Operaciones con números enteros

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Operaciones con números enteros
Suma
La suma es un concepto intuitivo. Si tengo dos cosas, consigo otras tres, las pongo juntas y cuento
de nuevo, veré que tengo cinco. No hay mucha dificultad en esto. Cuando se trata de cantidades
pequeñas lo hacemos incluso de cabeza. Con cantidades grandes nos basta con coger un papel y un
boli y echar la cuenta (aunque hay gente que puede hacer mentalmente operaciones de una longitud
increíble).
Obviamente, sumar dos enteros positivos es lo mismo que sumar dos números naturales. Pero
¿cómo se realiza la suma con números enteros, si uno de ellos es negativo, esos que tenían un signo
menos delante? Recuerda siempre que ese signo menos equivale a una "deuda". En realidad, si
sumanos un número negativo a otro positivo, es lo mismo que si hiciésemos una resta:
18 + (-4) = 14
18 - 4 = 14
Son la misma operación. De hecho, si dejamos el signo menos en su sitio correspondiente (en
nuestro caso, delante del 4), vemos que la suma de enteros también tiene la propiedad conmutativa
(cambiando el orden tenemos el mismo resultado):
(-4) + 18 = 14
Decir "tengo 18 euros y te debo 4, por lo que me quedo con 14" es lo mismo que decir "te debo 4
euros, tengo 18 aquí mismo, por lo que me quedo con 14" (siempre y cuando uno sea de esas
personas que pagan sus deudas.) Veamos otros ejemplos:
24 + (-11) = 13
(-32) + 14 = (-18) (debo 32, y pago sólo 14; ya sólo debo 18)
En resumen, viene a ser como si nos olvidásemos del signo menos, hiciésemos la resta y luego
colocásemos al resultado un signo menos en el caso de que el número negativo sea mayor que el
positivo.
¿Y qué pasa si sumamos dos números negativos? Bueno, deuda sobre deuda:
(-5) + (-23) = (-28)
Si uno debe 5 euros, y luego además debe 23, deberá en total la suma de sus deudas (es como si los
sumásemos como números naturales y luego plantáramos el signo menos).
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Resta
Acabamos de decir que sumar un número negativo a otro positivo es lo mismo que hacer una resta.
Pero ¿qué pasa si restamos un número negativo? O, puesto con cifras:
24 - (-12)
Parece raro, pero puede resolverse. Si leemos el signo menos como una deuda, el escribir dos signos
menos seguidos equivaldría más o menos a "debernos una deuda". Es decir, no soy yo el que tiene
la deuda, sino el otro el que me debe una deuda a mí. Con lo cual gano dinero.
Si no has entendido nada de lo anterior, imagina que la primera rayita del menos se coloca vertical
sobre la rayita del segundo signo menos, formando un signo mas.
En definitiva, si vemos dos signos menos seguidos, equivale a una suma:
24 - (-12) = 24 + 12 = 36
¿Y qué pasa si son muchos?
Quizás ahora mismo estarás pensando: "claro, si sólo son dos, es fácil. Así cualquiera. Pero ¿y si
tengo un montón de números enteros, unos positivos y otros negativos?". No te angusties,
impaciente lector. Verás que la cosa sigue siendo fácil.
Imagina la siguiente operación:
(-5) + 21 - (-3) + 8 + 11 + (-4) - 12 + (-11) - 1 + (-4) - (-20)
Si no te parece lo bastante grande, amplíala al gusto.
En primer lugar, vamos a convertir esos molestos signos menos seguidos de otros signos menos en
un único signo más, como hemos visto más arriba que puede hacerse:
(-5) + 21 - (-3) + 8 + 11 + (-4) - 12 + (-11) - 1 + (-4) - (-20)
(-5) + 21 +3 + 8 + 11 + (-4) - 12 + (-11) - 1 + (-4) +20
Y luego vamos a operar todos los positivos por un lado, y todos los negativos por otro, como si
hiciésemos dos cuentas separadas:
(-5) + 21 +3 + 8 + 11 + (-4) - 12 + (-11) - 1 + (-4) +20
21 +3 + 8 + 11 - 12 - 1 +20 = 50
(-5) + (-4) + (-11) + (-4) = (-24)
Y luego lo volvemos a juntar:
50 + (-24) = 26
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¿Ves cómo no era tanto? El primer lío de números que teníamos lo separamos en dos. Sumar una
lista de números naturales (o enteros positivos, que es lo mismo) no tiene ningún problema. Sumar
una lista de negativos tampoco, porque es como sumar positivos y luego colocar el signo menos. Y
sumar luego un positivo con un negativo es cuestión de coser y cantar, como ya habíamos visto. De
todas formas, con la práctica verás que puedes quitarte unos cuantos pasos intermedios.
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