3. Afinación del piano. Introducción al sistema temperado A la hora

3. AFINACIÓN DEL PIANO. INTRODUCCIÓN AL SISTEMA TEMPERADO
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3. Afinación del piano. Introducción al sistema temperado
A la hora de diseñar nuestro modelo de síntesis, es necesario conocer
los fundamentos del fenómeno físico armónico y sus efectos sobre la
afinación del piano moderno. La relación en frecuencia entre los intervalos
más importantes así como entre semitonos consecutivos es de capital
importancia en la construcción de modelos de síntesis, en los cuales a
menudo se generan tonos secundarios a partir de un conjunto de tonos
básicos. Por tanto es necesario describir, aunque someramente, la estructura
matemática del sistema musical occidental y su aplicación práctica en la
afinación del piano.
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3.1. Bases acústicas de la escala
En la Grecia antigua, los matemáticos sabían que las relaciones
interválicas más sencillas entre los sonidos corresponden con exactitud a
proporciones simples, expresadas en números enteros pequeños, entre las
longitudes de una cuerda vibrante. Si una cuerda pulsada que produce un
determinado sonido se acorta, por ejemplo, la mitad exacta de su longitud,
el sonido resultante es una octava más aguda que el original, suponiendo
que la tensión de la cuerda se mantiene constante. La misma cuerda
acortada sólo un tercio de su longitud, suena una quinta justa más aguda;
otras proporciones simples dan otros intervalos.
Los intervalos simples y las proporciones de longitud de la cuerda se
pueden comprobar con facilidad utilizando un monocordio, que en realidad
es una cuerda con un soporte fijo y el otro móvil, montado sobre una regla
apropiada. Si tomamos una cuerda de cualquier longitud (que supondremos
1 sin pérdida de generalidad) entre dos soportes fijos y la dividimos
mediante otro soporte situado entre ellos, podemos obtener las notas
representadas por la longitud
1
1
y 1 − , siendo n un número entero.
n
n
Figura 3.1. Monocordio para generar la serie armónica.
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Supongamos que la cuerda sin dividir, de longitud 1, suena como el
Do-2 a dos octavas por debajo del Do-4 central del piano. Comprobaremos
que las longitudes de los segmentos mostrados en el diagrama anterior
sonarán de la siguiente manera:
Figura 3.2. Generación de los cuatro primeros armónicos de la nota Do-2.
El proceso de división no se puede prolongar demasiado sin llegar a
longitudes de la cuerda tan pequeñas que resultarían impracticables. Sin
embargo, suponiendo que podamos medirlas exactamente, las longitudes
darían los siguientes sonidos:
Figura 3.3. Serie armónica de Do.
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1
n
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Estos sonidos forman la llamada serie armónica de Do. Los números
son los ordinales de los armónicos en la serie. El número de cada sonido, es
también el denominador de la fracción que representa la longitud del
segmento de la cuerda que produce el sonido. El asterisco indica aquellos
sonidos que según los patrones musicales están demasiado desafinados, por
razones que pronto aclararemos.
Todos los sistemas naturales vibrantes generan armónicos. En
condiciones normales, una cuerda vibrante, no produce sólo el sonido
fundamental, sino que a la vez suenan todos los armónicos juntos. Los
armónicos sobre la fundamental están presentes en el sonido, pero con una
intensidad mucho más débil que la fundamental; su fuerza relativa decrece
cuanto más alto es el número del armónico, y en la mayoría de los casos, no
son audibles en absoluto más allá del decimosexto armónico.
La intensidad relativa de los armónicos sobre una fundamental
contribuye a nuestra percepción del timbre y de la individualidad
instrumental; la distribución de estas intensidades relativas da como
resultado una forma de onda característica. Un sonido puro, es decir una
fundamental sin armónicos, tiene una sonoridad clara y pobre como un
zumbido.
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3.2. Proporciones interválicas
La serie de armónicos del ejemplo precedente consta de sonidos que
mantienen relaciones interválicas entre sí, pero estas relaciones permanecen
constantes sea cual sea la fundamental. Por ejemplo, los seis primeros
armónicos del Fa# bajo el Do-4 central son:
Figura 3.4. Primeros armónicos de Fa#.
Se puede comprobar con facilidad, experimentando con cuerdas de
diferente afinación, que la proporción de la longitud de la cuerda para
cualquier intervalo debe ser constante, suponiendo que la tensión y la
densidad de la cuerda permanezcan constantes.
En el plano frecuencial, podemos determinar que las frecuencias de
los sonidos de la escala corresponden logarítmicamente a números enteros.
Esto es bastante fácil de ver con la relación de octava. Si partimos de una
frecuencia f, su octava superior será 2f, la superior 2 2 f, la siguiente 2 3 f y
así sucesivamente. Estos coeficientes corresponden a los números de la
serie de armónicos.
Para el intervalo de octava más quinta justa, la relación en frecuencia
sería 1:3 es decir, 3f. El sonido a dos octavas por encima sería 2 2 ·3f y así
sucesivamente. El principio que se desprende es que cuando se suman
intervalos, sus proporciones en frecuencia se multiplican. Esto es
comparable a un procedimiento logarítmico en base 2.
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Esta propiedad sugiere que debería ser posible obtener sonidos que
no aparecen en la serie armónica de Do, y por tanto generar toda la escala
cromática en un ámbito dado. Por ejemplo, podríamos generar doce alturas
diferentes a partir del Do más grave del piano y afinar los sonidos con
quintas justas pitagóricas.
Figura 3.5. Serie de Quintas de Do.
Puesto que cada una de estas quintas tiene una relación de frecuencia
de
3
2
(lo que equivale a una longitud de cuerda de ), para sumar quintas
2
3
sucesivamente, tenemos que multiplicar la frecuencia más grave por
factores sucesivos de
3
. Los números del ejemplo son los multiplicadores
2
y el Do más grave es la frecuencia básica (que según el patrón internacional
de afinación es de 32.70 Hz). La serie de once quintas superpuestas
proporciona los doce sonidos de la escala cromática y acaba con el Mi#
agudo. Si afinamos las notas correspondientes en el piano con las
frecuencias indicadas, el resto es una cuestión sencilla, pues partiendo de
las notas afinadas basta añadir octavas hacia arriba o hacia abajo.
Por desgracia, este procedimiento da resultados muy poco
satisfactorios. Para ver el porqué, calculemos la frecuencia de la siguiente
quinta ascendente de la serie, el Si# agudo, que enarmónicamente
corresponde al Do más agudo del piano. Su frecuencia en relación con la
del Do más grave, a partir del procedimiento de las quintas sucesivas sería
12
⎛3⎞
⎜ ⎟ = 129,746 . Sin embargo, si consideramos que este Do está a siete
⎝2⎠
octavas sobre el Do más grave, su relación con la frecuencia inicial sería
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2 7 = 128 . Esto significa que el Si# obtenido afinando quintas ascendentes
desde el Do grave será algo más agudo que el Do obtenido afinando
octavas ascendentes. El cociente entre las dos alturas, expresada como la
proporción interválica 1.014 se llama coma pitagórica, que es algo más
pequeña que un cuarto de tono, pero fácilmente perceptible.
Una coma comparable no se podía haber evitado afinando los
sonidos mediante cuartas justas, como demuestra el ejemplo siguiente.
Figura 3.6. Serie de Cuartas de Do.
La proporción de la cuarta justa
4
multiplicada doce veces, da un
3
resultado algo menor que el de cinco octavas mediante un factor de 1.014,
12
4
al igual que en el caso precedente: ⎛⎜ ⎞⎟ = 31.569 2 5 = 32 y el Rebb final será
⎝3⎠
fastidiosamente más grave que el Do correspondiente.
Una pequeña investigación adicional bastará para descubrir que
ninguna de las proporciones que representan intervalos simples dará una
división de la octava libre de comas
Figura 3.7. Afinación por serie armónica y por quintas sucesivas.
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En el primer caso el Mi se obtiene como
1 de
5
27
la longitud inicial lo
que significa una frecuencia 5 veces mayor. En el segundo caso el Mi se
4
3
obtiene tomando quintas sucesivas lo que supone ⎛⎜ ⎞⎟ = 5.0625
⎝2⎠
El resultado práctico de cualquiera de estas afinaciones es que las
notas más agudas en la superposición de intervalos repetidos están cada vez
más desafinadas. Las desigualdades derivadas de la multiplicación,
inherentes a las proporciones interválicas, se pueden comprobar en la
propia serie armónica.
La proporción de esta diferencia
81
, llamada coma sintónica, revela
80
un hecho sorprendente. En el caso de las otras comas, era evidente que
existía una diferencia de notación entre Si#, Rebb y Do, y podríamos haber
supuesto que estas diferencias de notación eran el resultado de las
diferencias naturales en el método empleado para generar las frecuencias.
En el caso de los dos Mi del ejemplo anterior, no existe esta diferencia de
notación, ambos son el mismo Mi.
Examinemos de nuevo la serie armónica. Una propiedad que
podemos advertir, es que los intervalos entre armónicos adyacentes se van
haciendo cada vez más pequeños (p.ej.
10
=1.1111 es más pequeño que
9
9
=1.125). Pero esto no es evidente en la notación. En el ejemplo, la
8
distancia entre Do y Re es una segunda mayor, al igual que entre Re y Mi.
Así existe una desigualdad entre la serie armónica que podemos
generar y la notación musical que hemos elegido para representarla. En
otras palabras, nuestro sistema familiar de notación no puede representar en
detalle las notas de la serie armónica, o al menos no todas las notas.
Sabemos que la notación musical que utilizamos, aunque complicada e
incómoda de aprender, es adecuada para representar la música de nuestra
experiencia habitual, y quizás resulte algo alarmante descubrir que está en
desacuerdo con la realidad acústica
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3.3. El sistema temperado
La respuesta a esta evidente contradicción la proporciona el
temperamento igual, inventado a principios del siglo XVII, pero que no
gozó de amplia difusión hasta la época de J.S.Bach (que contribuyó en gran
medida a popularizarlo). En el temperamento igual, la octava se divide en
doce intervalos de semitono exactamente iguales, lo que significa que cada
semitono de la octava, allí donde esté situado, está representado por una
proporción constante, a saber 12 2 = 1.05926 . La segunda mayor temperada
2
3
viene representada por 2 12 y la tercera menor 2 12 y así sucesivamente a lo
largo de toda la escala cromática, de modo que la octava viene representada
12
por 2 12 =2.
El factor 12 2 es un número irracional y no puede expresarse como
fracción de dos enteros, por tanto, el semitono temperado no puede ser el
intervalo exacto entre ningún par de sonidos de la serie armónica (aunque
un valor muy aproximado es
18
)
17
Lo que esto significa es que de todos los intervalos de la escala
cromática temperada, sólo las octavas están afinadas con exactitud. Desde
el punto de vista de la afinación “ideal”, medida por la serie armónica, esto
es una desventaja general, desde el punto de vista de la interpretación y la
notación musical práctica, sin embargo, la ventaja es inmensa. Las comas
desaparecen y las diferencias de entonación entre los intervalos se dividen
por igual a lo largo de toda la escala y son demasiado pequeñas para ser
percibidas en la interpretación
En nuestro sistema de notación musical, su base diatónica permite un
subsistema den notas cromáticas con signos de sostenidos y bemoles, y que
el temperamento igual acomoda a la perfección esas notas cuando se
emplea la equivalencia enarmónica.
Un pequeño cálculo demuestra que la proporción de la quinta justa
7
temperada (siete semitonos) es 2 12 =1.498, ligeramente más pequeña que
1.5, la quinta pitagórica. La tercera mayor temperada es 1.2599, más
grande que la tercera mayor de la serie armónica 1.25. En definitiva, todos
los intervalos excepto la octava están imperceptiblemente desafinados.
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