Guía de Ejercicios Productos Notables y factorización

UNEFA TÁCHIRA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Material con fines didácticos
Ejercicios Propuestos Productos Notables y Factorización
1-. Descomponer en dos factores las expresiones siguientes:
6
1. 64 + a
2
3
3. 1 - 216m
R. (a - 5)(a + 5a + 25)
3
2
R. (1 - 6m )(1 + 6m + 36m )
3
6
4. 8a + 27b
6
2
2
2
4
R. (2a + 3b )(4a - 6ab + 9b )
9
2
3
4
3
2
6
R. (x - b )(x + b x + b )
3
3
6. 8x - 27y
7. 1 + 343n
8. 1 + a
4
2
2. a - 125
5. x - b
2
R. (4 + a )(16 - 4a + a )
2
2
R. (2x - 3y )(4x + 6x y + 9y )
3
2
R. (1 + 7n )(1 - 7n + 49n )
3
2
R. (1 + a )(1 - a + a )
R. (1 - a )(1 + a + a 2)
9. 1 - a 3
3
10. x + y
3
11. m - n
3
R. (x + y )(x - x y + y )
2
2
3
R. (m - n )(m + mn + n )
2
2
3
R. (a - 1)(a + a + 1)
2
3
R. ( y + 1)( y - y + 1)
3
R. ( y - 1)( y + y + 1)
12. a - 1
2
13. y + 1
2
14. y - 1
3
2
15. 8x - 1
R. (2x - 1)(4x + 2x + 1)
16. 1 - 8x 3
R. (1 - 2x )(1 + 2x + 4x 2)
17. x - 27
3
R. (x - 3)(x + 3x + 9)
2
3
R. (a + 3)(a - 3a + 9)
2
18. a + 27
3
19. 8x + y
3
3
20. 27a - b
2
3
2
3
3
3
2
2
R. (2x + y )(13x - 5x y + y )
3
23. a + (a + 1)
3
2
R. (3a - b )(9a - 3ab + b )
21. 27x - (x - y )
22. 1 - (a + b )
2
R. (2x + y )(4x - 2x y + y )
2
2
R. (1-a-b )(1+a+b+a +2ab+b )
3
R. (2a + 1)(a + a + 1)
3
R. (a + 1)(7a - 4a + 1)
24. 8a - (a - 1)
2
2
2-. Factorizar por el método del cubo de un binomio (ordenándolas previamente):
3
2
1. x -3x + 3x + 1
2
4
2. 8 + 12a + 6a + a
R. No es perfecto
6
3. 8x 3 - 36a 2b + 54ab 2 - 27b 3
2
R. (a + 2 )
3
R. (2a - 3b )3
1
Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero
UNEFA TÁCHIRA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Material con fines didácticos
3
2
2
3
4. 27m + 108m n + 144mn + 64n
2
3
5. 1 + 12a b - 6ab - 8a b
3
R. (3m + 4n )
3
R. No es perfecto
2
6. a + 3a + 3a + 1
2
7. 27 - 27x + 9x - x
2
R. (a + 1)
3
R. (3 - x)
3
8. 1 + 3a - 3a - a
3
3
3
R. (1 - a)
3
3-. Factorar o descomponer en dos factores:
2
1. (5x) + 13(5x) + 42
2
2. x + 2ax - 15a
2
3. a - 4ab - 21b
2
R. (x + 5a)(x - 3a )
2
R. (a - 7b )(a + 3b )
2
4. (x - y ) + 2(x - y ) - 24
2
5. 5 + 4x - x
R. (x 5 + 5)(x 5 - 4)
2
7. m + mn - 56n
2
2
8. x + 7ax - 60a
R. (m + 8n )(m - 7n )
2
9. (2x )2 - 4(2x ) + 3
R. (2x - 3)(2x - 1)
R. (m - n + 8)(m - n - 3)
R. (x + 16)(x - 15)
12. 15 + 2y - y
4
2
2
4
4
R. ( y + 3)(5 - y )
2
13. a b - 2a b - 99
4
2
4
11. x + x - 240
4
2
R. (x + 12a )(x - 5a )
2
10. (m - n ) + 5(m - n ) - 24
8
R. (x - y + 6)(x - y - 4)
R. (x + 1)(5 - x )
6. x 10 + x 5 - 20
4
R. (5x + 7)(5x + 6)
2
14. x + 5x + 4
2
2
2
2
R. (a b - 11)(a b + 9)
2
2
3
3
R. (x + 4)(x + 1)
6
3
R. (x - 7)(x + 1)
8
4
R. (x - 10)(x + 8)
15. x - 6x - 7
16. x - 2x - 80
2
4
4
2
R. (x y + 4)(x y - 3)
2
R. (4x - 5)(4x + 3)
17. x y + x y - 12
18. (4x ) - 2(4x ) - 15
4-. Descomponer en dos factores y simplificar, si es posible:
1. (x + y )2 - a 2
2. 4 - (a + 1)
2
R. (x + y + a )(x + y - a )
R. (a + 3) (1 - a )
2
Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero
UNEFA TÁCHIRA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Material con fines didácticos
2
3. 9 - (m + n )
R. (3 + m + n )(3 - m - n )
2
4. (m - n ) - 16
2
5. (x - y ) - 4z
R. (m - n + 4)(m - n - 4)
2
R. (x - y + 2z )(x - y - 2z )
2
6. (a + 2b ) - 1
R. (a + 2b + 1)(a + 2b - 1)
5-. Factorar o descomponer en dos factores:
2
2
1. x - y
R. (x + y )(x - y )
2
R. (a + 1)(a - 1)
2
R. (a + 2)(a - 2)
2. a - 1
3. a - 4
4. 9 - b
2
R. (3 + b )(3 - b )
5. 1 - 4m
2
R. (1 + 2m )(1 - 2m )
6. 16 - n 2
R. (4 + n )(4 - n )
2
R. (a + 5)(a - 5)
7. a - 25
8. 1 - y
2
R. (1 + y )(1 - y )
2
9. 4a - 9
R. (2a + 3)(2a - 3)
10. 25 - 36x
4
2
11. 1 - 49a b
2
12. 4x - 81y
2
8
13. a b - c
2
2
R. (1 + 7ab )(1 - 7ab )
4
R. (2x + 9y )(2x - 9y )
2
2
2
14. 100 - x y
4
6
3
4
4
2
4
6
6
2
4
2
4
14
-1
6
21. 361x
2
3
2
3
R. (10mn + 13y )(10mn - 13y )
3
2
3
R. (am n + 12)(am n - 12)
19. 196x y - 225z
20. 1 - 9a b c d
2
R. (5x y + 11)(5x y - 11)
18. a m n - 144
2
3
R. (a 5 + 7b 6)(a 5 - 7b 6)
17. 100m n - 169y
2
4
R. (10 + x y )(10 - x y )
16. 25x y - 121
2
2
R. (ab + c )(ab - c )
15. a 10 - 49b 12
2
2
R. (5 + 6x )(5 - 6x )
8
12
2
2
2
6
R. (14x y + 15z )(14x y - 15z )
2
3
4
2
3
4
R. (1 + 3ab c d )(1 - 3ab c d )
7
7
R. (19x + 1)(19x - 1)
3
Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero
UNEFA TÁCHIRA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Material con fines didácticos
22.
1
− 9a
4
a
23. 1 −
24. a
2
R.
2

-b
a 
5 
a
5
R. 1 + 1 − 

25
2n
1
 1

 + 3a  − 3a 
2
 2

2n
n
n
n
n
R. (a + b )(a - b )
6 -. Factorar:
1. 6x 2 - 6 - 5x
R. (3x + 2)(2x - 3)
2
2. 12m - 13m - 35
R. (3m - 7)(4m + 5)
2
3. 20y + y - 1
R. (4y + 1)(5y - 1)
2
4. 8a - 14a - 15
R. (2a - 5)(4a + 3)
2
5. 7x - 44x - 35
R. (7x + 5)(x - 7)
2
6. 16m + 15m - 15
R. (3m + 5)(5m - 3)
2
7. 2a + 5a + 2
R. (2a + 1)(a + 2)
2
R. (3x - 4)(4x + 3)
2
R. (3x + 2)(4x - 3)
8. 12x - 7x - 12
9. 12x - x - 6
2
10. 4a + 15a + 9
11. 3 + 11a + 10a
R. (4a + 3)(a + 3)
2
R. (2a + 1)(5a + 3)
2
R. (2x - 1)(x + 2)
2
R. (3x + 1)(x - 2)
2
R. (2x + 1)(3x + 2)
2
R. (5x - 2)(x + 3)
12. 2x + 3x - 2
13. 3x - 5x - 2
14. 6x + 7x + 2
15. 5x + 13x - 6
7-. Factorizar:
1. 12 - 7x - 10x
4
2. 5 + 7x - 6x
2
2
R. (2x + 3)(4 - 5x )
8
3. 6a - ax - 15x
4
2
R. (3a - 5x )(2a + 3x )
2
4. 21x - 29x y - 72y
2
5. 6m - 13am - 15a
4
2
2
7. 30a - 13ab - 3b
3
8. 7x - 33x - 10
2
R. (3x - 8y )(7x + 9y )
2
R. (m - 3a )(6m + 5a )
2
6. 14x - 45x - 14
6
4
R. (2x + 1)(5 - 3x )
2
R. (2x - 7)(7x + 2)
2
R. (6a + b )(5a - 3b )
3
3
R. (7x + 2)(x - 5)
4
Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero
UNEFA TÁCHIRA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Material con fines didácticos
2
9. 30 + 13a - 3a
R. (3a + 5)(6 - a )
4
2
2
2
10. 6x + 5x - 6
R. (3x - 2)(2x + 3)
11. 5x 6 + 4x 3 - 12
R. (x 3 + 2)(5x 3 - 6)
12. 10x 8 + 29x 4 + 10
R. (2x 4 + 5)(5x 4 + 2)
2
2
13. 6a x + 5ax - 21
2
R. (3ax + 7)(2ax - 3)
2
14. 20x y + 9x y - 20
2
15. 15x - ax - 2a
R. (4x y + 5)(5x y - 4)
2
R. (5x - 2a )(3x + a )
8-. Factorar o descomponer en dos factores las siguientes expresiones:
2
1. a - 2ab + b
2
2
2. a + 2ab + b
R. (a - b )
2
R. (a + b )
2
3. x - 2x + 1
R. (x + 1)
4
4. y + 1 + 2y
2
R. (a - 5)
2
2
4
2 2
2
2
9. 36 + 12m + m
3
R. (1 - 7a )
4
2
2
R. (m + 6)
6
2
3 2
R. (1 - a )
4
11. a + 18a + 81
3
2
R. (4 + 5x )
8. 1 + 49a - 14a
6
2
R. (3 - x )
7. 16 + 40x + 25x
8
2
2
2
10. 1 - 2a + a
2
R. ( y + 1 )
5. a - 10a + 25
6. 9 - 6x + x
2
3
12. a - 2a b + b
4
2
3
3 2
R. (a + 9)
6
R. (a - b )
13. 4x 2 - 12x y + 9y 2
R. (2x - 3y )2
14. 9b 2 - 30a 2b + 25a 2
R. (3b - 5a 2)2
15. 1 + 14x 2y + 49x 4y 2
R. (1 + 7x 2y )2
16. 1 + a
10
6
- 2a
5
5 2
R. (1 - a )
3
2
17. 49m - 70am + 25a n
4
3
2 2
R. (7m - 5an )
5
Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero
UNEFA TÁCHIRA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Material con fines didácticos
9-. Factorar o descomponer en dos factores las expresiones siguientes:
2
1. a + ab + ax + bx
R. (a + b )(a + x )
2. am - bm + an - bn
R. (a - b )(m + n )
3. ax - 2bx - 2ay + 4by
R. (x - 2y )(a - 2b )
2
2
2
2
2
4. a x - 3bx + a y - 3by
2
2
5. 3m - 2n - 2nx 4 + 3mx 4
2
2
2
2
R. (x + a )(x + 1)
2
2
7. 4a - 1 - a + 4a
2
2
2
2
8. x + x - x y - y
R. (a + 1)(4a - 1)
2
2
R. (x - y )(1 - x )
2
9. 3abx - 2y - 2x + 3aby
2
2
R. (1 - x 4)(3m - 2n )
6. x - a + x - a x
3
2
R. (a - 3b )(x + y )
2
2
2
R. (3ab - 2)(x + y )
2
2
10. 3a - b + 2b x - 6ax
R. (1 + 2x )(3a - b )
11. 4a 3x - 4a 2b + 3bm - 3amx
R. (ax - b )(4a 2 - 3m )
12. 6ax + 3a + 1 + 2x
R. (2x + 1)(3a + 1)
3
2
R. (3x - 1)(x - 3a )
2
2
2
R. (a - 3b )(2x - 5y )
13. 3x - 9ax - x + 3a
2
14. 2a x - 5a y + 15by - 6bx
2
2
2
2
15. 2x y + 2xz + y z + x y
3
2
2
R. (2x + y )(x y + z )
16. 6m - 9n + 21nx - 14mx
R. (2m - 3n )(3 - 7x )
17. n 2x - 5a 2y 2 - n 2y 2 + 5a 2x
R. (5a 2 + n 2)(x - y 2)
10-. Factorar o descomponer en dos factores estas expresiones:
1. a (x + 1) + b (x + 1)
R. (x + 1)(a + b )
2. a (a + 1) + 3(a + 1)
R. (a + 1)(a + 3)
3. 2(x - 1) + y (x - 1)
R. (x - 1)( y + 2)
4. m (a - b ) + (a - b )n
R. (a - b )(m + n )
5. 2x (n - 1) + - 3y (n - 1)
R. (n - 1)(2x - 3y )
6. a (n + 2) + n + 2
R. (n + 2)(a + 1)
7. x (a + 1) - a - 1
R. (a + 1)(x - 1)
6
Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero
UNEFA TÁCHIRA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Material con fines didácticos
2
2
8. a + 1 - b (a + 1)
R. (a + 1)(1 - b )
9. 3x (x - 2) - 2y (x - 2)
R. (x - 2)(3x - 2y )
10. 1 - x + 2a (1 - x )
R. (1 - x )(1 + 2a )
11. 4x (m - n ) + n - m
R. (m + n )(4x - 1)
12. - m - n + x (m + n )
R. (m + n )(x - 1)
13. a 3(a - b + 1) - b 2(a - b + 1)
R. (a - b + 1)(a 3 - b 2)
2
2
2
2
14. 4m (a + x - 1) + 3n (x - 1 + a )
R. (a + x - 1)(4m + 3n )
15. x (2a + b + c ) - 2a - b - c
R. (2a + b + c )(x - 1)
16. (x + y )(n + 1) - 3(n + 1)
R. (n + 1)(x + y - 3)
17. (x + 1)(x - 2) + 3y (x - 2)
R. (x - 2)(x + 3y + 1)
18. (a + 3)(a + 1) - 4(a + 1)
R. (a + 1)(a - 1)
11-. Factorar o descomponer en dos factores estas expresiones:
2
1. 5m + 15m
3
2
R. 5m (1 + 3m )
2. ab - bc
R. b (a - c )
2
2
2
3. x y + x z
R. x ( y + z )
2
4. 2a x + 6ax
2
R. 2ax (a + 3x )
2
5. 8m - 12mn
3
R. 4m (2m - 3n )
2
6. 9a x - 18ax
3
3
2
2
2
7. 15c d + 60c d
2
3
8. 35m n - 70m
9. abc + abc
2
3
2
2
R. abc (1 + c )
2
2
4
2
2
R. a (a + a + 1)
2
2
12. 4x - 8x + 2
R. 2(2x - 4x + 1)
2
13. 15y + 20y - 5y
2
2
R. 12x y (2z - 3x y )
2
11. a + a + a
3
3
R. 35m (n - 2m )
2
2
3
2
R. 15c d (c + 4d )
3
10. 24z x y - 36x y
3
2
R. 9ax (a - 2x )
14. a - a x + ax
2
2
R. 5y (3y + 4y - 1)
2
2
R. a (a - ax + a )
7
Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero
UNEFA TÁCHIRA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Material con fines didácticos
2
2
15. 2a x + 2ax - 3ax
3
5
16. x + x - x
7
3
2
2
18. 34ax + 51a y - 68ay
2
2
R. a (a + b )
2
R. b (1 + b )
2
21. x + x
R. x (x + 1)
22. 3a - a
2
2
2
R. a (3a - 1)
4
3
R. x (1 - 4x )
24. 96-48 m n
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
4
3
27. a - 3a + 8a - 4a
5
15
-x
12
2
2
2
2
2
2
3
2
+ 2x - 3x
4
2
R. a (a - 3a + 8a - 4)
3
9
2
R. a c (b - x + y )
R. x (1 - x + x - x )
28. 25x - 10x + 15x - 5x
29. x
2
4
26. x - x + x - x
7
3
R. 48(2 - mn + 3n )
25. a b c –a c x +a c y
6
2
R. 17a (2x + 3ay - 4ay )
2
23. x + x
4
R. 14x 2 ( y 2 - 2x + 4x 2)
19. a + ab
3
2
R. x (1 + x - x )
17. 14x 2y 2 - 28x 3 + 56x 4
20. b + b
R. ax (2a + 2x - 3)
2
2
5
3
R.5x (5x - 2x + 3x - 1)
6
6
9
6
3
R. x (x - x + 2x - 3)
12-. Resolver:
1.
3 2 2 2
 a − b 
5
4

2.
 2x 3 y 
−


5 
 3
2
9 4 3 2 2 4 4
a − a b +
b
16
5
25
R.
4 2 4
9 2
x − xy +
y
9
5
25
2
3.
(3x
4.
5 3 3 2
 x + xy 
5
6

5.
 a3 4a 2 


+
 8

7
b


4
R.
− 5 xy 3
)
2
R.
8
5 3
2 6
9 x − 30 x y + 25 x y
R.
25 6
9 2 4
x + x4 y2 +
x y
36
25
R.
1 6 a 5 16a 4
a +
+
64
7b 49b 2
2
2
8
Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero
UNEFA TÁCHIRA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Material con fines didácticos
6.
(a b
7.
 3 2x 4 


−
 2x
3 

2 3
− a5
)
R. a 4 b 6 − 2a 7 b 3 + a 10
2
2
R.
(7x − 8x y )
(a + 7b )
R. a 10 + 14a 5 b 4 + 49b 8
4 2
5
9.
R. 49 x10 − 112 x 8 y 4 + 64 x 6 y 8
3 4 2
5
8.
9
4x8
3
−
+
2
x
9
4x 2
13-. Desarrollar:
3
3
1.
(2a + 3b )
2.
2 
1
 a + b2 
3 
2
3.
 2a 2
5 

− 3
 5
2b 

4.
(4a – 3b )
5.
 3 2 4 2
 a − b 
5 
4
6.
 4 3x 
 4x −


y 3 

7.
(5x + 6y )
8.
 3a 4b 2 


+
 2b
5 

9.
(4x – 3x y )
3
4
8a 6 6a 4 15a 2 125
−
+
−
125 5b 3 2b 6 8b 9
27 6 27 4 2 36 2 4 64 6
a −
a b +
a b −
b
64
20
25
125
3
R. 64 x 12 −
144 x 9
y3
+
108 x 6
y6
−
27 x 3
y9
R.125 x 6 + 450 x 4 y 3 + 540 x 2 y 6 + 216 y 9
3
R.
27a 3
8b
3
+
27a 2 72ab 3 64b 6
+
+
5
25
125
2 3
R. 64 x 9 − 144 x 7 y 2 + 108 x 5 y 4 − 27 x 3 y 6
2 3 3
R. 343a12 − 735a10b 3 + 525a8b 6 − 125a 6b 9
11.
(a + 9a x )
12.
(8x – 7x y )
13.
(3a b – 5a b )
5
2
R.
R.
(7a – 5a b )
4
1 3 1 2 2 2 4 8 6
a + a b + ab +
b
8
2
3
27
3
10.
8
3
R. 64a 3 − 144a 2b 2 + 108ab 4 − 27b 6
3 3
3
2
R.
3
2 3
2
2
R. 8a + 36a b + 54ab + 27b
4 3
2
4 3
3
2 3
R. a 24 + 27a 21x 4 + 243a 18 x 8 + 729a 15 x 12
R. 512 x 12 − 1344 x 10 y 4 + 1176 x 8 y 8 −
343 x 6 y 12
R. 27a 6b 3 − 135a 7b 4 + 225a 8b 5 − 125a 9b 6
9
Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero
UNEFA TÁCHIRA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Material con fines didácticos
14-. Desarrollar:
6
6
1.
(a + 2b )
2.
a 3
 − 
3 b
3.
(2m - 3n )
4.
(1 - x )
5.
(x + y )
6.
1

1 − 
x

7.
(3 - y )
8.
 2 m2 
 −

m
2 

6
R.
2
3 5
R. x
12
R. 1 −
7 7
3
3
2
4
5
8
3
6
8
+ 6x
10
R.
3
8
12
+ 70x
6
7
−
224
m
4
+
14
– 56x
20
9
9
2
+ 28x
4
21
– 2835y
12
24
– 8x
2
+ 6x y
12
28
15
– 243n
+x
+y
15
32
18
+ 945y
28
– 189y
35
+ 21y
42
–y
49
168
35 5 21 8 7 11 m 14
− 70m 2 +
m − m +
m −
m
2
8
32
128
R.16384 − 7168 x 5 + 1344 x 10 − 140 x 15 +
R.
16
6
7
5
6
10 45 120 210 252 210 120 45 10
1
+
−
+ 4 − 5 + 6 − 7 + 8 − 9 + 10
x x2 x3
x
x
x
x
x
x
x
128
m
4
y + 15x y + 20x y + 15x y
7
7
6
– 240m n + 720m n – 1080m n + 810m n
R. 2187 – 5103y + 5103y
1 2

 x + y3 
2

10.
10
4
3 6
5

4 − x 

4 

2
R. 1 – 8x + 28x – 56x
10
9.
4
1 6 2a 5 5a 4 20a 3 135a 2 486a 729
a −
+
−
+
− 5 + 6
729
27b 3b 2
b3
b4
b
b
R. 32m
4 8
2
5
R. a + 12a b + 60a b + 160a b + 240a b + 192ab + 64b
35 20 21 25
7
1
x −
x +
x 30 −
x 35
4
64
1024
16384
1 10 5 8 3 5 6 6 5 4 9 5 2 12
x +
x y + x y + x y + x y + y 15
32
16
4
2
2
15-. Descomponer por evaluación:
4
3
2
1. x - 4x + 3x + 4x - 4
2
R. (x - 1)(x + 1)(x - 2)
4
3
2
2. x - 2x - 13x + 14x + 24
R. (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 4)
4
2
3. a - 15a - 10a + 24
R. (a - 1)(a + 2)(a + 3)(a - 4)
3
2
4-. x + x - x - 1
R. (x - 1)(x + 1)
3
2
2
5. x - 4x + x + 6
R. (x + 1)(x - 2)(x - 3)
3
2
6. a - 3a - 4a + 12
R. (a - 2)(a + 2)(a - 3)
4
3
8. x + 6x + 3x + 140
2
R. (x + 4)(x + 5)(x - 3x + 7)
3
2
9. a + a - 13a - 28
2
R. (a - 4)(a + 5a + 7)
3
2
10. x + 2x + x + 2
2
R. (x + 2)(x + 1)
3
11. n - 7n + 6
R. (n - 1)(n - 2)(n + 3)
3
2
12. x - 6x + 32
R. (x + 2)(x - 4)2
4
2
13. n - 27n - 14n + 120
R. (n - 2)(n + 3)(n + 4)(n - 5)
3
7. m - 12m + 16
2
R. (m - 2) (m + 4)
10
Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero
UNEFA TÁCHIRA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Material con fines didácticos
11
Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero