Abel Martín Una fábrica de cerveza produce cerveza negra y rubia

La programación lineal
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088.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – junio 2012
Una fábrica de cerveza produce cerveza negra y rubia. Para la elaboración de un
bidón de cerveza negra son necesarios 2Kg de lúpulo, 4 kg de malta y una hora de
trabajo. Para la elaboración de un bidón de cerveza rubia son necesarios 3Kg de
lúpulo, 2 kg de malta y una hora de trabajo. Cada día, se dispone de 60 Kg de
lúpulo, 80 Kg de malta y 22 horas de trabajo. El beneficio obtenido es de 60 euros
por cada bidón de cerveza negra vendido y de 40 euros por cada bidón de cerveza
rubia.
(a) ¿Cuántos bidones de cerveza de cada tipo pueden producir al día para
cumplir con todos los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa
gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Es posible que en un día cualquiera se
hayan producido 15 bidones de cerveza negra y 20 de cerveza rubia?
(b) Si vende todo lo que produce, ¿cuántos bidones de cerveza de cada tipo
deberían producir para maximizar el beneficio?
(c)* ¿Cuántos tendría que producir para maximizar el número de bidones de
cerveza negra?
RESOLUCIÓN apartado (a)
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS
x ≡ "Número de bidones de cerveza negra"
y ≡ "Número de bidones de cerveza rubia"
CONJUNTO DE RESTRICCIONES
Elaboración de un
bidón de cerveza negra
Elaboración de un
bidón de cerveza rubia
Kg lúpulo
Kg malta
Horas de
trabajo
2
4
1
3
2
1
2x + 3y ≤ 60 → lúpulo
4x + 2y ≤ 80 → malta
x + y ≤ 22 → horas de trabajo
x≥0
y≥0
Restricciones simplificadas
2x + 3y ≤ 60
2x + y ≤ 40
x + y ≤ 22
x≥0
;
y≥0
LA REGIÓN FACTIBLE
Realizamos unas sencillas tablas de valores...
2x + 3y = 60
2x + y = 40
x
y
x
y
0
20
0
40
30
0
20
0
x + y = 22
x
0
22
y
22
0
En la PAU tendremos que ir realizando la actividad con lápiz y papel, en un solo dibujo,
aunque en el aula podremos utilizar herramientas auxiliares como lo puede ser una calculadora
gráfica, en nuestro caso, la fx – CG20 de CASIO. Para una mejor comprensión por parte del
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Del aula a la PAU
alumnado, vamos a mostrar, de forma pautada, las imágenes de cómo se va obteniendo la
región factible en cada momento.
El nombre de la función y la verificación de uno de los infinitos puntos del semiplano figuran,
en cada momento, a la derecha de los mismos.
Veamos, a continuación, todo el proceso descrito:
2x + 3y ≤ 60
Punto (0, 0)
0 ≤ 60
SÍ se verifica
(0, 0) ∈ semiplano correspondiente
2x + y ≤ 40
(0, 0)
0 ≤ 40
SÍ se verifica
(0, 0) ∈ semiplano correspondiente
x + y ≤ 22
(0, 0)
0 ≤ 22
Sí se verifica
(0, 0) ∈ semiplano correspondiente
x≥0
Todos los valores del primero y cuarto
cuadrantes
y≥0
Todos los valores del primero y segundo
cuadrantes
Finalmente podremos observar la solución del sistema de inecuaciones en forma de zona
sombreada, los vértices y los nombres de las rectas.
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Las distintas combinaciones vienen representadas por los puntos (x, y)
pertenecientes a la región factible (sombreada), donde "x" es número de bidones de
cerveza negra e "y" es el número de bidones de cerveza rubia, con la condición de que
tanto "x" como "y" sean números naturales.
• ¿Es posible que en un día cualquiera se hayan producido 15 bidones de cerveza negra y 20
de cerveza rubia?
No es posible pues esa combinación viene representada por el punto (15, 20) y se
encuentra claramente fuera de la región factible.
RESOLUCIÓN apartado (b)
• Si vende todo lo que produce, ¿cuántos bidones de cerveza de cada tipo deberían producir
para maximizar el beneficio?
B(x, y) = 60x + 40y
LOCALIZACIÓN DE SOLUCIONES
Teorema fundamental de la programación lineal: Como la región factible existe y está
acotada, el valor óptimo de la función objetivo se alcanzará en uno de los vértices del polígono
que limita la región, o a lo largo de uno de los lados.
Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono
que constituye la región factible:
CÁLCULO DE VÉRTICES
A → Visualización directa en la gráfica y tabla de valores: A(0, 0)
B → Visualización directa en la gráfica y tabla de valores: B(0, 20)
C(x, y) Resolvemos el sistema
( −2)
(1)
x + y = 22

2x + 3y = 60 
→
− 2 x − 2 y = −44

2 x + 3y = 60 
→ y = 16
x + 16 = 22
x = 22 – 16
x = 6 → y = 16 → C(6,16)
D(x, y) Resolvemos el sistema
( −2)
(1)
x + y = 22

2x + y = 40
→
− 2 x − 2 y = −44

2 x + y = 40 
x + 4 = 22
→ –y=–4 →
y=4
→ x = 18
x = 18 → y = 4 → D(18, 4)
E → Visualización directa en la gráfica y tabla de valores: E(20, 0)
LA FUNCIÓN OBJETIVO
B(x, y) = 60x + 40y
ANÁLISIS DE ÓPTIMOS
Aplicamos el TEOREMA mencionado:
Vértices
A(0, 0)
B(0, 20)
C(6, 16)
D(18, 4)
E(20, 0)
B(x, y) = 60x + 40y
60·0 + 40·0 =
60·0 + 40·20 =
60·6 + 40·16 =
60·18 + 40·4 =
60·20 + 40·0 =
Valor
0
800
1000
1240
1200
Para maximizar el beneficio tendrá que producir 18 bidones de cerveza negra y 4 de
cerveza rubia, momento en el que dichos beneficios ascenderán a 1240 euros.
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RESOLUCIÓN apartado (c)* - AMPLIACIÓN
¿Cuántas tendría que producir para maximizar el número de bidones de cerveza negra?
Para contestar a la pregunta, habrá que observar cuál es el mayor valor que toma "x" dentro
de la región factible.
Vemos que se encuentra en el punto D(20, 0)
Para maximizar el número de bidones de cerveza negra habrá que producir 20
bidones de este tipo de cerveza negra y ninguno de cerveza rubia.
Criterios de corrección y calificación especificados en la prueba oficial:
(a) Plantear las inecuaciones: 0.75 puntos. Representar la región factible: 0.75 puntos. Cuestión:
0.25 puntos. (b) 0.75 puntos.
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