Cálculo: Polinomio de Taylor

Cálculo: Polinomio de Taylor
Antonio Garvı́n
Curso 04/05
1
El polinomio de Taylor
Nos detendremos especialmente en el teorema de Taylor, justificando la
introducción del polinomio de Taylor como la mejor aproximación lineal,
cuadrática, y en general polinómica de una función en un punto. Haremos ver qué consecuencias teóricas y prácticas tiene el teorema de Taylor.
Como ejemplo de las consecuencias teóricas deduciremos el criterio sobre
máximos y mı́nimos, y desde un punto de vista más práctico aproximaremos el valor de algunas funciones acotando el error cometido. Enunciaremos
las propiedades más importantes sobre los polinomios de Taylor y propondremos y calcularemos los polinomios de Taylor de las funciones usuales.
Si f es derivable en a se tiene
f (x) − (f (a) + f 0 (a)(x − a))
=0
x→a
x−a
lim
en particular lim f (x) − (f (a) + f 0 (a)(x − a)) = 0
x→a
Ası́ pues si x ' a entonces f (x) ' f (a) + f 0 (a)(x − a)
1.1
Ejemplo:
f (x) = ex , f 0 (x) = ex . Tomemos el punto a = 0.
f (0) = f 0 (0) = e0 = 1
x'0
f (x) ' f (0) + f 0 (0)(x − 0)
ex ' 1 + 1(x − 0) = 1 + x
Si tomamos por ejemplo x = 0.01
e0.01 ' 1 + 0.01 = 1.01
1
Fijémonos que en realidad estamos aproximando una función f por un
polinomio de grado 1, p(x) = b0 + b1 (x − a)(= a0 + a1 x si lo queremos
expresar en la forma habitual que es centrado en 0 en lugar de a, donde
a0 = f (a) − f 0 (a)a y a1 = f 0 (a)x). Este polinomio p viene caracterizado por
la siguiente propiedad: p tiene grado 1, p coincide con el valor de f en a, y
la derivada de p, p0 , coincide con el valor de la derivada de f ,f 0 , en a.
p(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a)
p0 (x) = f 0 (a)
p0 (a) = f 0 (a)
p(a) = f (a)
Evidentemente si f es derivable dos veces y f 00 (a) 6= 0 la segunda derivada
de p no puede coincidir con la de f en a ya que al ser p de grado 1, todas
sus derivadas son nulas a partir de 2
p00 (x) = 0 = p000 (x) = · · · = p(i) (x) i ≥ 2
Podrı́amos sin embargo pensar en aproximar f por un polinomio de grado
2, en lugar de hacerlo con uno de grado 1. Es esperable que la aproximación
sea mejor si le pedimos que se ” parezca más ” a f exigiendo además que
p00 (a) = f 00 (a).
¿Cómo debe ser este polinomio? Será de la forma p(x) = a0 + a1 x + a2 x2
para ciertos coeficientes ai ∈ R y deberá cumplir que p(a) = f (a), p0 (a) =
f 0 (a) y p00 (a) = f 00 (a). Por facilidad para el cálculo de los coeficientes lo
expresamos centrado en el punto a, esto es, en la forma p(x) = b0 + b1 (x −
a) + b2 (x − a)2 y buscamos determinar los coeficientes bi . Como se tiene que
p(x) = b0 + b1 (x − a) + b2 (x − a)2 ⇒ p(a) = b0
p0 (x) = b1 + 2b2 (x − a) ⇒ p0 (a) = b1
p00 (x) = 2b2 ⇒ p0 (a) = 2b2
para que se cumplan las condiciones sobre las primeras derivadas, los coeficientes deben ser
p(a) = f (a) ⇒ b0 = f (a)
p0 (a) = f 0 (a) ⇒ b1 = f 0 (a)
p00 (a) = f 00 (a) ⇒ b2 =
f 00 (a)
2
Por tanto el polinomio es
p(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
2
f 00 (a)
(x − a)2
2
Observemos que los polinomios de grado 0,1 y 2 que coinciden en a con f ,
con f y la derivada de f , y con f la derivada de f y la segunda derivada de
f , son respectivamente
p0 (x) = f (a),
p1 (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a)
p2 (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
1.2
f 00 (a)
(x − a)2
2
Ejemplo:
f (x) = log x, f 0 (x) = x1 , f 00 (x) = − x12 . Tomemos el punto a = 1. si x está
cerca de 1,
log x ' 0
log x ' 0 + (log)0 (1)(x − 1) = 0 + 1(x − 1) = x − 1
1
1
log x ' 0 + (x − 1) + (log)00 (1)(x − 1)2 = (x − 1) − (x − 1)2 =
2
2
1
1
1
3
1
= (x − 1) − (x2 − 2x + 1) = x − 1 − x2 + x − = − x2 + 2x −
2
2
2
2
2
Podemos pensar en aproximar por polinomios de grado mayor, 3, 4, o en
general de un grado cualquiera y es esperable que cuanto más se ”parezca”
a la función, mejoren sean las aproximaciones. Ası́ pues la pregunta que nos
hacemos es:
¿Cómo debe ser un polinomio de grado n para que coincidan en a sus
derivadas, con todas las derivadas de f hasta orden n?
Debe ser
p(a) = f (a)
p0 (a) = f 0 (a)
p00 (a) = f 00 (a)
..
.
p(n) (a) = f (n) (a)
Si expresamos centrado en a, el polinomio y sus derivadas son
p(x) = b0 + b1 (x − a) + b2 (x − a)2 + b3 (x − a)3 + · · · + bn (x − a)n
p0 (x) = b1 + 2b2 (x − a) + 3b3 (x − a)2 + · · · + nbn (x − a)n−1
3
p00 (x) = 2b2 + 3 · 2b3 (x − a) + · · · + n · (n − 1)bn (x − a)n−2
p000 (x) = 3 · 2b3 + · · · + n · (n − 1) · (n − 2)bn (x − a)n−3
..
.
p(n) (x) = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1bn
Evaluando en a
p(a) = b0
p0 (a) = b1
p00 (a) = 2b2
p000 (a) = 3 · 2b3
..
.
p(n) (a) = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1bn = n!bn
Igualando
b0 = f (a)
b1 = f 0 (a)
f 00 (a)
2
000
f (a)
b3 =
3!
..
.
b2 =
bn =
f (n) (a)
n!
El polinomio es
p(x) = f (a)+f 0 (a)(x−a)+
f 000 (a)
f (n) (a)
f 00 (a)
(x−a)2 +
(x−a)3 +· · ·+
(x−a)n
2
3!
n!
que podemos expresar como
n
X
f (i) (a)
i=0
i!
(x − a)i
siendo f (0) = f , f (1) = f 0 , f (2) = f 00 , f (3) = f 000 , etc.
4
1.3
Definición:
Al polinomio ası́ construido que coincide con f y todas sus derivadas hasta
el orden n en el punto x = a, se denomina polinomio de Taylor de orden n
de la función f en el punto a. Lo escribimos como Tn,f,a (x)
Tn,f,a (x) =
n
X
f (i) (a)
i=0
i!
(x−a)i = f (a)+f 0 (a)(x−a)+
f 00 (a)
f (n) (a)
(x−a)2 +· · ·+
(x−a)n
2
n!
La notación se puede simplificar si se entiende por el contexto quien es el
punto, la función y el orden y podremos escribir
Tn,f,a = Tn,f = Tn = T
1. Aproximar f (x) en el punto x = a
f (x) ' Tn,f,a (x)
2. ¿Qué error se comete al aproximar f ?
Rn,f,a (x) = f (x) − Tn,f,a (x)
Si una función es derivable se tiene que
−T1 (x)
z
}|
{
f (x) −f (a) − f 0 (a)(x − a)
=0
lim
x→a
x−a
o lo que es lo mismo
R1 (x)
z
}|
{
f (x) − T1 (x) x→a
−→ 0,
x−a
lim
x→a
R1 (x)
=0
x−a
Intuitivamente esto puede ser interpretado como que para valores de x muy
cercanos a a, el error R1 (x) es menor que la diferencia entre x y a, ya que
para que el lı́mite sea 0 apartir de un lugar el numerador debe ser menor
que el denominador. El siguiente resultado, que generaliza el hecho anterior,
nos dice que cuanto mayor sea el orden la aproximación será mejor.
5
1.4
Teorema:
Si f es n veces derivable ”cerca de a”(en un entorno de a) entonces,
lim
x→a
Rn,f,a (x)
=0
(x − a)n
Suponiendo solo un poco más podemos podemos incluso dar una estimación del resto
1.5
Teorema:
Si f es (n + 1) veces derivable cerca de a, entonces
1. (Lagrange)
Rn (x) =
f (n+1) (c)
(x − a)n+1
(n + 1)!
c entre x y a
2. (Cauchy)
Rn (x) =
f (n+1) (c)
(x − c)n (x − a) c entre x y a
n!
3. (Integral)
Z
Rn (x) =
1.6
a
x
f (n+1) (t)
(x − t)n dt
n!
(I) Consecuencia:
Si | f (n+1) |≤ K entre a y x, entonces
| Rn (x) |≤
1.7
K
| x − a |n+1
(n + 1)!
Ejemplo:
Calculemos cos 36o con error menor que 10−4 .
36o = π/5rad, consideramos cos x en el punto x = π/5
Tenemos
0 = a ≤ x = π/5 ≤ 1
f (x) = cos x f 0 (x) = − sen x f 00 (x) = − cos x
6
f 000 (x) = sen x
f (4) (x) = cos x f (5) (x) = − sen x f (6) (x) = − cos x
f (7) (x) = sen x · · ·
f (0) = 1 f 0 (0) = 0 f 00 (0) = −1 f 000 (0) = 0
f (4) (0) = 1 f (5) (0) = 0
T2n,cos x,0 (x) = f (0)+f 0 (0)(x−0)+
···
f 00 (0)
f 000 (0)
f (2n) (0)
(x−0)2 +
(x−0)3 +· · ·+
(x−0)2n
2
3!
(2n)!
−1 2 1 4
x2n
T2n,cos x,0 (x) = |{z}
1 +
x + x + · · · + (−1)n
4
(2n)!
| 2{z } |{z}
(n=0)
(n=1)
T2n,cos x,0 (x) = 1 −
(n=2)
x2n
x2 x4 x6 x8
+
−
+
− · · · + (−1)n
2
4!
6!
8!
(2n)!
f (π/5) ' T2n (π/5)
f (π/5) = T2n (π/5) + R2n (π/5)
| R2n (π/5) |=|
(cos x)2n+1 (c)
1
1
(π/5−0)2n+1 |≤
(π/5)2n+1 ≤
(2n + 1)!
(2n + 1)!
(2n + 1)!
¿
1
< 10−4 ?
(2n + 1)!
1
< 10−4 ⇐⇒ (2n + 1)! > 104
(2n + 1)!
Si n = 4, 9! > 8! = 40.320 > 104 .
n=4
cos π/5 = T8 (π/5) + ² con ² < 10−4
cos π/5 = 1 −
(π/5)2 (π/5)4 (π/5)6 (π/5)8
+
−
+
+²
2
4!
6!
8!
7
1.8
(II) Consecuencia:
Si f es (n + 1) veces derivable cerca de a y si
f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, y f (n) (a) 6= 0
Entonces:
1. Si n es par y f (n) (a) > 0 =⇒ a es un mı́nimo local.
2. Si n es par y f (n) (a) < 0 =⇒ a es un máximo local.
3. Si n es impar =⇒ a es un punto de inflexión.
1.9
Propiedades:
α, β ∈ R, f y g funciones.
(1) Tn (αf + βg) = αTn (f ) + βTn (g)
(2) Tn (f · g) = Tn (f ) · Tn (g)−{términos de orden > n}
(3) Tn (f /g) =
Tn (f )
”haciendo división larga hasta n”
Tn (g)
(4) Tn (f ◦ g) = Tn (f ) ◦ Tn (g)−{términos de orden > n}
(5) [Tn (f )]0 = Tn−1 (f 0 )
Z x
Z x
Tn (f )(t)dt = Tn+1 ( )f (t)dt
(6)
a
Z
a
(6)’
Z
Tn (f ) = Tn+1 ( f ) + K,
1.10
Algunos ejemplos:
K ∈ R.
Vamos a calcular los polinomios de Taylor de:
ex , sen x, cos x,
1
, − log(1 − x), log(1 − x), log(1 + x),
1−x
1
, arctag (x), senh (x), cosh(x)
1 + x2
ex
8
(en x = 0)
Inmediato
x2 x3
xn
+
+ ··· +
2!
3!
n!
Tn,ex ,0 (x) = 1 + x +
sen x
f (x) = sen x f 0 (x) = cos x f 00 (x) = − sen x
0
f iv
f viii
T2n+1, sen ,0 (x) = x −
1 0
fv
f 000 (x) = − cos x
−1
f vi
f ix
f vii
···
x3 x5 x7
x2n+1
+
−
+ · · · + (−1)n
3!
5!
7!
(2n + 1)!
cos x Ya lo hemos hecho. Veamoslo de otra forma.
[Tn (f )]0 = Tn−1 (f 0 )
T2n (cos(x)) = (T2n+1 ( sen (x))0 = (x −
=1−
1
1−x
x2 x4 x6
x2n
+
−
+ · · · + (−1)n
2
4!
6!
(2n)!
Tn (1) = 1,
Tn (
x3 x5
x2n+1 0
+
− · · · + (−1)n
) =
3!
5!
(2n + 1)!
Tn (1 − x) = 1 − x
1
Tn (1)
)=
” por división larga hasta n”
1−x
Tn (1 − x)
1
| 1−x
−(1 − x)
1 + x + x2 + · · · + xn |
x
−(x − x2 )
x2
−(x2 − x3 )
x3 · · · xn
−(xn − xn+1 )
9
xn+1
Tn,
1
,0
1−x
(x) = 1 + x + x2 + · · · + xn
1/(1 + x)
Se puede hacer por división larga. Hagamoslo de otra forma:
(−x)
R −→ R
x 7→ −x
(1/(1−x))
−→
7→
R
1/(1 − (−x)) =
|
1
1+x
↑
(
1
1
)=(
) ◦ (−x)
1+x
1−x
Tn (1/(1 + x)) = Tn (1/(1 − x)) ◦ Tn (−x) = Tn (1/(1 − x)(Tn (−x)) =
= Tn (1/(1 − x)(−x) = 1 + (−x) + (−x)2 + · · · + (−x)n =
= 1 + −x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn
− log(1 − x)
−1
1
(log(1 − x))0 =
, por tanto (− log(1 − x))0 =
1−x
1−x
Z
Z
1
Al ser Tn f = Tn+1 f + K, tomando f (x) =
1−x
Z
Tn+1 (− log(1 − x)) =
=x+
Z
Tn (1/(1 − x)) =
1 + x + x2 + · · · + xn =
x2 x3
xn+1
+
+ ···
+K
2
3
n+1
Como el término independiente del polinomio de Taylor de g en a es g(a),
se tiene que K = 0, de donde
Tn (− log(1 − x)) = x +
log(1 − x)
10
x2 x3
xn
+
+ ···
2
3
n
Tn (αf ) = αTn (f ), α ∈ R, f una función. Si tomamos α = −1 y
f = − log(1 − x), se tiene
Tn (log(1 − x)) = −x −
x2 x3
xn
−
− ··· −
2
3
n
log(1 + x)
(−x)
R −→ R
x 7→ −x
log(1−x)
−→
7→
R
log(1 − (−x)) = log(1 + x)
↑
|
Tn (log(1 + x)) = Tn (log(1 − x)) ◦ Tn (−x) = Tn (log(1 − x))(−x)
(−x)2 (−x)3
(−x)n
−
+ ··· + −
=
2
3
n
xn
x2 x3
+
+ · · · + (−1)n+1
=x−
2
3
n
Tn (log(1 + x)) = −(−x) −
1/(1 + x2 )
Se puede hacer como Composición,
(x2 )
R −→ R
x 7→ x2
1/(1+x)
−→
7→
1
,0
1+x2
1
1+x2
↑
|
o por ”División larga”
1
| 1 + x2
En cualquier caso se obtiene:
T2n,
R
(x) = 1 − x2 + x4 − x6 + x8 + · · · + (−1)n x2n
arctag (x) Integrando el resultado anterior, y salvo una constante C
se tiene:
T2n+1, arctag
x,0 (x)
+C =x−
x3 x5 x7 x9
x2n+1
+
−
+
+ · · · + (−1)n
3
5
7
9
2n + 1
Por ser arctag (0) = 0 =⇒ C = 0.
senh x y cosh x
11
ex − e−x
2
x
e + e−x
cosh x =
2
senh x =
Tex = 1 + x +
Te−x = 1 − x +
T2n+1, senh
x,0 (x)
x2 x3 x4
xn
+
+
+ ··· +
2!
3!
4!
n!
x2 x3 x4
xn
−
+
+ · · · + (−1)n
2!
3!
4!
n!
=x+
T2n,cosh x,0 (x) = 1 +
x3 x5
x2n+1
+
+ ··· +
3!
5!
(2n + 1)!
x2 x4
x2n
+
+ ··· +
2
4!
(2n)!
12