26/10/2010 Análisis fenomenológico L. Rico J. L. Lupiáñez A. Marín M. C. Cañadas Departamento Didáctica de la Matemática Universidad de Granada ¿A qué se refiere la fenomenología? Los conceptos son las herramientas del pensamiento. aprendizaje también en matemáticas, matemáticas Al comienzo de cualquier aprendizaje, los estudiantes captan los objetos mentales cuando los utilizan en actividades con sentido. Los conceptos matemáticos surgen de los fenómenos. A lo largo de la Historia se han abstraído, organizado y estructurado grandes familias de fenómenos dando lugar a los conceptos. La reflexión fenomenológica trata de establecer los diversos significados de los conceptos matemáticos mostrando cuáles son los sentidos en que estos conceptos se manejan cuando abordan distintas tareas y cuestiones, es decir, en el tratamiento de diversas familias de fenómenos 1 26/10/2010 El modelo funcional centra el interés sobre los fenómenos del mundo real que llevan a un tratamiento matemático. La competencia matemática según el estudio PISA de la OCDE define de los escolares como “la la capacidad individual para identificar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundados, utilizar las matemáticas y comprometerse con ellas, y satisfacer las necesidades de la vida personal como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo” (OCDE, 2003, p. 24; OCDE, 2004, p. 3). Los estudios y evaluaciones internacionales destacan la idea de que el conocimiento y dominio de los conceptos matemáticos se muestra mediante su uso competente en diferentes situaciones y según distintas necesidades. Objeto de la Fenomenología La Fenomenología estudia los fenómenos. En nuestro ámbito, se trata la diversidad de sentidos o modos de referir que tienen los conceptos implicados en una estructura matemática, determinados mediante las familias de fenómenos de los que proceden. 2 26/10/2010 Análisis Fenomenológico La Fenomenología comienza por delimitar situaciones y contextos donde tienen uso determinados conceptos matemáticos, para establecer su funcionalidad. Esta funcionalidad se muestra cuando se establece el vínculo entre una subestructura y una familia de fenómenos. En un modelo funcional de matemáticas escolares, los fenómenos proporcionan sentido a los conceptos y estructuras. Fenómenos Contextos Situaciones Estructura conceptual funcionalidad Subestructuras Proporcionan sentido a El Análisis Fenomenológico da respuesta a: ¿Para qué se utiliza el tema? ¿A qué problemas da respuesta el tema? Contextos ¿Qué relaciones hay entre esos problemas y la EC del tema? Contextos-Subestructuras ¿En qué situaciones está presente mi tema? Situaciones 3 26/10/2010 Contextos y Situaciones CONTEXTOS Un contexto es un marco en el cual ciertos aspectos de la estructura conceptual atienden unas funciones, responden a unas determinadas necesidades como instrumentos de conocimiento. Para analizar los contextos, se subrayan los conceptos y estructuras que atienden a distintas necesidades. SITUACIONES Parte del mundo real del individuo en la cuál se sitúa una tarea. Una situación viene dada por una referencia al mundo (natural, cultural y social) en la cual se sitúan las tareas y cuestiones matemáticas que se proponen a los l estudiantes t di t y sobre b las l que se centra t su trabajo. t b j Situaciones: personales, educativas o laborales, públicas o científicas (Informe PISA) Las situaciones permiten establecer la localización de un problema y delimitar un campo de fenómenos de los que surge y en los que se ubica la situación problemática considerada. Contextos en los Números Naturales Contexto numérico 1: Contar Los contextos numéricos más sencillos son aquellos en los que el número se utiliza para contar; en este caso su utilidad consiste en asignar los términos de la secuencia numérica a los objetos de una colección, bien señalando cada objeto o marcando pautas y realizando espaciamientos temporales. Contexto numérico 2: Cardinal El número se utiliza como cardinal; utilizamos este sentido cuando queremos dar respuesta a la cuestión ¿cuántos hay? ante una colección discreta de objetos distintos. 4 26/10/2010 Problemas Educación Secundaria (contexto cardinal): • • • • … para obtener el número de objetos que hay en diversos agrupamientos y conviene sumar o multiplicar … p para determinar un cardinal de un conjunto j de objetos j para cuya p y construcción se requiere algún procedimiento combinatorio o algoritmo elemental, o bien se aplican fórmulas sumatorias o factoriales para agrupar (Estadística, Combinatoria). … para planificar (redes o de horarios) o transmitir información (criptografía) también se adecuan al manejo de cantidades discretas y estrategias de optimización. ¿Cuántos caminos verifican una condición? … para calcular una cantidad de objetos sabiendo la posición que ocupa lla cantidad id d en una secuencia i numérica. éi E ell caso de Es d los l problemas bl aplicados en los que intervienen progresiones de tipo aritmético o geométrico ligadas a fenómenos que crecen o decrecen de forma discreta y monótonamente. Contexto numérico 3: ¿Cuánto mide? Los contextos de medida permiten conocer la cantidad de unidades de alguna magnitud continua; en este caso el sentido de los números viene dado porque proporciona respuesta a la pregunta ¿cuánto mide? Problemas en Educación Secundaria: Obtener longitudes, superficies u otras magnitudes que contienen un número exacto de veces a la unidad o valores de magnitud en los que una divide necesariamente a la otra. Aplicaciones del Sistema de los Números Naturales en los campos de la Física, Química o Economía se encuentran dentro de estos contextos. 5 26/10/2010 Contexto numérico 4: ¿Qué lugar ocupa? Contextos ordinales en los que se quiere conocer la posición relativa de un elemento en un conjunto discreto y ordenado. Proporcionan respuesta a la pregunta ¿qué lugar ocupa? Problemas en Educación Secundaria: Los estudios sobre sucesiones numéricas, en particular las progresiones aritméticas y geométricas, incluyen este contexto ya que se refieren al estudio de conjuntos numéricos ordenados. Cualquier problema numérico para cuya resolución sea necesario establecer el tipo de orden natural se encuentra dentro de este contexto ya que responde a la misma cuestión de origen. Contexto numérico 5: ¿Cuál es el resultado? Los contextos operacionales son los más fecundos, en cualquiera de ellos hay que dar respuesta a la cuestión ¿cuál es el resultado? Problemas en Educación Secundaria: Referidos a acciones de agregar, separar, reiterar y repartir ya que expresan multitud de acciones sobre los objetos y transformaciones con ellos; también se pueden establecer relaciones de comparación e igualación. Una variante estructural dentro de los contextos operacionales, viene dada por la pregunta clave ¿cómo ó se expresa (un número) ú mediante determinadas operaciones? En este caso se trata de mostrar cuál es la estructura operatoria que tiene un número o que comparten varios números, es decir, de expresar uno o varios números como resultado de determinadas operaciones. 6 26/10/2010 Contexto numérico 6: ¿Cuál es su código? Contextos simbólicos en los que los números se utilizan para distinguir y denominar clases de fenómenos o elementos, confundidos f d d a veces con etiquetas; en cualquiera l d ellos de ll hay h que dar respuesta a la cuestión ¿cuál es el código? Problemas en Educación Secundaria: Número de teléfono, el número del autobús de línea, el DNI, o el significado de los códigos de barras. En cada caso el número que actúa como etiqueta adquiere un significado de acuerdo con ciertas reglas propias del sistema de codificación. Resumen de Contextos en los Números Naturales Fenómenos Problema al que responde Contexto numérico Contar lápices, contar electrones, contar camisetas Contar Contar Expresar el número de pendientes, expresar el número de farolas, expresar el número de estudiantes ¿Cuántos hay? Cardinal Medir mi altura, medir el peso atómico de un elemento en el laboratorio, medir el área de mi habitación ¿Cuánto mide? Medida Decir cuál es mi lugar en la cola de la carnicería, en qué posición llegué en la carrera de atletismo ¿Qué lugar ocupa? Ordinal Expresar la solución de una operación aritmética ¿Cuál es el resultado? Operacional Mi DNI, el código de barras de un cartón de leche ¿Cuál es el código? Simbólico 7 26/10/2010 Observaciones sobre los contextos ¿Qué diferencia a los contextos? Las diferencias entre los distintos contextos están t t numéricos éi tá basadas b d en argumentos t de d complejidad l jid d de d las l cuestiones planteadas y de las sub-estructuras numéricas asociadas. ¿Problemas en uno o varios contextos? Es posible que que en determinadas tareas y problemas matemáticos se propongan, simultánea o consecutivamente, cuestiones que afecten a más de uno de los contextos considerados. ¿¿Los contextos implican p orden de p prioridad? La delimitación de los distintos contextos es un paso importante en el Análisis Fenomenológico de un tópico, pero no impone un orden de prioridad o una separación en las posibles cuestiones a plantear. Tipos de Situaciones Situaciones Personales Relacionadas con las actividades diarias de los l alumnos. Se refieren a la forma en que un problema matemático afecta inmediatamente al individuo y al modo en que el individuo percibe el contexto del problema. Analizarlas en detalle en una Estructura conceptual requiere q una descripción p de las p prácticas cotidianas en las que los conceptos considerados se ven implicados, y que suele corresponder al empleo de los conceptos más básicos. 8 26/10/2010 Situaciones Educativas, Ocupacionales o Laborales Las encuentra el alumno en el centro escolar o en un entorno de trabajo. Se refieren al modo en que el centro escolar o el lugar de trabajo proponen al alumno una tarea que le impone una actividad matemática para encontrar su respuesta. Situaciones Públicas Se refieren a la comunidad local u otra más amplia, en la cual los estudiantes observan determinados aspectos de su entorno o situaciones que aparezcan en los medios de comunicación. Requieren que los alumnos activen su comprensión, conocimiento y habilidades matemáticas para evaluar l los aspectos t d de una situación it ió externa t con repercusiones importantes en la vida pública. 9 26/10/2010 Situaciones Científicas p p Son más abstractas y p pueden implicar la comprensión de un proceso tecnológico, una interpretación teórica o un problema específicamente matemático. Muchas las disciplinas científicas o técnicas, hacen cierto uso técnico específico, en ocasiones muy elaborado, de los conceptos y estructuras numéricas. Situaciones en los Números Naturales Números Naturales en Situaciones Personales La práctica de la secuencia numérica es el uso cotidiano básico más común y extendido. El conocimiento de los números pequeños y de sus relaciones aditivas es casi obligado en la mayor parte de las situaciones personales, actualmente. Su desconocimiento se denomina Analfabetismo Aritmético. 10 26/10/2010 Números Naturales en Situaciones Educativas, Ocupacionales o Laborales El mundo del trabajo incluye el conocimiento de horarios, retribuciones, manejo de cuentas corrientes, pagos y adquisiciones. La administración del tiempo, del dinero y la gestión de cantidades de determinados materiales forma parte de la práctica usual de la población adulta, en toda la gama de niveles laborales y sociales. En Secundaria, el conocimiento del sistema de los números p el dominio,, p para números medianos,, de la naturales implica relación de orden, de los algoritmos para la suma y resta, de los problemas aritméticos aditivos y multiplicativos, junto con ciertas destrezas básicas para el cálculo mental y la estimación. Números Naturales en Situaciones Públicas En el sistema de los números naturales supone que el ciudadano esté capacitado para: Interpretar, analizar y evaluar información numérica que se presente en los medios de comunicación o en las decisiones políticas. Dominar las operaciones básicas para seguir un argumento cuantitativo. Capacidad para hacer estimaciones y dominio de los distintos códigos que se emplean en la presentación de datos numéricos. Realizar cálculos mentales. 11 26/10/2010 Números Naturales en Situaciones Científicas Además de las capacidades ya señaladas resultan necesarios el dominio de la estructura multiplicativa de los naturales de la relación de divisibilidad, naturales, divisibilidad factorización de números, Teorema Fundamental de la Aritmética, notación científica y dominio de números grandes. Conceptos y técnicas numéricos más sofisticados de Estadística, de Teoría de Números o de Cálculo Numérico Se dominan los conjuntos numéricos cuando se utilizan las aplicaciones y usos científicos numéricos más avanzados junto con las estructuras matemáticas del Análisis y del Álgebra Listado de Situaciones Revisión de los usos del concepto según los cuatro tipos de situaciones, con especial consideración a las distintas situaciones científicas vinculadas con los campos técnicos y disciplinares para obtener un listado de situaciones en las que los conceptos y estructuras considerados se utilizan, destacando aquellos usos que tienen especial relevancia para la formación del estudiante de Secundaria. 12 26/10/2010 1. Cuenta ¿Cuántos cuadrados ves en la figura? 2. Para preparar un litro de Agua de azahar se maceran en frío 20 gramos de pétalos de flores en un litro de agua. El agua de azahar se toma a sorbitos y se pueden tomar hasta tres tazas pequeñas (100 cc por taza) al día ¿Cuántos gramos de pétalos serán necesarios para preparar las tomas de un día para cada una de las personas de tu clase? 3. Cuales de los siguientes números darías como aproximación a un carpintero que mide el ancho de una estantería? 13,286 13,285 13,2 13,28 13 13,28597 13,3 ¿Por qué? ¿Y si fuese el precio en millones de euros de una finca que debes dar a Hacienda para calcular un impuesto? ¿Y si fuese el número de caramelos que le han correspondido a cada niño en una fiesta? 4. Estima el número de granos de arroz que hay en 20 Kg. (Hay entre 70 y 80 granos de arroz en dos gramos) 5. Un tendero compra 15 cajas de leche con 10 botellas de litro cada una. Cada caja le sale a 5 euros. En el transporte se cae una caja y se rompen 5 botellas. Después vende la mercancía a 1 euro botella ¿Cuál es la ganancia que obtiene? 6. Particiones de un folio Un folio quedaría dividido por una recta en dos partes, por dos rectas en cuatro partes como máximo, y si son tres rectas ¿En cuantas partes quedaría dividido como máximo? ¿y con cuatro rectas? ¿y con cinco rectas? Halla el número mínimo de partes en que quedarían divididos los folios en cada caso. ¿Sabrías encontrar alguna forma que te permita calcular el número de partes que saldrían según el número de rectas? 13 26/10/2010 7. Úrsula y Marina viven en la misma casa y van al mismo colegio. Úrsula, cuando va sola, tarda 20 minutos de casa al colegio. Marina, a su paso tarda 30 minutos en el mismo recorrido ¿Cuánto tardará Úrsula en alcanzar a Marina si ésta ha salido hoy con 5 minutos de ventaja? 8. El cotilleo es muy dado a practicarse en los mercados. Por la mañana una persona cuenta una noticia. Si en el puesto hay cinco personas y cada una cuenta la misma noticia a cinco personas más cada 20 minutos ¿Cuánto tiempo transcurrirá hasta que sepan la noticia 3000 personas? 9. En una excursión por Italia viajan en el mismo autocar españoles, alemanes, franceses, italianos y japoneses; el guía comenta los monumentos que van pasando ante sus ojos en cinco idiomas. En sus intervenciones emplea 3 horas. Se ha observado que habla más tiempo en español que en italiano; al alemán y al francés les dedica el mismo tiempo y a los japoneses, que le dedica el máximo tiempo, les habla lo mismo que a españoles e italianos juntos ¿Podías dar una solución a cuánto tiempo le dedica a cada idioma? El servicio postal de Estados Unidos utiliza un número de serie de 11 cifras para cada giro cuyo dígito final es un número de control colocado para evitar errores. Así, si escribimos 3953988757 el mecanismo añade un 1 al final que es el resto obtenido al dividir el número anterior entre 9. a) ¿Qué dígito falta en el número de serie 2324252627? b) Si nos equivocamos y escribimos el 3955988757 ¿qué número añade? ¿Funciona el mecanismo de detección de errores aquí? c) Busca un número que se diferencie en dos cifras del anterior y tenga el mismo dígito de control d) Busca un número que se diferencie en dos cifras traspuestas del anterior y tenga el mismo dígito de control 14 26/10/2010 Un carpintero necesita cortar 9 estantes del mismo fondo de tablas de 240 cm de longitud. Los estantes miden 40cm, 180cm, 50cm, 40cm, 50cm, 160cm, 120cm, y 80 cm ¿Cuál es el mínimo número de tablas que necesita comprar? En un Instituto hay 100 alumnos de Ciencias que han elegido tres materias optativas. Biología 51, Ciencias de la Tierra 30, Geología 19. Un profesor debe dar clase a los 100 alumnos repartiéndolos en 5 grupos. ¿Cómo formarías estos grupos de forma que el reparto te parezca equitativo? Justifica los criterios del reparto. 15