Problema 12

Problema realizado por Marta Bravo
Enunciado
Calcular la ecuación de la recta que tiene la misma
r ordenada en el origen que la
recta 2x - 3y + 6 = 0 y cuyo vector normal es n = (3, -2).
Bases teóricas
•
El vector director de una recta es cualquier vector contenido en esa recta.
•
El vector normal es un vector perpendicular al vector director y unitario, es
decir, de módulo 1. En la mayoría de los casos se utiliza el vector normal
como el perpendicular, es decir no se toma en cuenta que sea unitario.
•
Dada una recta en forma general Ax + By + C = 0, se definen como vector
r
director de dicha recta al vector v = (el coeficiente de la “y” cambiado de
signo, el coeficiente de la “x”) = (- B, A) y como vector normal o
r
perpendicular a dicha recta al vector n = (coeficiente de la “x”, coeficiente
de la “y”) = (A, B).
•
Definimos ordenada en el origen el valor que toma y cuando la x vale 0.
•
Dos vectores son perpendiculares entre sí, si el producto escalar entre
ellos es igual a 0.
•
Un punto pasa por una recta si al sustituir las coordenadas de dicho punto
en esa recta verifica la ecuación.
Resolución gráfica
1. Dibujamos la recta 2x – 3y + 6 = 0.
2. Luego dibujamos el punto de la recta 2x – 3y + 6 = 0 que corta al eje OY,
y le llamamos P.
r
r
3. Si n =(3, -2) entonces el vector director de la recta pedida es v = (2, 3 ) ya
r r
que n · v =0, por lo tanto se dibuja el punto P(0,2) y el vector director
r
v = (2, 3 ).
r
4. Dibujamos la recta que pasa por P y tiene como vector de dirección v .
Cálculos
1. Lo primero que tenemos que hallar es la ordenada en el origen de la recta
dada, y así, averiguamos un punto por donde pasa la recta que nos piden;
para ello, averiguamos el valor de y para cuando la x valga 0:
2·0 – 3y + 6 =0; y = 2. Luego: P(0,2)
r
2. Como se conoce el vector normal n = (3, -2) de la recta pedida, entonces
se conoce el coeficiente de la “x” y el coeficiente de la “y” de dicha recta en
forma general, es decir: 3x – 2y + C = 0
3
Para calcular C obligamos al punto a que pase por la recta, es decir,
sustituimos las coordenadas del punto: P(0,2) en la recta 3x – 2y + C = 0
Es decir:
3·0 - 2·2 + C = 0 ⇒ C = 4;
Solución: 3x – 2y + 4 = 0.