GeomTrig_BT - Centro de Bachillerato Tecnológico Agropecuario

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE SONORA
Módulo de aprendizaje
Geometría y Trigonometría
Hermosillo, Sonora, enero del 2010
COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA
DIRECCIÓN ACADÉMICA
Departamento de Desarrollo Curricular
Calle La escondida no. 34, Col. Santa Fe,
Hermosillo, Sonora, México. C.P. 83249
Geometría y trigonometría
Módulo de aprendizaje
Copyright ©, 2010 por Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora
Todos los derechos reservados
Primera edición 2010. Impreso en México
Registro ISBN:
DIRECTORIO
MTRO. Martín Alejandro López García
Director General
M.C. José Carlos Aguirre Rosas
Director Académico
ING. José Francisco Arriaga Moreno
Director Administrativo
L.A.E. Martín Francisco Quintanar Luján
Director de Finanzas
LIC. Alfredo Ortega López
Director de Planeación
Lic. Gerardo Gaytán Fox
Director de Vinculación
C.P. Rafael Pablos Tavares
Director del Órgano de Control
Geometría y Trigonometría
Datos del alumno
Nombre ________________________________________________________
Plantel _______________________Grupo ______________Turno _________
Domicilio _______________________________________________________
___________________________________ Teléfono ___________________
Celular _____________________ e-mail _____________________________
COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA.
DIRECCIÓN ACADÉMICA
Departamento de Desarrollo Curricular
Calle La Escondida #34, Col. Santa Fe,
Hermosillo, Sonora, México. CP. 83249
Geometría y trigonometría
Módulo de aprendizaje
Segundo semestre
Elaboradores
Eneida Domínguez Gracia
Francisco Javier Cruz Barra
Jorge Luis Figueroa Arce
Ranulfo González Olivas
Ma. Asunción Santana Rojas
Supervisión académica
Ma. Asunción Santana Rojas
Eneida Esmeralda Montaño Martínez
Jesús Enrique Córdova Bustamante
Coordinación técnica
Sandra Elivia Becerril López
Coordinación general
José Carlos Aguirre Rosas
BACHILLERATO TECNOLÓGICO
UBICACIÓN CURRICULAR
COMPONENTE:
de formación básica
CAMPO DE CONOCIMIENTO:
Matemáticas
CRÉDITOS: 8
HORAS SEMANALES: 4
ASIGNATURA
ANTECEDENTE:
Álgebra
ASIGNATURA
CONSECUENTE:
Cálculo
ESTRUCTURA GENERAL DE LA MATERIA DE GEOMETRÍA Y
TRIGONOMETRÍA
GEOMETRÍA Y
TRIGONOMETRÍA
GEOMETRÍA
Figuras Geométricas
Generalidade
s
Ángulos
Triángulos
Polígonos
Circunferencia
TRIGONOMETRÍA
Funciones Trigonométricas
Relaciones
Trascendentes
Identidades
Trigonométricas
Ecuaciones
Trigonométricas
Ecuaciones
Exponenciales
Ecuaciones Logarítmicas
INDICE
Presentación………………………………………………………………………………………..
14
Recomendaciones para el alumno …………………………………………………………….....
15
Competencias……………………………………………………………………………………….
17
UNIDAD I: GEOMETRÍA
19
Evaluación diagnóstica…………………………………………………………………………….
21
1.1 Generalidades
23
1.1.1. Antecedentes Históricos y conceptos básicos………………………….………………
23
1.1.2. Conceptos básicos…………………………………………………………………………
26
1.1.3. Método deductivo…………………………………………………………………………
28
1.1.4. Método inductivo………………………………………………………………………….
29
1.2 Ángulos
33
1.2.1. Notación y clasificación…..….…………………………………………………………..
33
1.2.2. Sistemas de Medición …………………………………………………………………….
39
1.2.3. Conversiones………………………………………………………………………………
41
1.2.4. Teoremas…………………………..………………………………………..…………….
47
1.3 Triángulos
52
1.3.1. Notación y Clasificación…….……………………………………………………………
52
1.3.2. Rectas y puntos notables…….…………………… …………………………………….
54
1.3.3. Teoremas…………………..…….………………………………………………………..
58
Autoevaluación…………………………..……………………… ……….……………………..
69
Instrumentos de evaluación………………………………………………………………………
72
UNIDAD
II:
POLIGONOS,
TRIGONOMETRICAS.
CIRCUNFERENCIAS
Y
FUNCIONES
75
Evaluación diagnóstica…………………………………………………………………………….
77
2.1 Polígonos
79
11
2.1.1. Notación y Clasificación………………………………………………………………….
79
2.1.2. Ángulos interiores y exteriores…..………………………………………………………
83
2.1.3. Diagonales………..…………..………………….………………………………………..
85
2.1.4. Perímetros y áreas…..……………………………………………………………………
89
2.1.5. Teoremas………………………………………………………………………………….
93
2.2 Circunferencia
97
2.2.1. Elementos…..………………………………………..….………………………………..
97
2.2.2. Ángulos en la circunferencia……………………………………………………………..
101
2.2.3. Área del Círculo………………………………………………………………………….
104
2.2.4. Perímetros. ……..………………………………………….……………………………..
105
2.2.5. Áreas de Figuras circulares….…………………………………………………………
111
2.2.6. Teoremas………..…..…………………………………………………………………….
115
2.3 Funciones Trigonométricas
118
2.3.1. Relaciones trigonométricas…………….……………………………………………….
118
2.3.2. Funciones en el triángulo rectángulo…………………………………………………..
122
2.3.3. Funciones en el triángulo rectángulo…...….………………………………………….
124
2.3.4. Funciones en el círculo unitario…………...…………………………………………….
127
2.3.5. Resolución de triángulos rectángulos…………..……………………….....................
129
Autoevaluación…………………………..……………………… ……….……………………..
136
Instrumentos de evaluación…..………..……………………… ……….……………………..
138
UNIDAD III: TRIGONOMETRÍA
141
Evaluación diagnóstica……………………………………………………………………………..
3.1 Triángulos Oblicuángulos
143
144
3.1.1. Ley de senos………………………….…………………………………………………..
144
3.1. 2. Ley de cosenos……………………….………………………………………………….
151
12
3.2 Identidades trigonométricas
155
3.2.1. Identidades fundamentales………………………….…………………………………..
155
3.2. 2. Demostración de identidades…..……………….……………………………………..
159
3.3 Ecuaciones Trigonométricas
162
3.3.1. Propiedades…..……………………….………………………………………………….
162
3.3. 2. Procedimientos de solución………….…………………………………………………
164
3.4 Ecuaciones Exponenciales
168
3.4.1. Propiedades…………………………….………………………………………………..
168
3.4. 2. Procedimientos de solución…….…….………………………………………………...
170
3.5 Ecuaciones Logarítmicas
172
3.5.1. Propiedades…………………….…….………………………………………………….
172
3.5.2. Procedimientos de solución…….…….…………………………………………………
173
Autoevaluación…………………………..……………………… ……….……………………..
179
Instrumentos de evaluación……………..……………………… ……….……………………..
181
Criterios de evaluación…………………………………………………………………………..
183
Respuestas de las autoevaluaciones…………………………………………………………..
186
Glosario…………………………………………………………………………………………….
192
Bibliografía……………………………………………………………………………………….
199
13
PRESENTACIÓN
El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, comprometido
con la calidad educativa, ha implementado acciones que apoyan tu desarrollo académico,
siendo una de estas, la elaboración del presente módulo de aprendizaje, el cual pertenece
a la asignatura de Álgebra, que cursarás durante este tu primer semestre.
La asignatura de Geometría y Trigonometría, tiene como propósito desarrollar la
capacidad de la orientación espacial, mediante el análisis y representación de problemas
que implican figuras geométricas en un clima de participación y responsabilidad.
Para lograr lo anterior, éste módulo de aprendizaje se conforma de tres unidades,
descritas a continuación:
UNIDAD I. Geometría
UNIDAD II. Polígonos, circunferencia y funciones trigonométricas
UNIDAD III. Trigonometría
En el contenido de estas unidades, se relaciona la teoría con la práctica, a través de
ejercicios, encaminados a apoyarte en el desarrollo de las competencias requeridas para
los alumnos que cursan esta asignatura.
Seguros de que harás de este material, una herramienta de aprendizaje, te invitamos a
realizar siempre tu mayor esfuerzo y dedicación para que logres adquirir las bases
necesarias, para tu éxito académico.
14
RECOMENDACIONES PARA EL ALUMNO
El presente módulo de aprendizaje, representa un importante esfuerzo que el Colegio de
Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, ha realizado, para brindarte los
contenidos que se abordarán en la asignatura de Geometría y Trigonometría.
Los contenidos de Geometría, serán abordados a través de diversos textos, ejercicios,
evaluaciones, entre otras actividades. Cabe mencionar, que algunas de las actividades
propuestas las deberás realizar de manera individual mientras que en algunas otras,
colaborarás con otros compañeros formando equipos de trabajo bajo la guía de tu
profesor.
Para lograr un óptimo uso de este módulo de aprendizaje, deberás:
 Considerarlo como el texto rector de la asignatura, que requiere sin embargo, ser
enriquecido consultando otras fuentes de información.
 Consultar los contenidos, antes de abordarlos en clase, de tal manera que tengas
conocimientos previos de lo que se estudiará.
 Participar y llevar a cabo cada una de las actividades y ejercicios de aprendizaje,
propuestos.
 Es muy importante que cada una de las ideas propuestas en los equipos de
trabajo, sean respetadas, para enriquecer las aportaciones y lograr aprendizajes
significativos.
 Considerarlo como un documento que presenta información relevante en el área
de las Matemáticas, a ser utilizado incluso después de concluir esta asignatura.
 Identificar las imágenes que te encontrarás en los textos que maneja el módulo de
aprendizaje, mismas que tienen un significado particular:
Esperando que este material de apoyo, sea de gran utilidad en tu proceso de aprendizaje
y así mismo, despierte el interés por conocer y aprender más sobre esta ciencia, te
deseamos el mayor de los éxitos.
15
Evaluación diagnóstica que cada estudiante debe responder al inicio de
cada unidad para saber su grado de conocimiento.
Ejercicio que se elaborará en equipo.
Ejercicio que se elaborará de manera individual.
Ejemplo del tema tratado en clase.
Tarea que se elaborará en casa, relacionada con el tema visto en clase.
Tarea de investigación.
Material recortable que utilizará para resolver algunas de las tareas a
elaborar en casa.
Ejercicios que se elaborarán para aplicar lo aprendido en casos de la vida
cotidiana.
Examen de autoevaluación que se resolverá al final de cada unidad.
Aprendizajes a lograr, descritos al inicio de cada subtema.
16
COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA
Desarrollar la capacidad de la orientación espacial, mediante el análisis y
representación de problemas que implican figuras geométricas, en un clima
de participación y responsabilidad.
Utiliza reglas modelos algebraicos para resolver problemas geométricos
Resuelve problemas cotidianos utilizando operaciones algebraicas.
17
COMPETENCIAS
 Genéricas:
Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta
los objetivos que persigue.
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
 Disciplinarias:
Construir e interpretar modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y
análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Formular y resolver problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Explicar e interpretar los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
18
Unidad I
GEOMETRÍA
19
COMPETENCIAS
Al término de esta unidad, el estudiante:
Construir e interpretar modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos,
geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o
formales.
Formular y resolver problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Explicar e interpretar los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta
con modelos establecidos o situaciones reales.
TEMARIO
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
GENERALIDADES
Antecedentes Históricos
Conceptos básicos
Método deductivo
Método inductivo
1.2.
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.
ÁNGULOS
Notación y clasificación
Sistemas de medición
Conversiones
Teoremas
1.3.
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
TRIÁNGULOS
Notación y clasificación
Rectas y puntos notables
Teoremas
Evaluación diagnóstica
A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción
múltiple relacionadas con operaciones básicas y algunos temas
de álgebra que profundizarás con más detalle a lo largo a las
actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas
subrayando la respuesta correcta.
Las respuestas podrás
encontrarlas al final del cuaderno de trabajo.
1.- Rama de las Matemática que estudia las figuras y sus propiedades.
a) Álgebra
b) Probabilidad
c) Aritmética
d) Geometría
e) Cálculo
2.- Figura formada por tres lados y tres ángulos
a) Rectángulo
b) Circunferencia
c) Triángulo
d) Rombo
e) Trapecio
3.- Un ángulo recto es aquel cuya medida corresponde a:
a) 180°
b) 90°
c) 45°
d) 360°
e) 270°
4.- Se les llama así a las líneas que nunca se juntan o intersectan por más que se
prolonguen.
a) Oblicuas
b) Paralelas
c) Perpendiculares
d) Concurrentes
e) Divergentes
5.- Nombre que recibe el ángulo que mide menos de 90°
a) Completo
b) Llano
c) Entrante
d) Recto
e) Agudo
21
6.- Dos figuras que tiene la misma forma pero diferente tamaño se llaman:
a) Congruentes
b) Equivalentes
c) Semejantes
d) Opuestas
e) Excluyentes
7.-Las líneas que al cortarse forman ángulo de 90° reciben el nombre de:
a) Paralelas
b) Perpendiculares
c) Concurrentes
e) Divergentes
e) Equivalentes
8.- Nombre que recibe el ángulo que mide el ángulo de 180°
a) Colineal o llano
b) Recto
c) Obtuso
d) Entrante
e) Agudo
9.- Nombre que recibe el triángulo con tres lados iguales.
a) Triángulos
b) Equiángulo
c) Obtusángulo
d) Equilátero
e) Isósceles
10.- Es la medida de los ángulos interiores de todo triángulo.
a) 45°
b) 90°
c) 180°
d) 360°
e) 270°
22
1.1. GENERALIDADES
1.1.1. Antecedentes Históricos
Sesión
3
Aprendizajes a lograr
 Conoce y diferencia las aportaciones más relevantes que
hicieron culturas como los babilonios, asirios, egipcios y los
griegos
 Identificar personajes que le dieron el carácter de ciencia a la
geometría.
 Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos
teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
 Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
Sin duda alguna, ya estás familiarizado con figuras geométricas y algunas propiedades
características de cada una de ellas, sin embargo el propósito de este tema es que
conozcas algunos hechos trascendentales a lo largo de la historia; y como algunas
culturas de la antigüedad hicieron aportaciones importantes a la geometría.
Posteriormente tendrás la oportunidad de profundizar con más detalle reuniéndote en
equipo y de forma individual resolverán situaciones donde apliquen las propiedades y
teoremas importantes en la solución de problemas reales.
Como podrás recordar, la Geometría es una ciencia que estudia las propiedades de las
figuras geométricas, sin embargo es considerada como una de las Ramas de las
Matemáticas más intuitivas y relacionadas con la realidad y que ha evolucionado en forma
creciente en abstracciones y generalidades.
EJEMPLO
.
En la historia de la humanidad se han hecho inventos que
se basaron en propiedades y características de distintas
figuras y cuerpos geométricos; como la rueda cuya
aplicación inicial fue al transporte y posteriormente se aplicó
a los molinos de granos. En Egipto la construcción de las
pirámides requirió de conocimientos de la Geometría.
23
Ejercicio no. 1
Individual
Realiza la siguiente lectura y contesta el cuestionario localizado al
final de esta actividad.
Etapas de la Geometría
Según escritos encontrados a lo largo de la historia de la humanidad, los hechos más
importantes referidos a la ciencia de la Geometría apuntan a las culturas de los
babilonios, egipcios y los griegos.
Sumerios –Babilonios.
Las culturas que se desarrollaron alrededor de los ríos Tigris y Éufrates de la antigua
Mesopotamia fueron los sumerios, acadios, asirios y babilonios; en base a las
necesidades de resolver algunos problemas comunes, ya calculaban áreas de algunas
figuras geométricas, como el rectángulo y el triángulo; se les atribuye la invención de la
rueda y la obtención del grado sexagesimal como proceso de dividir la circunferencia en
360 partes iguales, establecieron las primeras aproximaciones de pi (
mediante la
relación numérica entre el diámetro y su circunferencia.
Egipcios
Debido a que la población vivió prácticamente en los márgenes del rio Nilo, su principal
actividad fue la agricultura, uno de los problemas que enfrentaron fue los
desbordamientos del ríos en época de lluvia por lo que literalmente arrasaba con las
tierras de cultivo y que constantemente tenías que realizar medidas de perímetros y
áreas para delimitar sus parcelas con la finalidad de calcular el nuevo pago de impuestos
que debían hacer como dueños del terreno, de aquí que Geometría provenga del vocablo
Griego Geo (tierra) y metría( medida) y que significa medidas de tierras, así que
prácticamente se le atribuye el descubrimiento de la geometría a raíz de ese fenómeno.
Además calcularon áreas de triángulos como el isósceles, trapecio y círculo así como
volúmenes de poliedros como el caso de las pirámides; dieron un valor aproximado para
igual a 3.1604 , como herramienta de medición característica de esa fecha surge el cordel
como regla y compás para la construcción y diseño de las pirámides.
Griegos
Los primeros tratados formales de la geometría datan de la época de Tales de Mileto;
famoso por su teorema de las rectas paralelas y por haber hecho las primeras
aproximaciones de las alturas de las pirámides de Egipto mediante la proporcionalidad
entre los lados de los triángulos semejantes, fundó la escuela Jónica distinguiéndose
entre los discípulos más destacados Pitágoras de Samus famoso por su teorema del
triángulo rectángulo.
Otro personaje famoso fue Arquímedes de Siracusa quién descubrió diversas formas de
medir la superficie de algunas figuras curvas, así como el área y el volumen de sólidos
limitados por superficies curvas como los cilindros, aunque sobresalieron otros personajes
24
famoso por sus contribuciones, sin duda el personaje considerado por algunos como el
que le dio un orden lógico a todas las aportaciones de la Geometría fue Euclides de
Alejandría quién escribió la obra cumbre llamada los Elementos y que consiste en 13
tomos o volúmenes considerados como la base de la Geometría Elemental o Euclidiana
dichos manuscritos contiene todas las contribuciones en orden lógico compuestos por
toda la base axiomática , sus postulados, teoremas y lemas.
Cuestionario
1.- Nombre de las culturas que se establecieron en la antigua Mesopotamia y que se les
atribuye la invención de la rueda. _____________________________________________
2.- La _______________________________significa medida de tierras.
3.- Los ______________________________ le dieron carácter de ciencia a la geometría.
4.- _____________________________fue quién estableció el teorema entre las rectas
paralelas y realizó las primeras aproximaciones de la altura de las pirámides de Egipto.
5.- En_______________________ se realizaban cálculos de perímetros y áreas debido al
desbordamiento del rio__________________
6.- Este personaje _________________________ estableció el teorema que lleva su
nombre y que relaciona los cuadrados de los lados del triangulo____________________
7.8.- _______________________fue quien organizó toda la teoría de la Geometría
agrupándola en _____________volúmenes.
9.- Esta cultura _____________________ dividió la circunferencia en _______ obteniendo
así el grado_________________________
10.- Es el nombre que recibió la obra más famosa de la antigüedad y donde se organiza y
establece toda la teoría axiomática de la Geometría._____________________________
25
Sesión
4
1.1.2. Conceptos Básicos
Dentro de la Geometría existen algunos elementos considerados por algunos, como
conocimientos primitivos, por no poderse definir apropiadamente y que se consideran
como la base de la construcción de todas las figuras y cuerpos geométricos.
Aprendizajes a lograr
 Define los elementos básicos en la construcción de figuras
geométricas.
 Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos
teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
 Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
.
EJEMPLO.
Para poder trazar una línea siempre partimos de un
punto, para dibujar un ángulo utilizamos dos líneas
que parten de un mismo punto, para dibujar un plano
o superficie es necesario utilizar por lo menos tres
líneas; para construir un cuerpo geométrico
utilizamos superficies o planos
Tarea de investigación
no. 1
Investigar de manera individual, ¿cuáles son los elementos
básicos de la geometría y realiza el ejercicio No. 1 de manera
individual
26
Sesión
5
Ejercicio no. 2
Individual
En base a lo investigado previamente, completa la siguiente
tabla y comenta tus resultados ante el grupo.
Elemento Geométrico
Idea o concepción
Representación
Notación
Se considera carente
de dimensiones y se
determina a partir de la
huella que deja la
punta del lápiz o pluma
Se
caracteriza
por
medio de una sucesión
continua de puntos con
una misma dirección
Plano
Segmento de recta
A
27
B
1.1.3. Método Deductivo
Aprendizajes a lograr
 Describe las características principales del método deductivo
 Describe las distintas proposiciones lógicas que hacen del
método deductivo su consistencia
 Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos
teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
 Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
Sin duda alguna; fue el razonamiento adoptado por los griegos permitiéndole construir de
forma lógica toda la teoría axiomática de la Geometría logrando alcanzar el carácter de
 Describe las características del razonamiento deductivo
ciencia.
Este método consiste en encadenar de forma lógica enunciados o proposiciones
verdaderas de tal forma que se puedan obtener nuevos conocimientos verdaderos a partir
de ellos.
Aunque no todas las proposiciones son posibles deducirse de otras, la validez o veracidad
de estas, las hace clasificarse en axiomas, teoremas, postulados, corolarios, lemas y
escolios.
Una característica significativa de este razonamiento es que comúnmente parte de leyes
generales para aplicarlas a casos particulares.
Enunciados escritos en forma deductiva:
EJEMPLO.
a. Los ángulos interiores de un triangulo suman 180°
b. El triangulo rectángulo tiene un ángulo recto.
c. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo
suman 90°
d.
Tarea de investigación no. 2
Investiga en qué consiste el método deductivo y cuales son el
tipo de proposiciones utilizadas y en qué consiste cada una de
ellas. Reúnete en equipo con la ayuda de tu profesor y contesta
el ejercicio No. 2 de manera individual
28
Ejercicio no. 3
Individual
En base a lo investigado previamente, coloca sobre las líneas la
palabra axioma, postulado, teorema, lema y corolario según tu
información obtenida.
1.- El ____________________ es una proposición que sirve de base a la demostración
de un teorema considerado en ocasiones como un teorema preliminar a otro que se
considera más importante.
2.- Esta proposición se deduce de un teorema como consecuencia del mismo.
_______________________.
3.- Es una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin ninguna demostración
_____________________.
4.- El _____________________es una proposición que puede ser demostrada mediante
el uso de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la
proposición.
5.- Se le llama así a la proposición que a pesar que no es tan evidente se admite sin
demostración.________________________.
1.1.4. Método Inductivo
Sesión
6
Aprendizajes a lograr
 Definir el método inductivo.
 Generalizar una propiedad a partir de situaciones particulares
 Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos
teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
 Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
 Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Prácticamente es lo opuesto al método deductivo por partir de situaciones particulares y
llegar a conclusiones que. generalizan una situación determinada.
Aunque en ocasiones suele ser un poco impreciso debido a que no todo el tiempo se
puede generalizar una situación particular o sacar predicciones o conjeturas verdaderas.
29
En Matemáticas puede ser útil para inducir alguna expresión que generaliza una situación
particular.
Enunciados que implican la forma inductiva:
La suma de los primeros números impares naturales:
EJEMPLO.
1=1
11 = 1
1+3 = 4
22 = 4
1+3+5= 9
32 = 9
1+3+5+7 = 16
42 = 16
1+3+5+7+9 =25
52 = 25
Entonces podemos concluir que para los primeros “n”
números naturales:
1+3+5+…..+ n = n2
Otro ejemplo que genera una conjetura falsa es el caso siguiente:
Supongamos que un alumno se ha dado cuenta que el último viernes de cada mes,
durante los últimos tres meses, el maestro ha venido poniendo exámenes sorpresa. Esto
no garantiza que el último viernes del próximo mes el maestro aplicará un examen
sorpresa.
Tarea de investigación no. 3
Investiga en qué consiste el método inductivo.
30
Ejercicio no. 1
Grupo
Considerando la investigación realizada y reúnete en parejas
resolver las situaciones siguientes y comenta los resultados de
manera grupal.
1.- Explica brevemente en qué consiste el método inductivo y da un ejemplo.
2.- ¿Cuántos cuadros tendrá la figura siguiente? ___________
3.- Observa la situación siguiente y concluye cuantos apretones de mano se darán 7
personas? __________________________
1 persona
2 personas
3 personas
4 personas
0 apretones de
manos
1 apretones de
manos
3 apretones de
manos
6 apretones de
manos
31
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana
Nombre ____________________________________________________
Grupo ________________________ Turno _____________________
Fecha _____________________________________________________
Instrumento de evaluación _____________________ Página _________
Escribe sobre la línea, las palabras: Línea horizontal, líneas paralelas, línea vertical,
ángulo, plano y líneas perpendiculares; según lo indique cada una de las letras en la
vivienda.
a: ______________________
B: ______________________
D: _______________________ E: _____________________
C: ________________________
F: __________________________
a
D
F
C
B
E
32
1.2. ÁNGULOS
1.2.1. Notación y clasificación
Sesión
7
Aprendizajes a lograr
 Define y representa de forma simbólica y geométrica a los
ángulos
 Diferencia con efectividad a los ángulos de acuerdo a su
medida y comparación con otro.
 Nombra a los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas
cortadas por una secante o transversal.
 Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos
teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
 Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
En la vida cotidiana, estamos rodeados de figuras geométricas y muchas de ellas
tienen como elementos a los ángulos.
EJEMPLO.
33
Ejercicio no. 4
Individual
Revisa la siguiente información referente a la definición, notación
y clasificación de los ángulos y contesta la actividad al final de la
lectura.
Cuando dos rectas se cortan o intersectan, dividen al plano en cuatro regiones llamadas
ángulos. En particular si nos referimos a uno de ellos, entonces un ángulo es el que se
forma por dos semirrectas que parten del mismo punto. Las semirrectas reciben el
nombre de lados del ángulo y el punto de partida se llama vértice.
Lado
Vértice
Ángulo
Lado
En la notación de los ángulos se utiliza el símbolo
precedido de una letra mayúscula
que se coloca en el vértice; o tres letras mayúsculas cuidando que la que se encuentra
en el vértice quede en medio de las otras dos; también se utiliza una letra minúscula o
un número arábigo que se coloca dentro del ángulo.; la letra minúscula también puede ser
una letra del alfabeto griego.
A
BAC ó CAB
34
a
En base a su medida los ángulos reciben diferentes
nombres
Agudo menos de 90°
menomenos
Colineal o llano =
180°
Recto
90°90
=
Obtuso mayor
90°
90°90
90°
Entrante o cóncavo mayor a 180°
de
Perígono o completo = 360°
Actividad: Escribe el nombre correspondiente en torno su medida de cada uno de los
ángulos identificados en la vivienda.
A
D
E
B
C
C = _______________
D = _______________
E = ______________
35
Cuando un ángulo comparte elementos en común con otro, entonces estos ángulos
reciben diferentes nombres dependiendo a la posición y amplitud de cada uno de ellos.
Una recta que corta a dos rectas paralelas, forma con ella 8 ángulos. Por la posición que
tiene cada uno de ellos reciben diferentes nombres.
Los ángulos
a y
b
b reciben el nombre de
c
ángulos externos
f
g
a
d
e
h
Tarea de investigación no. 4
Investiga
en qué consisten los ángulos adyacentes,
consecutivos, opuestos por el vértice, complementarios,
suplementarios, conjugados y los ángulos formados por dos
rectas paralelas cortadas por una secante o transversal y con
ella resuelve el ejercicio No. 4 de la siguiente sesión.
Grupo
Ejercicio no. 2
Reúnete en pareja y tomando como referencia la tarea de
investigación No. 4, realiza la siguiente actividad y compara tus
respuestas ante el grupo.
I.- Identifica los ángulos que correspondan en cada figura y escribe en la segunda
columna el número o números que correspondan al tipo de ángulos de acuerdo a su
definición.
1
a
3
2
b
b
a
a
b
36
6
5
a
a
4
b
b
b
c
a
ÁNGULOS
FIGURA No.
Complementarios
Adyacente
2 y
Suplementarios
Consecutivos
Conjugados
Opuestos por el vértice
2.- Escribe en los espacios en blanco la palabra que concuerde con el enunciado.
a) Son dos ángulos que sumados equivalen a 90° ________________________
b) Los ángulos ___________________________suman 360°
c) Los ángulos________________________ son los que están formados de tal manera
que un lado es común y los otros dos pertenecen a la misma recta.
d) _____________________________tienen el mismo vértice y los lados de uno son las
prolongaciones del otro además son iguales.
e) Los ángulos_________________________ suman 180°
f) Son aquellos que tiene un lado en común y el mismo vértice. ____________________
37
3.- Identifica en la siguiente figura el nombre que corresponda a los siguientes
b
a
c
f
g
NOMBRE DEL ÁNGULO
d
e
h
LETRAS
a
Externos
Internos
e
Alternos – externos
a= g
Alternos-internos
Correspondientes
c= e
a= e
38
1.2.2. Sistemas de medición
Aprendizajes a lograr
Sesión
9
 Identifica y diferencia las características propias de cada
sistema de medición
 Realiza conversiones de la forma sexagesimal a decimal y
viceversa.
 Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos
teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
 Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
Las unidades de medidas angulares más comunes son los grados sexagesimales y lo
radianes.
El sistema sexagesimal consiste en la división de la circunferencia en 360m partes
iguales, una de esas partes corresponde a un grado 1°. A su vez cada grado se divide en
60 partes iguales llamadas minutos (´) y cada minuto en 60 partes iguales llamados
segundos (”).
Un ángulo que mida 23 grados con 15 minutos y 12 segundos se escribe como:
23° 15´12”.
El sistema Circular: su unidad de medida es el
radián (rad), consiste en la abertura de un ángulo
cuyo vértice está en el centro de la circunferencia
y sus lados cortan un arco cuya longitud es igual
al radio de la misma.
39
Generalmente utilizamos medidas angulares como
23.42° la cual llamaremos forma común o decimal.
Para expresarla a la forma sexagesimal, se
multiplica la parte decimal por 60. (0.42°) x 60
=25.2´ entonces tenemos 25 minutos (25´) y la
parte decimal (0.2´) x 60 = 12”. Por lo tanto la
medida 23.42° = 23° 25´12”.
EJEMPLO.
Si se tiene un ángulo en forma sexagesimal 42° 25´ 42” para convertirlo a la forma
común, dividimos 42”/60 = 0.7 y lo sumamos a los minutos 25´+ 0.7 = 25.7´ y dividimos
de nuevo entre 60.
25.7´/60 = 0.428° y se lo sumamos a lo grados obteniendo 42.428° = 42° 25´42”.
Ejercicio no. 5
Individual
Realiza las siguientes conversiones como se te indica en cada
parte.
I. Convierte cada medida a la forma sexagesimal.
a) 42.543° = _______________________
b) 56.5°
= _______________________
c) 75.92° = _______________________
II. Convierte las siguientes medidas a la forma decimal.
a) 45° 42´56” = _____________________
b) 79° 10´40” = _____________________
c) 210° 32´45” = ____________________
40
1.2.3. Conversiones
Aprendizajes a lograr
Sesión
10
 Conoce y aplica la equivalencia en la conversión de
unidades angulares
 Realiza conversiones de grados a radianes y radianes a
grados.
 Realiza conversiones entre el sistema de radianes a grados
como múltiplos de
 Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos
teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos
y herramientas apropiados.
 Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
De acuerdo a definición del radián; hay 2 rad en la circunferencia, entonces como
Consecuencia
2 rad = 360° ó
Si
EJEMPLO.
rad = 180°
rad = 180° ¿cuántos grados equivale 1 radián?
Utilizando una regla de tres simple:
1 rad = 180/3.1416 = 57.29° = 57° 17´ 44”
Para convertir 1.5 rad a grados solo se multiplica por 57.29°
1.5 (57.29°) = 85.935°
Para convertir 200° a radianes solo se divide entre 57.29°
200°/57.29° = 3.49 rad
41
Ejercicio no. 6
Individual
Realiza las siguientes conversiones como se te indica en
cada parte y comparte tus respuestas ante el grupo.
I. Utiliza la equivalencia 1rad = 57.29° y convierte las siguientes medidas a grados.
a) 6 rad =
__________________
b) 1.4 rad = __________________
c) 4.5 rad = __________________
II. Utiliza la equivalencia 1rad = 57.29° y convierte las siguientes medidas a radianes.
d) 400° = ___________________
e) 160° = ___________________
f)
80° = __________________
42
Sesión
11
Cuando la medida de un ángulo está como múltiplo de
este valor por 180°.
Si queremos convertir
rad simplemente sustituimos
radianes, se sustituye
por 180° en este caso
Otro caso
Ejercicio no. 3
Grupo
Reúnete en parejas y completa la tabla siguiente utilizando
los ejemplos anteriores, posteriormente comparte tus
respuestas ante el grupo
Radianes
Grados
30°
45°
90°
120°
43
180°
210°
270°
44
Tarea no. 1
Nombre _________________________________________________
Grupo ____________________
Turno ______________________
Fecha __________________________________________________
Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios:
1.- Al expresar en grados a
a) 60°
b) 170°
se obtiene:
c) 360°
d) 270°
e) 300°
2.- Expresar 3/2 radianes en grados, nos da como resultado:
a) 100°
b) 720°
c) 270°
d) 150°
e) 60°
3.- Al cambiar 4π/5 a grados se obtiene como resultado:
a) 144°
b) 414°
c) 414°
d) 414°
e) 144°
Resultado ___________
Recomendaciones y observaciones _____________________________
___________________________________________________________
__________________________________________________
___________________________________________________________
45
___
46
1.2.4 Teoremas
Aprendizajes a lograr
Sesión
12
 Conoce los teoremas relacionados con ángulos
 Resuelve problemas donde aplica los distintos teoremas
relacionados con los ángulos
 Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos
teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos
y herramientas apropiados.
 Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
 Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Teorema No.1 Dos ángulos adyacentes son
suplementarios.
EJEMPLO.
Por definición dos ángulos son adyacentes si
tienen el mismo vértice y tienen un lado en común,
estando los lados no comunes sobre la misma
recta.
Teorema No.2: Los ángulos opuestos por
el vértice son iguales.
47
En la figura se muestran dos ángulos adyacentes, determina el valor de x.
Solución: Los ángulos 2x y x+60° son suplementarios, por lo tanto suman 180°; es decir
tendremos la ecuación 2x +x + 60° = 180°
Reduciendo los términos semejantes y
transponiendo 60°; la ecuación se convierte
en:
3x = 180°-60° =120°.
resulta:
Despejando el 3
X + 60°
2X
x = 120°/3 = 40°
Ejercicio no. 4
Grupo
Reúnete en equipo de tres y determina el valor de la incógnita
en cada uno de los siguientes ejercicios
2
1
x+30°
x-20°
110°
48
76°
Teorema
No.3:
Los
ángulos
consecutivos alrededor de una recta
suman 180°
Sesión
13
Teorema No.4: Los ángulos consecutivos
alrededor de un punto suman 360°
Solución: Los ángulos son consecutivos y por lo tanto la
suma
equivale
360°.de x, en la siguiente figura.
Determina
el avalor
En este caso la suma de los ángulos se obtiene de la
expresión:
2X
X + 12°
X - 6°
2x+ (x+12°) + (x-6°) + 110° =360°; reduciendo los
términos semejantes y eliminando paréntesis se obtiene:
4x + 116° = 360°, despejando x se tiene:
49
110°
Ejercicio no.5
no.11
Grupo
Reúnete en equipo de tres y determina el valor de la incógnita
en cada uno de los siguientes ejercicios
2
1
2x
77°
x
x+30°
70°
80°
2x+4°
Procedimiento
50
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana
Nombre ____________________________________________________
Grupo ________________________ Turno _____________________
Fecha _____________________________________________________
Instrumento de evaluación _____________________ Página _________
Resuelva cada uno de los siguientes problemas:
1.- En la figura el ángulo que forma la escalera con la pared es de 43° 24´. Determina el
a) 47°
b) 147°36´
c) 46° 36´
d) 43° 36´
e) 47° 36´ 45”
2.- Un clavo se encuentra insertado justo en la parte superior de un neumático; ¿cuántos
grados tiene que girar la rueda para que el neumático se encuentre justo entre el
neumático y el suelo?
a) 90°
b) 360°
c) 270°
d) 45°
51
e) 180°
Sesión
14
1.3 TRIÁNGULOS
1.3.1 Notación y clasificación
El triángulo es una figura formada por tres lados y tres ángulos; sus propiedades y
teoremas relacionados, son una pieza importante en la solución de problemas reales.
Aprendizajes a lograr
 Conoce la diferentes formas de representarlos
 Define a los triángulos en base a la medida de sus lados y sus
ángulos
 Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos
teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
 Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
 Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
EJEMPLO.
Las propiedades de rigidez de los triángulos son de
suma importancia en la construcción de estructuras
por que le dan firmeza y estabilidad.
52
Tarea de investigación no. 5
Investiga el concepto de triángulos, la notación y su clasificación
en términos de los lados y sus ángulos y resuelve el ejercicio No.8
Ejercicio no. 6
Grupo
En base tarea de investigación No.5 de la Reúnete en equipos
de tres integrantes y resuelve los siguientes ejercicios.
I.
Relaciona las dos columnas, escribiendo en el paréntesis de la columna de la
izquierda la clave de la respuesta localizada en la columna de la derecha
(
(
(
(
)
)
)
)
(
)
(
)
(
)
Es la figura formada por tres lados y tres ángulos
Se le llama así al triángulo con tres lados iguales
Es el nombre del triángulo con un ángulo recto.
Nombre del triángulo con todos sus ángulos
agudos.
Nombre del triángulo con dos lados iguales y uno
diferente.
Nombre del triángulo con sus tres lados diferentes
Nombre del triángulo con un ángulo obtuso y dos
agudos.
53
SON
BEU
ROS
OLD
Escaleno
Obtusángulo.
Equilátero
Isósceles
WE
Triángulo
NAV
Rectángulo
HER
Acutángulo
S
II.
Escribe sobre la línea el nombre que corresponda a cada triángulo de acuerdo
a su clasificación.
1.3.2. Rectas y puntos notables
Aprendizajes a lograr
Sesión
15
 Nombre e identifique las rectas y puntos notables en el
triángulo.
 Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos
teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
 Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
 Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
54
Tarea de investigación no. 6
Investiga los conceptos relacionados con rectas y puntos notables
en el triángulo y contesta de manera individual los ejercicios No. 9
EJEMPLO.
En determinada región, existen varias comunidades que
se vinculan a través del comercio. Si se quisiera
construir un centro de salud que estuviera a la misma
distancia de las tres comunidades marcadas en la figura;
el circuncentro sería el más apropiado.
Centro de Salud
55
Ejercicio no. 7
Grupo
En base tarea de investigación No.5 de la Reúnete en
equipos de tres integrantes y resuelve los ejercicios
siguientes.
I. Relaciona las dos columnas, escribiendo en el paréntesis de la columna de la izquierda
la clave de la respuesta localizada en la columna de la derecha
(
)
Semirrecta que pare del vértice y divide al
ángulo en dos partes iguales
SON
Mediana
(
)
Se le llama así al punto de intersección de las
medianas del triángulo.
JLF
Incentro
(
)
Nombre que recibe la línea que parte de uno de
los vértices y es perpendicular al lado opuesto o
a su prolongación.
ENG
Mediatriz
(
)
Nombre del punto de intersección de las alturas
del triángulo.
ROG Ortocentro
(
)
Se le llama así al la recta que es perpendicular a
un lado del triángulo en su punto medio.
BEU
Baricentro
(
)
Nombre que recibe el punto de intersección de
las mediatrices.
OLD
Altura
(
)
Recibe por nombre a la línea que parte del
vértice y pasa por el punto medio del lado
opuesto.
TWN Bisectriz
(
)
Es el punto de intersección de las bisectrices.
MAR
56
Circuncentro
II. Identifica en cada una de las siguientes figuras las rectas y puntos notables indicados.
57
Sesión
16
1.3.3. Teoremas
Aprendizajes a lograr
 Conocer los teoremas relacionados con los ángulos en los
triángulos.
 Aplicar los teoremas en la solución de problemas para
determinar ángulos en los triángulos.
 Se conoce y valora así mismo y aborda problemas y retos
teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
 Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
 Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Teorema 1: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180°
Teorema 2: En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos, son complementarios.
Teorema 3: En todo triángulo, cualquier ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos
interiores no adyacentes a él.
58
Determinar el valor del
a partir de los ángulos
conocidos.
EJEMPLO
= 180° - (52.59°+30.04°)
Solución: El
= 180° - 82.63° = 97.37°
Ejercicio no. 8
Grupo
Reúnete en equipos de tres y determina el valor del
ángulo A en cada uno de los siguientes triángulos
53°
125°
63°
2x
x
ABC Isósceles
59
Teorema de Pitágoras: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”
Sesión
17
En la figura los lados a y b se llaman catetos y c es la hipotenusa.
En el triángulo los lados a y b se llaman
catetos y el lado c se llama hipotenusa
c2 = a2 + b2
Algebraicamente se expresa por la fórmula
EJEMPLO
c
3
Determinar el valor de la hipotenusa a partir de los
catetos conocidos en el triángulo
Solución: Despejando c de la fórmula se tiene
la expresión
; sustituyendo los
valores de a y b en la formula
Se tiene
4
La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo son 15 y 9
respectivamente. Determinar la medida del otro cateto.
En esta caso el valor de c = 15 y uno de los catetos es 9. Consideremos en este caso el
cateto a = 9.
De la expresión c2 = a2 + b2 despejamos la letra b, pasando el término a2 al miembro
contrario; en este caso obtenemos b2 = c2-a2.
60
Por último despejamos el exponente y tenemos la expresión:
Sustituyendo los valores de c y a respectivamente obtenemos el valor de b como se
indica a continuación.
En el caso que se hubiera tomado el valor de b; el cateto a quedaría determinado por:
Ejercicio no. 9
Grupo
Reúnete en parejas y determina el valor de lado desconocido
en cada uno de los siguientes casos
1.- Determina el valor de la hipotenusa si los catetos de un triángulo rectángulo son: a= 6
y b= 8
2.- Determina el valor del cateto a partir de los datos que se te indican si la hipotenusa es
c = 13 y uno de los catetos vale 6
61
3.- Determina el valor de x en la figura en cada una de la siguiente figura.
12
12
x
18
Ejercicio no. 7
Individual
Realiza las siguientes conversiones como se te indica en cada
parte y comparte tus respuestas ante el grupo.
1. Determina el valor de la hipotenusa si los catetos de un triángulo rectángulo son: a= 7 y
b=7
2. Determina el valor del cateto a si la hipotenusa c= 34 y el cateto b = 15
3. Determina el valor de x en la figura.
x
6
18
62
Tarea no. 2
Nombre _________________________________________________
Grupo ____________________
Turno ______________________
Fecha __________________________________________________
INSTRUCCIONES: Resolver cada uno de los siguientes problemas, aplicando el
teorema de Pitágoras.
1.- Calcular la base del triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa 5 y como
altura 4.
a) 2
b) 3
c) 5
d) 4
e) 1
2.- ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 5m por lado?
a) 7 m
b) 5.72m
c) 7.07m
d) 25m
e) 6.17 m
3.- ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 8m?
a) 6.55 m
b) 5.65
d) 7.35 m
d) 5.56m
e) 5.75 m
Resultado ___________
Recomendaciones y observaciones
_____________________________
_______________________________________________________________
______________________________________________
63
______________________________________________________________
64
Sesión
18
Semejanza de triángulos
Definición: En general decimos que dos figuras son semejantes, cuando tiene la misma
forma pero diferente tamaño.
En particular, la semejanza de triángulos se da en los siguientes casos:
Cuando sus ángulos correspondientes son respectivamente iguales
Cuando sus lados correspondientes son respectivamente proporcionales
En ambos casos una condición implica la otra.
El triángulo ABC es semejante al triángulo A´B´C´ y se escribe ABC
En este caso los él
A= A´ ,
B=
B´ y
C=
A´B´C´
C´
La proporcionalidad de los lados correspondientes está dada por la expresión:
EJEMPLO.
Los triángulos mostrados a continuación,
semejantes. Determina el lado faltante.
Solución: Como los triángulos son
semejantes, los lados correspondientes
son proporcionales; es decir:
; despejando el valor de x se tiene:
65
son
Otro ejemplo: Supongamos que un árbol, proyecta una sombra de 25 m. en el suelo; en
ese mismo instante, una estaca de 1.2 m. de altura, proyecta una sombre de 2 m. Como
se muestra en la figura, determinar la altura del árbol.
Solución: Como los rayos solares son
paralelos, los triángulos que se forman
por los objetos y las sombras en el suelo
son semejantes.
En este caso:
; despejando h y sustituyendo
Algebraicamente equivale a la expresión:
valores:
Ejercicio no.10
Grupo
Reúnete en equipos de tres y resuelve cada uno de los
siguientes ejercicios; posteriormente comenta con el grupo tus
respuestas
1.- Determinar el valor del segmento CD de la figura mostrada a continuación.
a) 9
b) 4
c) ½
d) 2
e) 1.4
66
2.- En la figura DE
4 CD
5 y BC
9 . Determina el valor de x
a) 7.2
b) 11.25
c) 1.8
d) 2.25
e) 4.21
3.- Un poste de la luz proyecta una sombra de 5.8 m en el suelo; en el mismo instante
que una persona de 1.8 m de altura proyecta una sombra de 1.2 m. Determine la altura
del poste.
a) 3.8 m
b) 8.7 m
c) 9.6m
d) 6.5 m
67
e) 10.2
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana
Nombre ____________________________________________________
Grupo ________________________ Turno _____________________
Fecha _____________________________________________________
Instrumento de evaluación _____________________ Página _________
Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios.
1.- Se cuenta que con una escalera de 25 m y se desea subir al extremo de una torre de
10 m de altura ¿A qué distancia se necesita colocar la base de la escalera para que el
otro extremo coincida con la punta de la torre?
a) 13.32 m
b) 15.33 m
c) 22.91 m
d) 16.92 m
e) 23.54m
2.- Una montaña proyecta una sombra de 536 m sobre el suelo, en el momento que un
poste de un cerco que tiene 2.3 m de altura proyecta una sombra de 1.4 m. ¿Qué altura
tiene la montaña?
a) 789.2m
b) 912.4m
c) 880.5 m
d) 1021.3 m
e) 643.2 m
68
Autoevaluación
Nombre _________________________________________________
Grupo _________________________ Turno __________________
Fecha __________________________________________________
Instrucciones: Subraya la respuesta correcta en cada caso:
1.-
Rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las figuras y sus
propiedades.
a) Álgebra
b) Trigonometría
c) Geometría
d) Cálculo
e) Aritmética
2.- Personaje que organizó la geometría y le dio carácter de ciencia.
a) Euclides
b) Platón
c) Tales de Mileto
d) Pitágoras e) Aristóteles
3.- Es una línea recta que tiene un punto inicial y no tiene punto final
a) Quebrada
b) Segmento
c) Curva
d) Semirrecta e) Mixta
4.- Nombre del triángulo que tiene todos sus ángulos agudos.
a) Obtusángulo b) Isósceles
c) Rectángulo
d) Acutángulo e) Oblicuo
5.- Es una semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.
a) Mediatriz
b) Bisectriz
c) Altura
69
d) Paralela
e) Mediana
6.- Ángulo que mide 90°
a) Recto
b) Agudo
c) Llano
d) Entrante
e) Adyacente
7.- Nombre que recibe el método que parte de casos particulares para
llegar a
conclusiones que generalizan una situación determinada.
a) Inductivo
b) Deductivo
c) Científico
d) Empírico e) Experimental
8.- Dos ángulos que suman 90° ¿se llaman?
a) Rectos
b) suplementarios
c) Congruentes
d) Complementarios e) Conjugados
9.- ¿A cuál de las siguientes opciones? Corresponde el uso del símbolo AB
a) Semirrecta
b) Segmento de recta
c) Ángulo
d) Recta
e) Triangulo
10.- En la figura siguiente que letras representarían a dos ángulos correspondientes
a) a y h
b) c y d
c) e y d
d) b y h
e) f y g
11.- De acuerdo a la figura ¿cuál de los siguientes valores correspondería al valor de x?
a) 9.16
b) 6
c) 12.80
d) 10.77
e) 8.32
70
12.- ¿Cuál de los siguientes valores correspondería al valor que x representa en la figura?
a) 9
b) 7.8
c) 10
d) 21.54
e) 14
13.- Determinar el valor del segmento CD de la figura mostrada a continuación.
a) 9
b) 4
c) ½
d) 2
e) 6
14.- En la figura, los triángulos ECD es semejante al triángulo ABC ;
y
. Determina el valor de x
,
a) 7.2
b) 11.25
c) 1.8
d) 2.25
e) 3.25
15.- Históricamente fue en esa cultura donde inician los primeros trabajos empíricos de la
geometría, debido a las inundaciones del Rio Nilo.
a) Grecia
b) Arabia
c) Egipto
d) Mesopotamia
71
Babilonia
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
Evaluación del desempeño (ejercicios)
En equipo
No.
Indicador
1
Cumplió
Sí
No
Se integró al equipo.
Mostró interés por el
tema.
3
Mostró conocer los
conceptos que utilizó
4
Mostró habilidad para
responder
a
los
ejercicios
5
Aplicó correctamente
el procedimiento
Calificación de esta evaluación
Ejecución
Ponderación
0.4
2
Observaciones
Calif.
0.4
0.4
0.43
0.43
2.06
Individual
No.
1
Indicador
Cumplió
Sí
No
Ejecución
Ponderación
Mostró interés por el
tema.
Observaciones
Calif.
0.5
2
Mostró conocer los
conceptos que utilizó
3
Mostró habilidad para
responder
a
los
ejercicios
4
Aplicó correctamente
el procedimiento
Calificación de esta evaluación
0.5
0.53
0.53
2.06
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió
0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
72
Evaluación de productos (tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana):
No.
Indicador
Cumplió
Sí
No
Ejecución
Ponderación
1
Resolvió el total de los
ejercicios
2
Resolvió
correctamente
los
ejercicios
3
Entregó en tiempo y
forma indicada los
ejercicios.
4
Realizó correctamente
las operaciones.
Calificación de esta evaluación
Observaciones
Calif.
0.3
0.4
0.3
0.36
1.36
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió
0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
Evaluación de Productos (investigaciones):
No.
Indicador
Cumplió
Sí
No
Entregó en tiempo y
forma
2
La información fue
clara y acorde al tema
3
Presentación
del
trabajo
Calificación de esta evaluación
Ejecución
Ponderación
1
1 = sí cumplió
Observaciones
Calif.
0.36
0.5
0.5
1.36
Tabla de ponderación
0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
73
74
Unidad II
POLÍGONOS,
CIRCUNFERENCIA Y
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
75
COMPETENCIAS
Al término de esta unidad, el alumno:
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos
aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales,
hipotéticas o formales.
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Temario
2.1. POLÍGONOS
2.1.1. Notación y clasificación
2.1.2. Ángulos interiores y exteriores
2.1.3. Diagonales
2.1.4. Perímetros y áreas
2.1.5. Teoremas
2.2. CIRCUNFERENCIA
2.2.1. Elementos
2.2.2. Ángulos en la circunferencia
2.2.3. Área del círculo
2.2.4. Perímetro
2.2.5. Áreas de figuras circulares
2.2.6. Teoremas
2.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
2.3.1. Relaciones trigonométricas
2.3.2. Funciones en el triángulo rectángulo
3.3.3. Funciones en el plano cartesiano
3.3.4. Funciones en el círculo unitario
3.3.5. Resolución de triángulos rectángulos
76
Evaluación diagnóstica
A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción
múltiple relacionadas con los temas de la unidad II, los cuales
profundizarás con más detalle a lo largo a las actividades del
cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando la
respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final
del cuaderno de trabajo.
1.
a)
b)
c)
¿Un rectángulo es?
Regular
Irregular
Cóncavo
2.
a)
b)
c)
Un rectángulo 72 m2 de área y 18 m de base ¿Cuánto mide de altura?
6m
4m
d) 2 m
9m
e) 7 m
d) Complejo
e) Equilátero
3. En una circunferencia: el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y está
formado por dos cuerdas, se llama
a) Ángulo central
d) Ángulo interior
b) Ángulo exterior
e) Ángulo semi inscrito
c) Ángulo inscrito
4. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
a)
b)
c)
d)
e)
7.14 m2
0.86 m2
12.57 m2
1.27 m2
8.57 m2
5. Si en un hexágono se trazan diagonales desde uno de sus vértices ¿cuántas
diagonales se obtienen?
a) 6
e) 3 m
b) 12
c) 36
d) 2 m
77
6. Calcula el perímetro de una circunferencia que mide 5 m de diámetro
a)
b)
c)
d)
e)
15.71 m
78.54 m
7.85 m
25 m
31.42 m
7. Las ruedas de un coche tienen 70 cm de diámetro. Calcula cuantas vueltas dan en
un viaje de 80 Km de distancia.
a) 57, 123.12545
b) 78, 425.56242
c) 36, 378.27271
8.
a)
b)
c)
Halla el valor numérico de 2
5.71
7.854
6.223
d) 32, 814.13985
e) 23, 356.28739
sen 20° cos 70°.
d) 3.281
e) 0.233
9. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos miden a = 6m y b = 8
m.
a) 48 m
d) 24 m
b) 10 m
e) 5 m
c) 4 m
10. Dada Tan A = 2/5 halla el valor de Cot A
a) Cot A = 4/7
b) Cot A = 5/2
c) Cot A = 3/7
11. Halla el valor de Sen 10°
a) Sen 90°
b) Cot 10°
c) Cos 80°
78
d) Cot A = 2/6
e) Cot A = 7/4
Sesión
19
2.1. POLÍGONOS
2.1.1. Notación y clasificación
Aprendizajes a lograr
 Define un polígono.
 Clasifica los polígonos de acuerdo al número de lados.




Identifica propiedades generales de los polígonos.
Trabaja de manera colaborativa.
Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
Comunícate en forma oral y escrita.
En este nuevo tema se abordará una clasificación de los polígonos regulares e
irregulares. Se identifican sus respectivas propiedades que se aplican en su búsqueda de
dimensiones. Se obtiene el perímetro y área correspondiente. Como podrás recordar la
Geometría Plana es una parte de la geometría elemental que trata de aquellos elementos
cuyos puntos están contenidos en un plano, es decir, estudia las propiedades de
superficies y figuras planas, como el triángulo o el circulo. Los ejercicios que se involucran
en esta actividad te ayudarán a entender dichas propiedades y aplicarlas en el mundo que
te rodea.
¡Ánimo! Y a cumplir con las actividades, recuerda que la fórmula del triunfador, en
cualquier actividad de la vida, es: Optimismo + Atención + Dedicación = ÉXITO.
Polígono:
Es una figura plana delimitada por una poligonal cerrada donde los
segmentos son los lados del polígono y los puntos de intersección de los
segmentos son los vértices del polígono. La palabra polígono viene del
griego polígono. De polys que significa muchos y de gonia que significa
ángulos. Digamos que la "traducción" más precisa de la palabra polígono
sería "figura que tiene muchos ángulos".
Para nombrar los polígonos se nombran sus vértices en forma ordenada
según el giro de las manecillas del reloj, o bien, en sentido contrario. Otra
forma de nombrar a los polígonos es con la abreviación Poly seguido de
un número.
EJEMPLO
Polígono ABCDEFA, ó
Polígono AFEDCBA
79
Poly1
Tarea de investigación no. 1
Los polígonos se clasifican según el cuadro sinóptico adjunto.
Investiga y anota en tu cuaderno cada una de las subclasificaciones que se te presentan.
Esta actividad será evaluada por la lista de cotejo que se
encuentra en la página 135.
Polígono regular.
Polígono convexo:
Polígono irregular.
Polígono
simple:
Polígono cóncavo:
Polígono
Polígono complejo
80
Ejercicio no. 1
Grupo
Reúnete en pareja y clasifica el polígono de acuerdo a los lados
que tenga.
Esta actividad se trabajará en tu cuaderno y evaluará con la lista de
cotejo que se encuentra en la página 131.
Número de lados
3
Polígono
Triángulo
4
5
6
7
Heptágono
8
9
10
15
16
Hexadecágono
20
81
Ejercicio no. 2
Grupo
Reúnete en pareja y identifica las propiedades generales de cada
polígono y clasifícalo de acuerdo al cuadro sinóptico dado. Para
lograrlo puedes tomar como referencia la investigación de la sesión
anterior y el ejemplo dado en la primera columna.
Esta actividad se trabajará en tu cuaderno y evaluará con la lista de
cotejo que se encuentra en la página 131.
Polígono:
Simple

Complejo
Cóncavo
Convexo

Equilátero
Equiángulo

Regular
Irregular

82
2.1.2. Ángulos interiores y exteriores
Sesión
20
Aprendizajes a lograr
 Define los ángulos interiores y exteriores de polígonos
 Identifica los ángulos interiores y exteriores en los polígonos
 Calcula la medida de ángulos interiores y exteriores en los
polígonos.
 Identifica las relaciones referentes a los ángulos de los
polígonos.
 Trabaja de manera colaborativa.
 Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
 Comunícate en forma oral y escrita.
Los ángulos internos o interiores de un polígono están formados por cada dos lados
consecutivos, mientras que los ángulos exteriores o externos de un polígono, son ángulos
adyacentes a los interiores, obtenidos al prolongar los lados en un mismo sentido.
Ángulos interiores: α, β, ε, δ, γ
Ángulos exteriores: ζ, ε, δ, κ, I
La suma de los ángulos exteriores de un polígono de n-lados es de 360°,
así que...
... para un polígono regular (todos sus ángulos son iguales), cada uno mide
360°/n
Por otro lado, recuerda que al abordar el tema de triángulos concluimos que:
“Los ángulos interiores de un triángulo suman 180° “.
Por otro lado, sabemos que los cuadriláteros se pueden dividir dos triángulos, de lo cual
podemos deducir que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero (cuadrado,
rectángulo, paralelogramo, etc.), es
2×180º = 360º.
83
Y si es regular, cada uno mide 360° / 4 = 90°
EJEMPLO
¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un
pentágono?. Si el polígono es regular ¿cuánto mide
cada ángulo interior?
Respuesta:
Sabemos que los pentágonos tienen 5 lados, y se puede dividir en tres
triángulos, así que...
... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540°.
Pentágono irregular
Pentágono regular
Si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108°
84
Ejercicio no. 3
Grupo
Organizados en equipos de tres, complementar las tablas adjuntas.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 131.
Si es regular...
Figura
Lados
Suma de los ángulos
interiores
Triángulo
3
180°
Cuadrilátero
4
Pentágono
5
Cada
ángulo
Forma
60°
90°
540°
108°
Hexágono
Heptágono
Octágono
…
…
Polígono
lados
de
…
…
…
nSi es regular...
Figura
Lados
Suma de los
ángulos exteriores
Forma
Cada ángulo
exterior
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
…
…
…
Polígono de n- lados
85
…
…
2.1.3. Diagonales
Sesión
21
Aprendizajes a lograr
 Define y diferenciará una diagonal
 Calcula el número de diagonales que pueden trazarse desde un
vértice en polígonos.
 Calcula el número total de diagonales que pueden trazarse en
un polígono
 Comunícate en forma oral y escrita.
 Trabaja de manera colaborativa.
 Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
Cuando vas adquirir un computadora, laptop o televisor es importante que analices sus
características para que elijas la mejor opción, una de las características más comunes en
estos productos es la medida de la pantalla, así por ejemplo decir que tiene monitor o
pantalla de 10.1” ó 22”, significa que la medida se toma de la siguiente manera:
Laptop con Monitor de 10.1”
T.V. con pantalla de 22”
…de igual forma los polígonos también tienen diagonales
86
Diagonales de un polígono
“Diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos”
Una de las diagonales de un pentágono sería:
EJEMPLO
Por otro lado, observa que el número total de diagonales del pentágono es igual a cinco.
Observa cómo se traza cada una de éstas paso a paso:
De igual forma puedes calcular el número total de diagonales de cualquier polígono.
Grupo
Ejercicio no. 4
Grupo
Organizados en parejas completar la tabla adjunta. Esta actividad se
evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 131.
Polígono
No. de lados
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
87
No. de diagonales
Octágono
Eneágono
Decágono
…
…
…
Polígono de
n- lados
Un razonamiento más sencillo para determinar el número de diagonales de un polígono
cualquiera es el siguiente:
Supongamos que tenemos un polígono de n lados (n vértices), de cada vértice salen n-3
diagonales, ya que a él mismo y a los dos contiguos no hay diagonal.
Tenemos entonces, n vértices por (n-3) diagonales de cada vértice. Con esta cuenta cada
diagonal la contamos dos veces, entonces debemos dividir entre dos.
Por tanto un polígono de n lados tiene dn= n.(n-3)/2 diagonales.
Puedes hacer el cálculo con la expresión que se ha deducido en el ejercicio 4
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 20 lados?
88
2.1.4. Perímetros y áreas.
Sesión
22
Aprendizajes a lograr
 Calcula perímetros y áreas de polígonos, mediante la
aplicación y el análisis de teoremas de perímetros y áreas de
figuras geométrica conocidas.
 Diferencia el perímetro y el área de un polígono.
 Comunícate en forma oral y escrita.
El perímetro y área de los triángulos ya ha sido tratado, por lo que ahora se verá lo
relacionado con el perímetro y área de algunos cuadriláteros en particular y de los
polígonos regulares en general.
Perímetro: Se le llama así a la longitud del contorno de una figura
geométrica plana y cerrada.
Superficie: Se llama así a la porción del plano limitada por un perímetro
de acuerdo a la forma de la superficie, recibe el nombre de superficie
triangular, cuadrada, rectangular, etc.
Área: Es la medida de la superficie. El área se refiere al tamaño, en
unidades de área.
Como se observa a continuación, se dan las fórmulas necesarias para hacer los cálculos
directamente y no se dice como se llago a ellas. Se debe aquí, en muchos casos, la
obtención de la fórmula es complicada y requiere de conocimientos que se adquirirán en
cursos más avanzados de matemáticas. De momento, lo importante es aplicar
correctamente la fórmula y, de ser necesario, efectuar correctamente el despeje de la
fórmula.
Perímetros y áreas de los polígonos
Nombre
Triángulo
Dibujo
Perímetro
rea
P = Suma de los
lados
P=b+c+d
p = semi perímero
89
P=4·a
Cuadrado
P = 2(b + a)
Rectángulo
A=b·a
P=4·a
Rombo
P = 2(b + c)
Romboide
A=b·a
Trapecio
A = Suma de las áreas de
los dos triángulos
Trapezoide
Área de un polígono regular
En un polígono regular, si de su centro se trazan segmentos a cada uno de sus vértices,
se forman tantos triángulos iguales como lados tenga el polígono. El área del polígono
regular será igual al área de un triángulo multiplicada por el número de triángulos. Si el
lado del polígono es
es:
l
y la altura de cada triángulo es a (apotema del polígono), el área
Si el polígono tiene n lados se forman n triángulos, entonces:
90
Como
es el perímetro P del polígono, el área de éste es:
, o bien,
(Fórmula)
“El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto que resulta de multiplicar
su perímetro por su apotema”
Nombre
Dibujo
Perímetro
Área
Polígono
regular
Calcular el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y
8.5 cm.
Datos
Fórmula
EJEMPLO
d1 = 12 cm
d2 = 8.5 cm
.
91
Sustitución
Resultado
Ejercicio no. 1
Individual
De forma individual determina el perímetro y el área de los
siguientes polígonos.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 134.
1. Calcular el área de un romboide de 173 cm de base y 216 cm de altura
2. Calcular el perímetro de un trapecio cuyos lados miden 13cm, 5cm, 8cm y 6 cm.
3. Calcular la medida del lado de un cuadrado que tiene perímetro 15 m.
4. El área de un rombo es de 22.5 m2 y una de sus diagonales mide 9 m. Calcular la
longitud de la otra diagonal.
5. El área de un trapecio es de 562.5 m2 y las bases miden 28m y 17m. Calcular la
altura.
6. El área de un trapecio es 35 m2, su base mayor mide 28 m y su altura mide 1.55
m. Calcular la base menor.
7. Cada una de las figuras siguientes (no están necesariamente a escala) tienen el
perímetro que se indica. Encuentre el valor de x.
a). P = 58
b). P = 42
92
C). P = 38
2.1.5. Teoremas
Sesión
23
Aprendizajes a lograr
 Mediante la aplicación y el análisis de teoremas, calcula la
medida de ángulos interiores y exteriores de cualquier polígono
regular.
 Mediante la aplicación y el análisis de teoremas, calcula el
número de diagonales de polígonos regulares.
 Comunícate en forma escrita.
Los ángulos interiores y exteriores, el número de diagonales que se le pueden trazar
desde un vértice y el número total de diagonales en los polígonos ya ha sido tratado, por
lo que ahora se verán las generalidades en los polígonos en general.
Generalidades en un polígono de “n” lados:
1. Número de diagonales desde un vértice (d)
Si “n” es el número de lados de un polígono, d es el total de diagonales que se
pueden trazar desde uno de sus vértices del polígono, entonces:
d= n - 3
2. Número total de diagonales (D)
Si “n” es el número de lados de un polígono y D es el total de diagonales que se
pueden trazar desde todos los vértices del polígono, entonces:
D= ½ n(n – 3)
EJEMPLO
Dado un polígono regular de ocho lados (octágono),
calcular:
a) El número de diagonales que se pueden trazar
desde uno de los vértices.
b) El número total de diagonales.
Solución:
d = n – 3= 8 – 3 = 5
D = ½ n(n – 3) = (½) (8) (8-3)= 20
93
3. Medida de un ángulo interior (i)
Si “n” es el número de lados de un polígono regular, e i es la medida de cada uno
de los ángulos internos, entonces:
i= 180°(n – 2) / n
4. Suma de los ángulos interiores (Si)
Si “n” es el número de lados de un polígono y Si es la suma de las medidas de sus
ángulos internos, entonces:
Si= 180°(n – 2)
La suma de los ángulos de un triángulo es 180º y de un cuadrilátero es 360º.
5. Medida de un ángulo exterior (e)
Si “n” es el número de lados de un polígono regular, entonces la medida de cada
ángulo exterior es:
e = 360° /(Se)
n
6. Suma de los ángulos exteriores
Si “n” es el número de lados de un polígono, entonces la suma de los ángulos
exteriores es siempre 360°:
Se= 360°
POLÍGONO
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
n
3
4
5
SUMA ÁNGULOS
180
180·2 = 360
180·3=540
Polígono
n
180·(n-2)
La suma de los ángulos de un polígono de n lados es 180·(n-2)
¿Cuánto suman los ángulos interiores de
un este polígono?
94
Ejercicio no. 2
Individual
De forma individual determina lo que se te indica en cada
ejercicio. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que
se encuentra en la página 131.
1. ¿Cuál es el número de diagonales que, desde un vértice, se pueden trazar en un
dodecágono?
2. ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260°?
3. ¿Cuántos lados tendrá un polígono regular, si sabemos que cada ángulo interior
mide 140°?
4. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un heptágono?
5. ¿Cuál es la medida de cada ángulo exterior de un polígono regular de 15 lados?
Polígono Regular
Número
de lados
n
Triángulo Equilátero
3
Cuadrado
4
Pentágono Reg.
Hexágono Reg.
Heptágono Reg.
Octógono Reg.
Eneágono Reg.
Decágono Reg.
Undecágono Reg.
Dodecágono Reg.
5
6
Ángulo Interior
Divisor de 360
180 - 360/n
60º
Indica si el ángulo interior es divisor de 360º.
95
SI
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana
Nombre ____________________________________________________
Grupo ________________________ Turno _____________________
Fecha _____________________________________________________
Instrumento de evaluación _____________________ Página _________
INSTRUCCIONES: Resuelve de forma individual determina el perímetro y el área de los
siguientes polígonos
1. Se quiere vallar una propiedad cuyo terreno es de forma de polígono regular. Si se
sabe que la longitud de cada lado del terreno mide 150m y que la suma de los
ángulos interiores es de 900º. ¿Cuántos metros de valla se necesitan?
2. Se quiere vallar una propiedad cuyo terreno es de forma de polígono regular. Si se
sabe que cada ángulo interior del terreno regular mide 140º. ¿Cuántos lados
tiene?
3. Si los ángulos interiores de un terreno de forma de polígono regular mide 90° y de
lado mide 200m. ¿Cuántos metros de tela se necesitan para cercarlo?
4. Si los ángulos exteriores de un terreno de forma de polígono regular mide 40° y de
lado mide 250m. ¿Cuántos lados tiene dicho terreno?
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 132.
96
2.2.
Sesión
24
CIRCUNFERENCIA
2.2.1. Elementos
Aprendizajes a lograr
 Define una circunferencia.
 Diferencia el círculo de la circunferencia.
 Diferencia el semicírculo del círculo
 Diferencia la semicircunferencia de la circunferencia
 Identifica los elementos de una circunferencia.
 Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
 Comunícate en forma oral y escrita.
La naturaleza ofrece múltiples ejemplos de círculos y circunferencias. La sección
transversal de la tierra es circular, un corte transversal a un tallo también es circular. Se
puede observar la gran variedad de aplicaciones que tienen los objetos circulares: Una
llanta de un automóvil, en los componentes de un reloj se encuentran bastantes piezas
circulares; podría enumerarse una infinidad de objetos de forma circular.
Es común que se utilicen circunferencia y círculo como sinónimos, sin embargo,
aun cuando estos conceptos están estrechamente vinculados, tienen significados que es
preciso distinguir para poder aplicarlos correctamente.
Para partir con este amplio e importante tema, primero aclararemos que es la
circunferencia:
CIRCUNFERENCIA: La circunferencia es una curva plana, cerrada, cuyos puntos
equidistan de un punto fijo e interior llamado centro, es decir, es la línea curva cerrada y
plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro).
SEMI-CIRCUNFERENCIA: Es un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia
CÍRCULO: La superficie limitada por la circunferencia, es decir, la parte interior, es el
círculo.
SEMI-CÍRCULO: Es la región del plano comprendida entre un diámetro y la
semicircunferencia correspondiente.
Circunferencia
círculo
semi-circunferencia
97
semi- círculo
Principales elementos de las circunferencias:
Radio: Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un
punto cualquiera de la misma.
Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Es decir,
es el segmento que tiene por extremos puntos de la circunferencia y pasa por
el centro. El diámetro es de longitud dos veces el radio. D = 2R
La longitud de la circunferencia dividida entre la longitud del diámetro es una
constante que se llama
Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.
Arco: Es una parte de la circunferencia. El símbolo
se lee: “arco AB”
Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. El punto
único se llama punto de tangencia o punto de contacto.
Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos (partes).
El centro y el radio son los elementos característicos de la circunferencia y del círculo.
98
Ejercicio no. 3
Individual
De forma individual responde lo que se te indica en cada problema.
En una discusión grupal dirigida por tu profesor compara tus
repuestas con el resto del grupo.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en
la página 131.
1. Dar el nombre que corresponde a cada uno de los puntos y/o rectas que se te
indica
AB: ______________
CD: ______________
EF: ______________
GH: ______________
OI: _______________
O: _______________
2. En la circunferencia siguiente de centro O:
P: _______________
Nombra 3 cuerdas ______________________________
: ______________
Nombra 4 radios ________________________________
Nombra la cuerda mayor _________________________
¿Qué arco subtiende el ángulo DOC? _______________
¿Qué arco subtiende el ángulo CAB? _______________
99
Tarea no. 1
Individual
¿Qué arco es subtendido por el ángulo AOB? ___________________________________
Nombre: _________________________________________________
Grupo: ____________________
Turno: ______________________
Fecha: __________________________________________________
INSTRUCCIONES: Con la ayuda de un compás y un transportador realiza en tu
cuaderno de apuntes y en forma individual, las actividades que se proponen a
continuación:
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 132.
I.
Trazar dos circunferencias de 2 cm y de 3 cm de radio cada una, y en ellas
dibújese los elementos solicitados:
a) un diámetro
b) una tangente
c) una cuerda de 1.5 cm
d) una cuerda que subtienda un arco de 120º y otra que subtienda un arco de
45º
e) Inscribir un cuadrado
f)
Inscribir un hexágono en una de las circunferencias y circunscribir otro en la
segunda circunferencia.
Resultado ___________
Recomendaciones y observaciones _____________________________
___________________________________________________________
__________________________________________________
100
___________________________________________________________
___
2.2.2. Ángulos en la circunferencia
Aprendizajes a lograr




Diferencia los diferentes ángulos en la circunferencia.
Formula y resolver problemas.
Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
Comunícate en forma oral y escrita.
Principales ángulos de la circunferencia:
A). Ángulo central:
Sus lados son dos radios.
Su vértice es el centro de la circunferencia.
B). Ángulo inscrito:
Sus lados son cuerdas.
Su vértice es un punto de la circunferencia.
C). Ángulo interior:
Sus lados son dos cuerdas que se cortan.
Su vértice es un punto dentro la circunferencia.
D). Ángulo exterior:
Sus lados pueden ser dos secantes; una secante y
una tangente o dos tangentes que se cortan en un
punto fuera del círculo.
Su vértice es un punto fuera de la circunferencia.
E). Ángulo semiinscrito:
Sus lados son una tangente y una cuerda.
Su vértice es un punto de la circunferencia.
101
Sesión
25
Los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales.
La medida del ángulo inscrito es la mitad del ángulo central correspondiente.
El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Grupal
Ejercicio no. 5
I.
Grupo
Organizados en parejas identificar los ángulos que se te indican. Esta
actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la
página 131.
Dada la circunferencia siguiente identificar los ángulos que se te indican
1. ¿Cuál de las siguientes opciones representa un ángulo central?
a) <JKN
b) <OLM
c) <OML
d) <KNO
e) <JON
2. ¿Cuál de las siguientes opciones representa un ángulo inscrito?
b) <JKN
b) <OLM
c) <OML
d) <LOM
e) <JON
102
3. ¿Cuántos ángulos inscritos hay en la figura?
c) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) más de 5
4. ¿Cuántos ángulos centrales hay en la figura?
d) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) más de 5
II.
En la circunferencia siguiente de centro O:
Nombra 4 ángulos del centro ________________________________________________
Nombra dos ángulos inscritos ________________________________________________
Nombra dos ángulos que subtienden el arco BC _________________________________
III.
Un ángulo central mide 80° ¿Cuánto mide el ángulo inscrito que comprende el
mismo arco?
a)
80°
b)
40°
c)
160°
d)
Todos los ángulos inscritos miden 90°
103
Sesión
26
2.2.3. Área del círculo
Aprendizajes a lograr




Calcula el área del círculo a partir de datos dados.
Formula y resolver problemas.
Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
Comunícate en forma oral y escrita.
Las fórmulas para encontrar el área del círculo son:
Calcular el área del círculo que mide:
EJEMPLO
a) 3 m de radio.
b) 1.5 m de diámetro.
Solución:
a).
b).
El área de un círculo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado
multiplicado por .
104
Grupal
Ejercicio no. 6
Grupo
Organizados en parejas resuelve en tu cuaderno de apuntes los
siguientes ejercicios.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 134.
1. Calcular el área de un círculo que
mide:
a) 2.5 m de radio.________
b) 7.5 cm de diámetro.____
c) 1.75 km de radio.______
2.
a)
b)
c)
d)
Dado un círculo que tiene un área de:
12.5664 m2, hallar el radio._________
0.7854 m2, hallar el diámetro._______
324π, hallar el diámetro.__________
25π, hallar el radio.______________
2.2.4. Perímetro
Aprendizajes a lograr




Sesión
27
Calcula el perímetro del círculo.
Trabaja de manera colaborativa.
Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
Comunícate en forma oral y escrita.
Longitud de la circunferencia
Sabías que:
Una rueda, al dar una vuelta completa, describe una trayectoria cuya longitud es el
perímetro de la circunferencia de la rueda.
105
A trabajar
1. Dibuja una línea de dos centímetros.
2. Abre tu compás con esa medida.
3. Dibuja una circunferencia, en un papel, utilizando esa medida, que será de radio 2
centímetros y por lo tanto 4 centímetros de diámetro.
4. Recorta la circunferencia.
5. Coloca una lana o pitilla pegada sobre el molde de la circunferencia.
6. Mide la extensión de la lana utilizada con una regla, la medida corresponde al
perímetro de la figura.
7. Luego dibuja y recorta circunferencias (perímetro del círculo) con las siguientes
medidas
a) 6 cm. de diámetro (radio 3 cm.)
b) 8 cm. de diámetro (radio 4 cm.)
c) 10 cm. de diámetro (radio 5 cm.)
d) 12 cm. de diámetro (radio 6 cm.)
8. Mide la longitud de la circunferencia o perímetro del círculo
9. Completa la tabla con las medidas obtenidas.
Perímetro
encontrado
Diámetro de la Cociente entre el perímetro y el diámetro: P/d
circunferencia
4 cm.
6 cm.
8 cm.
10 cm.
12 cm.
Te darás cuenta que el cociente entre el perímetro y el diámetro de la circunferencia es un
valor que es independiente del tamaño de la circunferencia.
106
El cociente es constante y corresponde aproximadamente a 3,141592653589793.......
veces en la longitud de la circunferencia. A este número se le llama con la letra
griega pi. ( )
Así,
Diámetro = AB = AC =CD = DE
Radio = OA = O1G
Concluimos entonces que el perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación
es:
o
donde:
P es el perímetro
es la constante matemática pi (π = 3.14159265...)
es el radio
es el diámetro del círculo
La longitud de una circunferencia es igual al valor de su diámetro multiplicado por
107
EJEMPLOS
1. Calcular el perímetro de la circunferencia que tiene por diámetro 12 cm.
Solución:
= (12 cm) (π)=37.699 cm
2. Calcular el perímetro de la circunferencia que tiene por radio 25 m?
Solución:
= (2)(25 cm) (π)=157.079 cm
108
Tarea no. 2
Individual
Nombre: _________________________________________________
Grupo: ____________________
Turno: ______________________
Fecha: __________________________________________________
INSTRUCCIONES: De forma individual determina lo que se pide.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 132.
3. Si la circunferencia mide de perímetro 28.2744 cm. ¿Cuánto mide su diámetro?
4. Si la circunferencia mide de perímetro 31.4159 m. ¿Cuánto mide su radio?
5. ¿Qué símbolo hace referencia a π?
6. Calcular el perímetro de la circunferencia que tiene por diámetro 5 m?
7. Si el radio de una circunferencia es 10 m. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado
circunscrito a ella?
8. Determina la longitud de una circunferencia si el perímetro del cuadrado que la
circunscribe es de 40 cm.
Resultado ___________
Recomendaciones y observaciones _____________________________
___________________________________________________________
__________________________________________________
109
___________________________________________________________
___
110
2.2.5. Áreas de figuras circulares
Sesión
28
Aprendizajes a lograr




Calcula el área de figuras circulares.
Trabaja de manera colaborativa.
Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
Comunicarte en forma oral y escrita.
Para calcular el área del círculo basta con conocer su radio. Del resto de figuras
circulares, como el sector, el segmento, la corona o el trapecio, habrá que conocer otros
elementos identificativos.
Longitud y área de figuras circulares
Nombre
Dibujo
Longitud
Circunferencia
Área
L = 2πR
Arco
A = πR2
Círculo
111
Sector circular
A = π(R2 – r2)
Corona circular
Ejercicio no. 7
Grupal
Organizados en parejas encuentren el valor del área sombreada en
cada una de las siguientes figuras. En una discusión grupal dirigida
por tu profesor compara tus repuestas con el resto del grupo.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en
la página131.
1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
¿Cuánto mide el diámetro?
¿Cuánto mide el radio?
¿Cuál es el área total del círculo?
¿Cuánto mide cada lado del cuadrado?
¿Cuál es el área del cuadrado?
¿Cuál es la diferencia entre las áreas?
¿Cuánto mide el área sombreada?
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
__________________________________
112
2.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
___________________________________
¿Cuánto mide cada lado del cuadrado?
___________________________________
¿Cuál es el área total del cuadrado?
___________________________________
¿Cuánto mide el radio del círculo?
___________________________________
¿Cuál es el área del círculo?
___________________________________
¿Cuál es la diferencia entre el área del cuadrado
y la del círculo?________________
¿Cuánto mide el área de la región sombreada?__________________________________
______________________________
3.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
__________________________________
¿Cuánto mide cada lado del cuadrado?
__________________________________
¿Cuál es el área total del cuadrado?
__________________________________
¿Cuánto mide la diagonal del cuadrado?
__________________________________
¿Cuál es el radio del círculo?
__________________________________
¿Qué parte del círculo es cada sector circular? ________________________________
__________________________________
¿Qué parte del círculo completas con los dos sectores
circulares? ________________
¿Cuál es la diferencia entre el área del cuadrado_____
y la de los sectores circulares?_____
¿Cuánto mide el área de la región sombreada? _______________________________
113
4. Encuentre analítica y gráficamente el área de los sectores circulares siguientes.
Empléese π = 3.14.
a) Ángulo central 50° y radio 3 cm.
b) Ángulo central 75° y radio 5.8 m.
5. Encuentre el área de los sectores circulares sombreados. Responda en función de π
6. Unos círculos tangentes exteriormente uno a uno, con radios congruentes, están
colocados en un rectángulo como lo ilustra la figura. ¿Cuál es el área de la región
sombreada?
114
2.2.6. Teoremas
Sesión
29
Aprendizajes a lograr




Calcula la medida de ángulos en figuras circulares.
Trabaja de manera colaborativa.
Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
Comunícate en forma oral y escrita.
Principales teoremas de ángulos de la circunferencia:
A). Teorema:
Todo ángulo central se mide por el arco comprendido entre sus
lados.
B). Teorema:
Todo ángulo inscrito en la circunferencia tiene por medida la
mitad del arco comprendido entre sus lados.
COROLARIO
1.
Todo
ángulo
inscrito
en
una
semicircunferencia es un ángulo recto.
COROLARIO 2. Todos los ángulos inscritos que comprenden
un mismo arco o arcos son iguales.
Ejercicio no. 8
Grupal
Organizados en parejas encuentren el valor de los ángulos en
cada una de las siguientes figuras. En una discusión grupal
dirigida por tu profesor compara tus repuestas con el resto del
grupo.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se
encuentra en la página 134.
1. Si <BDC es un ángulo inscrito y <BOC es un ángulo
central, como se ilustra, hallar < BOC, si <BDC = 50°
2. Si <GRT y <GST son ángulos inscritos, como se ilustra,
hallar < GRT y <GST si GT es el diámetro
115
Sesión
30
C). Teorema:
Todo ángulo formado por dos cuerdas que se cortan (ángulo
interior) tiene por medida la semisuma de las medidas de los
arcos comprendido entre sus lados.
D). Teorema:
Todo ángulo formado por dos secantes que se cortan
fuera de la circunferencia (ángulo exterior) tiene por
medida la semidiferencia de las medidas de los arcos
comprendido entre sus lados.
E). Teorema:
Todo ángulo formado por una tangente y una cuerda (ángulo
semiinscrito) tiene por medida la mitad de la medida de su
arco subtendido por la cuerda
Ejercicio no. 9
Grupal
Organizados en parejas encuentren el valor de los ángulos en cada
una de las siguientes figuras. En una discusión grupal dirigida por tu
profesor compara tus repuestas con el resto del grupo.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en
la página 134.
i. Si AB y CD son cuerdas que se cortan en E,
como se ilustra, hallar:
a) <x si
b) <x si
c) <x si
d)
116
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana
Nombre ____________________________________________________
Grupo ________________________ Turno _____________________
Fecha _____________________________________________________
Instrumento de evaluación _____________________ Página _________
1. ¿Qué medida en grados, tiene el ángulo formado por las manecillas del reloj
mostrado en la siguiente figura?
Hora 6:00 equivale a ________°
ii. ¿Cuánto mide cada ángulo central del timón de la figura?
iii.
Un guardabosque alcanza a ver, desde su torre de observación, hasta una distancia
de 24 kilómetros (km) en todas direcciones. ¿Cuál es la superficie, en kilómetros
cuadrados (km2), que puede vigilar?
iv.
Una regadora automática de agua cubre una distancia de ocho metros de radio.
¿Cuántos metros cuadrados (m2) puede regar en una vuelta completa?
v.
Una estación de televisión envía su señal en un radio de 89 km. ¿Qué superficie total
puede cubrir?.
117
Sesión
31
2.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
2.3.1. Relaciones trigonométricas
Aprendizajes a lograr







Conoce las relaciones trigonométricas.
Diferencia las relaciones trigonométricas.
Describe las relaciones trigonométricas.
Calcula relaciones trigonométricas
Trabaja de manera colaborativa.
Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.

y de
conceptos
mediante
representaciones
Las relaciones entre losExpresar
lados y losideas
ángulos
un triángulo
rectángulo
se expresan en
lingüísticas, matemáticas o gráficas.
términos de las relaciones Trigonométricas. En trigonometría los ángulos se expresan por
medio de las letras griegas, como por ejemplo el símbolo ζ que se llama theta.
Se han agrupado las seis relaciones trigonométricas para el ángulo ζ como sigue:
118
Donde a las funciones de Cscζ, Secζ y Cotζ se llaman funciones recíprocas de las
funciones del Senζ, Cosζ y Tanζ respectivamente.
Lado opuesto al Ángulo θ
Para los triángulos:
Hipotenusa
θ
α
r
r
α
y
α
θ
Lado adyacente al Ángulo θ
x
(A)
(B)
Existen expresiones que relacionan el seno, el coseno y la tangente de un ángulo, de
modo que a partir de una de ellas podemos obtener el resto de razones
trigonométricas.
En un triángulo rectángulo isósceles, sus ángulos
agudos miden 45° cada uno. La hipotenusa, c, de
EJEMPLO
este tipo de triángulo rectángulo es: c =
a2
a2 =
2a 2 =
2 a, siendo a la longitud
de cada cateto.
Y los valores de las razones de seno, coseno y tangente son:
a
a
2a =
1
2
a
a
2a =
1
2
sen 45 ° = c =
cos 45 ° = c =
a
tan 45 ° = a =1
119
Ejercicio no. 10
Grupo
“Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor de las
seis razones trigonométricas para los diferentes triángulos
formados considerando los valores de a, b, c y el ángulo θ
indicados.:”
a)
b)
Sen ζ =
Csc ζ =
Cos ζ =
Sec ζ =
Tan ζ =
Cot ζ =
Sen ζ =
Csc ζ =
Cos ζ =
Sec ζ =
Tan ζ =
Cot ζ =
Sen ζ =
Csc ζ =
Cos ζ =
Sec ζ =
c)
Tan ζ =
120
Cot ζ =
Ejercicio no. 4
Individual
Resolver los siguientes triángulos encontrando el valor de las
razones trigonométricas en cada triángulo:
a)
Sen ζ =
Csc ζ =
Cos ζ =
Sec ζ =
Tan ζ =
Cot ζ =
b)
Sen ζ =
Csc ζ =
Cos ζ =
Sec ζ =
Tan ζ =
Cot ζ =
121
2.3.2. Funciones en el triángulo rectángulo
Sesión
32
Aprendizajes a lograr
 Calcula el valor de las funciones trigonométricas para diferentes
ángulos en el triángulo rectángulo.
 Trabaja de manera colaborativa.
 Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones
lingüísticas, matemáticas o gráficas.
El propósito será calcular el valor de las funciones trigonométricas para diferentes ángulos
en el triángulo rectángulo.
Encontrar el valor de las funciones trigonométricas del ángulo agudo del triángulo
rectángulo.
Para encontrar el valor de las seis funciones
trigonométricas, se necesita el valor de ángulo agudo del
triángulo, para buscarlo se utilizan las funciones
trigonométricas básicas:
Sen ζ =
a
c
Cos ζ =
b
c
a
Tan ζ = b
a
En donde Tan ζ = b es la función que relaciona los datos del triángulo, entonces:
Tan ζ =
6
8
ζ = Tan-1(
6
8
)
ζ = 36.86º
Entonces, utilizando la calculadora se obtiene:
Sen(36.86º) = 0.6 Cos(36.86º) = 0.8
Tan(36.869 = 0.749
Ahora para obtener el valor de las funciones secante, cosecante y cotangente, se utilizan
las relaciones trigonométricas recíprocas:
1
Sec ζ = Cos
1
Csc ζ = Sen
1
Cot ζ = Tan
122
En donde al sustituir, se obtiene:
1
Sec (36.86º) = Cos ( 36 .86 º ) = 1.25
1
Csc (36.86º) = Sen ( 36 .86 )
= 1.66
1
Cot (36.86º) = Tan ( 36 .86 º ) = 1.33
Ejercicio no. 11
Grupo
“Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor de las
seis funciones trigonométricas para los diferentes triángulos
formados considerando los valores de a, b, c y el ángulo ζ
indicados.”
a)
b)
123
c)
2.3.3. Funciones en el plano cartesiano
Aprendizajes a lograr
Sesión
33
 Describe las funciones trigonométricas en el plano cartesiano.
 Conoce los signos de las funciones trigonométricas en el plano
cartesiano.
 Halla el valor de las funciones trigonométricas para ángulos de
inclinación de diferentes rectas en el plano cartesiano.
 Trabaja de manera colaborativa.
 Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones
lingüísticas, matemáticas o gráficas.
Para saber los signos de las funciones trigonométricas de un ángulo cuyo lado terminal
está en cualquiera de los cuatro cuadrantes del plano cartesiano bidimensional, es bueno
tener presente que los catetos de los triángulos que contienen el ángulo al cual se
hallarán los valores de las funciones trigonométricas son la abscisa u ordenada y como
tales se consideran positiva y negativa con respecto al origen de coordenadas.
Si ζ es el ángulo, P(x,y) es el punto del lado terminal del ángulo y r, es la distancia OP ,
definida como r
x2
y2
Donde x ≠ 0 y y ≠ 0
Ejercicio no.12
Grupo
124
Reunidos en equipos de dos integrantes, encontrar el valor de las
funciones trigonométricas para los diferentes ángulos de rectas
que forman con el eje x.
Ángulo
en
grados
0º
Ángulo
en
radianes
Seno
Coseno
Tangente
Secante
Cosecante
Cotangente
0
45º
/4
90º
/2
135º
3 /4
150º
6 /5
180°
225º
5 /4
270º
3 /2
315º
7 /4
360º
2
Ejercicio no. 13
Grupo
125
“Reunidos en equipos de dos integrantes, indicar el signo de las
seis funciones trigonométricas que toman en cada uno de los
cuatro cuadrantes.
Cuadrantes
I
II
III
IV
Seno
Coseno
Tangente
Secante
Cosecante
Cotangente
2.3.4. Funciones en el círculo unitario
126
Sesión
34
Aprendizajes a lograr
 Utiliza las funciones trigonométricas en el circulo unitario para
encontrar las coordenadas de puntos sobre la circunferencia,
 Trabaja de manera colaborativa.
 Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones
lingüísticas, matemáticas o gráficas.
El círculo unitario se llama así porque el radio mide una unidad, el centro del círculo esta
en el origen del plano cartesiano, los ángulos se generan de derecha a izquierda,
quedando distribuidos de la siguiente manera:
En el primer cuadrante tienes ángulos que van de 0 a 90 grados en el segundo de 90 a
180, en el tercero de 180 a 270, y en el cuarto de 270 a 360.
Si utilizamos las funciones trigonométricas se puede encontrar las coordenadas de los
puntos sobre la circunferencia conociendo el radio y el ángulo que forma con el eje “x”.
Encontrar las coordenadas del punto P(x,y) sobre la circunferencia unitaria, cuando el
radio forma un ángulo de α = 60º con el eje “x”.
Solución:
Primeramente localizamos el punto P(x,y) sobre la circunferencia en el plano y le
trazamos el triángulo correspondiente mediante proyecciones del punto “P” sobre los ejes
“x” e “y”.
Formando un triángulo rectángulo, donde la hipotenusa coincide con el radio igual a uno
y utilizando las razones trigonométricas:
127
x
Cos α = r
x
Sen α = r
x
Cos(60º) = 1
x
Sen(60º) = 1
Cos(60º) = x
Sen(60º) = x
x = 0.5
y = 0.86
Solución: Las coordenadas del punto P son P(0.5,0.86)
Ejercicio no. 14
Grupo
Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar las
coordenadas del punto P sobre la circunferencia unitaria cuando el
radio forma el ángulo indicado con el eje x. Trazar la gráfica
correspondiente.
Ángulos
en
grados
Oº
45º
90º
135º
180º
225º
270º
x
y
(x,y)
Trazar las gráficas correspondientes en este espacio, en tu cuaderno de trabajo.
128
315º
360º
2.3.5. Resolución de triángulos rectángulos
Aprendizajes a lograr
Sesión
35
 Utiliza las funciones trigonométricas para que dados un
ángulo y uno de los lados determine los lados que faltan.
 Trabaja de manera colaborativa.
 Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones
lingüísticas, matemáticas o gráficas.
El propósito es utilizar las funciones trigonométricas para que dados algunos elementos
de triángulos rectángulos, encontrar los que faltan.
EJEMPLOS
Encontrar un lado del triángulo cuando
se conoce un ángulo agudo y uno de los
lados:
a) Dado a = 6 y ζ = 30º, hallar los valores de “b” y “c”.
Para iniciar se tiene que decidir cuál de los lados, si el cateto adyacente “b” o bien la
hipotenusa “c” se ha de encontrar primero.
Para encontrar el valor del lado “b”, se busca cuál de las seis relaciones trigonométricas
contiene los datos conocidos, además de que contenga lo que se quiere buscar (lado “b”).
129
De las seis relaciones, la que contiene estos datos es la tangente, entonces:
a
Tan ζ = b
Al sustituir datos:
6
Tan 30º = b
despejar “b” y resolver operaciones.
6
b = Tan30º
b = 10.39
Para encontrar la hipotenusa, de nuevo se busca la relación trigonométrica
correspondiente que la contenga los datos mostrados del triángulo, en este caso con la
relación del seno.
a
Sen ζ = c
Al sustituir datos en la expresión se tiene:
Sen30º =
C=
6
c
ahora solo basta despejar “c”
6
Sen30º
C = 12
130
Ejercicio no. 15
Grupo
“Reunidos en equipos de tres integrantes, revisar y analizar la
forma del cómo se encuentran los lados que faltan en un triángulo
para resolver los ejercicios propuestos.
a)
b)
131
Sesión
36
Encontrar un ángulo agudo del triángulo
cuando se conocen dos de los lados:
EJEMPLOS
a) Dado b = 6 y c =
72 hallar los valores de “ζ” y “a”.
Para encontrar el ángulo agudo θ, tomar la función que contenga la información conocida,
en este caso:
b
Cos ζ = c
Cos ζ =
sustituir datos
6
72
Cos ζ = 0.707106 aplicando la función recíproca del coseno
ζ = 45º
132
Ejercicio no. 16
Grupo
“Reunidos en equipos de tres integrantes, revisar y analizar la
forma del cómo se encuentran los lados que faltan en un triángulo
para resolver los ejercicios propuestos.
a)
Ejercicio no. 5
b)
Individual
De manera individual, resuelve los triángulos encontrando
valores que faltan.
a)
b)
133
los
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana
Nombre ___________________________________________________
Grupo __________________________ Turno ___________________
Fecha _____________________________________________________
Instrumento de evaluación ____________________ Página __________
1) Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura
que forma un ángulo de 60º con respecto al piso.
2) El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un
ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar.
¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del
naufragio?
134
3) Un árbol de hoja perenne está sostenido por un alambre que se extiende desde 1.5
pies debajo de la parte superior del árbol hasta una estaca en el suelo. El alambre mide
24 pies de largo y forma un ángulo de 58° con el suelo. ¿Qué altura tiene el árbol?
135
Autoevaluación
Nombre _________________________________________________
Grupo _________________________ Turno __________________
Fecha __________________________________________________
A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas
con los temas de la Unidad. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta
correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo.
1. ¿Un cuadrado es?
a) Regular
b) Irregular
c) Cóncavo
d) Complejo
e) Equilátero
2. Un triángulo 36 m2 de área y 12 m de base ¿Cuánto mide de altura?
a) 6 m
d) 2 m
b) 4 m
e) 6 m
c) 9 m
3. En una circunferencia: el ángulo que tiene su vértice en el centro de la
circunferencia y está formado por dos radios, se llama
a) Ángulo interior
d) Ángulo central
b) Ángulo exterior
e) Ángulo semi inscrito
c) Ángulo inscrito
a)
b)
c)
d)
e)
4. ¿Cuál es el área de una circunferencia de 16 π de longitud?
127.14 m2
430.86 m2
201.06 m2
321.27 m2
178.57 m2
136
5. Si en un decágono se trazan diagonales desde uno de sus vértices ¿cuántas
diagonales se obtienen?
a) 6
d) 7 m
b) 12
e) 10 m
c) 36
6. Calcula el perímetro de una circunferencia que mide 8 m de radio.
a) 15.71 m
d) 25 m
b) 78.54 m
e) 31.42 m
c) 50.26 m
7. Halla el valor numérico de csc 68°.
a) 5.71
b) 1.078
c) 6.223
d) 3.281
e) 2.669
8. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos miden a = 3.6m y
b = 4.2 m.
a) 4.78 m
d) 2.4 m
b) 2.10 m
e) 7.8 m
c) 5.53 m
9. Dado Sin A = 2/5 halla el valor de Cot A
a) 2.29
d) 6.65
b) 3.23
e) 3.89
c) 3.57
a)
b)
c)
d)
e)
10. Halla el valor de sec 25°
2.36
2.14
3.57
1.103
3.894
137
INSTRUMENTOS DE EVALAUCIÓN
Evaluación del desempeño (ejercicios)
En equipo
No. Indicador
Cumplió Ejecución
Sí
No Ponderaci
ón
1
Se integró al equipo.
0.2
2
Mostró interés por el
tema.
3
Mostró conocer los
conceptos que utilizó
4
Mostró habilidad para
responder
a
los
ejercicios
5
Aplicó correctamente
el procedimiento
Calificación de esta evaluación
Observaciones
Cali
f.
0.2
0.3
0.5
0.5
1.7
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió
0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
Evaluación del desempeño (ejercicios):
Individual
No.
1
Indicador
Cumplió
Ejecución
Sí
Ponderación
No
Mostró interés por el
tema.
Calif
.
0.3
2
Mostró conocer los
conceptos que utilizó
3
Mostró habilidad para
responder
a
los
ejercicios
4
Aplicó correctamente
el procedimiento
Calificación de esta evaluación
1 = sí cumplió
Observacione
s
0.4
0.5
0.5
1.7
Tabla de ponderación
0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
138
Evaluación de productos (tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana):
No.
Indicador
Cumplió
Ejecución
Sí
Ponderación
0.5
No
1
Resolvió el total de los
ejercicios
2
Resolvió correctamente
los ejercicios
3
Entregó en tiempo y
forma
indicada
los
ejercicios.
Calificación de esta evaluación
Observacione
s
Calif.
1.5
0.5
2.5
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió
0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
Evaluación de Productos (investigaciones):
No.
Indicador
Cumplió
Sí
No
1
Entregó en tiempo y
forma
2
La información fue
clara y acorde al tema
3
Presentación
del
trabajo
Calificación de esta evaluación
Ejecución
Ponderaci
ón
0.8
Observaciones
Cali
f.
0.8
0.9
2.5
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió
0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
139
140
Unidad III
TRIGONOMETRÍA
141
COMPETENCIAS
Al término de esta unidad el estudiante:
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos
aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones
reales, hipotéticas o formales.
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
TEMARIO
3.1 TRIANGULOS OBLICUANGULOS
3.1.1. Ley de senos
3.1.2. Ley de cosenos
3.2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
3.2.1. Identidades fundamentales
3.2.2. Demostración de identidades
3.3. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
3.3.1. Propiedades
3.3.2. Procedimientos de solución
3.4. ECUACIONES EXPONENCIALES
3.4.1 Propiedades
3.4.2 Procedimientos de solución
3.5 ECUACIONES LOGARITMICAS.
3.5.1 Propiedades
3.5.2 Procedimientos de solución
142
Evaluación diagnóstica
A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción
múltiple relacionadas con los temas de la unidad III, los cuales
profundizarás con más detalle a lo largo a las actividades del
cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando la
respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final
del cuaderno de trabajo.
1. Los triángulos oblicuángulos pueden ser:
a). Acutángulos y rectángulos
b). Acutángulos y obtusángulos
c). Rectángulos y Equiláteros
d). Escaleno y equilátero
e). Escalenos y obtusángulos
2. Determina el valor de x que satisface la siguiente ecuación exponencial 2x = 8
a). 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
3. La ley de cosenos se representa por:
a).
c).
e).
b).
d).
4. La ley de senos se representa por:
a).
b).
c).
d).
e).
5. Es una ecuación
a). x2 = (x)(x)
d). Cot x = 1 / tanx
6. Es una identidad
a). x = 7
d). 3x = 81
7.
b). 2x +2 = 6
e). T an x
Senx
Cosx
b). Sen x = 180°
e). T an x
Senx
Cosx
es igual a
a).
c).
e).
b).
d). Cos
143
c). a2 + b2 = ( a+b)(a-b)
c). 2x = 3
Sesión
37
3.1. TRIANGULOS OBLICUANGULOS
3.1.1. Ley de senos
Aprendizajes a lograr
 Usa adecuadamente la ley de los senos para resolver
triángulos oblicuángulos.
 Trabaja de manera colaborativa.
 Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones
lingüísticas, matemáticas o gráficas.
La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los
lados de un triángulo cualquiera y que se utiliza para resolver ciertos tipos de problemas
de triángulos.
La ley de los Senos dice:
a
Sen
b
Sen
c
Sen
Donde a, b y c son los lados del triángulo y , , y son los ángulos del triángulo apuestos
a los lados correspondientes.
Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que faltan, a partir de los datos
que te dan. Si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa le
ley de los senos.
144
Resolver el siguiente triángulo.
EJEMPLOS
Datos del problema:
a= 5
b=
= 43º
= 27º c =
=
El ángulo
es más fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un
triángulo siempre suma 180º, entonces = 180º - - . Al sustituir los ángulos en esta
expresión se obtiene:
= 180º - 43º - 27º
= 180º - 70º
= 110º
Para encontrar los lados que faltan utilizamos la ley de los Senos, sustituyendo los datos:
a
Sen
5
Sen43º
b
Sen27º
5
Sen43º
b
Sen27º
5 Sen27º
Sen43º
b
b
Sen
c
Sen110º
c
Sen
Tomamos los dos primeros términos.
Despejamos “b” pasando Sen (27º) multiplicando
Calcular la expresión realizando las operaciones.
3.328 = b
Y esto es lo que vale “b”.
Nada más falta calcular “c”. para encontrarla, volvemos a utilizar la ley de los Senos
145
5
Sen43º
3.328
Sen27º
5
Sen43º
c
Sen110º
5 Sen110º
Sen43º
c
Sen110º
Tomamos la igualdad que contenga a “c”
Despejamos “c” pasando Sen(110º) multiplicando.
c
6.889 = c
Y con este resultado queda resuelto el triángulo.
Ejercicio no. 1
Grupo
“Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor de los
datos que faltan en los triángulos, utilizando la Ley de los Senos
a)
b)
146
Ejercicio no. 1
Sesión
38
Individual
Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, encontrando el
valor de las partes desconocidas:
a)
b)
147
148
Tarea no. 1
Nombre: _________________________________________________
Grupo: ____________________
Turno: ______________________
Fecha: __________________________________________________
INSTRUCCIONES: Resolver los siguientes problemas de aplicación para ley de los
senos, de manera individual. (Entregar la próxima sesión de clase)
1) Dos piedras se encuentran a la orilla de una playa a una distancia uno de otro de
1.8 Km. en los puntos A y B, y se encuentra una bolla situada en un punto C. Si la
piedra A mide un ángulo CAB igual a 79.3° y el que está en B mide un ángulo CBA
igual a 43.6°, ¿a qué distancia está la bolla de la costa?
2) Un poste forma un ángulo de 79° con el piso. El ángulo de elevación del sol desde
el piso es de 69°. Encuentre la longitud del poste si su sombra es de 5.9 m.
Resultado ___________
Recomendaciones y observaciones _____________________________
___________________________________________________________
__________________________________________________
___________________________________________________________
149
___
150
3.1.2. Ley de cosenos
Sesión
39
Aprendizajes a lograr
 Usa adecuadamente la ley de los cosenos para resolver
triángulos oblicuángulos.
 Trabaja de manera colaborativa.
 Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones
lingüísticas, matemáticas o gráficas.
La Ley de los Cosenos, es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo
cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que se quiere conocer.
Se describe de la siguiente forma, supongamos que se quiere conocer el lado C y se
tienen conocidos los valores de los lados a y b, además del ángulo .
C2 = a2 + b2 – 2abCos
EJEMPLOS
Resolver el siguiente triángulo rectángulo
encontrando el valor de lado C, si a = 6, b = 10
y = 130º
.
151
Solución:
Utilizando la ley de los cosenos y sustituyendo:
C2 = a2 + b2 – 2abCos
C2 = a2 + b2 – 2abCos
C2 = (6)2 + (10)2 – 2(6)(10)Cos (130) ahora resolver las operaciones.
C2 = 36 + 100 – 120(-0.642)
C2 = 213.04
213 .04
C=
C = 14.59
Que es la solución al problema al encontrar C = 14.59
Ejercicio no. 2
Grupo
“Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor que
falta indicado en los triángulos, utilizando la Ley de los Cosenos
a)
b)
152
Ejercicio no. 2
Sesión
40
Individual
Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, encontrando el
valor de lo que se indica.
a)
b)
153
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana
Nombre ___________________________________________________
Grupo __________________________ Turno ___________________
Fecha _____________________________________________________
Instrumento de evaluación ____________________ Página __________
Resolver los siguientes problemas aplicando las leyes de Seno y Coseno para encontrar
lo que se pide:
1) Un hombre mide el ángulo de elevación de una torre, desde un punto situado a
100 metros de ella. Si el ángulo medido es de 20º y la torre forma un ángulo de
inclinación de 68º con el suelo, determina su altura.
2) En una competencia de natación, dos amigos parten lanzándose al agua desde
una balsa al mismo tiempo, el primero nada a una velocidad de 6k/h y el segundo
a 5k/h.
Comienzan a alejarse entre sí con un ángulo de 35º , después de media hora de
competencia el segundo sufre un calambre.
¿Qué distancia recorrerá el primero para ir en su auxilio y qué ángulo tendrá la
nueva dirección de este?
154
3)
La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m.
¿Cuál es la medida del ángulo que hace la horizontal con la línea que une los dos
puntos extremos, de la sombra y del árbol?
4) Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo constante de
10º hasta que logra una altura de 6 km. Determina a qué distancia horizontal del
aeropuerto se encuentra en ese momento.
155
Sesión
41
3.2. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
3.2.1. Identidades Fundamentales
En matemáticas existen expresiones algebraicas que reciben en nombre de igualdades,
éstas se clasifican en ecuaciones e identidades.
Las ecuaciones como por ejemplo 2x +2 = 6 es una expresión que es válida para
determinados valores de las incógnitas, en este caso el valor x= 2 es el que satisface a la
ecuación ya que al sustituir 2(2) + 2 = 6.
Las identidades son expresiones que son validad para cualquier valor que tomen las
variables, en este caso la expresión x2 – y2 = (x+y)(x-y) es válida para cualquier valor de
las variables o incógnitas.
En trigonometría existen expresiones que relacionan los lados y ángulos de un triángulo
rectángulo y que son validas para cualquier valor de sus lados y ángulos y que reciben el
nombre de identidades trigonométricas.
Aprendizajes a lograr






Conoce las 8 identidades trigonométricas fundamentales
Clasifica las identidades trigonométricas fundamentales(reciprocas,
cociente y pitagóricas)
Aplica identidades trigonométricas para encontrar el valor de las
funciones trigonométrica (Cotangente, Secante y Cosecante)
utilizando calculadora para cualquier ángulo
Trabaja de manera colaborativa
Escucha, interpreta y emite mensaje pertinentes en distintos
contextos
Interpreta información contenida en un texto
.
Tarea de investigación no. 1
Investiga las 8 identidades trigonométrica fundaméntales.
Son 3 por reciprocas, 2 por cocientes o razón y 3 pitagóricas.
Las reciprocas las rescataremos en el subtema 2.3.1 de libro.
156
Dos funciones trigonométricas son reciprocas si el producto de
ellas es 1.
EJEMPLO
La definición del coseno en un triángulo rectángulo en razón de
los lados es cateto adyacente entre hipotenusa y la Secante es
hipotenusa entre cateto adyacente
Entonces Cosx Secx
1 . Si despejamos Cos x queda
Cosx
1
Secx
Esta es una identidad trigonométrica por reciproco.
Ejercicio no. 3
Grupo
Organizados en parejas completar la tabla adjunta clasificando las
identidades
trigonométricas
fundamentales
que
se
te
proporcionan. Para lograrlo observa el ejemplo.
Identidades
Por reciprocas
por cocientes o por
razón
Cos 2 x Sen 2 x 1
x
x
T an x
Senx
Cosx
Cot 2 x Csc 2 x 1
Senx
1
Cscx
1 Tan2 x
Sec 2 x
Cscx
1
Senx
Cotx
Cosx
Senx
Csc 2 x Cot 2 x 1
157
Pitagóricas

EJEMPLO
Determinar el valor de sec 56°
Solución:
Utilizando la identidad Secx
1
Cosx
y sustituyendo la variable x por 56°, obtenemos:
Sec56
1
Cos56
Por otro lado, al utilizar la calculadora tenemos que Cos56 =0.5591929035.
Así, Sec56
1
, por lo tanto Sec56
0.5591929035
Ejercicio no.3
1.78829165
Individual
Instrucciones. Relaciona correctamente la columna de la derecha con
la de la izquierda, colocando dentro del paréntesis la letra que
corresponda.
a). Cot 70°
1.108351………………… (
)
b). Csc 140°
1.701301…………………. (
)
c). Sec 25°32’45’’
0.363970……………….….(
)
1.555723……… ……….… (
)
-2.0……….….……………. (
)
-1.0……………….…….….(
)
2.076521…………………. (
)
d).
Cot
7
e).
f). Sec 240°
g).
158
3.2.2.
Sesión
42
Demostración de identidades
Aprendizajes a lograr

Aplica
métodos
para
demostrar
identidades
trigonométricas.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos.
 Interpreta información contenida en un texto.
Verifica la identidad:
CosxCscxTanx 1
EJEMPLO
Solución:
Sustituyendo las identidades
obtenemos:
y
en la expresión anterior
.
Cosx
1
Senx
senx
Cosx
1
Al multiplicar y simplificar se obtiene:
CosxSenx
1
SenxCosx
Así, nos da como resultado:
1=1
Por lo tanto la identidad CosxCscxTanx 1 es verdadera.
159
Ejercicio no.4
Individual
Verificar las siguientes identidades que se te proporciona a
continuación.
Ejercicios
1)
2)
3)
Demostración
Senx Cotx Cosx
Cscx
C ot x
Secx
SecxCotxSenx 1
160
Ejemplo de
pitagórica
EJEMPLO
identidad
Demuestra que Sen3 x
trigonométrica
SenxCos 2 x
Sesión
43
Senx
Demostración:
Se factoriza el lado izquierdo de la igualdad:
Senx( Sen 2 x Cos 2 x)
Senx
Aplico la identidad trigonométrica pitagórica para obtener:
Sen2 x Cos 2 x
Así, nos queda que Senx(1)
Ejercicio no.5
1
Senx . Por lo tanto, Senx
Senx
Individual
Verificar las siguientes identidades que se te proporciona a
continuación
Identidades
Senx
Cscx
Demostración
Cosx
1
Secx
Cos3 x CosxSen2 x
Sen2 x C os2 x
C os2 x C os2 x
Cosx
Sec 2 x
161
Sesión
44
3.3. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
3.3.1. Propiedades
Antes de iniciar con el estudio de las ecuaciones trigonométricas, es indispensable
conocer algunas propiedades de las funciones trigonométricas; conocidas como
identidades trigonométricas.
En el tema 3.2.1 tuviste la oportunidad de identificar y clasificar las 8 identidades
fundamentales, divididas en 3 grupos. El de las identidades recíprocas, de razón o
cociente y el de las pitagóricas.
A continuación realiza la siguiente investigación en donde identifiques y clasifiques
identidades que nos servirán para resolver un tipo particular de ecuación; al cual se le
llama ecuaciones trigonométricas.
Aprendizajes a lograr
 Conoce e idéntica las identidades trigonométricas de suma de
ángulos, ángulos dobles, opuestos, mitad de un ángulo.
 Escucha, interpreta y emite mensaje pertinentes en distintos
contextos
 Interpreta información contenida en un texto
 Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos
teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
 Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida
Tarea de investigación no.2
Investiga las identidades trigonométricas del seno, coseno y
tangente relacionadas con la suma de ángulos, mitad de un ángulo y
ángulos opuestos y con ésta información contesta el ejercicio en
. equipo.
162
Ejercicio no.4
Grupal
Organizados en equipos de tres integrantes completar la tabla
adjunta, clasificando
las propiedades de las funciones
trigonométricas de acuerdo a su ángulo (suma de ángulos,
ángulo doble, ángulos opuestos)
SUMA DE ÁNGULOS
Sen(A ± B) = Sen(A)Cos(B)±Cos(A)Sen(B)
Cos( A ± B ) = Cos(A)Cos(B)
Sen(A)Cos(B)
Tan( A ± B ) =
ANGULO DOBLE
Sen(2A)=
Cos(2A)=Cos2(A) – Sen2(A)
Tan(2A)=
ANGULO OPUESTO
Sen(-A) = -Sen(A)
Cos(-A) =
Tan(-A) =
163
Sesión
45
3.3.2 Procedimientos de solución
Una ecuación trigonométrica es aquella donde intervienen términos trigonométricos, a
diferencias de las ecuaciones algebraicas vistas anteriormente, el número de soluciones
posibles es infinito. Para facilitar la solución a cada una de ellas, sólo se tomarán en
cuenta aquellas que estén entre dos valores determinados.
Aprendizajes a lograr
 Usa
las propiedades en la solución de ecuaciones
trigonométricas
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos
 Interpreta información contenida en un texto
 Trabaja de manera colaborativa
Resolver las ecuaciones:
EJEMPLO
a) Sen(x) = ½
b) Cos(2x) =
.
a). Resolveremos primeramente la ecuación Sen(x) = ½.
Solución: Tomando como referencia el ejercicio de grupo No. 12. Del tema 2.3.3
El valor del Sen (30°) = ½
. ; por lo tanto el la solución es x = 30° = /6 rad.
b). Ahora resolveremos la ecuación Cos(2x) =
.
Solución: Tomando de referencia el ejercicio No 12 de grupo pag. 118 el Cos(30°) =
;
por lo tanto 2x = 30°. Por lo tanto x = 30°/2 = 15° = /12 rad.
Resolver la ecuación Tan(x/2) = 1. De la tabla elaborada en la pag. 118, Tenemos que la
Tan(45°) = 1 ; Por tanto x/2 = 45° y x = 2(45°)= 90° = /2 rad.
164
Ejercicio no.5
Grupal
Organizados en equipo de tres alumnos, resolver las ecuaciones
trigonométricas y comenten las respuestas ante el grupo.
1) Resuelve la ecuación trigonométrica Sen (2x) =
A)
6
B)
4
C)
D)
3
en radianes.
E)
12
15
2) Encuentra el valor de x de Sec(x) =
A) 30°
B) 45°
C) 60°
D)45°
3) Halla el valor de x de la siguiente ecuación 4Sen2 x
A)
90°
B) 45°
C) 60°
D) 180°
165
E) 30°
3
E) 145°
¿Cuál es el valor de ángulo “x” que satisface
EJEMPLO
a Tan(4 x)
3
Sesión
46
0 en radianes?
Solución: Para encontrar la solución de la ecuación es necesito despejar x (utilizando
las propiedades).
Paso 1). Usando el inverso aditivo de
3 en la igualdad dada, obtenemos:
Tan(4 x)
3
Paso 2). Despejando 4x nos queda
4x Tan 1 ( 3)
Paso 3). Despejando x y sustituyendo Tan
x
1
( 3) 60 , tenemos que
60
es decir x =15°
4 ,
Paso 4). La conversión de 15° a radianes es
Así concluimos que x =
12
166
12
.
Ejercicio no.6
Individual
Resuelve las siguientes ecuaciones que se te proporciona a
continuación
1) Resuelve la ecuación trigonométrica 2Cosx- 3 =0 en radianes.
A)
B)
6
4
C)
3
D)
12
E)
15
2) Cuál es el valor de ángulo “x” que satisface a Tan4x- 3 =0 en grados?
A)
20
B) 15
C) 10
D)30
3) Halla el valor de x de la siguiente ecuación Cscx
A)
30
B) 25
C) 45
D)50
167
E) 60
2
E) 60
0
Sesión
47
3.4. Ecuaciones Exponenciales
3.4.1. Propiedades
Las expresiones exponenciales son aquellas donde la base es contante y el exponente
es la variable(o incógnita) a esta reciben el nombre expresiones transcendentales.
Las expresiones que mas estudiamos en el algebra son donde la base es la variable (o
incógnita) y el exponente es constante se conocen como expresiones algebraicas.
Las expresiones exponenciales son de tres tipos:
1) Expresión exponenciales con base “a” donde “a” es positiva (
), tiene la forma a x ejemplo
,
y
.
2) Expresión exponencial natural es un caso particular de la primera, es
cuando
a = 2.71828182... Su forma es 2.718281x pero es más conocida como
ex
3) Expresión exponencial común también es un casa particular de la
primera y es cuando a = 10 su forma es 10X
Las expresiones exponenciales tiene una gran aplicación en las campos de Química,
Biología, Ciencias Sociales, física e ingeniera.
Aprendizajes a lograr
 Reconoce las propiedades y ecuaciones exponenciales.
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos
 Interpreta información contenida en un texto
 Trabaja de manera colaborativa
El número de bacterias de un cultivo que se duplica cada
día y si hay 100 bacterias al inicial el experimento.
Calcular:
EJEMPLO
a) El modelo matemático de este problema en forma de
ecuación cuando se tenga 3200 bacterias.
b) La solución
lógicamente
168
.
del
problema
matemáticamente
y
Soluciones:
a) Como de duplica cada día y cada día es “x” se expresa 2 x , luego se multiplica por
100 las bacterias iníciales y se iguala 3200 las que se quieren.
x 3200 ó 2 x (100) 3200
La ecuación resulta (100)2
Lógicamente primer día 200, segundo 400, tercer 800, cuarto 1600 quinto 3200.
b). Matemáticamente
(100)2 x
división
3200
2x
Usando el inverso multiplicativo
2x
3200
100
simplificando la
32 descomponiendo en factores primos el 32 queda 2 x
25
5 como “x” representa días entonces se necesitan 5 das para
obtener 3200 bacterias
Por lo tanto x
Ejercicio no.7
Individual
Resuelve los siguientes ejercicios encontrando el valor de la
incógnita de las ecuaciones exponenciales.
x 81
1) Determina el valor de “x” de la ecuación exponencial 3
A) 2
B) 3
C) 4
D)5
E)6
2) Halla la raíz de la ecuación exponencial 2 x 512
A) 6
B) 7
C) 8
D)9
5 x 8 32 x 4
3) Resuelve la ecuación 3
A) 2
B) 3
C) 4
0
D)5
E)10
E)6
4) La desintegración de una sustancia radiactiva como la del isótopo de polonio
disminuye la mitad de la cantidad que se tenga cada 140 días. Si tenemos 40
miligramos de esa sustancia radiactiva ¿Cuánto días tardará para que se
desintegren 35 miligramos?
A) 140 días
B) 280 días C) 420 días
169
D) 560 días
E)700 días
3.4.2 Procedimientos de solución
Sesión
48
Aprendizajes a lograr
 Resolver ecuaciones exponenciales
 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos
 Interpreta información contenida en un texto
 Trabaja de manera colaborativa
La Ecuación Exponencial: Se conoce como ecuación exponencial a una ecuación donde
la incógnitas forman parte solo de los exponentes de potencias para ciertas bases
constantes. Usualmente la letra ((x)) es la incógnita, pero se puede usar cualquier letra.
Una de la ecuaciones exponenciales más simples, cuya solución se reduce a la de una
ecuación algebraica, es la ecuación del tipo af(x) = b, pero tenemos también ecuaciones
exponenciales del tipo af(x) = bg(x).
x
Ejemplos: 8 = 512
b) 3
x-1
= 2187 6
c)
6
2
3
x
3
6
x
3
Existen dos métodos fundamentales de resolución de las ecuaciones exponenciales.
Método de reducción
a una base común. Si ambos miembros de una ecuación se
.
pueden representar como potencias de base común a , donde a es un número
positivo, distinto de 1. Usando la propiedad
a
f(x)
=a
g(x)
de donde se tiene que f(x) = g(x)
en otras palabras, los exponentes se igualan y resulta un tipo de ecuación en el cual se
aplican las transformaciones algebraicas explicadas anteriormente.
m
a) Resolver la ecuación exponencial 2 = 64.
Solución:
EJEMPLO
primero, descomponer el número 64 en factores
primos. Así
m
2
= (2)(2)(2)(2)(2)
utilizando las leyes de los
m
6
exponentes, tenemos: 2 = 2 .
Por lo que concluimos que m = 6.
170
Ejercicio no. 6
Grupo
Organizados en equipo de tres para resolver las ecuaciones
exponenciales siguientes, usando leyes de exponentes.
x
1. 2 = 16
x
2. 5 = 15625
x
3. 3 = 243
x
4. 6 = 1
3x-1
5. 8
=1
x+2
6. 7
= 343
7.
x
4 =1
Ejercicio no.8
Individual
Resuelve los siguientes ejercicios encontrando el valor de la
incógnita, utilizando las leyes de los exponentes.
x+1
a) 23
= 128
x+1
d) 23
= 128
x
x
b) 8 = 10
x
x
c) 35 = 27
171
Sesión
49
3.5. ECUACIONES LOGARÍTMICAS
3.5.1. Propiedades
Aprendizajes a lograr


Usa la definición y las propiedades de logaritmos
Escucha, interpreta y emite mensaje pertinentes en
distintos contextos
 Interpreta información contenida en un texto
 Trabaja de manera colaborativa
La función logarítmica y exponencial son funciones inversas;
Por definición el logaritmo de un numero x (positivo) es el exponente que indica las veces
que se debe de multiplicar la base “a”(positivo) para obtener el número
” x”, es
ay
equivalente a
y
x
donde
“y” es el logaritmo. Algebraicamente se expresa
log a x Se conoce como forma logarítmica.
De otra forma la definición de logaritmo es equivalente a.
y
log a x si y sólo si x
ó y
y
a ó y loge x ln x si y sólo si x
log10 x log x si y sólo si x 10
ey
y
.
El logaritmo con base a se expresa como log a x y de lee logaritmo de x con base “a”.
El logaritmo natural se expresa ln x y se lee logaritmo natural de x.
El logaritmo común se expresa log x y se lee logaritmo común de x.
Las propiedades de los logaritmos son:
1) log a xy
2) log a
3) ln x
x
y
log a x log a y
log a x log a y
n
n ln x
m n ln x mn
4) ln x
n
ln x
m
172
1. ¿Cuál es la expresión exponencial del logaritmo
Log3 81 4 .
2. ¿Cuál es la forma logarítmica de la exponencial
EJEMPLO
32 25 ?
1. ¿Cuál es la expresión exponencial del logaritmo Log3 81
Solución: Usando la definición
y
loga x si y sólo si x
a
y
4.
, tenemos que :
a = 3, x = 81 y y = 4
4
Entonces: 81 3
5
2. ¿Cuál es la forma logarítmica de la exponencial 32 2 ?
Solución: Usando la definición de logaritmo tenemos que a = 2, x = 32 y y = 5. Por lo
tanto:
log 2 32 5 Ó 5 log2 32
3.5.2. Procedimientos de solución
Sesión
50
Aprendizajes a lograr


Usa la definición y las propiedades de logaritmos
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos
 Interpreta información contenida en un texto
 Trabaja de manera colaborativa
173
.
Usa las propiedades de logaritmo:
A). Expresa ln
EJEMPLO
y5 x2
en términos de Logaritmos de y, x y z.
z3
B). Expresa como un logaritmo
A). Expresa ln
3 log w
3
2
2 log3 x 3log3 y
y5 x2
en términos de Logaritmos de y, x y z.
z3
Solución:
EJERCICIO:
ln
y5 x2
z3
DESARROLLO:
= ln y 5 x 2
JUSTIFICACIÓN:
Por
ln z 3
log a
5
= ln y
ln x 2 ln z 3
= 5ln y 2ln x 3ln z
B). Expresa como un logaritmo
la
x
y
propiedad
log a x log a y
Por la propiedad
log a xy log a x log a y
Por la propiedad
ln x n n ln x
3 log w
3
2
.
2 log3 x 3log3 y
Solución
EJERCICIO:
2 log3 x 3log3 y
REDUCCIÓN:
3 log w
3
2
=
JUSTIFICACIÓN:
2log3 x (3log3 y 32 log3 w)
= log 3 x 2
(log 3 y3
log 3
3
w2 )
Factorizando
Usando ln x
ln m x n
= log 3 x 2
= log3
3
log 3 y 3 w2
x2
174
n ln x y
n
n
ln x m
ln x
m
log a xy log a x log a y
log a
3
y3 w2
n
x
y
log a x log a y
Grupo
Ejercicio no.7
Organizados en equipo de tres para que resuelva los siguientes
problemas que involucran expresiones, ecuaciones logarítmicas
y exponenciales.
1)
y5
en términos de logaritmos de y, x y z
z3 x2
Expresa ln
A) 5ln y 3ln z
C) 5ln y 3ln z
2 ln x
2 ln x
B) 5ln y
D) 5ln y 3 ln z
3 ln z
2 ln x
E) 3ln z
2 ln x
2 ln x
5 ln
w5
en términos de logaritmos de x, z y w
z 5 x3
4
4
5
A)
B) ln w 5 ln z 3 ln x
C) ln w 5 ln z
ln w 5 ln z 2 ln x
5
5
4
4
4
D) ln w 5 ln z 3 ln x
E) 5ln w
ln z 3 ln x
5
5
y
4
2) Expresa ln
3) Expresa como un solo logaritmo 5log3 x
A) log 3
x5
z 4 7 w3
7
D) log3
w3
5 4
x z
B) log 3
x5
z 4 3 w7
E) log3 x5 z 4 7 w3
175
4 log3 z
C)
3 log w
3
7
57
log3
x
w3
z4
3 ln x
A.
Sesión
51
Resolver la ecuación logarítmica de base 4;
Solución: Para resolver una ecuación logarítmica, es conveniente escribirla en la forma
exponencial. Es decir, Log4 356 = x es equivalente a:
Tomando logaritmo natural (Ln) o logaritmo base 10 (Log 10) en ambos lados de la
ecuación.
ln(4x ) = Ln(356)
Aplicando la ley de los logaritmos para las potencias se obtiene,
x(ln4) =Ln(356)
Por último despejando x ; tenemos que:
x = kn(356)/ln(4) = 4.237866715
En general cualquier ecuación logarítmica de la forma Log b (a) = x , la solución está dada
por :
Se usa logaritmo natural o de base 10 por estar almacenados en las calculadoras.
B. Resolver la ecuación logarítmica Logx(81) = 2
Solución: Al escribir la ecuación a la forma exponencial se tiene que:
Logx(81) = 2 es equivalente a x2 = 81 ,
Al extraer la raíz cuadrada en ambos lados y se tiene:
,
Como la base de un logaritmo debe de ser positiva, la solución es x = 9.
C.
Resolver la ecuación Ln (x) = 2 .
Solución: Como se trata del logaritmo natural, su base es el número e; escribiendo la
ecuación a la forma exponencial, se tiene:
e2 = x , utilizando la calculadora x = __________
176
Ejercicio no.9
Individual
Resuelve los siguientes ejercicios encontrando el valor de la
incógnita.
1)
Soluciona la ecuación logarítmica Log3 50 = x
A)
4 .98
B) 1.23
C)6.021
D)3.5
2)
Soluciona la ecuación exponencial con logarítmicos Logx(16) = 2
A)
4.1546
3)
Resuelve la ecuación exponencial con logarítmicos Ln(x) = 2
A)
1.2743
B) 4
B) 7.38
C)
2
C)
E)8.23
D)4.0656
1.8976
D)2.6836
E) 4.7654
E) 1.9543
1. Resolver la ecuación Log(2x-6) = 2 :
Sesión
52
Solución:
EJEMPLO
Como la base es 10 se escribe la ecuación a la
forma exponencial 102 =2 x-6 ; entonces :
2. 2x -6 = 100
Resolviendo la ecuación resultante obtenemos:
3. 2x = 100+6
Por lo tanto la solución es x = 106/2 = 53
2.
2
Resolver la ecuación Lnx = 20
Solución:
2Lnx = 20………. Aplicando propiedades del logaritmo de una potencia.
Lnx = 20 /2 = 10……….Dividiendo por 2 en ambos lados de la igualdad.
x=
e10 …………..Como la base del logaritmo natural es e, se tiene que:
177
x = 21586.27
Ejercicio no.10
Individual
Resuelve los ejercicios que se te proporciona a continuación,
encontrando el valor de cada incógnita.
1) Calcular x para que cada una de las siguientes expresiones sea cierta:
a) log x 8 = ½
b) log x 1/9 = -2
c) log 27 x = 1/3
d) log 10 0,01 = x
e) log 1/2 x = -1
2) Resolver la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9)
3) Resolver la ecuación 3.log x - log 32 = log x/2.
4) Calcular por definición de logaritmos el valor de y
0.25 = y
178
Autoevaluación
Nombre ________________________________________________
Grupo ________________________ Turno ___________________
Fecha _________________________________________________
1.
¿Qué tipo es la siguiente identidad Senx Cscx = 1?
A) Reciproca
2.
B) Cociente
C) Pitagórica
D) Inversas
E) Radical
Utilizando una identidad trigonométrica fundamental, ¿Cuál es el valor de la Sec 56°
en la calculadora?.
A) 0.8191520443 B) 1.220774589
C) 1.78829165
D) 1.428148007 E) 0.7002075382
3.
Utilizando identidades trigonométricas, demuestra que
A) Sen x B) Cos x
4.
2
C) 30°
D) 300°
E) 45°
B)
C)
6
3
4
D)
5
3
E)
2
3
B) 90°
C) 30°
D) 120°
E) 150°
¿Cuál es una ecuación exponencial natural?
A) 2x=4
8.
B) 210°
¿Cuál es el valor de ángulo “x” que satisface a 3Cot x- 3 =0 en grados?
A) 60°
7.
E) Sec x
Resuelve la ecuación trigonométrica 2Cos2x = 1 en radianes
A)
6.
D) Cot x
¿Cuál es el valor de ángulo “x” que satisface a 4Sen x-2=0 en grados?
A) 60°
5.
C) Tan x
, es igual a
B) x2
4
C) 2 x
D) e
4
x
2
E) 10
x
0.01
Determina el valor de x que satisface la siguiente ecuación exponencial 2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
179
E) 5
x 1
32
9.
¿Cuál es la expresión exponencial del logaritmo
2
A) 3
4(2)
B) 32
8
C)
2
8
3
?
D)
=8
E) 23
8
10. Expresa ln x2 z 5 w3 en términos de logaritmos de x, z y w.
A) 2ln x 5ln z
3ln w B) 2ln x 5ln z 3ln w
D) 2ln x 5ln z
3ln w E) 3ln w 5ln z 2ln x
11. Expresa como un logaritmo 2log3 w 3log3 z
w2 z 3
A) log 3
B) log 3
x
D) log 3
x
2 3
w z
w2 x
z3
E) log 3
C) 2ln x 5ln z
3ln w
1 log x
2 3
C) log3
z3
w2 x
w2
z3 x
12. ¿Cuál es el valor de x que satisface la ecuación logarítmica log (3x 5)
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
x
13. ¿Cuál es el valor de x que satisface la ecuación 4
A) x
4.204567
B) x
4.59657
C) x
5.807354
D)
E) x
4.416445007
180
E) 8
456 ?
log17 ?
INSTRUMENTOS DE EVALAUCIÓN
Evaluación del desempeño (ejercicios)
No.
1
En equipo
Cumplió Ejecución
Sí
No Ponderación Calif.
Indicador
Observaciones
0.3
Se integró al equipo.
2
Mostró interés por el
tema.
3
Mostró
conocer
los
conceptos que utilizó
4
Mostró habilidad para
responder
a
los
ejercicios
5
Aplicó correctamente el
procedimiento
Calificación de esta evaluación
0.3
0.3
0.6
0.6
2.1
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió
0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
Evaluación del desempeño (ejercicios):
Individual
No.
1
Indicador
Cumplió
Sí
No
Mostró interés por el
tema.
2
Mostró
conocer
los
conceptos que utilizó
3
Mostró habilidad para
responder
a
los
ejercicios
4
Aplicó correctamente el
procedimiento
Calificación de esta evaluación
Ejecución
Ponderación
0.4
Observaciones
Calif.
0.5
0.5
0.7
2.1
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió
0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
181
Evaluación de productos (tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana):
No.
Indicador
Cumplió
Sí
No
Resolvió el total de los
ejercicios
2
Resolvió correctamente
los ejercicios
3
Entregó en tiempo y
forma
indicada
los
ejercicios.
Calificación de esta evaluación
Ejecución
Ponderación
1
Observaciones
Calif.
0.75
2.0
1.0
3.75
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió
0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
Evaluación de Productos (investigaciones):
No.
Indicador
Cumplió
Sí
No
Entregó en tiempo y
forma
2
La información fue
clara y acorde al tema
3
Presentación
del
trabajo
Calificación de esta evaluación
Ejecución
Ponderación
1
Observaciones
Calif
.
1.25
1.25
1.25
3.75
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió
0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
182
CRITERIO:
Producto
Desempeño
Conocimiento
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
PORCENTAJE:
15%
35%
50%
Total:
100%
RESPUESTAS A LA
AUTOEVALUACIÓN
UNIDAD I
REACTIVO:
OPCIÓN CORRECTA:
1
C
2
A
3
D
4
D
5
B
6
A
7
A
8
D
9
D
10
C
11
A
12
C
13
B
14
A
15
C
RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN
DIAGNOSTICA
UNIDAD I
REACTIVO:
OPCIÓN CORRECTA:
1
D
2
C
3
B
4
B
5
E
6
C
7
B
8
A
9
D
10
C
183
PORCENTAJE DE ACTIVIDADES Y PRODUCTOS EVALUABLES
UNIDAD 1
No.
Producto a entregar por el
alumno
%
Dinámica
empleada
Criterio
Sesión
No.
1
Ejercicio 1: Lectura y
respuestas
a
cuestionamientos.
Tareas de Investigación 1.
2.06
Individual
Desempeño
3
1.36
Individual
Producto
Ejercicio no.2: Completar
la tabla.
Tareas de Investigación 2.
2.06
Individual
Desempeño
1.36
Individual
Producto
Ejercicio no 3: Diferenciar
entre axioma, postulado,
teorema, lema y corolario.
Tareas de Investigación 3.
2.06
Individual
Desempeño
1.36
Individual
Producto
Ejercicios no. 1.
Deducciones de
conjeturas.
Ejercicios de aplicación
2.06
Grupal
Desempeño
1.36
Individual
Producto
Ejercicios
no.
4.
Identificación de ángulos.
Tareas de Investigación 4
2.06
Individual
Desempeño
1.36
Individual
Producto
Ejercicios
Identificación
ángulos.
Ejercicios
Conversiones.
Ejercicios
Conversiones.
Ejercicios
Conversiones.
Tarea 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Extraclase
4
Extraclase
5
Extraclase
6
Extraclase
7
no.
de
2.
pares
2.06
Grupal
Desempeño
Extraclase
8
no.
5.
2.06
Individual
Desempeño
9
no.
6.
2.06
Individual
Desempeño
10
no.
3.
2.06
Grupal
Desempeño
11
1.36
Individual
Producto
2.06
Grupal
Desempeño
2.06
Grupal
Desempeño
13
18
Ejercicios no. 4. Calcular
la medida de ángulos.
Ejercicios no. 5. Calcular
la medida de ángulo.
Ejercicios de aplicación
Extraclase
12
1.36
Individual
Producto
19
Tareas de Investigación 5
1.36
Individual
Producto
20
Ejercicios no.6. Relación
de columnas.
2.06
Grupal
Desempeño
10
11
12
13
14
15
16
17
184
Extraclase
Extraclase
14
21
Tareas de Investigación 6
1.36
Individual
Producto
22
Ejercicios no. 7. Relación
de columnas.
Ejercicios no. 8. Calcular
la medida de ángulos.
Ejercicios no. 9. Aplicación
de Teorema de Pitágoras.
Ejercicios no. 7. Aplicación
de Teorema de Pitágoras.
Tarea 2
2.06
Grupal
Desempeño
Extraclase
15
2.06
Grupal
Desempeño
16
2.06
Grupal
Desempeño
17
2.06
Individual
Desempeño
17
1.36
Individual
Producto
2.06
Grupal
Desempeño
28
Ejercicios
no.
10.
Aplicación de Teorema de
Tales.
Ejercicios de aplicación
1.36
Individual
Producto
29
Tareas de Investigación 7
0
Individual
Producto
23
24
25
26
27
185
Extraclase
18
Extraclase
Extraclase
RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN
DIAGNOSTICA
UNIDAD 2
REACTIVO:
OPCIÓN CORRECTA:
1
B
2
B
3
C
4
B
5
E
6
A
7
C
8
E
9
B
10
B
11
C
RESPUESTAS A LA
AUTOEVALUACIÓN
UNIDAD 2
REACTIVO:
OPCIÓN CORRECTA:
1
A
2
E
3
D
4
C
5
D
6
C
7
B
8
C
9
A
10
D
11
B
12
A
13
E
14
E
15
E
IÓN
186
PORCENTAJE DE ACTIVIDADES Y PRODUCTOS EVALUABLES
UNIDAD 2
No.
Producto a entregar por el
alumno
%
Dinámica
empleada
1
Tareas de Investigación 7:
cuadro sinóptico incluido
en la página 63 de la
unidad 1.
Ejercicio
no.
1:Tabla
correspondiente
Ejercicio no. 2: Tabla
correspondiente
Ejercicio no. 3: Tablas
correspondientes
Ejercicio
no.4:
Tabla
correspondiente
Ejercicios
no.
1:
Problemas
Ejercicios
no.
2:
Problemas
Ejercicios de aplicación
2.5
Individual
Producto
1.7
Grupal
Desempeño
19
1.7
Grupal
Desempeño
19
1.7
Grupal
Desempeño
20
1.7
Grupal
Desempeño
21
1.7
Individual
Desempeño
22
1.7
Individual
Desempeño
23
2.5
Individual
Producto
Ejercicios no. 3: Identificar
puntos y rectas en la
circunferencia
Tarea no. 1: Trazos en la
circunferencia
Ejercicios no. 5: Identificar
ángulos
en
la
circunferencia
Ejercicios no. 6: Cálculos
de áreas
Trazos y cálculo de
perímetro y área del
círculo
Tarea no. 2: Problemas
1.7
Individual
Desempeño
2.5
Individual
Desempeño
1.7
Grupal
Desempeño
Extraclase
25
1.7
Grupal
Desempeño
26
0
Individual
Desempeño
27
2.5
Individual
Producto
Ejercicios no. 7: Cálculos
de áreas
Ejercicios no. 8: Medidas
de ángulos
Ejercicios no. 9: Medidas
de ángulos
Ejercicios de aplicación
1.7
Grupal
Desempeño
Extraclase
28
1.7
Grupal
Desempeño
29
1.7
Grupal
Desempeño
30
2.5
Individual
Producto
Ejercicios
no.
10:
Resolución de triángulos
rectángulos.
1.7
Grupal
Desempeño
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
187
Criterio
Sesión
No.
Extraclase
Extraclase
24
Extraclase
31
20
Ejercicios
no.
11:
Resolución de triángulos
rectángulos.
1.7
Grupal
Desempeño
31
21
Ejercicios
no.
12:
Resolución de triángulos
rectángulos.
Ejercicios
no.
13:
Completa la tabla.
Ejercicios
no.
14:
Completa la tabla.
Ejercicios
no.
15:
Completa la tabla.
Ejercicios
no.
16:
Resolución de triángulos
rectángulos.
Ejercicios
no.
17:
Resolución de triángulos
rectángulos.
Ejercicios
no.
5:
Resolución de triángulos
rectángulos.
Ejercicios de aplicación
1.7
Grupal
Desempeño
32
1.7
Grupal
Desempeño
33
1.7
Grupal
Desempeño
33
1.7
Grupal
Desempeño
34
1.7
Grupal
Desempeño
35
1.7
Grupal
Desempeño
36
1.7
Individual
Desempeño
36
2.5
Individual
Producto
23
24
25
26
27
28
29
188
Extraclase
RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN
DIAGNOSTICA
UNIDAD 3
REACTIVO:
OPCIÓN CORRECTA:
1
B
2
C
3
A
4
A
5
B
6
E
7
B
RESPUESTAS A LA
AUTOEVALUACIÓN
UNIDAD 3
REACTIVO:
OPCIÓN CORRECTA:
1
A
2
C
3
A
4
C
5
B
6
A
7
D
8
D
9
D
10
B
11
A
12
B
13
D
189
PORCENTAJE DE ACTIVIDADES Y PRODUCTOS EVALUABLES
UNIDAD 3
No.
Producto a entregar por el
alumno
%
1
Ejercicio 1: Resolución de
triángulos oblicuángulos
2.1
Ejercicio 1: Resolución de
triángulos oblicuángulos
2.1
Tarea 1. Aplicaciones de
3.75
2
3
4
5
6
Dinámica
empleada
Criterio
Sesión
No.
Grupal
Desempeño
37
Individual
Desempeño
38
Extra-
la ley de los senos
Individual
Producto
Ejercicio 2: Resolución de 2.1
triángulos oblicuángulos
Grupal
Desempeño
39
Ejercicio 2: Resolución de 2.1
triángulos oblicuángulos
Individual
Desempeño
40
Individual
Producto
Ejercicios de aplicación 1.
3..75
clase
Extraclase
7
Tarea de Investigación 1.
3.75
Individual
Producto
Extraclase
8
Ejercicio 3: Completar la 2.1
Grupal
Desempeño
41
Individual
Desempeño
41
Individual
Desempeño
42
Individual
Desempeño
43
Individual
Producto
44
Grupal
Desempeño
44
tabla correspondiente.
9
Ejercicio 3. Relación de 2.1
columnas.
10
Ejercicio 4. Completar la 2.1
tabla correspondiente.
11
Ejercicio 5. Demostración 2.1
de identidades.
3.75
12
Tarea de investigación 2
13
Ejercicio 4. Complementar 2.1
la tabla adjunta
14
Ejercicio 5. Problemas.
2.1
Grupal
Desempeño
45
15
Ejercicio 6. Problemas.
2.1
Individual
Desempeño
46
16
Ejercicio 7. Problemas.
2.1
Individual
Desempeño
47
17
Ejercicio 6. Resolución de 2.1
Grupal
Desempeño
48
190
ecuaciones
exponenciales.
18
Ejercicio 8. Aplicación de 2.1
Individual
Desempeño
48
Grupal
Desempeño
50
Individual
Desempeño
51
Individual
Desempeño
52
ley de los exponentes.
19
Ejercicio 7. Aplicación de 2.1
ley de exponentes y de
logaritmos.
20
Ejercicio 9. Aplicación de 2.1
ley de los logaritmos.
21
Ejercicio10.
Calcular
el 2.1
valor de la incógnita x,
utilizando
leyes
de
logaritmos.
191
GLOSARIO
Ángulo: Dos rayos que comparten un punto extremo común, en el supuesto de que los
dos rayos no estén en la misma recta. El punto extremo común de los dos rayos que
forman el ángulo es el vértice del ángulo. Los dos rayos se denominan lados del ángulo.
Ángulo agudo: Ángulo que mide menos de 90º.
Ángulo central: Ángulo cuyo vértice es el centro de una circunferencia y cuyos lados
contienen a los radios de ésta.
Ángulo de depresión: Si una persona está mirando hacia abajo, entonces el ángulo visto
desde la horizontal hacia abajo a la línea de visión se denomina ángulo de depresión.
Ángulo de elevación: Si una persona está mirando hacia arriba, entonces el ángulo de la
horizontal a la línea de visión se denomina ángulo de elevación.
Ángulo de rotación: Un número, por lo general en grados, que describe un movimiento
de giro alrededor de un centro dado.
Ángulo exterior: Ángulo que forma un par lineal con uno de los ángulos internos del
polígono.
Ángulo inscrito: Ángulo cuyo vértice está en una circunferencia y cuyos lados contienen
cuerdas del círculo.
Ángulo interior adyacente: El ángulo interior que forma un par lineal con un ángulo
exterior dado.
Ángulo obtuso: Ángulo que mide más de 90º.
Ángulo recto: Ángulo que mide 90°.
Ángulos complementarios: Dos ángulos cuyas medidas suman 90º.
Ángulos congruentes: Dos ángulos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida.
Ángulos consecutivos: Dos ángulos de un polígono que comparten un lado común.
Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuyas medidas suman 180º.
Apotema de un polígono regular: Segmento perpendicular del centro del círculo
circunscrito por el polígono a un lado del polígono.
Arco de círculo: Dos puntos en una circunferencia y la parte continua (sin romper) de la
circunferencia entre los dos puntos. Los dos puntos se denominan puntos extremos del
arco.
Arco mayor: Arco de círculo cuya longitud es mayor que la longitud de un semicírculo del
círculo.
Arco menor: Arco de círculo cuya longitud es menor que la longitud de un semicírculo del
círculo.
Área: Medida de la región encerrada por una figura plana.
Argumento lógico: Conjunto de premisas y una conclusión. Cada proposición dada es
una premisa. La proposición a que se llega a través del razonamiento se denomina
conclusión. Un argumento es válido si la conclusión fue obtenida mediante formas
aceptadas de razonamiento.
192
Base de un triángulo isósceles: El lado opuesto al ángulo vértice en un triángulo
isósceles.
Bisectriz de un ángulo: Rayo que tiene un punto extremo en el vértice de un ángulo y lo
divide en dos ángulos iguales de la misma medida.
Bisectriz de un segmento: Recta que pasa por el punto medio de un segmento.
Centro idee: Punto de concurrencia de las tres medianas de un triángulo.
Círculo: Conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia de un punto
dado (el centro del círculo) en el plano.
Circulo circunscrito en un polígono: Círculo que pasa por cada uno de los vértices de
un polígono. El polígono está inscrito en el círculo.
Circulo inscrito en un polígono: Círculo que toca una vez cada lado de un polígono
exactamente en un punto. El polígono está circunscrito en el círculo.
Círculos concéntricos: Círculos que comparten el mismo centro.
Círculos congruentes: Círculos del mismo radio.
Círculos tangentes: Círculos que son tangentes a la misma recta en el mismo punto.
Pueden ser tangentes internamente o tangentes externamente, como se muestra en la
figura de la derecha.
Circuncentro: El punto de concurrencia de las tres bisectrices perpendiculares de los
lados de un triángulo.
Circunferencia: Distancia alrededor del círculo; es decir, el perímetro. La circunferencia
de un círculo de radio r es 2π r.
Congruente: Dos figuras geométricas son congruentes si y sólo si son idénticas en forma
y tamaño.
Corolario: Teorema demostrado como una consecuencia inmediata de otro teorema.
Cuadrilátero: Polígono de cuatro lados.
Cuerda de un círculo: Segmento cuyos puntos extremos están en una circunferencia.
Decágono: Polígono de diez lados.
Diagonal de un polígono: Segmento que conecta dos vértices no consecutivos
cualesquiera.
Diámetro: Cuerda que contiene al centro del círculo
Distancia de un punto a una recta: Longitud del segmento perpendicular que va del
punto a la recta
Dodecágono: Polígono de doce lados.
Eneágono: Polígono de nueve lados.
Esfera: Conjunto de todos los puntos en el espacio a una distancia dada de un punto
dado. La distancia dada se denomina radio y el punto dado es el centro.
Figuras semejantes: Figuras que tienen la misma forma pero no necesariamente el
mismo tamaño.
193
Grado: Unidad de medida de los ángulos.
Hemisferio: Mitad de una esfera.
Heptágono: Polígono de siete lados.
Hexágono: Polígono de seis lados.
Hexágono regular: Figura cuyos seis lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos
miden lo mismo.
Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo. Los otros dos lados
se denominan catetos.
Incentro: El punto de concurrencia de las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo.
Lado de un polígono: Cada segmento de recta de un polígono.
Lados consecutivos: Dos lados de un polígono que comparten un vértice común.
Ley de los cósenos: Para cualquier triángulo con ángulos de medidas A, B y C y lados
de longitudes a, b y c (a opuesto a A , b opuesto a B y c opuesto a C), c2 = a2 + b2 -2ab
cos C.
Ley de los senos: Para cualquier triángulo con ángulos de medidas A, B y C y lados de
longitudes a, b y c (a opuesto a A , b opuesto a B y c opuesto a C),
Longitud de arco: Fracción de la circunferencia de un círculo definida por el arco.
Mediana de un triángulo: Segmento que conecta el punto medio de un lado con el
vértice opuesto.
Mediatriz: Recta que divide (biseca) un segmento de recta en dos partes congruentes y
que también es perpendicular al segmento de recta.
Medida de un ángulo: La mínima cantidad de rotación necesaria para girar de un rayo de
un ángulo al otro.
Modelo matemático: Abstracción de un problema del mundo real en un problema
matemático. La creación de un modelo matemático puede implicar establecer hipótesis y
efectuar simplificaciones crear figuras geométricas, gráficas y tablas; o encontrar
ecuaciones que aproximan el comportamiento de un evento real.
Nonágono: Polígono de nueve lados.
Octágono: Polígono de ocho lados.
Ortocentro: El punto de concurrencia de las tres alturas (o de las rectas que pasan por
las alturas) de un triángulo.
Paralelogramo: Cuadrilátero en el que ambos pares de lados opuestos son paralelos
Pentágono: Polígono de cinco lados.
Perímetro de un polígono: La suma de las longitudes de los lados de un polígono.
Polígono: Figura geométrica cerrada en un plano en la que segmentos de recta conectan
punto extremo con punto extremo y cada segmento corta exactamente a otros dos
segmentos.
194
Polígono cóncavo: Polígono en que por lo menos un segmento que une dos vértices
está fuera del polígono.
Polígono convexo: Polígono en que ningún segmento que une dos vértices está fuera
del polígono.
Polígono equiángulo: Polígono cuyos ángulos miden lo mismo.
Polígono equilátero: Polígono cuyos lados miden lo mismo.
Polígono regular: Polígono que es equilátero y equiángulo.
Polígonos congruentes: Dos polígonos son congruentes si y sólo si todos sus ángulos
correspondientes son congruentes y todos sus lados correspondientes son congruentes.
Polígonos semejantes: Polígonos cuyos ángulos correspondientes son congruentes y
cuyos lados correspondientes son proporcionales.
Postulado: Proposición aceptada sin demostración.
Proporción: Proposición de igualdad entre dos razones.
Punto: Término indefinido. Unidad básica de la geometría. No tiene tamaño, es
infinitamente pequeño y sólo tiene ubicación.
Puntos colineales: Dos o más puntos que están en la misma recta.
Puntos coplanares: Dos o más puntos que están en el mismo plano.
Radio: Segmento trazado de un punto de una circunferencia o esfera al centro. La
longitud del segmento también se denomina radio.
Recta: Término indefinido. Disposición recta de puntos. En una recta hay una infinidad de
puntos. Una recta tiene longitud infinita aunque carece de grosor y se extiende sin límite
en ambas direcciones.
Recta auxiliar: Una recta o segmento adicional que se traza en una figura como ayuda
en una demostración.
Recta de Euler: Recta que pasa por el circuncentro, el ortocentro y el centroide de un
triángulo; así denominada en honor del físico y matemático suizo Leonhard Euler.
Rectángulo: Paralelogramo equiángulo.
Rectas concurrentes (segmentos o rayos): Rectas, segmentos o rayos que están en el
mismo plano son concurrentes si y sólo si se cortan en un solo punto. El punto de
intersección es el punto de concurrencia.
Rectas oblicuas: Rectas que no están en el mismo plano y no se cortan.
Rectas paralelas: Dos o más rectas que están en el mismo plano y no se cortan.
Rectas perpendiculares: Dos rectas que se cortan y forman un ángulo recto.
Rectificar: Transformar una figura en rectángulo por medio de corte y reensamblaje.
Recurrencia: Proceso de generación de una sucesión (o patrón) a partir de un primer
término dado al aplicar una regla a fin de obtener cualquier término subsecuente a partir
del término precedente.
Regla: Instrumento utilizado para trazar rectas.
195
Regla graduada: Instrumento utilizado para medir la longitud de segmentos de recta.
Rombo: Paralelogramo equilátero.
Rotación: Isometría en que todos los puntos giran un ángulo constante con respecto a un
punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina
ángulo de rotación.
Rumbo: Ángulo medido en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj con
respecto al norte.
Secante de un círculo: Recta que contiene una cuerda.
Sección: Figura plana que resulta cuando un sólido es cortado por un plano.
Sector de un círculo: Región entre dos radios de un círculo y el arco incluido.
Segmento de Euler: Segmento cuyos puntos extremos son el ortocentro y el circuncentro
de un triángulo. (El segmento de Euler también contiene al centroide del triángulo).
Segmento de recta o segmento: Dos puntos y todos los puntos entre aquéllos, que
están en la recta que contiene a los dos puntos. Los dos puntos se denominan puntos
extremos del segmento de recta.
Segmento de un círculo: Región entre una cuerda de un círculo y el arco incluido.
Segmento medio de un trapezoide: Segmento de recta que conecta los puntos medios
de los dos lados no paralelos de un trapezoide.
Segmento medio de un triángulo: Segmento de recta que conecta los puntos medios de
dos lados de un triángulo.
Segmentos congruentes: Dos segmentos son congruentes si y sólo si tienen la misma
medida.
Semicírculo: Arco de círculo cuyos puntos extremos son los puntos extremos de un
diámetro.
Seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo: Para cualquier triángulo
rectángulo ABC con ángulo agudo A , sen A = Longitud del cateto opuesto a / Longitud de
la hipotenusa.
Simetría: Una figura es simétrica si coincide consigo misma después de una
transformación rígida.
Simetría de reflexión: Una figura tiene simetría de reflexión si puede reflejarse a través
de una recta de forma que la imagen resultante coincida con la figura original. La simetría
de reflexión también se denomina simetría con respecto a una recta o simetría especular.
La recta de reflexión se denomina recta de simetría o espejo.
Simetría de reflexión por deslizamiento: Una figura o patrón tiene simetría de reflexión
por deslizamiento si puede experimentar una reflexión por deslizamiento de modo que la
imagen coincida con la figura original. Las figuras con simetría de reflexión por
deslizamiento necesariamente se repiten de forma infinita.
Simetría de rotación: Una figura tiene simetría de rotación n veces si puede rotarse
grados alrededor de un punto (donde n es un entero positivo) de modo que la imagen
resultante coincida con la figura original.
196
Simetría de traslación: Una figura presenta simetría de traslación si puede trasladarse
de modo que la imagen coincida con la figura original. Las figuras con simetría de
traslación necesariamente se repiten de forma infinita; sólo es posible representar una
parte finita de la figura.
Simetría puntual: Una figura presenta simetría puntual si puede rotarse 180º alrededor
de un punto de modo que la figura coincida con su imagen.
Tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo: Para cualquier triángulo
rectángulo ABC con ángulo agudo A , tan A = Longitud del cateto adyacente b / Longitud
del cateto opuesto a.
Tangente de un círculo: Recta que está en el plano de un círculo y que corta a éste
exactamente en un punto. El punto de tangencia es el punto en que la tangente toca el
círculo.
Teorema: Proposición que puede demostrarse.
Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.
Tetraedro: Poliedro con cuatro caras.
Transformación: Regla que establece una correspondencia uno a uno entre cada punto
del plano y otro punto en el plano, denominado su imagen Transformación rígida o
isometría. Transformación que preserva todas las distancias y por ello preserva el tamaño
y la forma. (Nota: iso significa "igual" y metría significa "medida"). La imagen de una figura
bajo esta transformación siempre es congruente con la figura original.
Transportador: Instrumento utilizado para medir en grados el tamaño de un ángulo.
Transversal: Recta que corta dos o más rectas coplanares.
Trapezoide: Cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos. Los lados paralelos
se denominan bases. Dos ángulos que comparten una base como lado común se
denominan par de ángulos de la base.
Trapezoide isósceles: Trapezoide cuyos dos lados no paralelos tienen la misma longitud
Traslación: Isometría en que todos los puntos se desplazan una distancia fija hacia sus
imágenes a lo largo de trayectorias paralelas. Una traslación está determinada por un
vector de traslación, representado por una flecha. La distancia del desplazamiento es la
longitud del vector de traslación desde el punto de inicio hasta la punta, y la dirección del
desplazamiento es la dirección en que apunta la flecha.
Triángulo: Polígono de tres lados
Triángulo agudo: Triángulo con tres ángulos agudos.
Triángulo escaleno: Triángulo con tres lados de longitudes diferentes.
Triángulo isósceles: Triángulo con por lo menos dos lados de la misma longitud. El
ángulo entre los dos lados de la misma longitud se denomina ángulo vértice. El lado
opuesto al ángulo vértice se denomina base. Los dos ángulos opuestos a los dos lados de
la misma longitud se denominan ángulos de la base.
Triángulo obtuso: Triángulo con exactamente un ángulo obtuso.
Triángulo rectángulo: Triángulo con exactamente un ángulo recto.
197
Tripleta pitagórica: Tres enteros positivos que producen una igualdad en la fórmula de
Pitágoras. Si los tres enteros no tienen factores comunes enteros, entonces la tripleta es
primitiva. Si los tres enteros tienen un factor común, entonces la tripleta es un múltiplo.
Undecágono: Polígono de once lados.
Vértice de un polígono: Cada punto extremo donde se encuentran los lados de un
polígono.
Vértices consecutivos: Dos vértices de un polígono conectados por un lado.
198
BIBLIOGRAFIA
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México.
2. Swokowski, Earl W. \ Cole, Jeffery A., Coaut. \ Muñoz, Jorge Humberto. (1998).
Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica . 9a. ED. México.
3. Kelly, Timothy J. et al. (1996). Álgebra y Trigonometría. Editorial Trilla, México.
4. Leithold, Louis. (1994). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Editorial
OXFORD UNIVERSITY PRESS. México.
5. Fleming, W.(1991). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. PRENTICEHALL. México.
6. Peterson, John (1998). Matemáticas básicas. Álgebra, trigonometría y geometría
analítica. Compañía editorial Continental (CECSA), México.
7. Ortiz, Francisco J. (2006). Matemáticas, Geometría y Trigonometría. Publicaciones
Cultural. México.
8. Stanley A. Smith, Randall I. Charles, John A. Dossey, Mervin L. Keedy L. Bittinger.
(1998). Algebra,Trigonometría y Geometría Analítica.ED. Pearson.
199
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