Capítulo III. Modelo de teoría de colas

Capítulo III. Modelo de teoría de colas
CAPÍTULO III
MODELO DE TEORÍA DE COLAS
Tal como se ha expuesto en al apartado referente a al metodología que se seguirá, en el
presente capítulo tiene como objetivo establecer un modelo de colas que intente
modelizar lo mejor posible el funcionamiento de una terminal de contenedores. Se
intentará que en el modelo se reflejen el mayor número de variables que tienen una
importancia notoria en la operaciones portuarias.
Para ello, el capítulo se estructura en varios apartados. En el primero de ellos, el de
introducción, se establecen las bases a partir de las cuales construir el modelo de teoría
de colas. En el siguiente apartado se va a realizar todo el desarrollo analítico,
exponiendo aquellas expresiones que resultan de más interés y que serán utilizadas en
los capítulos posteriores. Ahora bien, el cálculo del tiempo medio de servicio de los
barcos se realizará en un apartado aparte, el último, debido al desarrollo especial que
requiere.
III.1 Introducción
Tal como se ha expuesto en al Capítulo II, siguiendo a Daganzo ( 1989), el barco será
dividido en celdas, cada una de las cuales, a su vez, está formada por tres secciones de
40’. Como se estableció, en cada una de estas secciones sólo puede trabajar una grúa
con la correspondiente mano de obra asociada a ella. Asimismo, la cantidad de celdas de
un barco dará idea de la eslora del mismo y, a la postre, de su capacidad.
A tenor de lo anterior, cada vez que entre un buque formado por H celdas en el sistema
es como se entrasen al mismo tiempo H clientes. En consecuencia, parece más
apropiado considerar un sistema de colas en que las entradas son en batallón ( bulk
arrivals). Los servidores, por su parte, serán las grúas del muelle y la mano de obra
portuaria asociada a ella. A cada celda le corresponderá un servidor.
A continuación describiremos el modus operandi del sistema. Supongamos que
tenemos ‘c’ grúas en el muelle de las cuales ‘i’ están ocupadas – es decir, tenemos una
cantidad de buques en carga-descarga tal que la suma de sus celdas es ‘i’. Si mientras el
sistema está en tal situación llega un barco de H celdas, pueden darse dos situaciones. Si
H es menor que ‘c-i’, entonces el barco podrá ser servido y H grúas procederán a
descargar el barco. Si, por el contrario, H es mayor que ‘c-i’ el barco entrará en servicio,
pero sólo las ‘c-i’ primeras celdas del mismo se empezarán a cargar-descargar. A
medida que el resto de grúas ocupadas vayan finalizando, las ‘H-c+i’ celdas restantes
del barco se irán cargando-descargando. Por último, si cuando llega el barco todas las
grúas están ocupadas, entonces deberá esperar hasta que la primera de ellas quede libre.
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Capítulo III. Modelo de teoría de colas
De todo ello se desprende que imponemos una dinámica del sistema en que todos los
buques son atendidos con el número máximo de grúas posibles.
En la definición del sistema de cola se asumirán las siguientes supuestos:
1) El sistema de cola tiene infinita capacidad de espera y la fuente de llegadas de
los barcos no son una parte integral del puerto. Los lugares de espera de los
buques antes de ser servidos, lugar de fondeo o incluso el muelle, no tienen
limitación física. Este supuesto es perfectamente asumible. El tráfico de
contenedores es altamente competitivo, por lo que no se pueden permitir
excesivas esperas. Así, difícilmente la capacidad de los lugares de espera se
puede ver desbordada.
2) La llegada de los buques es aleatoria y sigue una distribución Poisson. Este
supuesto no es siempre válido. Las llegadas de los barcos están programadas,
por lo que en principio tendríamos que las llegadas siguen un horario conocido.
Ahora bien, en muchas situaciones, analizando todas las llegadas de los buques
en conjunto, sí que ciertamente obedece a una distribución Poisson. La literatura
especializada a tendido a utilizar tal tipo de distribución ( Plumee 1966 y
Nicolaou 1967, por ejemplo). Ahora bien, la llegada de los clientes, las celdas de
los buques, son en batallón . Esto es, cada vez que llega un buque al sistema de
H celdas es como si llegasen H clientes al mismo tiempo.
3) Los servidores están formado por las grúas del muelle y la mano de obra
asociada a ella. Todos son idénticos. Los tiempos de servicio ( el de las
operaciones de carga-descarga) en el muelle son independientes e idénticamente
distribuidos que siguen a una distribución exponencial de parámetro µts o Erlang
con k=1. Hay situaciones en que la distribución no se ajusta a una exponencial y
se utilizan otras distribuciones como Erlang con k>1. Aún así, la distribución
exponencial es una buena primera aproximación.
4) La cantidad de celdas de cada barco es una variable aleatoria. Es decir, se
supone que la eslora de los barcos es aleatoria. Dado el sistema de colas descrito
hasta ahora, tan sólo hay dos situaciones en que se pueden trabajar con
expresiones analíticas: cuando esta cantidad de celas por barco es constante y
cuando sigue una distribución geométrica. Vamos a suponer el caso en que sigue
una distribución geométrica. Y ello en base a dos motivos. Primero, tal como
hemos apuntado, se obtienen expresiones analíticas con las que poder trabajar.
Y, segundo, puesto que cada celda equivale a 3 secciones de 40’, si las
dimensiones de los barcos no son muy excesivas, puede ajustarse bastante bien a
la realidad. Para cada buque tendríamos pocas grúas trabajando. Por ende, a
medida que el tráfico de la terminal esté formado por buques de menor
dimensión, mejor se ajustará el número de celdas por barco a una distribución
geométrica.
5) La disciplina de la cola es primero en llegar, primero en ser servido (FCFS).
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Capítulo III. Modelo de teoría de colas
A tenor de todo lo anterior el sistema de colas será: M X =(1− a ) a
m −1
/ M / c (∞ )
III.2 Desarrollo analítico del modelo de cola
A partir de establecer las línea generales que definen el modelo de cola empleado, en
este apartado se trata de ir dando algunas expresiones que se irán utilizando en los
apartados posteriores, como, por ejemplo, el tiempo medio de espera de un barco antes
de ser servido. Nos limitaremos a ir dando las resultados, todos ellos obtenidos a partir
de los trabajos de Chaudhry et al. (1983) y Kabak (1970).
Tal como se ha expuesta anteriormente, asumimos que la llegada de los barcos sigue
una distribución Poisson de parámetro constante λ(ritmo de llegadas de los barcos). La
cantidad de celdas de cada barco, H, sigue una distribución geométrica de parámetro ‘a’,
con am=p(H=m), m≥1. H tiene como media H y como función generatriz de
∞
probabilidad a A( z ) = ∑ a m z m . Por otro lado, las grúas obedecen a una distribución
m =1
exponencial de parámetro µts (ritmo de servicio de las celdas en términos de celdas por
día) por lo que el ritmo de servicio de todo el sistema es n.µts , para 1 ≤ n ≤ c, y c. µts ,
para n ≥c, siendo n el número de celdas de los barcos en el sistema. Toda la operativa
del sistema se considera que es un proceso de Markov.
Utilizando los resultados de Chaudhry et. al. (1983), podemos empezar con la siguiente
expresión:
c −1
− ∑ nPn = c(Pc − ρ )
[III.1]
n =0
donde:
n: la suma de las celdas de todos los barcos en el puerto.
c: número de grúas en la terminal.
Pn: probabilidad del estado estacionario de tener n celdas en el
puerto.
Pc: probabilidad del estado estacionario de tener la c grúas
ocupadas.
ρ: tasa de ocupación.
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Capítulo III. Modelo de teoría de colas
Por su parte,
ρ=
λH
cµ ts
[III.2]
La probabilidad del estado estacionario Pc es en el caso general:
c −1
Pc = 1 − ∑ Pn
[III.3]
n =0
Sustituyendo [III.3] en [III.1], obtenemos que:
c −1
c
∑ (c − n) P = ∑ (c − n) P
n
n =0
n
n =0
= c(1 − ρ )
[III.4]
Utilizando la fórmula de recurrencia desarrollada por Kabak( 1970) se van obteniendo
las expresiones de las diferentes probabilidades estacionarias P1,..., Pn en función de Po.
Esto es:
n −1
Pn = y (n)∑ Pk An − k
[III.5]
k =0
donde:
y ( n) =
λ
con
µ ( n)
An − k = 1 −
µ (n) = µ min(n, c)
[III.6]
n − k −1
∑a
m =0
m
( A1=1)
[III.7]
Con [III.5], [III.6] y [III.7] obtenemos los valores de las diferentes Pi con i≥1. Para
obtener Po basta sustituir los valores de Pi en [III.4] y despejar. Para el caso concreto de
tener una distribución de H que obedece a una geométrica de parámetro a, los valores de
Pi, i≥0, que se obtienen son:
31
Capítulo III. Modelo de teoría de colas
a n Γ ( β + n)
,
n!Γ( β )
Pn = Po
Pn = Pc [ρ + a (1 − ρ )]
n−c
Po =
,
1≤n≤c
[III.8]
n≥c
[III.9]
1
[III.10]
a Γ ( β + n)
a c Γ( β + c)
1+ ∑
+
n!Γ( β )
(1 − ρ )(1 − a )c!Γ( β )
n =1
c −1
n
Para las expresiones [III.8], [III.9] y [III.10], el valor de ρ viene dado por:
ρ=
θ
c(1 − a )
=
λ
cµ ts (1 − a)
=
λH
cµ ts
[III.11]
Por otro lado, de la definición del número medio de celdas en el puerto ( Lc )
con c grúas tenemos que:
∞
Lc = ∑ nPn
[III.12]
n =0
Para el sistema concreto que nos ocupa, utilizando los resultados de Chaudhry et. al.
(1983) , tenemos que:

θ H +
Lc = 
A 2 (1)  c −1
 + ∑ n(c − n) Pn
2  n =0
[III.13]
c −θ H
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Capítulo III. Modelo de teoría de colas
donde:
θ=
λ
es la intensidad de tráfico
µ
A 2 (1) : es la segunda derivada de la función
probabilidad A(z) con z=1.
generatriz de
Siendo H, variable aleatoria, la cantidad de celdas por buque y am=P(X=m), m≥1, la
varianza de H, σ2a, viene dada por:
2
σ a2 = A 2 (1) − a + a
[III.14]
La cantidad media de celdas de los barcos en el puerto, Lc , vienen dada, a su vez, por:
Lc = Lc ,b + Lc ,q
[III.15]
donde Lc ,b es la cantidad media de celdas en servicio y Lc ,q es la cantidad media de
celdas en cola. De [III.11] y de [III.4] obtenemos la expresión de esta última variable
definida:
c
Lc ,q = Lc − c − ∑ (n − c) Pn = Lc − cρ
[III.16]
n =0
Por su parte, Lc ,b = cρ , media del número de celdas en servicio, equivalente a la media
de las grúas ocupadas.
Hasta aquí hemos determinado l cantidades media de celdas, pero lo que realmente
interesa es conocer el número medio de buques en el puerto.
Para ello, definamos una variable aleatoria Xj tal que X represente el número de celdas
que tiene el buque j. Si en un instante dado, en el puerto hay r buques tales que la suma
de las celdas de todos ellos vale Z tenemos que:
X 1 + X 2 + ... + X r = Z
[III.17]
Z, que es una variable aleatoria, es la suma de r variables aleatorias que siguen una
distribución geométrica de parámetro a, por lo que Z obedece a una binomial de
parámetros a y r tal que:
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Capítulo III. Modelo de teoría de colas
r
PZ ( z ) =  a z (1 − a ) r − z
z
[III.18]
donde r sigue una distribución conocida. En estas condiciones, la media de buques en el
puerto será la media de la variable r. Puesto que [III.18] se trata de una distribución de
probabilidad compuesta y su media viene dada por Lc ( no olvidemos que z representa
la cantidad de celdas en el puerto), la media de la variable r, que denotaremos por L ,
vendrá dada por:
∞
∞
∞
r =1
r =1
r =1
m z = ∑ m z (r ) p r (r ) = ∑ rap r (r ) = a ∑ rp r (r ) = aE (r ) = a L
Entonces,
L=
Lc
a
[III.19]
A partir de todos los resultados anteriores, mediante la utilización de la fórmula de
Little ( L = λ T , siendo L la media de clientes en el sistema, λ el ritmo de llegadas y T
el tiempo media de estancia de los clientes en el sistema), se pueden ir obteniendo las
siguientes expresiones:
1. Tiempo medio de espera de una celda de un barco antes de ser servida.
Tc , w =
Lc ,q
[III.20]
λH
2. La media del tiempo total de permanencia de cada celda en el sistema puerto.
Tc =
Lc
[III.21]
λH
En cuanto al tiempo media de servicio de cada grúa ( el tiempo medio que se emplea en
cada celda para su carga-descarga), viene dada por la media de la distribución
exponencial de parámetro µts, esto es:
Ts ,c =
1
[III.22]
µ ts
34
Capítulo III. Modelo de teoría de colas
Las expresiones [III.20] y [III.21] están escritas de manera genérica en el sentido que
sirven para cualquier distribución de probabilidad que siga la variable H. Si nos
ceñimos a una distribución geométrica, los resultados de los tiempos medios son:
1. Tiempo medio de espera antes de ser servido un buque:
Tw =
Pc
(1 − ρ ) (1 − a ) 2 cµ ts
[III.23]
2
2. Tiempo medio de espera de una celda de un barco antes de ser servida debido a
que se ha empezado a servir a otras celdas del barco.
Tw , c , s =
Pc a
ρ (1 − ρ )(1 − a) 2 cµ ts
[III.24]
3. El tiempo de espera de una celda antes del servicio será la adición del tiempo de
espera del buque antes de ser servido más el de espera antes no se sirve a la
celda en cuestión por haber empezado la carga-descarga a otras celdas del barco.
Si tomamos la media el resultado será la suma de las expresiones [III.23] y
[III.24], esto es:
Tw,c = Pc
ρ + a(1 − ρ )
ρ (1 − a ) 2 (1 − ρ ) 2 cµ ts
[III.25]
Finalmente, como último parámetro del sistema de colas planteado, definiremos γc
como la razón entre el tiempo medio de espera para una celda y el tiempo medio de
servicio de una celda, a saber:
γc =
Tw,c
[III.26]
Ts ,c
35
Capítulo III. Modelo de teoría de colas
A partir de [III.16], [III.20] y [III.21] la expresión [III.25] queda, para el supuesto de
tener una distribución genérica de la variable H, como:
γ c = µ ts Tw,c =
µ ts Lq ,c
λH
=
Lc
−1
cρ
[III.27]
Si esta expresión se particulariza para una distribución geométrica de H, se tiene,
dividendo [III.25] con [III.21], que:
γc =
ρ + a(1 − ρ )
Pc
ρ (1 − a) 2 (1 − ρ ) 2 c
[III.28]
Para mostrar la relación entre las variables involucradas del sistema de colas definido,
en la Figura 1 se muestra un gráfico de la evolución de la variable γc a medida que
aumenta la tasa de ocupación del muelle,ρ, para varias cantidades del número de
servidores, grúas; asimismo se representa γ1, ratio entre el tiempo medio de espera y el
de servicio de una celda, y γ2, ratio entre el tiempo medio que debe esperar una celda de
un buque para ser servida mientras son servidas otras celdas del mismo barco y el
tiempo medio de servicio.
III.3 Cálculo del tiempo medio de servicio de un barco
En el apartado anterior, en cuanto a tiempos medios, se han dado varios resultados todos
ellos para las celdas; para cada barco, tan sólo se ha dado el tiempo medio de espera
antes de ser servido. En el presente apartado se desarrolla toda una serie de expresiones
en aras de determinar el tiempo medio de servicio de cada barco.
Como premisa operativa, para el estudio del tiempo de servicio deben de considerarse
varias situaciones en las que puede estar el sistema. Así, si el sistema tiene c-i
servidores disponibles cuando entra un buque de H celdas y si H es menor o igual que ci, entonces todas las celdas del barco empezarán a ser servidas al mismo tiempo. En
tales circunstancias el tiempo de servicio del barco será equivalente al mayor de todas
las celdas. Si, por el contrario, a la llegada del barco el número de grúas disponibles es
menor que la cantidad de celdas del barco, c-i<H, empezarán a ser servidas H-c+i celdas
del barco y las restantes se deberán esperar a que las grúas vayan finalizando. Para este
supuesto, el tiempo de servicio del barco será el horizonte temporal transcurrido desde
que la primera celda es servida hasta que la última es cargada-descargada.
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Capítulo III. Modelo de teoría de colas
Tiempo medio de espera/tiempo medio de servicio, γ, γ1 y γ2
2
γ1
γ2
γ
γ1
γ2
1.6
γ
1.2
c=4
0.8
c=4
c=2
0.4
c=2
c=4
c=2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tasa de ocupación, ρ
FIGURA 1. Evolución de los valores de γ, γ1 y γ2 en función de la tasa de ocupación, ρ, para c=2 y c=4.
A tenor de lo anterior, vamos a determinar la distribución de probabilidad del tiempo de
servicio. En efecto:
Sean H el número de celdas del barco que entra, c la cantidad de grúas del muelle y i el
número de ellas cargando-descargando. La probabilidad del tiempo se servicio de un
barco, ts, vendrá dada por:
∞
c
P (t s ) = ∑∑ P (t s ∩ H f c − i ) + P(t s ∩ H ≤ c − i )
[III.29]
x =1 i =1
Rescribiendo [III.29] en términos probabilidades condicionales se tiene que:
∞
c
P (t s ) = ∑∑ P(t s / H f c − i ) P( H f c − i ) + P (t s / H ≤ c − i ) P( H ≤ c − i )
x =1 i =1
37
Capítulo III. Modelo de teoría de colas
[III.29]’
Por otro lado, puesto que los sucesos H> c-i y H ≤ c-i engloban todas las situaciones
posibles en que se puede encontrar al sistema y puesto que además (H> c-i)∩ (H ≤ ci)=0, se sigue que:
P( H f c − i) + P( H ≤ c − i) = 1
[III.30]
Introduciendo [III.30] en [III.29]’, se tiene que se deberán calcular tres probabilidades.
Par ello, en primer lugar calcularemos la probabilidad condicional P(ts/ H> c-i), para
luego determinar P(ts/ H ≤ c-i) y finalmente P(H ≤ c-i).
III.3.1 Cálculo de P(ts/ H> c-i)
Suponiendo que en el sistema tenemos que H > c-i , para calcular el tiempo de servicio
de un barco debemos dividir las celdas en dos categorías: las que son servidas
inmediatamente a la llegada del barco, las c-i primeras, y las que deben esperar hasta
que vayan quedando libres el resto de grúas, las H-c+i restantes. En la Figura 2 tenemos
una esquema de un barco formado por H celdas .
FIGURA 2. Buque de H celdas, las c-i primeras de las cuales son atendidas por
las grúas inmediatamente a la llegada del buque.
El tiempo de servicio de las c-i primeras sigue a una distribución exponencial; en tanto
que para el resto, el tiempo de servicio será la adición del tiempo de espera hasta que las
grúas pueden empezar a servir a cada una de ellas más el tiempo de carga-descarga. Así:
t sk,1 ≈ exp( µ ts )
con
1≤ k ≤ c-i
38
Capítulo III. Modelo de teoría de colas
t sk, 2 = t wk ,c + t s ,c
con
c-i+1 ≤ k ≤ H
Por otro lado, supongamos una celda k tal que c-i+1 ≤ k ≤ H. Si el tiempo de servicio de
las celdas es exponencial y hay c servidores, la función de distribución del tiempo
necesario antes que el primer servidor esté libre es una exponencial de media 1/c.µts. El
tiempo que deberá esperar la celda k hasta quedar libre la (k-c+i)-ésima grúa seguirá
una distribución gamma de parámetro k-c+i, resultado de la convolución de las k-c
exponenciales de media 1/c.µts. Esto es:
t wk ,c ≈ gamma (k − c + i, cµ ts )
t s ,c ≈ exp(µ ts )
La función de densidad de probabilidad de las dos variables son respectivamente:
k − c + i −1
f wk,c (t w ) =
(cµ ts ) k −c + i t w
exp(−cµ ts t w )
Γ( k − c + i − c)
f s ,c (t s ) = µ ts exp(− µ ts t s )
[III.31]
[III.32]
La función de densidad de probabilidad de la variable t sk, 2 , f 2k (t ) , vendrá dada por la
convolución de las dos variables que la definen:
∞
f (t ) = ∫ f wk,c (t w ) f s ,c (t − t w )dt w
k
2
[III.33]
0
Sustituyendo [III.31] y [III.32] en [III.33], se obtiene que:
f 2k (t ) =
exp(− µ ts t )(cµ ts ) k −c +i
Γ(k − 1)
Γ(k ) µ tsk −c +i (c − 1) k −c +i
[III.33]’
Y, en cuanto a la función de distribución acumulada de [30]’ será por definición:
39
Capítulo III. Modelo de teoría de colas
t
F (t ) = ∫
k
2
0
c k −c + i
[1 − exp(− µ ts t )]
f ( s )ds =
µ ts (k − c + i )(c − 1) k −c +i
k
2
[III.34]
El tiempo de servicio del barco de la Figura 2, ts, será:
t s = max{t 1s ,1 , t s2,1 ,..., t sc,−1i , t sc,−2i +1 ,..., t sH, 2 }
[III.35]
Entonces, la función de distribución acumulada de probabilidad de ts, Fts (t ) , teniendo
presente que las c-i primeras celdas tienen un tiempo de servicio que obedece a una
distribución exponencial del mismo parámetro y que las restantes siguen una
distribución como la [III.33]’, vendrá dada por:
Fts(t) = (F1(t))c−i
H
∏ F2k (t) = (1−exp(−µts.t))c−i
k=c−i+1
c1+2+...+H−c+i
(1−exp(−µts.t))H−c+i
H−c+i
µts (H −c +i −1)!
[III.36]
A partir de la expresión [III.36] se pueden obtener el resto de resultados asociados a la
variable ts.
III.3.2 Cálculo de P(ts/ H ≤ c-i)
En este subapartado se trata de determinar la distribución de probabilidad del tiempo de
servicio suponiendo que, cuando un buque entra en servicio, todas las celdas empiezan a
ser servidas al mismo tiempo.
En este caso, todas los tiempos de carga-descarga de las celdas siguen una distribución
exponencial de parámetro µts. Por lo tanto, el tiempo de servicio del barco, ts, será:
{
t s = max t s1 ,..., t sH
}
[III.37]
siendo tis , 1 ≤ i ≤ H, el tiempo de servicio de la celda i.
A tenor de [34], la función de distribución acumulada (FDA) de ts, Fts(t), vendrá dada
por:
40
Capítulo III. Modelo de teoría de colas
Fts (t ) = ( Fs (t )) H
[III.38]
siendo Fs(t) la distribución acumulada del tiempo de servicio de cada celda. Sin
embargo, dado que H es una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial
de parámetro a , Fts(t) es una distribución compuesta. Así, la FDA de ts será finalmente:
∞
∞
H =1
H =1
Fts (t ) = ∑ ( Fs (t )) H p H ( H ) = ∑ (1 − exp(− µ ts t )) H (1 − a )a H =
∞
= (1 − a ) ∑ ((1 − exp(− µ ts t ))a ) H
H =1
[III.38]’
Puesto que [(1-exp(-µtst)).a] es menor que uno, la serie anterior es convergente, con lo
que:
Fts (t ) = (1 − a )
1
1 − a(1 − exp(− µ ts t ))
[III.38]’’
Para determinar la función de densidad de ts en un tiempo t, partimos de [III.38]’’:
f ts (t ) =
dFts (t )
(1 − a)aµ ts
=
exp(− µ ts t )
dt t [1 − a(1 − exp(− µ ts t ))]2
[III.39]
Para determinar la esperanza de ts, se partirá de la definición de ésta y de la expresión
[III.39], dando lugar a:
∞
∞
0
2
0 [1 − a (1 − exp( − µ ts t ))]
E (t s ) = ∫ tf ts (t )dt = (1 − a )aµ ts ∫
t exp(− µ ts t )
dt
[III.40]
Resolviendo la anterior integral por integración por partes se consigue finalmente el
resultado, esto es:
41
Capítulo III. Modelo de teoría de colas
E (t s ) =
2  1

− 1

aµ ts 1 − a 
[III.40]’
III.3.3 Cálculo de P(H ≤ c-i)
Para determinar la función de distribución de probabilidad del tiempo de servicio de los
barcos, queda finalmente por calcular la probabilidad P(H ≤ c-i).
Para ello, puesto que i y H son variables aleatoria, definiremos una de nueva que será la
suma de ambas, J=i+H, de tal suerte que:
P( H ≤ c − i ) = P( H + i ≤ c) = P( J ≤ c)
[III.41]
Por lo tanto, el problema se reduce a determinar la FDA de J. En efecto:
La probabilidad de J vendrá dada por la convolución de las probabilidades de i y H, a
saber:
P ( J = c) =
∑p
H +i =c
H
( H ) P(i )
[III.42]
Así, la expresión [38] tendrá la forma de:
P ( J ≤ c) =
∑
H +i ≤c
p H ( H ) P (i ) =
∑ (1 − a)a
H −1
P(i )
[III.42]’
H +i≤c
P(i) viene dado por [III.8], [III.9] y [III.10].
III.3.4 Expresión final del tiempo medio de servicio de un buque.
Para los desarrollos posteriores, lo que nos preocupa es el tiempo medio de servicio de
los buques. Partiendo de [III.29] y utilizando los resultados de los cálculos de
probabilidades obtenidos en los diversos subapartados anteriores, se obtiene la
distribución de probabilidad del tiempo de servicio. A partir de esta, se puede calcular
su media. Sin embargo, utilizando esta vía llegamos a que la expresión [III.29] es muy
compleja de tratar analíticamente. Por consiguiente, es menester hacer alguna
simplificación del problema de tal suerte que se obtenga una expresión final del tiempo
medio de servicio con la que poder operar con relativa facilidad. Para ello vamos a
escindir el análisis en dos situaciones.
42
Capítulo III. Modelo de teoría de colas
Consideremos primero la situación en que cuando un buque entra en servicio la cantidad
de grúas disponibles para él es igual o mayor al número de celdas del mismo, por lo que
todas las celdas empiezan a cargar-descargar al mismo tiempo. En tal supuesto, el
tiempo de servicio del buque se corresponderá con el de la celda que más ha tardado en
realizar las operaciones de carga-descarga. En este caso, la función de distribución del
tiempo de servicio del barco se corresponde con la expresión [III.39]. Por consiguiente,
la media del tiempo de servicio vendrá dada por [III.40]’.
Ahora bien, en el supuesto de que la cantidad de celdas del barco que entra en servicio
es menor a las disponibles en esos instantes, las celdas que inicialmente no reciben grúa
deberán esperar a que éstas vayan quedando libres. Estamos en la situación analizada en
al subapartado III.3.1. Para este caso vamos a suponer que la media de servicio del
barco es la adición de la media de espera de las celdas que no reciben grúa en el instante
de iniciar la carga-descarga del barco, empezando a contar esta espera a partir del inicio
del servicio del buque, y la media de la celda que más ha tardado en ser cargadadescargada. Mientras que la primera de estas medias viene dada por [III.24] , la
segunda se recoge en [III.40]’. En consecuencia, el tiempo medio de servicio que
adoptaremos a lo largo del presente trabajo será la adición de [III.24] y [III.40]’, a saber:
E (t s ) = Ts =
aPc
2  1

− 1 +

aµ ts 1 − a  ρ (1 − ρ )(1 − a ) 2 cµ ts
[III.43]
A efectos de comprender el alcance de la simplificación efectuada, seguidamente
expondremos un ejemplo numérico. Supongamos que tenemos seis grúas ( c=6) y que
cuatro están en servicio en el instante en que entra un barco formado por 6 celdas. El
barco empieza las operaciones de carga-descarga para las dos primeras celdas. Puesto
que el tiempo de servicio obedece a una distribución exponencial de parámetro µ, el
tiempo medio de servicio de cada celda es de 1/µ. El tiempo medio de espera de la
tercera celda es de 1/c.µ. Para la segunda será 2/c.µ, ya que sigue una distribución
gamma de parámetros 2 y 1/c.µ. Y así sucesivamente hasta llegar a la sexta. Sumando
las tiempos medios de espera y de servicio para cada una de las celdas se tiene que:
t 1s = 1 / µ
t s2 = 1 / µ
t s3 = 1 / c.µ + 1 / µ
t s4 = 2 / c.µ + 1 / µ
t s5 = 3 / c.µ + 1 / µ
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Capítulo III. Modelo de teoría de colas
t s6 = 4 / cµ + 1 / µ
El tiempo medio de servicio del barco es equivalente al de la cela 6. Con la
simplificación propuesta, en lugar de tener el resultado de t6s, se aproximaría el tiempo
de servicio por:
4
E (t s ) ≅
1
µ
+
∑
i
i =1
cµ
4
=
1
µ
+ 2,5
1
c.µ
[III.44]
En principio la diferencia no es muy excesiva, pues afecta al término que está dividido
por c.µ, variables éstas que tienen valores superiores a la unidad, con lo que tiene un
peso menor que la media de servicio de cada celda, 1/µ, en el cómputo de la media del
tiempo de servicio del barco. Así, para el ejemplo que nos ocupa:
E (t s ) = 1 / µ + 0,666
1
µ
= 1,666
1
µ
Utilizando [III.44] se tendría que: E (t s ) ≅ 1,42
1
µ
Por consiguiente, la diferencia entre la media exacta y la simplificada es aceptable dado
el propósito del presente trabajo- en el sentido de que más que buscar una modelización
perfecta obtener unas expresiones que reflejen bien el tipo de evolución del sistema
analizado cuando cambian las variables definidas.
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Capítulo III. Modelo de teoría de colas
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