El Teorema de la Aplicación Inversa

El Teorema de la Aplicación Inversa
Supongamos que Ω es un abierto de Rn y sea f : Ω ⊂ Rn → Rn . Se dice que f es localmente
biyectiva en un punto a ∈ Ω, si existe un entorno U de a tal que si f (U ) = V , la función f : U → V
es biyectiva. En tal caso, se llama inversa local de f en a a la función f −1 : V → U tal que
f −1 (f (x)) = x,
x ∈ U,
f (f −1 (y)) = y,
y ∈ V.
y
La función f se dice que es localmente biyectiva en Ω si es localmente biyectiva en cada punto
de Ω.
Nota. Que una función sea localmente biyectiva en un abierto Ω no quiere decir ni mucho menos
que sea globalmente biyectiva como se desprende del siguiente:
Ejemplo. Supongamos que Ω = {(x, y) ∈ R2 : x > 0} y sea la función (x, y) ∈ Ω → f (x, y) =
(u, v), donde u = x cos y y v = x sin y. La recta x = x0 , con x0 fijo, x0 > 0 se transforma en
la circunferencia u2 + v 2 = x20 . El segmento sobre esta recta de extremos los puntos (x0 , y0 ) y
(x0 , y0 + 2π) también se transforma en la circunferencia u2 + v 2 = x20 . Si (x0 , y0 ) ∈ Ω y ε ∈ (x0 , π),
la restricción de f al disco D((x0 , y0 ), ε) es inyectiva. Por tanto, la función es localmente biyectiva
en cualquier punto de Ω. Pero es claro que no es globalmente biyectiva pues f (x, y) = f (x, y +2π).
1
1. Teorema de la aplicación inversa
Teorema 1.1. (Teorema de la aplicación inversa) Sean f : U ⊂ Rn → Rn , U un abierto,
y a ∈ U . Si f es de clase C 1 en U y det[Jf (a)] 6= 0, entonces f admite inversa local en a. En
concreto, existen sendos entornos Ua de a y Vb de b = f (a), respectivamente, tales que f : Ua → Vb
es biyectiva. Además se verifica:
(i) La inversa f −1 : Vb → Ua es de clase C 1 .
(ii) Para cualquier x ∈ Ua , si y = f (x), las matrices jacobianas cumplen con la identidad
[Jf −1 (y)] = [Jf (x)]−1 ,
y, equivalentemente,
df −1 (y) = (df (x))−1 .
Demostración: Ante todo observemos que los dos asertos siguientes son equivalentes:
(A) La función x 7→ y = f (x) admite inversa local en un entorno de a (hagamos g = f −1 ) con
g de clase C 1 , y tal que f (g(y)) = y para todo y en un entorno de b = f (a).
(B) La ecuación f (x) − y = 0 define implı́citamente a x como función de y, cerca de y = b y
x = a, y tal función y 7→ g(y) = x es de clase C 1 , y para y en un cierto entorno de b = f (a) se
satisface la igualdad
f (g(y)) − y = 0.
(1.1)
Por tanto, para probar el teorema bastará con verificar (B).
Pero esto es una consecuencia del teorema de la función implı́cita con los papeles de x e y
intercambiados. En efecto,
Pongamos
(y, x) → F (y; x) = f (x) − y,
con F de clase C 1 en Rn × U . Observemos que se tiene
F (b; a) = 0,
y
det[Jx F (b; a)] = det[Jx f (a)] = det[Jf (a)] 6= 0.
2
Se dan por tanto las condiciones del TFI y podemos asegurar que la ecuación F (y; x) = 0
define implı́citamente a x como función de y, esto es, existe un entorno Vb de b y una función
x = g(y) definida para y ∈ Vb , tal que se satisface la identidad en (1.1). Lo que no es otra cosa
que decir que g es la inversa local de f en a. Más detalladamente: Si ponemos Ua = f −1 (Vb ),
como f es continua en a, Ua es un entorno de a.
Para y ∈ Vb se tiene:
(f ◦ f −1 ) (y) = y,
f −1 es diferenciable en y,
f es diferenciable en x = f −1 (y),
Como la compuesta de diferenciables es diferenciable se tiene que
df (x) ◦ df −1 (y) = id,
o lo que es lo mismo,
df −1 (y) = [df (x)]−1 .
Esto se se transmite a los respectivos jacobianos
Jf −1 (y) = [Jf (x)]−1 .
2
3