UNIDAD DIDÁCTICA GEOMETRÍA

UNIDAD DIDÁCTICA:
RELACIÓN ENTRE EL ÁREA, PERIMETRO Y LAS PROPIEDADES
DE LOS NÚMEROS NATURALES
POR:
ANGÉLICA LILIANA MOLANO ZÁRATE
YEFERSON PALACIOS MOSQUERA
ASPIRANTES A MAGISTER EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
MAESTRIA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
SEMINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
UNIVERSIDAD DE MEDELLIN
2012
PRESENTACIÓN Y DESCRIPCIÓN GENERAL
Ciclo para el que se propone: 6º - 7º.
Nombre o título de
la propuesta:
Propósito general:
Tiempo aproximado: 1 mes.
“RELACIONES ENTRE ÁREA, PERIMETRO Y PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES”
Hacer uso de los diferentes pensamientos matemáticos en situaciones generadas en el aula de clase.
Competencia(s)
que se
desarrollan:






Trabajo en equipo.
Pensamiento y razonamiento lógico matemático.
Investigación científica.
Planteamiento y resolución de problemas.
Manejo de herramientas tecnológicas e informáticas.
Desarrollo del lenguaje epistemológico.
Competencia(s)
Específicas que se
desarrollan:




Interpreta las posibles relaciones existentes entre lo numérico y lo geométrico.
Realiza cálculos para encontrar las medidas en figuras planas.
Argumenta sus diferentes hipótesis planteadas a partir de experimentaciones lúdicas.
Determina diferencias existentes en las propiedades de los conjuntos numéricos (Naturales y
Enteros).
Socializa sus resultados como estrategia de comparación y confrontación de sus hipótesis.
Utiliza las herramientas tecnológicas como medio de evaluación personal y formalización.


Qué enseñar y qué
aprender:
CONCEPTUALES
Unidad de medida.
PROCEDIMENTALES
ACTITUDINALES
Mediciones a partir de
una unidad de medida.
Orden en la presentación de
los resultados obtenidos.
Sistematización de datos
obtenidos.
Responsabilidad a la hora de
entregar o solucionar una
situación, en el tiempo
especificado.
Noción de Área y perímetro.
Clasificación de los números (paridad y
primalidad).
Propiedades de la Adición en los números
Naturales (N).
Solución de problemas
empleando las
operaciones entre
números naturales.
Realización de
operaciones que ayuden
a encontrar relaciones y
propiedades en la adición
de los números
naturales.
Comunicación con sus
compañeros a partir de la
socialización de sus ideas.
Trabajo en equipo que
permite el libre desarrollo de
las ideas de sus
compañeros.
Escucha hacia sus
compañeros y docente.
1
ANÁLISIS CURRICULAR
Desde lo presentado anteriormente podemos ver algunos elementos curriculares
importantes como las competencias generales y específicas a desarrollar, las
cuales parten de los estándares relacionados con los conceptos propuestos.
Los estándares establecidos para este ciclo y que podemos relacionar son:
Ciclo 6º - 7º
PENSAMIENTO
PENSAMIENTO
PENSAMIENTO
PENSAMIENTO
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
ESPACIAL
MÉTRICO
ALEATORIO
VARIACIONAL
Justifico
Identifico y describo
Resuelvo y formulo
Predigo
procedimientos
figuras
cuerpos
problemas
que
razonamientos
aritméticos utilizando
generados por cortes
involucren
factores
las
rectos
escalares (diseño de
información
de variación relacionando
maquetas, mapas).
estadística.
diferentes representaciones
relaciones
y
y
propiedades de las
transversales
operaciones.
objetos
y
de
y
justifico
y
Describo
conclusiones usando
(diagramas,
verbales
Formulo y resuelvo
entre
tablas).
problemas
unidades
en
situaciones aditivas y
para
multiplicativas,
cantidades
en
diferentes contextos
y
distintas
medir
misma magnitud.
Resuelvo y formulo
problemas
Justifico
la
pertinencia
cálculo
de
un
exacto
o
aproximado
solución
problema
1
la
dominios
numéricos.
en
requieren
que
técnicas
de estimación.
la
de
un
y
lo
expresiones
generalizadas
utilizadas
de
represento
situaciones
Identifico relaciones
tridimensionales.
y
FORMATO DE TABLA DE PRESENTACIÓN TOMADO UNIDAD DIDÁCTICA DE PROYECTO POLYA, PROGRAMA
DE GESTIÓN CURRICULAR, ESCUELA DEL MAESTRO.
y
razonable o no de
las
respuestas
obtenidas.
Cabe decir que nuestra visión de currículo está determinada por un modelo
constructivista, es decir que el estudiante construye conocimiento a partir de
situaciones planteadas por el docente en relación con su entorno y la
manipulación de elementos físicos.
Los elementos fundamentales del currículo a tener en cuenta para nuestra unidad
didáctica son:
2
Desde el fundamento filosófico, pretendemos que el estudiante reconozca su
entorno, no como algo pequeño y cerrado, sino como algo dinámico, cambiante y
en construcción. Él hace parte del cambio que debe ocurrir en su propio espacio,
en procura de mejorarlo.
En la primera situación que planteamos en la unidad, tratamos de que el
estudiante reconozca el mundo desde lo macro hasta lo micro es decir, como en el
efecto (zoom); y al mismo tiempo que establezca relaciones con su quehacer
cotidiano.
2
Sacado de la página educativa de la alcaldía de Medellín, http://www.jaibana.com/
Nuestro fundamento epistemológico hace que el estudiante vea el conocimiento
como algo no terminado, sino algo que se construye y se plantea como un
problema abierto donde el encuentra a diario cosas nuevas que lo motivan a
seguir investigando.
Los fundamentos antropológico y sociológico, va ligado al anterior fundamento, ya
que tiene como objetivo que el estudiante piense en el aporte que hace a la
sociedad a partir del conocimiento particular, volviéndose un ser socializador. Las
situaciones planteadas en la unidad, están pensadas, para que el estudiante tenga
la necesidad de interactuar con sus semejantes, compartiendo sus ideas y
respetando las de los demás.
De aquí, nace la necesidad de que el estudiante se convierta en un investigador
activo, con iniciativa, con participación activa, generando sus propias hipótesis. En
las situaciones planteadas en la unidad, el estudiante hace un redescubrimiento a
partir de sus propios análisis y conclusiones, es por esto que el fundamento
pedagógico de nuestra unidad está encaminado a generar en el estudiante la
“comprensión de los conceptos”, a partir de su propia construcción y relación con
el entorno.
Preguntarnos por las características personales y socio - económicas de los
estudiantes, hace que determinemos cuál debe ser la metodología que nos ayuda
a “enganchar” al estudiante con el conocimiento.
En esta unidad se tienen en cuenta estudiantes con bajos recursos económicos,
de diversas etnias y culturas, y con dificultades familiares y de conflicto armado,
donde muchos vienen como desplazados rurales para pasar a ser desplazados
urbanos.
Es por esto que la unidad debe estar encaminada a motivar a los estudiantes a
pensar y ver el mundo desde otra óptica o perspectiva, que hay un mundo
diferente al de la violencia, que puede cambiar si ellos cambian su concepción de
él.
Una de las formas de relacionar al estudiante con las necesidades que surgen en
la actualidad, es a partir del uso de la tecnología desde varios aspectos: como una
herramienta de búsqueda, como una herramienta de comprobación, y como una
herramienta de comunicación.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL:
Identificar
y relacionar las propiedades básicas de la adición de los números
Naturales con situaciones transversales de la vida cotidiana, utilizando los
diferentes pensamientos lógico – matemáticos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Identificar características de orientación en sistemas geográficos.

Utilizar el diseño de mapas o maquetas para representar una ubicación.

Identificar relaciones entre diferentes unidades de medida.

Hacer relaciones de variables con algunos valores numéricos dados.

Formular hipótesis sobre algunas propiedades numéricas y geométricas.

Justificar procedimientos aritméticos, a partir de relaciones y propiedades
numéricas y geométricas.

Usar información recogida en tablas, como datos estadísticos para plantear
razonamientos y conclusiones.

Encontrar relaciones entre la medida y el valor numérico.

Utilizar el juego como estrategia de experimentación y aprendizaje.

Utilizar herramientas tecnológicas en los procesos de aprendizaje.
ANÁLISIS DIDÁCTICO DE CONTENIDO
TÓPICO GENERATIVO: “Son aquellas ideas y preguntas centrales que
establecen múltiples relaciones entre unos temas y otros y entre estos y la vida de
los estudiantes, por lo cual generan un auténtico interés por conocer acerca de
ellos”.3
Desde la unidad presentada, tenemos en cuenta las relaciones que se ven en la
siguiente “red conceptual”.4
RED CONCEPTUAL
3
4
Sacado de Revista Alegria de enseñar Nº31, Pág. 30, 1997.
. Según (Novak & Gowin, 1999), los mapas conceptuales “tienen por objeto representar relaciones
significativas entre conceptos en forma de proposiciones. Una proposición consta de dos o más términos
conceptuales unidos por palabras para formar una unidad semántica”. Sacado de la página de internet
http://cmc.ihmc.us/papers/cmc2004-234.pdf
Figura 1: Mapa conceptual para el tópico “pensamientos matemáticos”
A partir del tópico establecido, planteamos en la situación Nº1, algunas preguntas
que conllevan al alumno a pensar en su entorno como manera de reflexionar y
construir algunos conceptos matemáticos, que se volverían importantes para el
desarrollo primordial de la comprensión.
HILOS CONDUCTORES: En esta unidad, los hilos conductores se establecen a
partir de los objetivos específicos, puesto que estos son los que determinan en
general lo que queremos que el estudiante aprenda.
METAS PARA LA COMPRESIÓN: “Las metas para la compresión son aquellos
objetivos, que como docentes, deseamos sean alcanzados por nuestros alumnos.
Estos objetivos son un conjunto de conceptos, procesos, habilidades, ideas, etc.
que esperamos sean comprendidos por los estudiantes.”5
El estudiante desarrollará comprensión determinando y relacionando conceptos
fundamentales del conjunto de los números Naturales en el contexto cotidiano.
5
Sacado del trabajo de especialización Final del Módulo IV “La Práctica de la Enseñanza”
Universidad Católica de Santiago del Estero, Página web:
http://www.ucse.edu.ar/fma/staff/svcavadini/Ensenanza-para-la-comprension.pdf
Para esto, los alumnos comprenderán:
• El uso de los patrones de medida como una comparación para encontrar el área
de una superficie que representa su entorno (mundo, ciudad, barrio, etc.)
• El concepto de Número Natural.
• Propiedades de los números Naturales en relación con las propiedades a partir
de la experimentación.
USO DEL PROGRAMA GEOGEBRA COMO HERRAMIENTA PARA LA
COMPRENSIÓN
Se pueden establecer relaciones entre la ciencia, la tecnología y la técnica para poder demostrar
que la necesidad de investigación, creación e invención del hombre no es algo que apenas surge
sino que viene desde el surgimiento mismo del hombre.
Las relaciones más inmediatas son:
6
Es decir, que la una sin las otras dos no podrían generar las herramientas para responder a las
necesidades del hombre.
Pero que la una nazca para reemplazar a la otra, no indica que no se pueda trabajar con la
anterior, como el ejemplo que se puede mostrar a continuación que demuestra que utilizar
tecnología educativa no es solamente dejar de utilizar un tablero, sino cambiar la visión que
tenemos frente a un estudiante como objeto inerte.
6
Imagen sacada de http://platea.pntic.mec.es/~msanch2/tecnoweb/introduc.htm
La tecnología nos proporciona las herramientas necesarias para que el estudiante deje de ser ese
objeto inerte en el aula de clase y se convierta en un ser interactivo y constructor de
conocimiento.
Lo que determina que la tecnología realmente sea educativa es entonces la guía que genere el
maestro para que el estudiante logre interactuar con las herramientas, en búsqueda de
conocimiento.
Podemos establecer algunas ventajas y desventajas de la utilización de la tecnología en el aula, de
la siguiente manera:
VENTAJAS
El estudiante puede hacer
construcción del conocimiento.
DESVENTAJAS
su propia
Crea cierta dependencia por parte del
estudiante al pensar que necesita solamente de
estas herramientas para crear su propio
conocimiento.
El maestro tiene diferentes maneras de plantear
Permite que las personas dejen de ser
situaciones que generen conocimiento.
analíticos e investigadores, si solamente se
utiliza para ejercitar conocimientos.
El estudiante se motiva para construir su propio
Puede acabar con la verificación sin consultar
conocimiento.
con otros autores para verificar dicha
información.
Permite mayor argumentación y socialización
La deshumanización que puede provocar la
en los procesos.
incorporación inadecuada de la tecnología al
campo educativo.
Genera un puente entre la tecnología, la técnica
Debe ser muy personalizada en algunas
y la ciencia desde lo construido por el
ocasiones y debido a la cantidad de estudiantes
estudiante.
en un grupo, se pierde el sentido de lo que se
busca en una situación presentada.
El empleo de programas informáticos (Geogebra y Cabri entre otros) en la actualidad se han
convertido en una fuerte herramienta muy necesaria para que el estudiante pueda acceder a una
formación de conocimientos más completa, pues el estudiante, el docente y el mismo proceso
educativo sienten notablemente la ayuda y facilidad dinámica que ofrece el sistema para que sea
el estudiante mismo, quien pueda redescubrir teoremas, formular, contrastar propiedades,
además de inferir y elaborar conjeturas.
DESEMPEÑO DE COMPRENSIÓN:
PLANTEAMIENTO DE LAS SITUACIONES
SITUACIÓN Nº 1: UN MUNDO PLANO DE DOS DIMENSIONES CON FIGURAS
DE CUATRO LADOS
DESEMPEÑO PRELIMINAR: Responde las siguientes preguntas, de acuerdo a lo
que conozcas de tu mundo, tu continente, tu ciudad y tu barrio.
1. ¿En qué dimensión crees que vives?
2. ¿Cuántas clases de dimensiones crees que existen? ¿Cuáles son?
3. ¿Te distraes en clase? ¿En qué estás pensando cuando te distraes?
4. ¿Por qué cuando una persona se distrae, dicen que está en otra
dimensión?
ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN: Mira y analiza el VIDEO Dr. Quantum visita el
"Planeta Plano" SACADO DE
(http://www.youtube.com/watch?v=CR8cO554H4U&feature=related) y responde
las siguientes preguntas:
1. ¿De cuántas dimensiones hablaron en el video? ¿Cuáles fueron?
2. ¿Por qué crees que al círculo le daba miedo pasar de dimensión?
3. Según la dimensión en la que te encuentras en tu barrio, ¿Qué cosas te
gustaría cambiar de esta dimensión?
4. ¿Te gustaría salir de tu barrio a conocer otras dimensiones o te daría miedo
el cambio como al círculo? Explica tu respuesta.
5. En caso de que tu respuesta a la pregunta anterior sea afirmativa, ¿Qué
condiciones debe cumplir tu nueva dimensión?; y en caso de que sea
negativa, ¿Qué condiciones hacen que te quieras quedar en la dimensión
de tu barrio?
Ahora, imagínese un mundo plano y sólo con figuras de cuatro lados donde todo
lo interior sea de la misma forma.
ACTIVIDADES
DE
EXPLORACIÓN:
CONSTRUIR MI MUNDO
UTILIZANDO
GEOGEBRA
PARA
ACTIVIDAD Nº 1:
1. Teniendo en cuenta el mapamundi
realice una enmarcación de líneas
rectas, de tal forma que se forme el mundo de manera que se vea plano y
de cuatro lados.
El valor de medida de la superficie se puede encontrar a partir de una unidad
de medida establecida y la cantidad de veces que está cabe en la figura
enmarcada.
2. Utilizando el programa geogebra, plantea una estrategia para encontrar el
valor aproximado de la superficie del mundo que creaste y utilizando la
unidad cuadrada (𝑈 2 ) como patrón general de medida.
U 2  U U
U2
3. Utiliza una unidad cuadrada con el valor del doble de la medida de U para
medir el mapa.
4. Utiliza una unidad cuadrada con el valor de la mitad de la medida de U para
medir el mapa.
Resuelve:
1. Compara los resultados que obtuviste con las tres unidades que usaste.
a. ¿Cuál de las tres unidades te da un resultado más aproximado?
b. ¿Por qué crees que ocurre esto?
c. ¿Qué relación tiene el área del mapa, con el área del rectángulo que lo
encierra, en cada caso?
d. Encuentra el área del rectángulo con (𝑈 2 ). ¿De qué manera la
hallaste?, ¿Existe una única forma de encontrarlo?
e. Encuentra el perímetro del rectángulo teniendo en cuenta que U es la
unidad de medida de longitud, sabiendo que se halla con el valor de la
suma alrededor de la figura.
f. Teniendo el área del rectángulo que encierra el mapa (77 𝑈 2 ) y el área
de afuera del mapa. ¿Cómo encontrarías el área del mapa, sin tener
que usar la suma de los cuadrados de adentro?
DESEMPEÑOS DE INVESTIGACIÓN GUIADA:
ACTIVIDAD Nº 2:
1. Utilizando geogebra, realice su propio dibujo del mapa imaginario de
Medellín y teniendo en cuenta el procedimiento anterior:
a. Encuentre
el
área
aproximada
del
mapa
utilizando
(𝑈 2 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑎𝑡𝑟ó𝑛).
b. Encuentre el perímetro aproximado del mapa utilizando U como unidad
de medida de longitud.
c. Investigue cual es el área estipulada para el mapa de Medellín y
compárelo con el que usted planteo, para determinar si se aproximo al
valor real.
d. ¿Qué unidad patrón de medida utilizan normalmente para dar el valor
del área de la ciudad?
e. Escriba por qué cree que le resultaron esos valores en comparación con
lo investigado.
SITUACIÓN Nº2: ORGANIZANDO CUADRADOS EN GEOGEBRA
Teniendo en cuenta la unidad establecida en las actividades anteriores, es
decir, (𝑈 2 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑎𝑡𝑟ó𝑛), analice las siguientes actividades:
ACTIVIDAD 1: Mostramos las posibles formas de organizar (3𝑈 2 ) de tal forma
que resulten siempre rectángulos:
a. ¿Cuántas formas se obtuvieron con (3𝑈 2 )?
b. ¿Crees que se puedan obtener más formas con ellas, de tal manera que
resulte un rectángulo?
c. ¿Cuál es el área y perímetro de cada forma?
d. ¿Obtuviste los mismos valores para el área y para el perímetro?
1. Utilizando geogebra ordena el siguiente conjunto de unidades cuadradas,
teniendo en cuenta lo mostrado en el punto anterior, de tal forma que
construyas todos los rectángulos posibles con todas ellas:
a. 12(𝑈 2 )
b. 5 (𝑈 2 ) c. 8 (𝑈 2 )
d. 11 (𝑈 2 )
e. 9 (𝑈 2 )
1.1.
¿Cuántas formas obtuviste en cada caso?
1.2.
¿Cuál es el área de cada forma en cada caso?
1.3.
¿Cuál es el perímetro de cada forma en cada caso?
1.4. ¿Obtuviste los mismos valores para el área y para el perímetro? Explica tu
respuesta
1.5.
¿Con cuáles cantidades de (𝑈 2 ), obtuviste menos
formas? Explica tu
respuesta
1.6.
¿Con cuáles cantidades de (𝑈 2 )
obtuviste
más formas? Explica tu
respuesta
1.7. ¿Qué clase de números crees que se formaron con las cantidades de
(𝑈 2 ) que hicieron resultar menos formas? Explica tu respuesta
1.8. ¿Qué clase de números crees que se formaron con las cantidades de
(𝑈 2 ) que hicieron resultar más formas? Explica tu respuesta
ACTIVIDAD 2: Teniendo en cuenta las siguientes organizaciones, encuentre las
posibles propiedades de la adición y multiplicación de los números Naturales.
ELEMENTOS TEÓRICOS
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN LOS NÚMEROS NATURALES (N)
ASOCIATIVA: (a +b) + c = a + ( b + c), donde a, b y c ϵ N, es decir que no
importa la forma en la que agrupemos los números, el resultado va a ser el
mismo.
CONMUTATIVA: a+ b =b +a, donde a y b ϵ N, es decir que no importa el
orden de los sumandos, el resultado va a ser el mismo.
MODULATIVA: a + 0 = a, donde a ϵ N, es decir que todo número sumado
con cero da el mismo número.
CLAUSURATIVA: a +b = c, con a, b, c ϵ N, es decir que todo número natural
sumado con otro número natural nos da como resultado un número
natural.
1. Observe la siguiente organización de las (𝑈 2 ), determine el valor inicial 1,
Valor inicial 2 y el final.
1.1.
Realiza con los mismos valores y sin cambiar el perímetro, otra
organización de los valores iniciales 1 y 2, para que dé el mismo resultado o
valor final.
1.2.
¿Qué propiedad de la adición de los Números Naturales crees que
se cumple en el caso anterior?
2. Observe la siguiente organización de las (𝑈 2 ), determine el valor inicial 1,
Valor inicial 2, valor inicial 3 y el valor final.
2.1.
Realiza con los mismos valores y sin cambiar el perímetro, otra
organización de los valores iniciales 1, 2 y 3, para que dé el mismo
resultado o valor final.
2.2.
Encuentra el área y el perímetro de las figuras y compara con lo que
tú encontraste.
2.3.
¿Qué propiedades de la adición de los Números Naturales crees que
se cumple en el caso anterior?
3. Observe la siguiente organización de la unidad patrón (𝑈 2 ), determine el
valor inicial 1 y el valor inicial 2, y el valor final.
3.1. ¿Encuentre el área y el perímetro de todas las figuras anteriores?
3.2. ¿Qué clase de números representan todos los valores encontrados?
3.3. ¿Qué propiedades de la adición de los Números Naturales crees que se
cumple en el caso anterior?
4. ¿Cuál propiedad crees que no se presentó en las situaciones? ¿Por qué?
4.1. ¿Cómo crees que se podría ejemplificar ésta propiedad?
DESEMPEÑOS FINALES DE SÍNTESIS:
5. ¿Cómo crees que se podrían plantear las propiedades de la multiplicación
utilizando geogebra?
6. Realiza el procedimiento para mostrar las propiedades de la multiplicación
en geogebra.
6.1. ¿Crees que se cumplen todas las propiedades de la adición en la
multiplicación? ¿Se cumplen todas de la misma manera?
RECURSOS
1) Aula convencional junto con sus elementos básicos (tablero, marcadores,
borradores etc.).
2) El aula taller de matemáticas como elemento de la institución, puesto que
dentro de este se encuentran muchas de las herramientas a tener en cuenta para
el trabajo de matemáticas.
3) Material diseñado por el docente, el cual luego se fotocopiará, y se le hará
entrega a cada alumno para que le sirva de introducción a los conceptos a trabajar
dentro de la unidad didáctica.
4) Programa geogebra como elemento auto evaluativo y comparativo que permita
al estudiante desprenderse del concepto del maestro como centro del
conocimiento.
5) Sala de audiovisuales (con aparatos reproductores de videos) y de
computadores con el fin de instruir a los niños en el manejo de geogebra.
6) Las multifichas del aula taller de matemáticas.
7) Uso de un glosario por parte del alumno. En este consignara el avance que los
alumnos van teniendo en lo relacionado con la parte conceptual de los términos
relacionados con la unidad didáctica.
8) Uso del diario de campo por parte del docente.
9) Internet, lápices, reglas etc.
Parte organizativa


La primera situación se plantea de forma individual
La segunda situación en equipos de máximo 4 estudiantes y se verificara el
trabajo de los alumnos a través de exposiciones de sus trabajos hechos en
geogebra.
BIBLIOGRAFÍA Y CIBERGRAFÍA
 Comprender esa es la clave, revista alegría de enseñar, Nº 31, Págs. 28 –
37, 1997.
 Didáctica de la matemática en la educación primaria, capítulo 2:
Aprendizaje y evaluación, Págs. 41 – 59.
 http://www.jaibana.com/
 http://cmc.ihmc.us/papers/cmc2004-234.pdf
 http://www.ucse.edu.ar/fma/staff/svcavadini/Ensenanza-para-lacomprension.pdf
 http://www.youtube.com/watch?v=CR8cO554H4U&feature=related