Unidad 3. Gravitación universal - Departamento de Física y Química

4º ESO
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
1.- TEORÍA GEOCÉNTRICA: PTOLOMEO.
2.- TEORÍA HELIOCÉNTRICA: COPÉRNICO.
3.- LEYES DE KEPLER.
4.- GRAVITACIÓN UNIVERSAL: NEWTON.
5.- GRAVEDAD TERRESTRE.
6.- EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS CELESTES.
7.- SATÉLITES ARTIFICIALES.
1.-TEORÍA GEOCÉNTRICA: PTOLOMEO
El hombre, desde tiempos remotos ha estudiado el movimiento de los astros tomando
como referencia la Tierra, que según ellos permanecía inmóvil como apreciaban en sus
teorías dos grandes filósofos: Platón y Aristóteles que se basaban en lo siguiente:



La Tierra es esférica y permanece inmóvil.
Los planetas, la Luna y el Sol giran en torno a la Tierra en círculos perfectos.
Las estrellas permanecen fijas en el exterior del firmamento y a continuación no hay
nada.
A continuación comenzaron a surgir dificultades, ya que
diversos astrónomos observaban los astros de diferentes
formas. Y para defender las ideas de los movimientos
circulares, surgió un gran astrónomo, Hiparco (190-120 a.C.)
que aportó la idea de que los planetas giraban en un círculo
menor llamado epiciclo, y cuyo centro giraba con la esfera y
describía un círculo llamado deferente.
A partir de entonces surgieron más astrónomos como
Ptolomeo (siglo II d.C.) que creó un sistema geocéntrico,
llamado sistema de Ptolomeo que no era muy fiable porque
no coincidía el centro del deferente con el de la Tierra. Pero
aparte de esto dio como nombre de ecuante, a un punto
equidistante de la Tierra del centro total pero al lado
contrario.
Ptolomeo desarrolló su sistema geocéntrico y fue recopilado en
una traducción al árabe llamado Almagesto. Éste perduró a lo largo
de toda la Edad Media. Además de esta obra, también son
importantes las Tablas Toledanas, escritas por el toledano Azarquiel
y las Tablas Alfonsinas de Alfonso X El Sabio. Don Raimundo fue el
encargado de proteger las obras astronómicas durante un tiempo,
además de traducirlas a lengua latina. A partir de entonces, se
desarrollaron aparatos para situar de alguna manera los astros
nombrados por el sistema ptolemaico, como esferas celestes y
astrolabios planos y esféricos.
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2.- TEORIA HELIOCÉNTRICA: COPÉRNICO
Nicolás Copérnico (1472-1543), gran matemático y astrónomo polaco,
fue el encargado de dar a conocer una hipótesis que él creía que era posible.
Supuso que la posición y el movimiento de los planetas podría determinarse
más fácilmente si considerábamos como centro del Universo al Sol y no a
la Tierra como hasta entonces. Por tanto su hipótesis se basaba en que la
Tierra no permanecía inmóvil sino que giraba en torno al Sol y tardaba un
año en dar una vuelta completa, y que además de eso giraba sobre sí misma,
por ello sabemos que hay días y noches. Además de estas teorías que
supusieron una revolución, todavía tenía que basarse en que sus
movimientos describían órbitas circulares.
Esta nueva interpretación del Universo era contraria a lo
dictado por la Biblia y a las concepciones aristotélicas, por lo que
los contemporáneos a Copérnico lo utilizaron como un método
válido para el cálculo de posiciones planetarias, pero no como un
modelo descriptivo del Universo. El propio Copérnico se resistió a
publicar la obra en la que quedaban plasmadas sus ideas.
Finalmente, “De Revolutionibus Orbium Celestium” fue
publicado a título póstumo, en 1543.
Las aportaciones de Galileo desde el campo experimental, con ayuda de su anteojo
astronómico, dieron un espaldarazo a las ideas copernicanas.
1.3.- LEYES DE KEPLER
Tycho Brahe (1546-1601) realizó medidas precisas de las
distancias de los planetas al Sol, sobre todo de Marte. Estas mediciones
fueron utilizadas por su discípulo Johannes Kepler, quien, tras
numerosos cálculos estableció una serie de ideas que cambiarían el
curso de la Astronomía, son las denominadas:
LEYES DE KEPLER:

Primera ley
Los planetas describen órbitas elípticas, y uno de cuyos focos
está ocupado por el Sol.

Segunda ley
El radio vector, o vector de posición, que une el Sol con el
planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, la
velocidad areolar es constante.

Tercera ley
El cuadrado del período orbital de un planeta es proporcional al cubo de la distancia
media desde el Sol.
T2 / R3 = k
Donde K es una constante que tiene el mismo valor en todos los planetas
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3ª Ley de Kepler
T en años (a) y diás (d)
Radio ( millones de kilómetros)
Planeta Periodo (T)
Dist. (R) del
Sol
Mercurio
88 d
58
Venus
225 d
108
Tierra
1a
150
Marte
1,9 a
228
Júpiter
11,9 a
778
Saturno
29,5 a
1427
Urano
84 a
2870
Neptuno
164, 8 a
4497
A.1.- ¿Por qué la velocidad de un planeta es mayor en el perihelio (punto más próximo al
Sol) que en el afelio (punto más alejado)
A.2.- A la distancia media desde la Tierra al Sol se le denomina unidad astronómica
(1UA=1,5.1011 m). Si Saturno tarda 29,5 años en recorrer su órbita, determina la distancia
desde el Sol hasta Saturno, expresada en UA y en km.
A.3.- Argumenta a partir de las leyes de Kepler por qué la duración del año marciano es
mayor que la del año terrestre.
4.- GRAVITACIÓN UNIVERSAL: NEWTON
En 1665 Isaac Newton (1642-1727) tras terminar su doctorado en la
Universidad de Cambridge en Londres, decidió trasladarse a vivir en una
finca con su madre, donde se le ocurrió una gran idea; la de relacionar la
caída de un objeto, la manzana, en las proximidades de la Tierra con la
“caída” de la Luna sobre la Tierra.
Su teoría dice que la velocidad de caída de la manzana y la de la Luna debe ser
directamente proporcional a la fuerza de la gravedad terrestre, y a su vez, inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia entre dichos objetos y el centro de la Tierra. Newton
no quedó satisfecho porque algún resultado no era muy fiable ya que la distancia que había
entre la Tierra y la Luna se medía en radios terrestres.
En 1684, gracias a las leyes de Kepler pudo calcular la fuerza gravitatoria entre la
Tierra y la Luna:
M .m
FG T2 L
d
En la ecuación, MT y mL son las masas de la Tierra y de la Luna; d es la distancia
entre la Tierra y la Luna y G es la constante de gravitación = 6.67. 10-11 N m2 / kg2.
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Newton utilizó su fórmula para todos los cuerpos del Universo. También tuvo la
conclusión de que la distancia que interviene en la ley hay que medirla desde el centro de las
masas. Por tanto, la ley de gravitación universal es la siguiente:
M.m
FG 2
d
Dos cuerpos se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
Con la formidable intuición que tuvo Newton de hacer
extensibles a todos los cuerpos celestes los tres principios de la
dinámica y la ley de gravitación universal, a todos estos
descubrimientos se les da a conocer como la síntesis newtoniana.
La importancia de la existencia de la fuerza gravitatoria sirve
para “sostener” a los planetas, para que produzcan órbitas y no se
desperdiguen por el Universo.
Desde la existencia de la síntesis newtoniana no hay dos mundos como expresaba
Aristóteles. El primero, inmutable, perfecto y armónico situado en las esferas celestes, y el
otro cambiante e imperfecto, el terrestre. Con las ideas de Newton podemos explicar la
interacción del Sol con otros planetas.
A.4.- Calcula la fuerza con que se atraen dos masas de 100 kg y 1000 kg situadas a una
distancia de 20 m.
2
100 kg 1000 kg
mM
Nm
F  G 2  6,67 1011
2
d
kg
2
20 m
2
 1,67 108 N
Como se puede observar debido a la pequeñez de la constante de gravitación, la
fuerza de atracción es muy débil, prácticamente inapreciable.
A.5.- Calcula la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo de 50 kg situado en su superficie.
Datos: MTierra= 6 10 24 Kg ; RTierra = 6400 km
2
FG
mM
Nm
 6,67 1011
2
R2
kg
50 kg 6 1024 kg
(6,4 106 )2 m 2
 488,5 N
En este caso, y debido a que la masa de la Tierra es muy grande, la fuerza de
atracción es considerable. Observar que, en realidad, la ecuación que da el valor de la fuerza
de gravedad se puede escribir separando la masa del cuerpo de los datos propios del planeta
(en este caso la Tierra) de esta manera:
2

6 1024 kg
 M 
Nm
F  m  G 2   50 kg  6,67 1011

kg 2 (6,4 106 )2 m 2
 R 


  50 kg 9,8 m2  488,5 N

s

El término encerrado entre paréntesis, tiene un valor fijo e igual a 9,8 m/s2, que es el
valor de la aceleración de la gravedad o, también llamado, valor del campo gravitatorio.
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De aquí que la fuerza con que un cuerpo es atraído por la Tierra (u otro planeta),
llamada peso, puede escribirse de forma más sencilla: P = m g, donde g es el valor de la
aceleración de la gravedad:
g G
M
R2
A partir de esta ecuación podemos calcular el valor de g para cualquier cuerpo celeste
si conocemos sus datos. Por ejemplo para Marte:
R Marte= 3400 km
gMarte
MMarte = 6,5 10 23
M
Nm
 G 2  6,67 1011
R
kg 2
2
6,5 1023 kg
(3,4 106 )2 m
2
 3,5
m
s2
Unidades astronómicas de longitud:
Unidad Astronómica (UA):
Distancia media entre el Sol y la Tierra: 150. 106 km = 1,5. 1011 m
Año Luz (a.l.): Distancia recorrida por la luz durante un año:
1 a.l. = (3. 108. 365,25. 24. 3600) m
1 a.l. = 9,467. 1015 m
5.- GRAVEDAD TERRESTRE.
El peso de un cuerpo es la fuerza ejercida por la Tierra sobre él y se calcula con la
siguiente fórmula:
M .m
P  G T2
RT
Cuando los cuerpos caen hacia la Tierra experimentan un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado. La aceleración que provoca este movimiento se llama aceleración
de la gravedad y viene dado por el peso ejercido sobre la unidad de masa:
P  m.g
De la cual, al igualar los segundos miembros obtenemos:
gG
MT
R T2
La aceleración de la gravedad es directamente proporcional a la masa de la
Tierra e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el cuerpo y el
centro de la Tierra.
La gravedad es mayor en los polos ya que están más cerca del centro de gravedad, y
por tanto el ecuador está sometido a menor fuerza de gravedad. Este valor fue obtenido en
un lugar en el cuál la latitud era de 45º y al nivel del mar. g = 9,8065 m/s2
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La Tierra atrae a los cuerpos con una fuerza llamada peso. El peso se ejerce desde las
infinitas partículas que posee el cuerpo, pero se dice que el peso es la resultante de los pesos
de todas esas partículas y se aplica en el centro de masa o centro de gravedad del cuerpo.
La masa es constante y no varía aunque el cuerpo cambie de situación, de forma o
estado. Ésta se determina en la balanza tradicional o electrónica, y se mide en kg.
El peso es una fuerza y varía de un lugar a otro, se determina mediante el
instrumento que mide las fuerzas, el dinamómetro. Éste señala el peso aproximado
dependiendo de la gravedad; éste se expresa en newton (N).
Si el cuerpo está a una altura h sobre la superficie terrestre, resultaría
gG
MT
R T  h 2
A.6.- Calcula el valor de la aceleración de la gravedad sobre un satélite meteorológico
situado a una altura de 500 km sobre la superficie terrestre. mT = 6 . 1024 kg , RT = 6400 km
A.7.- Explica por qué un astronauta no tiene el mismo peso en la Tierra que en la Luna.
Calcula el peso en la Tierra de un astronauta que en la Luna pesa 114 N. gL= 1,62 m/s2.
6.- EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS CELESTES
La aceleración centrípeta (normal ) es una aceleración que aparece siempre que una
partícula realiza un movimiento curvilíneo, debido a un cambio en la dirección:
v2
ac 
R
El segundo principio de la dinámica dice que la aceleración que lleva una masa m
está producida por una fuerza directamente proporcional a ella:
m.v 2
Fc 
R
La fuerza centrípeta puede existir en muchas situaciones, como la tensión de la
cuerda, la fuerza de rozamiento y la fuerza gravitatoria.
El movimiento de los planetas alrededor del sol, que consideraremos circular, se
produce por la fuerza gravitatoria entre cada uno de los astros y el sol. Esta fuerza
cumple todos los requisitos propios de una fuerza centrípeta. Consiguientemente,
podemos asumir que: Fc  Fg
M .m
M
m.v 2
 G S2 ; v2  G S ;
R
R
R
Por lo que la velocidad con que gira un planeta será v  G
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MS
R
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Como la masa del Sol es 1,98.1030 Kg y la distancia de la Tierra al Sol 1,5.1011 m , se puede
demostrar que la Tierra tarda 365 días en dar una vuelta al Sol.
A.8.- Calcula la masa de la Tierra sabiendo que el periodo de la Luna es 28 días y la
distancia Tierra-Luna 380.000 km. G = 6.67. 10-11 N m2 / kg2.
M .m
M .m
m.v 2
2 R 2
 G T2 ;
m
 G T2 ;
R
R
R
R
2 2
2 3
M m
4 R
4 R
m 2
 G T2 ; M T 
 5,7.1024 Kg.
2
T R
R
GT
Fc  Fg ;
A.9.- Calcula la velocidad de rotación de la Tierra sobre sí misma.
La Tierra da una vuelta alrededor de su eje cada 24 horas que son 86400 s.

 2 rad

 7,27.105 rad / s.
t 86400s
A.10.- Comprueba que el satélite Meteosat, situado a una altura de 36.000 km, tiene la
misma velocidad angular que la Tierra. G = 6.67. 10-11 N m2 / kg2. MTierra= 6 10 24 Kg ;
RTierra = 6400 km
v  G.
MT
6.10 24
 6,67.10 11.
 3068 m / s.
RT  h
6,4.10 6  3,6.10 7
v  w.r;
w
v
;
Rh
w
3068
 7,245 rad / s
6
7
6,4.10  3,6.10
A.11.- ¿Qué velocidad deberá llevar un satélite para que orbite alrededor de la Tierra a 5000
km de la superficie. G = 6.67. 10-11 N m2 / kg2. MTierra= 6 10 24 Kg ; RTierra = 6400 km
v G
MT
6.1024
; v  6,67.1011.
;
R
6.4.106  5.106
v  5925m / s.
A.12.- El planeta Júpiter tiene un radio de 71056 Km y varios satélites, el más próximo al
planeta, Io, gira en una órbita de radio 419000 Km y con un periodo de 1 día, 18 horas y 28
min. Halla: a) La masa de Júpiter y la aceleración de la gravedad en su superficie. b) ¿Qué
pesaría allí un hombre de 70 Kg?. Dato: G = 6´67 . 10-11 Nm2/Kg2
Como los satélites giran alrededor de Júpiter ligados por la fuerza de atracción
gravitatoria que ejerce dicho planeta sobre ellos, vamos a aplicar las leyes de la gravitación
al caso de Io. La masa de Júpiter, debe ser tanto mayor cuanto menor sea el periodo en el
giro del satélite situado a dicha distancia, es decir , cuanto más rápido gire.
RJ = 71056 Km = 7,1 . 107 m ; Rs = 4´19 . 108 m
T = 1 día + 18 h + 28 min = 152880 s.
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Suponiendo la trayectoria perfectamente circular, la fuerza que actúa sobre Io, la de
atracción por parte de Júpiter, actuará como centrípeta por lo que podemos escribir:
Fgravitatoria = Fcentrípeta
De donde tenemos que la masa de Júpiter vendrá dada por:
Cuanto mayor sea la masa del planeta, más rápido debe girar el satélite.
La aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter vendrá dada por.
g T  24,6 m / s 2
Luego el peso de una persona de 70 kg, en la superficie de Júpiter será:
P = F = m. gJ = 70 x 24´6 = 1722 N
7.- SATÉLITES ARTIFICIALES
Todos sabemos que la Luna es un satélite de la Tierra.
Ahora, para ser más exactos, debemos decir que es su satélite
natural, porque, desde que el hombre comenzó la conquista del
espacio cósmico, la Tierra tiene otros satélites más, a los
cuales podemos llamar artificiales. Esta denominación no es
arbitraria ya que lleva implícita la idea de que se trata de algo
elaborado por la mano del hombre. Un satélite artificial es un
pequeño laboratorio con instrumental adecuado, puesto en el
espacio cósmico para recoger datos científicos acerca del
espacio externo a la atmósfera terrestre.
Una órbita geosíncrona es la órbita que describe un satélite alrededor de la Tierra
con el mismo período de rotación que la Tierra (es decir, con la misma velocidad angular
ω). Si además la órbita está sobre el Ecuador, y es una circunferencia, se denomina órbita
geoestacionaria.
Para calcular la altura de una órbita geoestacionaria, se utiliza la Segunda Ley de
Newton y la Ley de Gravitación Universal.
FG
m s .M T
r  R T 2
;
an 
v2
2
r  R T)   ω r  R T 
La fuerza que la Tierra ejerce sobre el satélite es la fuerza gravitatoria, donde M T es
la masa de la Tierra, ms es la masa del satélite, RT es el radio de la Tierra y G la constante
de gravitación universal.
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Como la velocidad angular es constante, la única aceleración que tiene el satélite es
la aceleración normal, paralela a la fuerza gravitatoria.
Aplicando la Segunda Ley de Newton,
m s .MT
F  ms .a n ;
G
Despejando r:
r3
r  R T 
2
 m s ω 2 r  R T 
G.M T
 RT
ω2
Ahora sustituyendo los siguientes valores
G = 6,67 10-11 N m2 kg-2 ; RT = 6,4 106 m;
MT = 6. 1024 kg ; ω = 7,29 10-5 rad s-1
Queda que el radio de la órbita geoestacionaria es 3,57.107 m
La gran ventaja que aportan es que se pueden considerar como puntos fijos en el
cielo, de manera que pueden encargarse de la transmisión de las comunicaciones entre dos
puntos, o del envío de imágenes periódicas de una zona para analizar su meteorología, como
enlace para telefonía móvil o para aplicaciones militares, entre otras muchas actividades.
A.13.- Un satélite geoestacionario está a 36000 km sobre la superficie de la Tierra. ¿Qué
periodo tiene otro situado a 3600 km de altura? Radio aproximado de la Tierra: 6400 km.
Suponemos que los dos satélites siguen órbitas circulares de radios:
R1 = 36.000 + 6400 = 42400 km ; R2 = 3600 + 6400 = 10.000 km.
Además el periodo del satélite geoestacionario es de 24 horas, para estar siempre sobre el
mismo punto de la Tierra Aplicando como antes la 3ª ley de Kepler
42.4003 10.0003

; T2  2,75 horas
242
T23
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ACTIVIDADES
1. Aplica la ley de la gravitación universal en cada uno de los casos que se plantean a
continuación, para calcular:
a) La fuerza con que se atraen dos masas de 3 toneladas separadas 10 cm.
b) La distancia entre dos masas de 4·107 kg y 7·106 kg que se atraen con una fuerza de 0,2
N.
c) La masa que, separada una distancia de 3 m de otra masa de 10000 kg, ejerce sobre ella
una fuerza de atracción de 0,004 N.
2. En un laboratorio de investigación están intentando determinar el valor de G, la constante
gravitatoria. Para eso, miden la fuerza que se ejercen dos masas de 5 kg a una distancia de 5
cm, y resulta ser de 0,7 μN. Calcula el valor de G a partir de esos datos y compáralo con el
valor real.
Sol. 7 . 10-11
3. Calcula, aplicando la ley de la gravitación universal, el peso de una masa de 15 kg en la
superficie de la Tierra y en la cima del Everest (8878 m de altura). Recuerda que la masa de
la Tierra es 5,97·1024 kg y que su radio medio es 6370 km. Sol: 147,2 N , 146,8 N
4.-. Sabemos que el peso de un cuerpo es variable, mientras que su masa es siempre la
misma. Calcula cuál sería el peso de un astronauta que, provisto de su equipo, tiene una
masa de 150 kg, en Marte.
MM = 6,42.1023 kg ; RM = 3400 km.
Sol: 555,64 N
5.-. Un planeta imaginario posee una masa igual a 0,85 veces la de la Tierra y un radio que
es la mitad del de nuestro planeta. ¿Cuánto valdría la aceleración de la gravedad en su
superficie? gT= 9,8 m/s2
;
Sol: 33,32 m/s2
6.-. Unos científicos están realizando experimentos en un globo aerostático. Al colocar una
pesa de 500 g en una balanza de precisión, observan que el peso es de 4,899 N. ¿A qué
altura se encuentra el globo? Sol: 5017,26 m ~ 5 km
7.- Júpiter describe su órbita a una distancia de 780 millones de kilómetros del Sol.
a) ¿Cuál es su velocidad orbital media?
b) ¿Cuántos años terrestres tarda Júpiter en completar su órbita?
8.- Los planetas se mueven más despacio en sus órbitas cuanto más lejos del Sol se
encuentran. Justifica este hecho teniendo en cuenta lo que has aprendido en esta unidad.
9.- Calcula el periodo del movimiento circular de la Tierra alrededor del Sol.
Msol = 1,98.1030 kg ; RT-Sol = 1,5.1011m. G = 6,67.10-11NKg2/m2
10.- Explica qué son los satélites artificiales, cómo se clasifican y para qué se usan.
11.- La velocidad orbital de los satélites no es la misma siempre, pues depende de varios
factores (o variables). Indica si los siguientes factores influyen o no en la velocidad del
satélite y, en caso afirmativo, cómo afecta a esta. No olvides justificar tu respuesta.
a) La masa del satélite. b) La masa de la Tierra. c) La altura a la que órbita. d) El peso del
satélite.
12.- Un satélite describe su órbita a 2500 km de altura sobre la superficie de la Tierra.
Calcula su velocidad orbital y su período.
a) ¿Cuántas vueltas dará a la Tierra en un día terrestre?
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b) ¿Se trata de un satélite geoestacionario?
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