GEOMETRÍA ANALÍTICA GUÍA DE ESTUDIO (PRIMER PARCIAL

GEOMETRÍA ANALÍTICA
GUÍA DE ESTUDIO (PRIMER PARCIAL)
UNIDAD 1. SISTEMAS COORDENADOS
TEMA 1. PUNTOS EN EL PLANO
Geometría Analítica: Rama de las matemáticas que estudia la geometría euclidiana en la que se
asocia una curva con una ecuación y se utiliza el plano cartesiano como referencia.
René Descartes: Filósofo matemático y físico francés considerado el padre de la Geometría Analítica y
creador del plano cartesiano.
Plano cartesiano: Está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan
en un punto, a éstas se les llama ejes cartesianos. Tiene como finalidad describir la posición de puntos,
los cuales se representan por sus coordenadas.
Eje de las abscisas: Es la recta horizontal del plano cartesiano, también conocido como eje X.
Eje de las ordenadas: Es la recta vertical del plano cartesiano, también conocido como eje Y.
Origen: Es el punto en donde se cortan las dos rectas del plano cartesiano, se representa como (0,0).
Coordenadas: También son conocidas como parejas ordenadas y se escriben de la forma (x,y), por
ejemplo: (5,7), (-2,4), (-1,-8), (3,-4), (9,0), (-2,0), (0,3), (0,-5).
Cuadrantes: Son las regiones que forman los ejes coordenados, en total son cuatro.
(-,+)
(+,+)
(-,-)
(+,-)
TEMA 2. LUGARES GEOMÉTRICOS
Lugar geométrico: Gráfica cuyos puntos satisfacen una ecuación algebraica con dos variables que se
colocan en un plano cartesiano y tiene soluciones reales. Toda pareja ordenada (x,y) de número reales
que satisface una ecuación pertenece a la gráfica y es parte de su solución.
Pasos para graficar:
1. Si se tiene una ecuación algebraica, tenemos que despejar y.
Ejemplo: Ecuación algebraica x+y-5=0  y=5-x
2. Tabulación: Dar valores a X y sustituirlos en la ecuación algebraica para encontrar Y.
3. Ejemplo:
X
Y
-1
6
 Y=5-(-1)=5+1=6
0
5
 Y=5-0=5
1
4
 Y=5-1=4
3. Formar parejas ordenadas (x,y). Ejemplo: (-1,6), (0,5), (1,4)
4. Ubicar los puntos en el plano cartesiano y unirlos para ver que figura representan.
Recta
Circunferencia
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Elipse
Parábola
Hipérbola
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Observaciones:





Cuando en la ecuación las variables tienen potencia 1, es decir, sólo estén expresadas como X
y Y, el lugar geométrico que representa es un RECTA.
Cuando en la ecuación UNA de las variables tiene potencia 2, es decir, X2 o Y2, el lugar
geométrico que representa es un PARÁBOLA.
Cuando en la ecuación las DOS variables tienen potencia 2, es decir, X2 y Y2 y además los
coeficientes de X y Y son iguales, el lugar geométrico que representa es una
CIRCUNFERENCIA.
Cuando en la ecuación las DOS variables tienen potencia 2, es decir, X2 y Y2 y los coeficientes
de X y Y sean distintos, el lugar geométrico que representa es una ELIPSE.
Cuando en la ecuación las DOS variables tienen potencia 2, es decir, X2 y Y2 y están
𝑋2
𝑦2
expresadas como cocientes, es decir 𝑎2 y 𝑏2 donde a y b son los coeficientes, y además la
ecuación está igualada a 1, el lugar geométrico que representa es una HIPÉRBOLA.
Gráficas y simetría: Cuando se tiene una ecuación de dos variables y se quiere graficar su lugar
geométrico, es necesario analizar algunas propiedades de las gráficas:
1. Intersecciones con los ejes: Son los valores en los que la línea del lugar geométrico cruza los
ejes coordenados.


Si y=0, el punto (x,0) corta la gráfica el eje X
Si x=0, el punto (0,y) corta la gráfica el eje Y
2. Simetría: En un plano cartesiano, dos puntos son simétricos si están a la misma distancia de un
punto (x0,y0). Hay dos tipos de simetría.

Con los ejes:
Si f(x)=f(-x) es simétrica respecto al eje Y
Si f(y)=f(-y) es simétrica respecto al eje X

Con el origen
Si se cumplen las dos anteriores
TEMA 3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La fórmula para calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera P1(x1,y1) y P2(x2,y2) ubicados en un
plano cartesiano es:
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2





Tú eliges cuál es el punto P1(x1,y1) y cuál el punto P2(x2,y2).
Ten la precaución de colocar primero la coordenada x y luego la y.
No mezcles subíndices, es decir, NO debes colocar (x 1,y2) o (x2,y1).
Aplica correctamente las leyes de los signos de la suma y de la multiplicación.
Ten en cuenta que no existen raíces cuadradas negativas.
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TEMA 4. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
𝑎
Razón: Relación entre dos cantidades, ya sea como diferencia (a-b) o como cociente 𝑏 .
Segmento: Es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados puntos
extremos. En un plano cartesiano, los extremos de un segmento, están dados por los puntos P1(x1,y1) y
P2(x2,y2). Existe un punto P(x,y) que divide al segmento en una razón dada. Esta razón se obtiene con
las siguientes fórmulas:
𝑟=
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥
𝑟=
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦
Si ya contamos con el dato de la razón (r) y nos piden encontrar el punto P(x,y), de la fórmula anterior,
obtenemos:
𝑥 +𝑟𝑥 𝑦 +𝑟𝑦
𝑥 +𝑟𝑥
𝑦 +𝑟𝑦
𝑃 ( 1 2 , 1 2) donde 𝑥 = 11+𝑟 2
y
𝑦= 1 2
1+𝑟
1+𝑟
1+𝑟
Caso especial: Cuando r = 1, el punto P(x,y) divide exactamente por la mitad al segmento, es decir
forma dos partes iguales, a esto se le llama PUNTO MEDIO y se obtiene mediante la siguiente fórmula:
𝑃(
𝑥1 +𝑥2 𝑦1 +𝑦2
2
,
2
)
donde
𝑥=
𝑥1 +𝑥2
2
y
𝑦=
𝑦1 +𝑦2
2
TEMA 5. PERÍMETROS Y ÁREAS
Triángulo:
Cuadrado:
𝑃 =𝑎+𝑏+𝑐
𝐴=
𝑃 = 𝑙 + 𝑙 + 𝑙 + 𝑙 = 4𝑙
𝑏∗ℎ
𝐴 = 𝑙 ∗ 𝑙 = 𝑙2
2
Rectángulo:
Rombo:
𝑃 = 2(𝑏 + ℎ)
𝑃 = 𝑙 + 𝑙 + 𝑙 + 𝑙 = 4𝑙
𝐴=𝑏∗ℎ
𝐴=
𝐷∗𝑑
2
TEMA6. PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
Equilátero:
Isósceles:
Escaleno:
3 lados iguales
2 lados iguales
Ningún lado igual
L.ACT. KATY CARMEN RIVERO GUAL
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