Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2014 Señales 1 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 Señales 1. Definiciones Básicas 2. Relación Señal a Ruido 3. Transformada de Fourier 4. Sistemas LSI 5. Señales analógicas y digitales Bibliografía Observational Astrophysics (Chapter 9; Apendix A) P. Léna, D. Rouan, F. Lebrun, F. Mignard & D. Pelat Astronomical Methods and Instrumentation (Chapters 2 & 3) G. Bernstein 2 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2014 1. Definiciones Básicas Señal y ruido en el caso de ruido aditivo Señal (S) Se denomina así todo parámetro variable que lleva la información deseada (tensión, corriente, número de cuentas, etc.) Ruido (N) Se denomina así a toda “fluctuación aleatoria no deseada de una medida” Dicha señal aleatoria posee una distribución de probabilidad asociada que depende de cual sea su causa Imagen de un campo estelar y un perfil de intensidades Background (B) Se denomina así al valor medio medido cuando no existe la señal deseada 3 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 1. Definiciones Básicas Señal y ruido en el caso de ruido aditivo Señal detectada En general la señal provista por un sistema de observación tiene la forma: x(t ) = xs (t ) + n(t ) donde xs(t) = señal deseada n(t) = ruido + background Nota: El signo + no indica necesariamente una adición aritmética, solo que el ruido se agrega a la señal deseada Los problemas son: • Entender el comportamiento del ruido y del “background” para modelarlos adecuadamente • Extraer la señal deseada (xs) a partir de la señal detectada (x). Imagen de un campo estelar y un perfil de intensidades 4 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2015 1. Definiciones Básicas Señal y ruido en el caso de ruido aditivo Señal detectada Comportamiento En realidad, tanto n(t) como xs(t), no son variables perfectamente definidas sino que su comportamiento es aleatorio. Causas: Intrínsecas Fluctuaciones fundamentales debidas a la la naturaleza de los portadores Extrínsecas Interferencias sufridas por el sistema de observación (estas pueden ser minimizadas o compensadas) La señal detectada es una realización de varios procesos aleatorios Solo se puede obtener un estimador de su valor 5 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2015 1. Definiciones Básicas Ruido: Fluctuaciones fundamentales Señal: Cuerpo Negro (Ley de Planck) La “densidad espectral espectral de energía por unidad de volumen” (u(ν)) emitida por un cuerpo negro a temperatura T viene dada por el producto entre: • La energía media por cada modo de oscilación (<E>) • La cantidad de modos de oscilación por unidad de volumen e intervalo de frecuencia (dN/Vdν) dN u (ν ) = 〈 E 〉 V dν 〈 E 〉 = 〈 n〉 h ν 8π dN = V 3 ν 2 dν V dν c n = cantidad de fotones por cada modo de oscilación −1 hkTν 〈 n〉 = e − 1 σ n2 = 〈 n〉 2 + 〈 n〉 8π ν 2 u (ν ) = c3 hν e hν kT −1 6 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2015 1. Definiciones Básicas Ruido: Fluctuaciones fundamentales Señal: Cuerpo Negro (Ley de Planck) Y la cantidad media de fotones (<N>) correspondientes a todos los modos en un rango angosto de frecuencias (∆ν << ν) viene dada por: 〈 N 〉 = N m 〈 n〉 Nm = número de modos Mientras que su dispersión viene dada por: ó σ N2 = N m (〈 n〉 2 + 〈 n〉 ) = ( N m 〈 n〉 ) (1 + 〈 n〉 ) σ N = 〈 N 〉 (1 + δ ) hkTν δ = factor de degeneración ≡ 〈 n〉 = e − 1 −1 Nota: Los resultados planteados son válidos (σ2=<n>2+<n>) aunque el emisor no se comporte como un cuerpo negro, ya que es una consecuencia del comportamiento de bosones (salvo muy raras excepciones) 7 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2015 1. Definiciones Básicas Ruido: Fluctuaciones fundamentales Señal: Cuerpo negro Límite de Wien: (hν >> kT ó δ << 1) • Se denomina Ruido Cuántico o de Poisson y corresponde a fotones emitidos en forma aleatoria e independientes entre si • Esto es aplicable en casi todo el IR y longitudes de onda menores Caso intermedio : (hν ≈ kT) • Se considera como Ruido de Poisson degenerado • Este caso es aplicable en el IR lejano y en microondas σ N = 〈N〉 σ N = 〈 N 〉 (1 + δ ) Límitte de Ralyleigh-Jeans: (hν << kT ó δ >> 1) • Se denomina Ruido Térmico y corresponde a fotones correlacionados entre si y se puede interpretar como el batido producido entre componentes de campo de frecuencias levemente diferentes • Esta se debe aplicar en ondas de radio Nota: T = temperatura de la fuente 8 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2015 1. Definiciones Básicas Ruido: Causas Extrínsecas (ejemplos) Fluctuaciones aleatorias de la densidad y/o temperatura de la atmósfera Agitación térmica y señales espúreas en el detector térmicas Ruido debido a la interface electrónica del detector. Puede ser de diferente naturaleza (térmico, poisson, otros) Ruido electrónico Térmico i Shot (Poisson) σ v term = 4 k T R ∆B σ v shot = 2 e i ∆B R v R T = temperarura de la electrónica ∆B = ancho de banda en el que trabaja el circuito eléctrico 9 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 Señales 1. Definiciones Básicas 2. Relación Señal a Ruido 3. Transformada de Fourier 4. Sistemas LSI 5. Señales analógicas y digitales 10 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2014 2. Relación Señal a Ruido (Signal to Noise Ratio = SNR) Definición La SNR indica la intensidad de la señal que se desea medir en unidades del error que se comete en su medida (usualmente la desviación estandard) Para una variable aleatoria con media µ y dispersion σ, la SNR se puede expresar como: SNR = µ σ Algunos criterios más pueden ser considerar: apropiados • S/N > 3 (“3 sigma detection level”) En principio se necesitaría que la relación señal a ruido sea mayor que la unidad, o sea • S/N ~ 30-50 (valor aceptable en espectroscopía) SNR > 1 11 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2015 2. Relación Señal a Ruido (SNR) Ejemplos Ejemplo 1: Se presentan los niveles de intensidad en dos imágenes a) La señal (S) es mucho menor que el “background” (B), pero es bastante mayor al ruido (N) b) La señal (S) es comparable “background” (B) y al ruido (N) al S << B SNR >> 1 La señal se distingue facilmente S≈B SNR ≈ 1 La señal (si existe) es muy dificil de distinguir En principio: “S debe ser importante respecto a N y no a B” PERO .... 12 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2015 2. Relación Señal a Ruido (SNR) Ejemplos Imagen1: Imagen en banda J de un cúmulo inmerso con una región HII (VVV survey) El nivel de background es diferente en distintos lugares de la imagen debido a la presencia de la region HII “El ruido es mayor en la zona de la nebulosa” (menor SNR) 13 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2015 2. Relación Señal a Ruido (SNR) Imagen1 Ejemplos El nivel de background es diferente en el mismo lugar de las dos imágenes solo debido una adición de una constante Imagen1 + 5000 ~ 1500 “El ruido es igual en ambos casos” (se mantiene la SNR) ~ 6500 14 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2015 2. Relación Señal a Ruido (SNR) Conclusión “Si B está dominado por un ruido cuántico (de Poison) entoces el ruido (N) que introduce es B1/2, por lo que B también debe minimizarse para mejorar la SNR” 15 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 2. Relación Señal a Ruido (SNR) Ejemplo: Variación de la SNR con el tiempo de exposición texp 16 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 2. Relación Señal a Ruido (SNR) Ejemplo: Variación de la SNR con el tiempo de exposición texp 17 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 2. Relación Señal a Ruido (SNR) Ejemplo: Variación de la SNR con el tiempo de exposición texp 18 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 2. Relación Señal a Ruido (SNR) El tiempo de integración Sean: S = tasa de fotones de la fuente B = tasa de fotones de background M = tasa de fotones medios en el lugar de la fuente M=S+B En realidad siempre se observa durante un intervalo de tiempo “t” (tiempo de integración) entonces las “magnitudes medibles” son: t = tiempo de integración (M x t) = nro. de fotones recibidos en el tiempo “t” provenientes de la fuente y del background (B x t) = nro. de fotones recibidos en el tiempo “t” provenientes del background 19 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2014 2. Relación Señal a Ruido (SNR) El tiempo de integración Ahora, unos estimadores de M y de B son: (M t ) Mˆ = t (B t) Bˆ = t los Si se considera “solo el ruido intrínseco” (Poisson), correspondientes para las dispersiones de (M t) y (B t) son: ) σ) M t = M t estimadores ) σ) B t = B t Entonces, las dispersiones para M y B son: σ) Mˆ t Mˆ ) = σ Mˆ = t t σ) B) t ) σ B) = = t ) B t 20 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 2. Relación Señal a Ruido (SNR) El tiempo de integración Y dado que: Sˆ = Mˆ − Bˆ Nˆ = σ S&ˆ& = σ M2ˆ + σ B2ˆ Nˆ = Mˆ Bˆ + t t Resulta que una estimación de la SNR es: Sˆ = Nˆ Mˆ − Bˆ Mˆ t + Bˆ t Sˆ Mˆ − Bˆ = t Nˆ Mˆ + Bˆ Solo se consideró el ruido intrínseco (Poisson) 21 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 2. Relación Señal a Ruido (SNR) Estimación del Nivel de Background Existe un error en el “nivel de background” adicional al ruido de Poisson (σBack.): • La causa es que el “nivel de background” es estimado en base a una medida en la “cercanía” del lugar donde se encuentra la señal • En general este ruido puede ser muy pequeño si se utilizan tiempos de integración importantes y/o es estimado utilizando regiones extensas 22 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 2. Relación Señal a Ruido (SNR) Estimación del Nivel de Background En casos particulares Este ruido puede ser importante como son los casos de: - Fluctuaciones de cielo significativas en imágenes (p.e.: nebulosas) - Espectros con gran cantidad de líneas Objeto (señal + bgr.) Objeto (señal + bgr.) Bgr. 1 Bgr. 2 Bgr. 1 Bgr. 2 23 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 2. Relación Señal a Ruido (SNR) Ruido en los detectores: Los detectores en general introducen ruido (σDet.) debido a varias causas como por ejemplo: • Una amplificación de la señal (ganancia = g) antes de proceder con la medida. Ella introduce ruido si varia en el tiempo y/o si varia pixel a pixel • Un ruido de lectura (σL) en el caso de leer sucesivas veces • Una señal de oscuridad cuando no existe excitación La exresion general de la SNR queda entonces: Sˆ ( Mˆ − Bˆ ) t = 2 2 Nˆ ( Mˆ + Bˆ ) t + σ Back . + σ Det . Se considera: El ruido intrínseco (Poisson) de la señal y del “background”, El ruido de la estimación del nivel de background El ruido total del detector 24 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 2. Relación Señal a Ruido (SNR) Casos particulares Estos dependen de la importancia de cada fuente de ruido, destacándose: ( Mˆ − Bˆ ) t Sˆ = 2 Nˆ ( Mˆ + Bˆ ) t + σ Det . “photon noise limited” SNR limitada por el ruido de los fotones (Poisson) Mˆ >> Bˆ ⇒ Mˆ ≈ Sˆ Sˆ = Sˆ Nˆ “detector noise limited” SNR limitada por el ruido del detector Sˆ Sˆ = t Nˆ σ Det . σ Det . >> σ Mˆ σ Det . >> σ B&& t σ Det . << σ Mˆ σ Det . << σ B&& “background or sky noise limited” SNR limitada por el ruido del background o del cielo Mˆ << Bˆ ⇒ Mˆ ≈ Bˆ Sˆ Sˆ t = Nˆ 2 Bˆ σ Det . << σ Mˆ σ Det . << σ B&& 25 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 2. Relación Señal a Ruido (SNR) Casos particulares “photon noise limited” SNR limitada por el ruido de los fotones (Poisson) Sˆ = Sˆ Nˆ t Es el caso mas favorable y sólo válido para fuentes brillantes “detector noise limited” SNR limitada por el ruido del detector “background or sky noise limited” SNR limitada por el ruido del background o del cielo Sˆ Sˆ t = Nˆ σ Det . Sˆ Sˆ = t Nˆ 2 Bˆ Es el caso típico de Es el caso en el que los efectos de espectroscopía de media y alta los instrumentos han sido resolución (el “nivel de minimizados (p.e.: telescopios background” disminuye al espaciales y/o telescopios en IR) aumentar la resolución) La SNR se puede mejorar: - Mejorando la calidad de la imagen (seeing; óptica En todos los casos se puede mejorar la SNR activa/adaptiva) y/o • Incrementando el tiempo de integración - Reduciendo el nivel de cielo • Incrementando el área colectora (tanto M como B (evitando la emisión por “airglow” son proporcionales a ella) o reduciendo la emisión térmica Aunque en cada caso la dependencia es diferente del telescopio en el IR) 26 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 2. Relación Señal a Ruido (SNR) Ruido en los detectores: Eficiencia Cuántica del Detector (δ = DEQ) Esta tiene en cuenta tanto el ruido de Poisson como el introducido por el detector y, en su expresión general, viene dada por: 2 ( S N )Re al δ = DQE = (S N )2Ideal • En un “detector ideal” las fluctuaciones se deben solo a ruidos intrínsecos de la señal y del background (Poisson) • En un “detector real” se tienen las fluctuaciones anteriores además del ruido introducido por el detector mismo. 27 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 2. Relación Señal a Ruido (SNR) Ejercicio: Comparar las siguientes SNRs: • SNR de una imagen con tiempo de exposición t • SNR de la suma de N imágenes, cada una con un tiempo de exposición t/N Una sola imagen texp = t suma a) Considerar solo ruido de Poisson b) Considerar ruido de Poisson y ruido del detector Imagen suma N imágenes texp = t/N 28 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 Señales 1. Definiciones Básicas 2. Relación Señal a Ruido 3. Transformada de Fourier 4. Sistemas LSI 5. Señales analógicas y digitales 29 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 3. Transformada de Fourier J. Fourier 1768 – 1830 Definición La transformada y antitransformada de Fourier de una función se definen por medio de las siguientes expresiones: +∞ F [ f ] = F (ν ) = ∫ f (t ) e −i 2πνt dt −∞ F +∞ −1 [ F ] = f (t ) = + i 2πνt F ( ν ) e dν ∫ −∞ Se dice entonces que F y f son un ”par transformado” y la notación es: F f (t ) ←→ F (ν ) 30 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 3. Transformada de Fourier Características generales La Transformada de Fourier mapea una señal que varía (en el tiempo o en el espacio) en un conjunto de frecuencias (temporales o espaciales respectivamente) La Antitransformada de Fourier recupera la señal a partir de sus componentes en frecuencia F 31 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 3. Transformada de Fourier Características generales Propiedad de linealidad F a f (t ) + b g (t ) ←→ a F (ν ) + b G (ν ) Propiedad de escaleado F f (a t ) ←→ 1 ν F a a Propiedad de translación F f (t − a ) ←→ e − 2iπat F (ν ) 32 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 3. Transformada de Fourier Pulso rectangular Ejemplos: Rectángulo Existe una relación inversa entre el comportamiento de una función en el dominio del tiempo y en el dominio en frecuencia I si t ≤ τ 2 sin (πτν ) F ←→ Iτ sinc (τν ) = Iτ 0 si t > τ 2 πτν En el caso espacial tambien existe una relación inversa entre las dimensiones espaciales y sus respectivas coordenadas transformadas F 33 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 3. Transformada de Fourier Ejemplos: Delta de Dirac En el caso extremo de una delta de Dirac (en el tiempo), la transformada de Fourier posee “todas” las frecuencias con igual importancia Impulso F δ (τ ) ←→ 1 34 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 3. Transformada de Fourier Ejemplos: Gaussiana 2 F e −π x ←→ e −π u x2 2 u2 − 2 − 2 1 F 2σ e ←→ e 2 Σ 2π σ Σ= 1 2π σ La trasformada de Fourier de una gaussiana con dispersión σ es otra gaussiana con dispersión Σ = (2πσ)−1 35 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 3. Transformada de Fourier Ejemplos: Tren de deltas de Dirac F δ ( t − nT ) ← → ω S ∑ δ (ω − nω S ) ∑ S n n ωS = 2π TS La trasformada de Fourier de un tren de deltas de Dirac con un período TS es otro tren de deltas de Dirac con un período ωS = 2π/TS 36 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 3. Transformada de Fourier Convolución; Representación gráfica Convolución de funciones La convolución entre dos funciones f y g es otra función h dada por: +∞ h( x ) = ∫ f (u ) g ( x − u ) du −∞ Esta operación se simboliza como: h= f *g http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Convolution _Animation_(Exponential_and_Gaussian).gif Se verfica que: “la transformada de Fourier de la convolución de dos funciones (f y g) es el producto de las transformadas de Fourier de dichas funciones (F y G)” F h(t ) ←→ H (ν ) = F (ν ) G (ν ) 37 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 3. Transformada de Fourier Correlación de funciones (crosscorelation) La correlación entre dos funciones f y g es otra función r dada por: +∞ r ( x) = ∫ f (u ) g ( x + u ) du −∞ Se verfica que: “la transformada de Fourier de la correlación de dos funciones (f y g) es el producto de las transformada de Fourier de una de ellas (F) por la transformada de Fourier conjugada de la otra (G*)” F r (t ) ←→ R(ν ) = F (ν ) G * (ν ) Entonces si g es simétrica, convolución y correlación dan el mismo resultado 38 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 3. Transformada de Fourier Correlación de funciones (crosscorelation) Aplicación Si tienen dos espectros de dos estrellas, su correlación cruzada tendrá un pico tanto mas agudo cuanto mas parecidos sean los espectros La posición de dicho pico indica que tan desplazado se halla uno de los espectros respecto al otro. Esto provee una forma de medir la velocidad radial de una estrella si se conoce la de la otra http://www.astro.wisc.edu/~morscher/index.html 39 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 3. Transformada de Fourier Correlación de funciones (crosscorelation) Aplicación Si la correlación presenta dos picos es indicio de que una de las estrellas es una doble espectroscópica http://www.astro.wisc.edu/~morscher/index.html 40 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 4. Transformada de Fourier Auto-correlación de funciones Esta es simplemente la correlación de una función f consigo misma, o sea: +∞ p( x) = ∫ f (u ) f ( x + u) du −∞ Teorema de Wiener-Khinchine: Se verifica que: P(ν ) = F (ν ) F * (ν ) = F 2 (ν ) que se denomina “densidad de potencia espectral” 41 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 4. Transformada de Fourier Ejemplo: Ruido Blanco (“White Noise”) Se denomina de esta forma a una señal totalmente NO correlacionada (en tiempo o en posición). La función autocorrelación es entonces una delta de Dirac y su espectro contiene “todas” las frecuencias con igual importancia (ese es el origen de su nombre por comparación con la “luz blanca”) F δ (τ ) ←→ 1 42 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 4. Transformada de Fourier Herramientas IRAF: Paquete stsdas.analysis.fourier forward: Calcula la transformada de Fourier de una imagen inverse: Calcula la trasnformada inversa de Fourier de una imagen 43 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 4. Transformada de Fourier Herramientas Python: Paquete scipy.fftpack y scipy.fftpack.convolve fft(x[, n, axis, overwrite_x]) Return discrete Fourier transform of real or complex sequence. ifft(x[, n, axis, overwrite_x]) Return discrete inverse Fourier transform of real or complex sequence. fft2(x[, shape, axes, overwrite_x]) 2-D discrete Fourier transform. ifft2(x[, shape, axes, overwrite_x]) 2-D discrete inverse Fourier transform of real or complex sequence. fftn(x[, shape, axes, overwrite_x]) Return multidimensional discrete Fourier transform. Return inverse multi-dimensional discrete ifftn(x[, shape, axes, overwrite_x]) Fourier transform of arbitrary type sequence x. http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/fftpack.html#module-scipy.fftpack 44 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 Señales 1. Definiciones Básicas 2. Relación Señal a Ruido 3. Transformada de Fourier 4. Sistemas LSI 5. Señales analógicas y digitales 45 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 4. Sistemas LSI En astronomía se tienen los siguientes elementos básicos Fuente (objeto bajo estudio) Medio Interestelar (ISM) Atmósfera Terrestre Sistema de Observación 46 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 4. Sistemas LSI Sistema Señal de entrada o excitación Se denomina asi a cualquier conjunto de elementos físicos (naturales o artificiales) que toman una señal y devuelven otra. Señal de salida o respuesta f(x) g(x) H[ ] Un sistema físico puede ser modelado matemáticamenteo por operador “H[ ]” g(x) = H[f(x)] Entonces, considerando que la fuente bajo estudio emite una señal que depende de la posición (f(x,y); válido para objetos puntuales como extendidos), la situación anterior se puede esquematizar también como: f(x,y) f2(x,y) f1(x,y) Medio interestelar Atmósfera Sistema de Observación. g1(x,y) g(x,y) Procesamiento de la señal 47 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 4. Sistemas LSI f(x) H[ ] Si el operador “H[ ]” es “lineal” H[k1 f1(x) + k2 f2(x)] = k1 H[f1(x)] + k2 H[f2(x)] Entonces se puede aplicar superposición y la salida se puede expresar como: ∞ g ( x) = ∫ f (α ) H [δ ( x − α )] dα −∞ Denominando h(x,α) = la respuesta del sistema a un impulso centrado en α: h( x, α ) = H [δ ( x − α )] Entonces, la salida resultante (g(x)) viene dada por la denominada “Integral de Fredholm” ∞ g ( x) = ∫ f (α ) h( x, α ) dα −∞ g(x) g(x) = H[f(x)] Considerando además que es “invariante sistema desplazamiento”, el al h(x,α) = h(x − α) Entonces, la integral anterior se transforma en una “Integral de convolución” ∞ g ( x) = ∫ f (α ) h( x − α ) dα −∞ 48 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 4. Sistemas LSI Entonces: En un “sistema lineal e invariante” (“LinearShift-Invariant”) o “LSI System” se puede describir matemáticamente en forma simple como: • Una convolución en espacial o temporal, o el f(x) g(x) H[ ] LSI System dominio g(x) = f(x) * h(x) • Una multiplicación en el dominio de Fourier El operador H[] se conoce normalmente como “filtro” o “kernel” G(u) = F(u) H(u) Un “Sistema LSI” queda totalmente caracterizado por su respuesta al impulso 49 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2015 4. Sistemas LSI Ejemplos y denominaciones típicas f(x,y) g(x,y) H[ ] Sistema óptico LSI: En este caso particular, se definen las siguientes funciones: • OTF: “Optical Transfer Function” Es la función de transferencia normalizada OTF (u , v) = H (u, v) H (0,0) • MTF: “Modulation Transfer Function” Es el módulo de la OTF MTF (u, v) = H (u, v) H (0,0) Esquema total (ISM + Atm. + Sist.Obs.): En este caso la respuesta al impulso se denomina PSF ( x, y ) = h( x, y ) • PSF: “Point Spread Function” 50 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 4. Sistemas LSI Imagen observada Imagen deconvolucionada Aplicación La deconvolución de imágenes permite mejorar la resolución espacial impuesta por el “seeing” El proceso se lleva a cabo utilizando la trasformada de Fourier de la imagen observada (g) y de la respuesta del sistema a una imagen estelar (PSF = h) g = f *h F Deconvolution of an image of the compact star cluster Sk 157 in the Small Magellanic Cloud. Left : image obtained with the ESO/MPI 2.2 m telescope at La Silla (1.1” FWHM); Right : deconvolution with our algorithm (0.26” FWHM). g (x, y ) ←→ G (u, v) = F (u , v) H (u , v) MDS Deconvolution Method Magain, Courbin & Sohy 1998, ApJ 494, 472 51 Astronomía Observacional: Procesamiento de Imágenes I G.L. Baume - 2016 4. Restauración de imágenes Herramientas IRAF: Paquete stsdas.analysis.restore: wiener: Aplica un un “filtro de Wiener” a una imagen para realizar la deconvolución. Los filtros posibles son: - inverse (alpha = 0) - wiener (alpha = 1) - geometric (alpha = 0.5) - Parametric La tarea permite diversos modelos para estimar los espectros de energía del ruido y de la imagen original 52 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 Señales 1. Definiciones Básicas 2. Relación Señal a Ruido (SNR) 3. Transformada de Fourier 4. Sistemas LSI 5. Señales analógicas y digitales 53 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Señal analógica Definición: Se denomina así a toda señal que se puede representar por una función (real) contínua y diferenciable de una variable real (temporal o espacial) Todas las señales físicas son de esta clase y pueden tratarse de funciones de una o mas variables http://www.vrarchitect.net/anu/comp1710/ media/printNotes.en.html y = f ( x) y = g (t ) y = h ( x, y ) 54 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales y = h ( x, y ) Señal analógica Imagen analógica: Se denomina así al caso en el que: • La señal depende de dos variables y • La señal representa el brillo en función de la posición Región de interés (ROI) Se denomina de esta forma a una parte de una imagen acotando el rango de las coordenadas. Este concepto es útil cuando se tienen varios objetos en una imagen de manera de asociar un ROI con cada objeto. ROI 55 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Señal digital Definición Se denomina así a una señal que se puede representar como una secuencia de valores discretos http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_signal Se la puede describir como un vector o una matriz de números discretos (NO necesariamente números enteros!!!), 0454346753344 o sea ... ... números que pueden expresarse con un número finito de decimales (en algún sistema de numeración, no necesariamente decimal) 56 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Imagen digital Señal digital Imagen digital: Se denomina al caso de: • una matriz de dos dimensiones y • cada valor de la matriz indica el brillo de una posición determinada Pixel Pixel (= picture element) En este contexto, se denomina así a cada uno de los elementos de la matriz (o de la imagen) Matriz 34 22 31 34 33 22 28 18 32 28 16 26 33 20 44 34 70 98 66 99 229 107 67 103 67 33 34 29 22 17 16 25 27 26 23 16 29 28 28 24 37 22 37 38 36 36 32 17 25 26 22 26 25 28 32 24 24 18 24 26 25 25 29 19 14 30 30 20 35 36 39 39 46 102 159 93 69 240 393 248 65 241 363 244 46 85 157 84 30 29 35 24 30 28 20 35 17 19 30 35 28 19 23 37 69 68 42 30 22 30 25 17 20 22 30 24 22 27 23 26 57 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Señal binaria (0s y 1s) Se denomina así a una señal digital representada como una secuencia de dos valores discretos Representacion binaria sin retorno a cero La forma de representar “un cero” y “un uno” puede ser muy variada. Lo importante es que cada uno de los símbolos sean facilmente distinguibles entre si (y del posible ruido...) http://en.wikipedia.org/wiki/Non-return-to-zero Representacion binaria con retorno a cero http://en.wikipedia.org/wiki/Return-to-zero 58 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Señal binara: Ejemplos: Código de barras (Secuencia en una variable) http://www.fcaglp.unlp.edu.ar/ Código QR (Secuencia en dos variables) http://qrcode.kaywa.com/ 59 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Transformación de señales analógicas en digitales y binarias Actualmente todo tipo de señales fisicas (analógicas) son transformadas en señales digitales (especialmente binarias) para que puedan ser procesadas por una computadora De esta forma se tienen diferentes tipos de archivos: txt pdf vot wav avi mp3 mkv • De texto (digital por naturaleza) • De imágenes fit gif jpg • De sonido • De video 60 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Transformación de señales analógicas en digitales y binarias Para transformar una señal analógica en binaria se deben llevar a cabo los siguientes procesos: Señal Analógica • Muestreo • Cuantización Muestreo • Codificación Cuantización Codificación Señal Binaria 61 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Transformación de señales analógicas en digitales y binarias Proceso de muestreo Se denomina así a la selección de un conjunto de valores de una señal analógica Muestreo Cuantización Proceso de cuantización Se denomina de esta forma a la discretización de los valores que puede tomar una señal analógica. Señal Digital = Señal analógica muestreada y cuantizada Señal Digital http://en.wikipedia.org/wiki/Quantization_(signal_processing) 62 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Transformación de señales analógicas en digitales y binarias Proceso de codificación Se entiende estar manera a la conversión de cada uno de los valores discretos de una señal digital en un conjunto de símbolos binarios Señal Digital Codificación binaria simple con 3 bits 0454346753344 000 100 101 100 011 100 110 111 101 011 011 100 100 Señal codificada 63 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 5. Señales analógicas y digitales Tipos de codificación: Ejemplos simples Enteros cortos con signo (integer*2 o short): Un número entero se representa por dos bytes (16 bits), donde el primer bit indica el signo. Rango: -32768; +32767 2016D -5232D = 00000111 11100000 = 07 E0H = 10010100 01110000 = 94 70H Enteros cortos sin signo (ushort): Un número entero se representa por dos bytes. Rango: 0; 65535 2016D 38000D = = 00000111 11100000 = 07 E0H 10010100 01110000 = 94 70H Codificacion BCD: Cada dígito de un número (entero o real) se codifica por su equivalente binario 2016D 9470D = 00100000 00010110 = 20 16H = 10010100 01110000 = 94 70H 64 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Tipos de codificación: Ejemplos simples IEEE floating-point formats: Single precision format (32 bit) Doble precision format (64 bit) Fuente: Definition of the Flexible Image Transport System (FITS), Version 3.0 ; Apendix E 65 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Tipos de codificación: Ejemplos simples American Standard Code for Information Interchange (ASCII) Código de 8 bits para representar caracteres alfanuméricos y otros adicionales A R G E N = T I N A 01000001 01010010 01000111 01000101 01001110 = 01010100 01001001 01001110 01000001 41 52 47 45 4E 54 49 4E 41 H 66 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2014 5. Señales analógicas y digitales Tipos de codificación: Ejemplo en IRAF Rfit Dada una imagen digital (matriz), esta tarea permite convertir el formato en que se encuentra almacenados los valores Opciones de salida (parámetro datatype) s: u: l: r: d: short integer unsigned integer long integer real double Imagen digital 67 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Teorema de Nyquist-Shannon de muestreo de señales “Si una función f(t) no contiene frecuencias mayores a B, ella se halla completamente determinada por sus valores tomados con una separación ∆t menor que 1/(2B)” F S(f) B http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_de_muestreo ∆t ≤ 1/2B 68 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Teorema de Nyquist-Shannon: Demostración gráfica Y Producto Convolución X ⊗ ωS = 2π/TS Y Y 69 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Teorema de Nyquist-Shannon de muestreo de señales Ejemplo: Aplicación a un pulso gaussiano Dado que la transformada de un pulso gaussiano posee una dispersión Σ = (2πσ)−1, se puede considerar que ella es despreciable para frecuencias situadas más alla de 3Σ Resulta entonces que el paso de muestreo (p) debe ser: FWHM ≥ 2.25 p 70 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Teorema de Nyquist-Shannon de muestreo de señales Ejemplo: Aplicación a un pulso gaussiano (demostración) Par transformado e ←→ e −π u 2 πx 2 ( 2π σ ) 2 1 2π σ −(πu 2 )( F e ←→ e 2π σ 2π σ x2 − 2 2 2 2 1 F e 2σ ←→ e − 2π σ u 2π σ x2 u2 − 2 − 2 1 F e 2σ ←→ e 2 Σ 2π σ − Simplificando y utilizando −1 la variable Σ = ( 2π σ ) F 2 2 1 1 F e −πx ←→ e −πu 2π σ 2π σ Se multiplica la funcíón −1 por ( 2π σ ) y se aplica linealidad Se multiplica la variable por ( 2π σ ) −1 y se aplica escaleado −π x 2 2π σ ) 2 71 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Teorema de Nyquist-Shannon de muestreo de señales Ejemplo: Aplicación a un pulso gaussiano (demostración) uC = 3 Σ Considerando que la frecuencia de corte es: Entonces, el muestreo del pulso gaussiano se debe hacer con un período (espacial) Dado que para una gaussiana se verifica la siguiente relación entre σ y su FWHM p≤ FWHM = 2 2 ln 2 σ = 2.355 σ p≤ El período del muestre resulta ser: O equivalentemente: 1 1 πσ = = 2uC 6Σ 3 FWHM π 2 2 ln 2 3 FWHM ≥ 2.25 p 72 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2013 5. Señales analógicas y digitales Teorema de Nyquist-Shannon de muestreo de señales Ejemplo: Aplicación a una imagen estelar El perfil de una imagen estelar es una PSF con un FWHM asociado Considerando el caso de la gaussiana como una primer aprocimación a una PSF, entonces para hacer un muestreo adecuado, debe ser: FWHM ~ 2-3 pixeles Imagen submuestreada Imagen muestreada correctamente Imagen sobremuestreada 73 Astronomía Observacional: Señales G.L. Baume - 2016 Señales 1. Definiciones Básicas 2. Relación Señal a Ruido 3. Transformada de Fourier 4. Sistemas LSI 5. Señales analógicas y digitales 74