Proporción inversa, potencias de exponente negativo y división por cero

MATERIALES
UNIDAD 4
• MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
• DIVISIÓN POR CERO
• POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO
1. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Definición
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si existe una relación entre ellas de tal forma que al
multiplicar cualquier cantidad de una de ellas por un número, el valor correspondiente de la otra queda
dividido por el mismo número.
Ejemplos
• En el reparto de 90 discos entre un grupo de personas, el número de personas y el número de discos que le
corresponde a cada una son inversamente proporcionales.
x3
x2
N.º personas
N.º discos
1
90
2
45
3
30
5
18
6
15
.
:2
:3
• En un viaje entre dos ciudades, la velocidad del vehículo y el tiempo que se tarda hacer el trayecto son
inversamente proporcionales.
x3
x2
Velocidad (km/h)
Tiempo (h)
30
12
60
6
90
4
120
3
150
2,4
.
:2
:3
• En la construcción de un muro por un grupo de albañiles, el número de albañiles y el número de horas que
tardan son inversamente proporcionales.
x3
1
x2
N.º albañiles
Tiempo (h)
1
6
2
3
3
2
4
1,5
5
1,2
.
:2
:3
Propiedad
El producto de las cantidades correspondientes (A y B) de dos magnitudes inversamente proporcionales es
constante (k).
Es decir A·B = k
También se puede expresar
Observa que la propiedad se cumple en los ejemplos anteriores
Ejemplo 1:
1 · 90 = 2 · 45 = 3 · 30 = 5 · 18 = 6 · 15 = . = 90 (producto constante)
Es decir: N.º personas · N.º discos = 90
O bien:
Ejemplo 2:
30 · 12 = 60 · 6 = 90 · 4 = 120 · 3 = 150 · 2,4 = .. = 360 (producto constante)
Es decir: Velocidad · Tiempo = 360
O bien:
Ejemplo 3:
1 · 6 = 2 · 3 = 3 · 2 = 4 · 1,5 = 5 · 1,2 = = 6 (producto constante)
Es decir: N.º albañiles · Tiempo = 6
O bien:
2. DIVISIÓN POR CERO
DIVISIÓN ENTRE DOS NÚMEROS a Y b DISTINTOS DE 0
2
Cuando planteamos la división a/b, buscamos otro número c que multiplicado por b nos dé como resultado:
15/3 15 3 15/3 = 5 porque 15 = 3 · 5
05
10/4 10 4 10/4 = 2,5 porque 10 = 4 · 2,5
20 2,5
0
2/3 20 3 2/3 = 0,66666 =
porque 2 = 3 ·
20 0,666..
20
.
En este caso al hacer la división siempre existe una solución
DIVISIÓN ENTRE 0 Y OTRO NÚMERO b DISTINTO DE 0
Cuando planteamos la división 0/b, buscamos otro número c que multiplicado por b nos dé como resultado 0:
0/3 0 3 0/3 = 0 porque 0 = 3 · 0
00
0/5 0 5 0/5 = 0 porque 0 = 3 · 0
00
0/67 0 67 0/67 = 0 porque 0 = 67 · 0
00
En este caso al hacer la división siempre existe una solución, y siempre es 0
DIVISIÓN ENTRE UN NÚMERO a DISTINTO DE 0 Y EL NÚMERO 0
Cuando planteamos la división a/0, buscamos otro número c que multiplicado por 0 nos dé como resultado:
3/0 3 0 Ningún número real multiplicado por 0 puede dar 3
0 ??
Al dividir 3 por números cada vez más pequeños observamos que:
División
3/1
3/0,1
3/0,01
3/0,001
3/0,0001
3/0,00001
3/0
3
Resultado 3
30
300
3000
30000
300 000
.
el resultado es cada vez mayor. Al final obtendríamos un número tan grande que no alcanzaríamos nunca; le
denominamos infinito y lo representamos con el signo ðð
En este caso al hacer la división no existe solución real y decimos que el resultado es ð
3. POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO
POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL (an)
El resultado se obtiene multiplicando la base a por sí misma, tantas veces como indica el exponente n.
n veces )
Es decir: an = a · a· .· a
Ejemplos:
• 23 = 2 · 2 · 2 = 8
• (−3)2 = (−3) · (−3) = 9
• (−3)3 = (−3) · (−3) · (−3) = −27
• (1/2)4 = (1/2) · (1/2) · (1/2) · (1/2) = 1/16
POTENCIAS DE EXPONENTE 0 (a0)
Como consecuencia de las propiedades de las potencias, el resultado es siempre 1
a0 = 1
Ejemplos:
• 20 = 1
• (−3)0 = 1
• (1/2)0 = 1
• 10000 = 1
• (−54326)0 = 1
POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO (a−n)
Como consecuencia de las propiedades de las potencias, se transforma en una potencia de exponente natural:
1
a−n =
an
Después se desarrolla el denominador y se opera.
Ejemplos:
4
• 2−1 = 1/21 = 1/2
• (−3)−2 = 1/(−3)2 = 1/[(−3) · (−3)] = 1/9
• 4−4 = 1/(4 · 4 · 4 · 4) = 1/256
• (−3)−3 = 1/[(−3) · (−3) · (−3)] = 1/(−27) = −1/27
• (−1)−5 = 1/[(−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1)] = 1/(−1) = −1
• (−2)−3 = 1/[(−2) · (−2) · (−2)] = 1/(−8) = −1/8
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