los lenguajes WHILE y LOOP

los lenguajes WHILE y LOOP
X2 := X1;
while X2 ≠ 0 do
X1 := X1 + 1;
X2 := X2 – 1
od
índice de materias
•
•
•
•
•
•
•
sintaxis, semántica y
introducción histórica
capacidad expresiva
modelos de cálculo
lenguajes WHILE y LOOP
funciones µ-recursivas
teorema de equivalencia
indexaciones y universalidad
problemas no resolubles
WHILE y LOOP están basados en el
bucle indefinido y el bucle definido
LOOP
WHILE
veremos:
- sintaxis
- semántica informal
- semántica formal
?
15
sintaxis del lenguaje WHILE
identificadores
X1 , X2 , X3 , ... , Xi , ...
instrucciones de asignación
Xi := Xj
Xi := Xi + 1
Xi := Xi − 1 ( 0 − 1 = 0 )
Xi := 0
código
secuencia finita no vacía de
instrucciones separadas
por ";"
instrucción de control
bucle indefinido:
while Xi ≠ 0 do (cabecera)
código
(cuerpo)
od
(cola)
programa
(n, p, código)
p≥n
ambos naturales
Nota: el índice de anidamiento siempre es finito
ejemplo de programa WHILE
• Ejemplo 1:
Sea el programa WHILE (1, 2, código) con código:
X2 := X1 ;
while X2 ≠ 0 do
X1 := X1 + 1 ;
X2 := X2 – 1
od
ejemplo de programa WHILE
• Ejemplo 2:
Sea el programa WHILE (1, 1, código) con código:
X1 := X1 + 1 ;
while X1 ≠ 0 do
X1 := X1
od
semántica informal del
lenguaje WHILE
• trabaja sólo con naturales
• no hay instrucciones de entrada ni de salida
• para un programa (n, p, código)
– n variables de entrada: X1 , X2 , ... , Xn
– 1 variable de salida:
X1
– p variables de uso:
X1 , X2 , ... , Xp con p ≥ n
• las variables que no son de entrada se inicializan
implícitamente a cero
• una única función (que puede ser parcial) de Nn en N se puede
asociar a cada programa
ejemplo de programa WHILE
• Semántica del programa del ejemplo 1:
Sea el programa WHILE (1, 2, código) con código:
X2 := X1 ;
while X2 ≠ 0 do
X1 := X1 + 1 ;
X2 := X2 – 1
od
Este programa tiene una variable de entrada (X1), usa dos
variables (X1 , X2), y X2 se inicializa implícitamente a cero.
Calcula: f(n)= 2n ∀n∈N
ejemplo de programa WHILE
• Semántica del programa del ejemplo 2:
Sea el programa WHILE (1, 1, código) con código:
X1 := X1 + 1 ;
while X1 ≠ 0 do
X1 := X1
od
Este programa tiene una variable de entrada (X1), que es la
única que usa.
Calcula: f(n)= ↑ ∀n∈N
(función que siempre diverge)
semántica formal del lenguaje WHILE
versión etiquetada de un programa WHILE
Dado un programa WHILE (n, p, código) lo escribimos de
manera que cada línea contenga una de las siguientes cosas:
• una instrucción de asignación
• una cabecera de (bucle) while:
while Xi ≠ 0 do
• una cola de (bucle) while:
od
Además:
• numeramos las líneas consecutivamente empezando por el 1
• tras una cabecera de while ponemos el número que le ha
correspondido a su cola
• tras una cola de while ponemos el número que le ha
correspondido a su cabecera
ejemplo de programa WHILE
• Versión etiquetada del programa WHILE del ejemplo 1
Sea el programa WHILE Q = (1, 2, código) con código
1: X2 := X1 ;
2: while X2 ≠ 0 do
3:
X1 := X1 + 1 ;
4:
X2 := X2 – 1
5: od
:5
:2
concepto de configuración
de un programa WHILE
• sea Q = (n, p, código) un programa WHILE, con líneas
numeradas de 1 a f , una configuración de Q es una
(p+1)-tupla (s, x) con s∈{1, 2, 3,…, f, f +1} y x∈Np
• una configuración es inicial si s=1 y xn+1 = … = xp = 0
• una configuración es final si s = f +1
• CQ denota al conjunto de las configuraciones de Q
ejemplos de configuraciones
Sea el programa WHILE Q = (1, 2, código) con código
1: X2 := X1 ;
2: while X2 ≠ 0 do
3:
X1 := X1 + 1 ;
4:
X2 := X2 – 1
5: od
:5
:2
(1,3,5) es configuración, no inicial y no final
(1,5,0)
(6,8,3)
(2,2,2)
(0,3,5)
es configuración, inicial y no final
es configuración final, y no inicial
es configuración, no inicial y no final
no es configuración
concepto de cálculo en un paso
Sea Q = (n, p, código) un programa WHILE, con
líneas numeradas de 1 a f .
Diremos que la configuración c1=(s, x) se transforma
en la configuración c2=(t, y) en un paso de cálculo
(representado por c1 Q c2 ) sii
concepto de cálculo en un paso
(para la asignación)
< (s, x)
Q
(t, y) >
• Si s: “asignación” aparece en la versión etiquetada de Q ,
entonces
– t=s+1
– yi =
0
xj
si " asignación" es Xi := 0
si " asignación" es Xi := Xj
xi + 1 si " asignación" es Xi := Xi + 1
xi − 1 si " asignación" es Xi := Xi − 1
– yr = xr para todo r tal que 1 ≤ r ≤ p y r ≠ i
concepto de cálculo en un paso
(para el bucle)
< (s, x)
Q
(t, y) >
• Si s: while Xi ≠ 0 do :s’ aparece en la versión etiquetada de
Q , entonces
– y=x
– si xi ≠ 0 entonces t = s + 1
– si xi = 0 entonces t = s’ + 1
• Si s: od :s’ aparece en la versión etiquetada de Q , entonces
– y=x
– si xi ≠ 0 entonces t = s’ + 1
( xi está en la cabecera s’ )
– si xi = 0 entonces t = s + 1
ejemplos de cálculo en un paso
Sea el programa WHILE Q = (1, 2, código) con código
1: X2 := X1 ;
2: while X2 ≠ 0 do
3:
X1 := X1 + 1 ;
4:
X2 := X2 – 1
5: od
:5
:2
¿ (1, 2, 0)
Q
(1, 2, 2) ?
¿ (1, 2, 0)
Q (2,
2, 2) ?
¿ (3, 4, 6)
Q
(4, 5, 6) ?
¿ (2, 6, 0)
Q (6,
6, 0) ?
(1, 6, 0)
Q
? (2, 3, 7)
Q
? (5, 4, 2)
Q
? (5, 8, 0)
Q
?
extendemos el “cálculo en un paso”
función siguiente configuración
• sea Q = (n, p, codigo) un programa WHILE y CQ
el conjunto de todas las configuraciones de Q
• la función siguiente SIGQ: Np+1→Np+1 es
SIGQ ( c ) =
c' si c
c
Q
c'
si c ∉ CQ ∨ ¬∃c' / c
Q
c'
siguiente para el programa Q ya visto
(a,b,c)
(2,b,b)
si a = 0
si a =1
(3,b,c)
si a = 2 ∧ c ≠ 0
(6,b,c)
si a = 2 ∧ c = 0
SIGQ (a, b, c) = (4,b +1,c)
si a = 3
(5,b,c −1)
si a = 4
(3,b,c)
si a = 5∧ c ≠ 0
(6,b,c)
si a = 5∧ c = 0
(a,b,c)
si a > 5
función cálculo de un programa
(configuración alcanzada tras i pasos)
• sea Q = (n, p, c) un programa WHILE, con líneas
numeradas de 1 a f , la función cálculo del
programa Q es la función CALQ: Np+1→Np+1
• CALQ(a, i) = (t, b) , siendo a∈Np y (1, a) Q c1
Q c2
Q…
Q ci = (t, b) el cálculo de Q en i
pasos, que comienza con valores a de las variables
que usa el programa (las de no entrada inicializadas)
• se define recursivamente en función de SIGQ
CALQ ( a , i ) =
(1, a )
si i = 0
SIGQ (CALQ ( a , i − 1)) si i > 0
ejemplo de función cálculo
• dado el programa Q ya visto, encontrar el valor
de CALQ(6, 0, 4)
solución:
(1, 6, 0)
Q
(4, 7, 6)
(2, 6, 6)
Q
Q
(5, 7, 5)
CALQ(6, 0, 4) = (5, 7, 5)
(3, 6, 6)
Q
función complejidad temporal
(nº de pasos de un programa, según la entrada)
• sea Q = (n, p, código) un programa WHILE, con
líneas numeradas de 1 a f , la función complejidad
temporal de Q es la función TQ: Nn→N
TQ ( x ) = µj[π 1p +1 (CALQ ( x, 0, j )) = f + 1]
siendo x∈Nn , 0 un vector de p−n ceros y π1p+1 la
función proyección de la primera componente de un
vector de p+1 componentes
( µj ≡ el menor j tal que)
ejemplo de función
complejidad temporal
• dado el programa Q ya visto, determinar la
complejidad temporal
solución:
(1, a, 0)
Q (2,
a, a)
Q
(4, a+1, a)
Q
(4, a+2, a−1)
Q
Q
(3, a, a)
(5, a+1, a−1)
Q
(5, a+2, a−2)
(3, a+1, a−1)
Q
(3, a+2, a−2)
Q (3,
···
Q
Q
(4, 2a, 1)
Q
(5, 2a, 0)
TQ(a) = 3a+2
Q
(6, 2a, 0)
2a−1, 1)
concepto de función calculada
por un programa WHILE
• sea Q = (n, p, código) un programa WHILE, la
función calculada fQ: Nn→N se define por
f Q ( x ) = π 2p +1 (CALQ ( x, 0, TQ ( x )))
siendo x∈Nn y 0 un vector de p−n ceros
expresado informalmente: dados unos valores para las variables
de entrada (x), se inicializan a cero las demás variables, se
realizan pasos de cálculo hasta alcanzar una configuración
final, y se toma como resultado la segunda componente
(variable X1); si no es posible alcanzar tal configuración final,
entonces el programa no acaba para esos valores de entrada, y
la función está indefinida (diverge)
la clase de funciones
WHILE-calculables
• Fn(WHILE) es el conjunto de todas las funciones
f:Nn→N tales que existe un programa WHILE,
con n variables de entrada, que calcula f
• F(WHILE) es la unión de todas las Fn(WHILE) ,
para n≥0
• si f∈F(WHILE) diremos que f es una función
WHILE-calculable
ejercicios de WHILE-calculabilidad
Demostrar (dando programa y funciones SIG , CAL , T y f ) que
cada una de las siguientes funciones es WHILE-calculable:
- suma
- resta ( x − y = 0 si x < y )
- valor absoluto de la resta ( x − y si x ≥ y , y − x si x < y )
- signo ( 0 si x = 0 , 1 si x > 0 )
- complementario del signo ( 0 si x > 0 , 1 si x = 0 )
- producto
- función que siempre diverge
- la función identidad de N en N
- función constante Ckj : Nk→N , Ckj(x) = j ∀x∈Nk
lenguaje WHILE ampliado
• utilización de denominaciones libres para las
variables de entrada y para la variable de salida (hay
que especificar cuáles son de entrada y cuál es de
salida)
• permitiremos en el lenguaje ampliado incluir
instrucciones de asignación cuyo miembro de la
derecha implica la activación de otras funciones
while-calculables (macroinstrucción)
• inclusión de líneas de comentarios
una función en WHILE ampliado es WHILE-calculable
ejemplo de WHILE ampliado
Ejemplo de “denominaciones libres” y de “comentario”:
Entradas: dato
Salida: doble
(* = 2 × dato *)
Código:
doble := dato ;
while dato ≠ 0 do
doble := doble + 1 ;
dato := dato – 1
od
ejemplo de WHILE ampliado
Ejemplo de “activación de funciones while-calculables”.
Sea el programa doble = (1, 2, código) con código
X2 := X1 ;
while X2 ≠ 0 do
X1 := X1 + 1 ;
X2 := X2 – 1
od
Sea el programa (macroprograma) exp = (1, 2, código) con código
X2 := X2 + 1 ;
while X1 ≠ 0 do
X2 := doble( X2 ) ;
X1 := X1 – 1
od ;
X1 := X2
← macroinstrucción
( exp calcula f(n)=2n )
conversión a WHILE:
variables y comentarios
• un programa con denominaciones libres para las
variables se convierte en un programa WHILE
haciendo las siguientes transformaciones:
– reemplazar la primera variable de entrada por X1 , la
segunda por X2 , …, la n-ésima por Xn
– reemplazar la variable de salida por Xn+1
– reemplazar las variables de uso interno, según su orden de
aparición por Xn+2 , …
– añadir al final del código resultante la instrucción
X1 := Xn+1
• los comentarios se eliminan sin efecto para el código
ejemplo de conversión a WHILE
Entradas: dato
Salida: doble (* 2×dato *)
Código:
doble := dato ;
while dato ≠ 0 do
doble := doble + 1 ;
dato := dato − 1
od
(1, 2, código-doble)
código-doble:
X2 := X1 ;
while X1 ≠ 0 do
X2 := X2 + 1 ;
X1 := X1 − 1
od ;
X1 := X2
conversión a WHILE:
macroinstrucciones
• las macroinstrucciones se eliminan como sigue
– sea la macroinstrucción Xi := f ( Xj1 , …, Xjn ) , donde f es
calculada por el programa (n, p, código)
– sea Q un macroprograma que usa q variables en el cual
aparece la macroinstrucción anterior, la expansión PQ de la
macroinstrucción en Q da lugar a:
Xq+1 := Xj1 ; Xq+2 := Xj2 ; … Xq+n := Xjn ;
Xq+n+1 := 0 ; Xq+n+2 := 0 ; … Xq+p := 0 ;
“el código de P sustituyendo Xi por Xq+i , con 1 ≤ i ≤ p ”
Xi := Xq+1
• cada macroinstrucción se expande independientemente
ejemplo de conversión a WHILE
exp = (1, 2, cod)
cod: X2 := X2 + 1 ;
while X1 ≠ 0 do
X2 := doble( X2 ) ;
X1 := X1 − 1
od ;
X1 := X2
doble = (1, 2, cod)
cod: X2 := X1 ;
while X2 ≠ 0 do
X1 := X1 + 1 ;
X2 := X2 − 1
od
exp = (1, 4, cod)
cod: X2 := X2 + 1 ;
while X1 ≠ 0 do
X3 := X2 ;
X4 := 0 ;
X4 := X3 ;
while X4 ≠ 0 do
X3 := X3 + 1 ;
X4 := X4 − 1
od ;
X2 := X3 ;
X1 := X1 − 1
od ;
X1 := X2
lenguaje WHILE ampliado
• Podemos combinar variables libres y macroinstrucciones
Ejemplo:
Entradas: x, y
Salida:
Código:
prod
(* = x × y *)
while y ≠ 0 do
prod := suma(prod, x) ;
y := y – 1
od
lenguaje WHILE ampliado
• Para las macroinstrucciones relativas a funciones
conocidas y con representación infija, estándar en
matemáticas, usaremos dicha representación
Así, las macros
se escribirán
z := suma(x,y)
z := x + y
z := resta(x,y)
z := x − y
z := producto(x,y)
z := x × y
z := exp(x)
z := 2x
• Permitiremos más de una función while-calculable en una
macroinstrucción
p.e.:
z := x + ( x × (z - y))
ejemplos con WHILE ampliado
Demostrar que las siguientes funciones son while-calculables:
—
—
—
—
máximo ( max(x,y) )
diferencia en valor absoluto ( | x - y | )
igualdad ( igualdad(x,y) , o bien x=y ) (calcula 1 si son iguales, 0 si son distintos)
potencia ( x y )
soluciones:
— potencia:
— max(x,y) := ( x – y ) + y
Entradas: x, y
— | x - y | := ( x – y ) + ( y - x )
Salida:
— igualdad(x,y) := csg( | x - y | )
Código:
( csg ≡ complemento del signo)
z
z := z + 1 ;
while y ≠ 0 do
z := z × x ;
y := y – 1
od
composición de funciones
sean f y g dos funciones de N en N , ambas
while-calculables; la composición de ellas g°f
también es una función while-calculable
sea (1, pf, Q) el programa while que calcula f : N → N
y (1, pg, R) el programa que calcula g: N → N, el
siguiente macroprograma calcula g°f
Entrada: x
Salida: y
Código:
x := f(x) ;
y := g(x)
capacidad expresiva de WHILE:
estructuras de control
do x times
S
od
if x ≠ 0 then S fi
if x ≠ 0 then S
else T fi
z := x;
while z ≠ 0 do
S
z := z − 1
od
y := sg (x);
do y times
S
od
y := sg (x);
z := csg(x);
do y times
S
od
do z times
T
od
(* z es una nueva
variable *)
(* y es una nueva
variable *)
capacidad expresiva de WHILE:
expresiones booleanas
para cualquier condición booleana C existe una expresión EC
tal que si la condición es verdadera toma el valor 1 y si es
falsa toma el valor 0
C
EC
X=Y
X>Y
X<Y
C1 ∨ C 2
C 1 ∧ C2
¬C
1 − [(Y − X) + (X − Y)]
(X − Y) − [(X − Y) − 1]
(Y − X) − [(Y − X) − 1]
sg(EC1 + EC2)
(EC1 + EC2) − 1
1 − EC
while C do
S
od
z := EC ;
while z ≠ 0 do
S
z := EC ;
od
capacidad expresiva de WHILE:
expresiones con funciones
siendo f y g funciones de N en N while-calculables y S , S1
y S2 códigos, permitiremos escribir instrucciones de la forma:
instrucción
expansión
do f(x) times S od
w := f(x); do w times S od
while f(x) ≠ 0 do S od
w := f(x); while w ≠ 0 do S; w := f(x) od
if f(x) ≠ g(x) then S1
else S2 fi
w := |f(x)–g(x)|; if w ≠ 0 then S1 else S2 fi
if f(x) ≠ 0 then S fi
w := f(x); if w ≠ 0 then S fi
sintaxis del lenguaje LOOP
identificadores
X1 , X2 , X3 , ... , Xi , ...
instrucciones de asignación
Xi := Xj
Xi := Xi + 1
Xi := Xi − 1 ( 0 − 1 = 0 )
Xi := 0
código
secuencia finita no vacía de
instrucciones separadas
por ";"
instrucción de control
bucle definido:
(cabecera)
do Xi times
código
(cuerpo)
od
(cola)
programa
(n, p, código)
p≥n
ambos naturales
Nota: el índice de anidamiento siempre es finito
clase de funciones LOOP-calculables
• Fn(LOOP) es el conjunto de las funciones f: Nn → N
tales que existe un programa LOOP, con n variables
de entrada, que calcula f
• F(LOOP) es la unión de todas las Fn(LOOP) , para
todo n ≥ 0
• si f∈F(LOOP) decimos que f es una función
LOOP-calculable
lenguajes LOOPi
• para cada i ≥ 0 , se define el lenguaje LOOPi como
el sublenguaje de LOOP formado por los programas
que tiene nivel de anidamiento de bucles a lo sumo i
• F(LOOPi) es la clase de funciones calculadas por
programas LOOPi
• si una función pertenece a una clase, entonces
pertenece a todas las que están por encima de ella
F(LOOP0) ⊂ F(LOOP1) ⊂ F(LOOP2) ⊂ … ⊂ F(LOOP)
¿cómo son los programas escritos en LOOP0 y las funciones de F(LOOP0) ?