı́a.
Tema 1.
Separabilidad
Definición 5.1.1. Sea X un espacio topológico; diremos que X es separable
si posee un subconjunto denso y contable.
A continuación veremos algunos ejemplos:
Ejemplos 5.1.2.
1. Si X es contable, entonces es separable ya que X es un subconjunto de
X a lo contable y denso (X = X).
2. R es separable, pues Q es denso (Ejercicio 3.21) y es numerable (Ejemplo A.5.21(1)).
3. Rn es separable, pues Qn es denso (Ejercicio 4.13) y es numerable (al ser
producto finito de conjuntos numerables, por la Propiedad A.5.19(2)).
4. La recta de Sorgenfrey es separable ya que Q también es denso en esta
topologı́a (Ejercicio 3.21).
5. La recta real discreta no es separable ya que todo punto es abierto y un
conjunto denso debe cortar a todo abierto no vacı́o (Proposición 3.4.7).
Por lo tanto el único conjunto denso es el total, que no es contable. Este
mismo razonamiento también implica que un espacio topológico X discreto es separable si y sólo si es contable.
6. La recta real cofinita es separable, ya que Z es denso en esta topologı́a.
De hecho, todo espacio topológico cofinito es separable. Por el apartado 1
basta suponer que X es infinito no numerable. Además por el Ejercicio 3.19, todo subconjunto infinito de X es denso. Por lo tanto, todo
conjunto infinito numerable de X es denso y X posee tales subconjuntos,
ver Teorema A.5.15.
7. La recta real conumerable no es separable, ya que todo subconjunto contable de R es cerrado y por tanto no puede ser denso en R ya que R
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5. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD Y CONVERGENCIA DE SUCESIONES
tiene cardinal no numerable (Ejemplo A.5.21(2)). Esto mismo ocurre en
general si X es infinito no numerable y tiene la topologı́a conumerable.
Proposición 5.1.3. La separabilidad es una propiedad topológica.
Observación 5.1.4. Esta proposición muestra qué caracterı́sticas debe tener
una propiedad topológica: estar basada en el concepto de abierto (o conceptos
que nazcan de él) y en aquellos que son respetados por las biyecciones, como los
cardinales.
Ejemplos 5.1.5.
1. La separabilidad no es hereditaria. Un ejemplo tı́pico de este hecho es
el plano de Moore (Ejemplo 4.2.8). Veremos que el eje horizontal no lo
es. Veamos en primer lugar que D := {(a, b) ∈ Q2 | b > 0} ⊂ H es
denso. Para ello basta observar que todo elemento B de la base B :=
{B((a, b); r), Ḃ((a, b); b) | (a, b) ∈ H, 0 < r ≤ b} contiene una bola del tipo
B((a, b); r) contenida en U := {(a, b) ∈ R2 | b > 0}. Como B((a, b); r)
es abierta en la topologı́a usual y en ella Q2 es denso (Ejercicio 4.13),
entonces B((a, b); r) ∩ Q2 6= ∅ y esta intersección está en U , por lo que
B ∩ D ⊃ B((a, b); r) ∩ D % ∅.
Por tanto, D es denso en M (Ejercicio 4.6(10)). En cambio el eje horizontal L := {(x, 0) | x ∈ R} hereda la topologı́a discreta (Ejemplo 4.2.8)
y su cardinal es no numerable (#L = #R); por tanto (L, M|L ) no es
separable (Ejemplo 5.1.2(5)).
2. Si X es separable y U ⊂ X es abierto, entonces U es separable. Esto es
una consecuencia inmediata de la Propiedad 3.3.3(4). Si A ⊂ X es denso
Ejer. A.5.12(1)
y #A ≤ ℵ0 , entonces #(A ∩ U )
≤
#A ≤ ℵ0 . Veamos que A ∩ U es
denso en A; sea V un U -abierto no vacı́o, es decir un X-abierto contenido
en U . Por tanto (A ∩ U ) ∩ V = A ∩ V 6= ∅.
Ejercicio 5.1. ♠ Estudia si las topologı́as de los Ejercicios 4.10 y 4.22 son
separables o no.