Problemas Matemáticas Básicas

Problemas Matemáticas Básicas
3. Combinatoria.
1. El número de variaciones de cierto número de objetos tomados de cinco
en cinco es igual al número de variaciones de los mismos objetos tomados
de cuatro en cuatro. ¿Cuál es el número de objetos?
2. Comprobar las siguientes igualdades:
a)
k
Vn−h
Vnk
=
.
h
Vnh
Vn−k
b)
k−1
Vnk = n Vn−1
.
c) (k − 1) Vnk−1 = n Vnk−1 − Vnk .
k−1
k
d ) Vnk − Vn−1
= k Vn−1
.
3. En el sorteo de la ONCE hay papeletas numeradas del 00000 al 99999.
¿Cuántas papeletas capicúas hay?
4. La razón del número de variaciones de n elementos tomados de tres en
tres dividido por el número de variaciones tomadas de cinco en cinco es
1/100. Hallar n.
5. Un jugador rellena una quiniela con tres triples y cuatro dobles. ¿Cuántas
apuestas está realizando?
6. El número de variaciones de n elementos tomados de cinco en cinco coincide con el número de variaciones de los mismos elementos tomados de
cuatro en cuatro. ¿Cuánto vale n?
7. ¿Cuántos números hay entre 3000 y 5000 que tengan todas las cifras distintas?
8. Hallar cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con
0, 2, 4, 6, 8. ¿Cuántos de ellos son múltiplos de cuatro?, ¿y de diez?
9. Hallar cuántos sı́mbolos pueden obtenerse en el alfabeto Morse con 1, 2,
3, 4 ó 5 signos.
10. Una persona posee diez chaquetas y seis pantalones distintos. ¿De cuántas
maneras distintas se puede vestir?
11. Demostrar las siguientes identidades:
a)
Vnn−k
Vnk
b)
Pn−1 = Pn − (n − 1) Pn−1 .
=
Pn−k
Pk .
c) Pn+1 − Pn = (Pn )2 /Pn+1 .
12. Resolver las siguientes ecuaciones:
a)
x! = 110 (x − 2)!
b)
12 x! + 5 (x + 1)! = (x + 2)!
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13. ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de isabel de modo que
no vayan dos consonantes ni dos vocales seguidas? ¿Cuántas empezarán
por vocal?
14. Hallar el número de palabras que pueden formarse con las letras de acarreare.
15. Permutaciones circulares: ¿De cuántas maneras se pueden colocar n piedras preciosas alrededor de un anillo circular?
16. Calcular el número de vértices y aristas de un tetraedro usando combinatoria.
17. Demostrar que la suma de todos los números de tres cifras distintas que
se pueden formar con las cifras 4, 5, 6 es 222 (4 + 5 + 6).
18. Hallar la suma de los números de cuatro cifras que se pueden formar con
las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6.
19. Con las cifras 1, 1, 2, 2, 3, ¿cuántos números de cinco cifras se pueden
formar? Si se ordenan en orden creciente, ¿que lugar ocupará el 21312?
20. Un estudiante posee cuatro libros de fı́sica y cinco de matemáticas. ¿De
cuántas formas puede colocarlos en una estanterı́a de modo que queden
juntos todos los de matemáticas y todos los de fı́sica? ¿Y si prefiere que
no estén juntos dos libros de matemáticas cualesquiera?
21. Demostrar las siguientes identidades:
a) nk = nk n−1
k−1 .
n
b) nk = n−k+1
k
k−1 .
n
c) n nk = k+1
+ k n+1
k+1 .
22. ¿Cuántas rectas determinan cinco puntos del plano, suponiendo que no
hay tres en lı́nea recta?
23. ¿Cuántos elementos tiene un conjunto si el número de sus combinaciones
ternarias es 4/7 del número de sus combinaciones cuaternarias?
24. Deducir el número de diagonales de un polı́gono convexo de n lados.
25. En una avanzadilla hay 18 soldados. ¿Cuántas guardias diferentes de tres
soldados se pueden formar? ¿En cuántas entrará el soldado a? ¿Y los
soldados a, b?
26. Cinco amigos disponen de un coche, pero sólo dos saben manejar. ¿De
cuántas maneras podrán colocarse? Considerar indistintos los tres asientos
traseros.
27. Dados n puntos en el espacio, entre los que no hay tres alineados ni cuatro
coplanarios, calcular el número de rectas, el número de triángulos y el
número de tetraedros que determinan.
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28. Se tienen una bolsa con capacidad para tres bolas, tres bolsas con capacidad para dos bolas y dos bolsas con capacidad para una bola. Si las bolsas
de igual capacidad son idénticas, hallar el número de maneras posibles de
distribuir 11 bolas en las bolsas.
29. Tres atletas pueden llegar, o bien de uno en uno, o dos juntos, o los tres
juntos a la meta de una competición. ¿De cuántas formas posibles pueden
llegar?
30. Resolver la siguiente ecuación: x2 + x−1
+ x−2
= 136.
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