CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Tarea 3: Propiedades de

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Tarea 3: Propiedades de la Integral
1. Demuestra que una función acotada f; es integrable sobre [a; b] si y sólo
si, para cada " > 0 existe una partición, P; con la propiedad de que
U (f; P )
L(f; P ) < ":
2. Prueba que si f es integrable en [a; b], entonces jf j es integrable en [a; b] y
Z
Z
b
f
b
jf j :
a
a
3. Demuestra lo siguiente:
a) Si f es integrable sobre [a; b] y f (x)
Rb
f 0:
a
0 para todo x de [a; b], entonces
b) Si f y g son integrables sobre [a; b] y f (x)
Rb
Rb
entonces a f
g:
a
g(x) para todo x 2 [a; b],
4. Prueba que si f es continua sobre [a; b], a < b, f (x)
y f (x0 ) 6= 0 para algún x0 2 [a; b], implica que
Z
0 para todo x 2 [a; b]
b
f > 0:
a
5. Demuestra que si f es integrable sobre [a; b], entonces para cualquier
número c
Z b
Z b+c
f (x)dx =
f (x c)dx
a
a+c
¿Qué signi…ca esto geométricamente?
6. Demuestra que si f está de…nida sobre [a; b], g es integrable sobre [a; b] y
f (x) = g(x) para todo x 2 [a; b], salvo para un número …nito de puntos
de este intervalo, entonces f es integrable sobre [a; b] y
Z
b
f=
a
Z
b
g:
a
7. Enuncia y demuestra:
a) El primer teorema fundamental del cálculo.
b) El segundo teorema fundamental del cálculo
c) El teorema del valor medio para integrales
1
8. Sea f integrable en [a; b] y G(x) =
[a; b].
Rx
a
f: Demuestra que G es continua en
9. Sea f = (F 0 g)g 0 una función continua en [a; b]. Demuestra que:
Z
Z
b
f=
a
b
(F 0 g)g 0 = F (g(b))
F (g(a)):
a
10. Calcula las siguientes integrales de…nidas:
R
R1
R1 x
a) 0 xsen(x2 )dx b) 0 ex senex dx c) 0 ee ex dx
R 3 dx
R2
R4
xdx
d) 1
e) 1 Ln(Lnx)
dx f) 2 p
xLnx
xLnx
2x2 + 3
11. Calcula las siguientes integrales usando el método de integración por
partes:
R
R
R2p
a) 0 xsenxdx b) 0 x2 senxdx c) 1 xLnxdx
R3
R2
R4
p
d) 1 xn Lnxdx e) 0 arctg xdx f) 0 sec3 xdx
12. Considera una partícula que se mueve en línea recta. Denotamos por
v(t) su velocidad en el instante t: Determina la distancia recorrida por la
partícula desde el tiempo t1 hasta el tiempo t2 :
a) v(t) = 32t 10; t1 = 0; t2 = 30:
p
b) v(t) = t 1 + t2 ; t1 = 10, t2 = 100:
13. Hallar las derivadas de cada una de las funciones siguientes:
R x3
a) F (x) = a sen3 tdt:
Rb
1
b) F (x) = x 1+t2 +sen
2 t dt:
Rx
1
c) F , donde F (x) = 1 1t dt:
14. Se dice que una función f es periódica, con periodo a, si f (x + a) = f (x)
para todo x.
a) Si f es periódica con período a e integrable sobre [0; a], demostrar que
Z
0
a
f=
Z
b+a
f para todo b:
b
b) Hallar una función f que no sea periódica, pero que lo sea f 0 :R (Hint:
x
Elegir una g periódica para la cual pueda asegurarse que f (x) = 0 g no
sea periódica).
c) Supóngase que f 0 es periódica con período a. Demostrar que f es
periódica si y sólo si f (a) = f (0):
2
15. Enuncia:
a) El principio de Galileo.
b) La ley de gravitación.
c) La segunda ley de Newton.
16. El peso de un cuerpo en la tierra está dado por la fórmula
P = mg
Explica qué signi…ca g y cómo se calcula a partir de la ley de gravitación.
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