CÁLCULO MECÁNICO DE LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN

LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
CAPITULO 8
CÁLCULO MECÁNICO DE LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN
8.1. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA CATENARIA
Un cable flexible de peso uniformemente distribuido, sujeto entre dos apoyos por los
puntos A y B situados a la misma altura, forma una curva llamada catenaria. La
distancia “f” entre el punto más bajo situado en el centro de la curva y la recta AB,
que une los apoyos, recibe el nombre de flecha. Se llama vano a la distancia "a"
entre los dos puntos de apoyo o de amarre A y B.
Los postes o estructuras deberán soportar las tensiones TA y TB que ejerce el
conductor en los puntos de amarre. La tensión T = TA = TB dependerá de la longitud
del vano, del peso del conductor, de la temperatura y de las condiciones
atmosféricas.
123
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Condición de equilibrio del arco de catenaria OQ
Sea: L = Longitud del arco de la catenaria OQ
T = Tensión mecánica en el punto Q
H = Tensión mecánica en el punto inferior de la catenaria O
W = Peso del cable por unidad de longitud (incluye sobrecargas)
Se pueden escribir las siguientes ecuaciones de equilibrio para el arco de la
catenaria OQ
y
T
β
x
H
W.L
)
(
T cos   H  0  A
Tsen  WL  0  B
(
)
 Fx :
 Fy :
De las ecuaciones anteriores
124
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W.L dy

H
dx
W.L
dy 
dx  C
H
)
(
tg 
2
 dx 
H2
Por otro lado dL  dx 2  dy 2  dy 1     dy 1 
 dy
W 2L2
 dy 
dy 
L
L2 
int egrando
H2
L2 
H2
W2
L
dL
W2
y  C1  L2 
H2
W2
Si se considera un nuevo eje referencia O´x´ paralelo al Ox y a una distancia de este
H
igual a
h
W
Se cumple si L=0 entonces y 
H
 h de donde C1 = 0
W
125
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y  L2 
dy 
W
L
2
 L2  h2
igualando ( C ) y ( E )
dL  E
(
)
Por tanto
H2
2
L 
H2
W2
dy 
WL
dx 
H
dx  h
L
L2 
dL
L2  h2
dL
H2
W2
integrando
x  C 2  h ln L  h2  L2 


Cuando L=0 entonces x=0 de donde C2=h ln(h)
x  h ln( h  h ln L  h2  L2 


)
Por tanto
 L  h2  L2
x  h ln

h

x
 ln
h
 L  h2  L2


h

 L  h2  L2
x
e h 

h













x
h e h  L  h2  L2 ………(F)
Invirtiendo ecuación (F)
1
x
he h

1
L  h2  L2
Multiplicando numerador y denominador del segundo miembro por
126
h2  L2  L
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2
2
L h L
2
siendo una diferencia de cuadrados
h  L L
1
x
he h
he


x
h
h2  L2  L

h2  L2  L2
h2  L2  L
h2
 h2  L2  L  G
)
2
(
h
)
he
x
h2  L2  L
1

(
1
Sumando (F) y (G)
(
)
x 
 x
h e h  e h   2 h2  L2


x
h cosh   2 h2  L2
igualando con E
h
x
y  h cosh 
h
Ecuación cartesiana de la catenaria
La longitud de la catenaria se obtiene restando (F) – (G)
x
x

h e h  h e h  L  h 2  L2  h 2  L2  L  2 L
x 
 x
h e h  e h 

L 
2
x
L  h senh  Longitud de la catenaria
h
La tensión mecánica en un punto Q de la catenaria de coordenadas x, y se puede
obtener de las ecuaciones (A) y (B) elevando al cuadrado y sumando.
T2 cos2   T2sen2   H2  W 2L2
 H2

T2 cos 2   sen2  W 2  2  L2 
W





127
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
T2  W2 h2  L2
Sustituyendo la ecuación (E)

y 2  L2  h2
T2  W2 y 2
TWy
Como
x
y  h cosh 
h
H
x
x
T  W h cosh   W
cosh 
W
h
h
x
T  H cosh 
h
Tensión del cable en el punto Q
8.2. FÓRMULAS DE LA CATENARIA
a = Vano o claro en (m)
f = Flecha (m)
H = Tensión mecánica en el punto más bajo de la catenaria (kg)
T = Tensión mecánica en los puntos Q y Q´ (kg)
W = Peso del cable por metro (kg/m)
L = Longitud del arco de la catenaria Q-Q´ (m)
128
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Para el caso particular
a
2
y  f h
x
se tiene
W a 
a   H 

  1
f  h cosh
  1 
 cosh
2h   W 
2 H  

W a
H
 a 

L  2 h senh   2 senh
W
 2h 
 2H 
 a 
W a
  H cosh

T  H cosh
2h
 2H 
Como 2H>>Wa
entonces
W a
  1
cosh
 2H 
Entonces aproximadamente se considera T=H
8.3. FÓRMULAS PARA LA PARÁBOLA
La ecuación cartesiana de la catenaria es
x
y  h cosh 
h
Desarrollando el coseno hiperbólico en una serie infinita


x2
x4
y  h 1 

 
 2h 2 24h 4



Tomando los dos primeros términos no se comete error apreciable siempre que la
flecha sea menor al 10% del vano (lo que normalmente ocurre)
y h 
Como también
x2
2h
y  f h
ecuación de la parábola
entonces
129
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f
x2
2h
pero
x
W a2
f
8H
a
2
pero como
f
h
H
W
H≈T
W a2
8T
Ww S
Tt S
Si
w (kg/m-mm2)
T (kg/mm2)
S (mm2)
f
w a2
8t
Para vanos de hasta unos 500 metros la forma de la curva de la catenaria se puede
equiparar a la forma de una parábola, lo que permite ahorrar unos complejos cálculos
matemáticos, obteniendo, sin embargo, una exactitud más que suficiente.
Con la sustitución de la parábola en vez de la catenaria y para vanos menores a 400
m, que es muy corriente y con flechas menores del 3% del vano, el error que se
comete en la determinación de la flecha es del orden del 0,1%
La catenaria deberá emplearse necesariamente en vanos superiores a los 1000
metros de longitud, ya que cuanto mayor es el vano menor es la similitud entre la
catenaria y la parábola.
El valor de la tensión T, es la tensión de trabajo, que de ninguna manera debe
sobrepasar la tensión de rotura del cable (TR), pues de lo contrario este se rompería.
Entonces, puesto que el cable no debe trabajar nunca en condiciones próximas a la
de rotura, se deberá admitir un cierto coeficiente de seguridad (CS ) tal que
T
T R
Cs
El Reglamento de Líneas de Alta Tensión admite coeficientes de seguridad mínimos
130
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Ejemplo. Comparación entre la catenaria y la parábola
Con un cable ACSR Duck (605,000 MCM) calculamos las flechas para distintos
vanos con un coeficiente de seguridad de 4,5. El conductor Duck presenta una
tensión de rotura (TR) de 10.210 kg y un peso unitario (W) de 1,158 kg/m.
La flecha para la catenaria es:
f
W a   T 
W a 
H 
  1 
  1
 cosh
 cosh
W 
2 H   W 
2 T  
La flecha para la parábola es:
f
W a2
8T
Los valores que se sustituyen son :
kg
)
(
T
10210
T R 
 2268,89
CS
4,5
; W=1,158
(kg/m)
De esta manera se elabora la tabla siguiente en la que aparece la longitud del vano
en metros, la flecha para la catenaria y para la parábola en metros y la diferencia
entre los dos valores expresada en tanto por ciento.
VANO
CATENARIA
PARÁBOLA
%
100
0,63801
0,63798
0,0047
200
2,55246
2,55191
0,0216
400
10,21650
10,20763
0,0868
600
23,01208
22,96718
0,1951
800
40,97255
40,83054
0,3466
1000
64,14469
63,79772
0,5409
1200
92,58888
91,86871
0,7778
Como se puede verificar en la tabla, es suficiente aproximación el empleo de la
parábola, sobre todo para vanos inferiores a 1000 metros.
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Dada la flecha que se produce en un vano, la longitud del conductor no es igual a la
distancia entre los postes. Por lo tanto, para hallar el valor exacto del conductor
empleado, se obtendrá la expresión de la longitud del conductor en un vano, en
función de la distancia entre los postes, del peso del conductor y la tensión de
flechado.
 a 
 desarrollando el seno hiperbólico de una serie infinita
L  2 h senh
2 h
)
(
)
(
 a

a3
a5
L  2h 


 
 2h 3! 2h 3 5! 2h 5



Tomando en cuenta únicamente los dos primeros términos
 a
W 2 a3
a 3 
a3
a3
L  2h

a
a
a
2
 2h 48h3 
24h 2
24 H2
H


24 
W
L a
W 2 a3
24 T 2
o en función a la flecha
8 f2
L a
3a
Ejemplo
Hallar la longitud de un cable en un vano de 400 m que tiene una flecha de 10 m.
Aplicamos la fórmula que relaciona la longitud del conductor con el vano y con la
flecha:
m
)
8 f2
8 . 10 2
 400 
 400,67
3a
3 . 400
(
L a
Como se observa cómo el vano es prácticamente igual a la longitud del cable, pese a
que la flecha es relativamente grande.
132
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8.4. SOBRECARGAS
Para realizar el cálculo mecánico de un conductor es necesario conocer cuáles son
las fuerzas que actúan sobre el mismo. El primer dato que debe considerarse es el
propio peso del conductor, pero además existirán sobrecargas importantes debidas a
las inclemencias atmosféricas (hielo y/o viento).
8.4.1. Sobrecarga del viento.
Se puede decir que la fuerza ejercida por el viento sobre un cuerpo es directamente
proporcional al cuadrado de la velocidad del viento y a la superficie expuesta
WV  P . d  0,007 .K . v 2 . d
 kg 
 
m
Donde:
WV = Fuerza del viento (kg/m)
P = Presión del viento (kg/m2 de sección longitudinal del cable)
v = Velocidad del viento (km/h)
K = Factor de corrección.
d = diámetro del conductor (m)
Por ejemplo, para una superficie plana la constante K es igual a 1.
Si la superficie expuesta al viento tiene cierta forma aerodinámica, como puede ser
un conductor eléctrico de forma cilíndrica
K = 0,6 para cables cuyo diámetro sea igual o inferior a 16 mm
K = 0,5 para cables cuyo diámetro sea superior a 16 mm
El viento actúa de forma horizontal, mientras que el peso del conductor lo hace
verticalmente, por tanto se debe componer ambas fuerzas
W   W 2  Wv 2
133
(kg/m)
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La relación entre el peso aparente W´ y el peso del conductor (W) se denomina
coeficiente de sobrecarga (m)
m
W 
W
donde
m1
W  m W
8.4.2. Sobrecarga de hielo
El hielo que se puede formar alrededor del conductor hace aumentar
considerablemente el peso del mismo, por lo que se eleva la tensión, pudiendo llegar
a la rotura de los cables.
W H = Peso del manguito de hielo (kg/m)
W  W  WH
Peso aparente del cable
El peso del hielo se puede calcular de dos formas:
1°) Utilizando el reglamento español
Este reglamento clasifica las líneas de acuerdo a la altura de instalación
Zona A, entre 0 y 500 metros de altitud sobre el nivel del mar, no se considera
la formación de hielo
Zona B, entre 500 y 1000 metros sobre el nivel del mar
Zona C, más de 1000 metros sobre el nivel del mar
PESO DEL HIELO POR UNIDAD DE LONGITUD
ZONA
WH (kg/m)
d (mm)
A
0
B
0,18 d
C
0,36 d
134
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2°) Utilizando el criterio del espesor de hielo



WH   h  e d  e 
)


dh 2  d 2   h
d  2e 2  d 2
4
4
(
WH  h

 kg 
 m
Donde ρh = Peso específico del hielo (kg/m3)
e = Espesor del manguito de hielo (m)
d = Diámetro del cable (m)
8.4.3. Sobrecarga de viento y hielo
WV
W
W´
WH
W  WV 2  WH  W 2
Donde WV  P d  2e 
Ejemplo: Una línea de transmisión tiene un conductor ACSR N° 4/0. Tiene un vano
promedio de 210 m. Calcular la flecha para las condiciones de tensión máxima
(coeficiente de seguridad CS de 2,5) (Factor de seguridad del 40%); una velocidad
del viento de 75 km/h y un depósito de hielo de 5 mm de espesor.
De tablas
Cable ACSR N° 4/0 Penguin
Diámetro exterior 14,31 mm
Peso
432,5 kg/km = 0,4325 kg/m
Tensión de ruptura 3820 kg
Sección total
125,1 mm2
135
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kg / m
)
(
Peso del hielo
WH  h  e d  e   920,8 .  0,005 0,01431  0,005   0,2793
Fuerza del viento
kg / m
)
(
WV  0,007 v 2 0,6 d  2e   0,007 . 75 2. 0,6 0,01431  2 . 0,005   0,5743
Peso aparente
Peso especifico
W 0,4325
w

 0,003457
S
125,1
kg / m
)
(
W   WV 2  WH  W 2  0,5743 2  0,2793  0,4325 2  0,9146

kg



2
 m  mm 
Tensión de trabajo
T
3820
T R 
 3820 . 0,4  1528
CS
2,5
)
(
kg
Tensión de trabajo específico
T 1528
 kg 
t 
 12,21 

S 125 .1
 mm 2 
Coeficiente de sobrecarga
W  0,9146
m

 2,115
W 0,4325
w a2
0,003457 . 210 2
m
. 2,115  3,30
8t
8 .12,21
)
(
f
m
(
m
)
W a2
0,4325 . 210 2
m
. 2,115  3,30
8T
8 .1528
(
f
m
)
Calculo de la flecha
W  a 2 0,9146 . 210 2
f

 3,30
8T
8 .1528
8.5. ECUACIÓN DEL CAMBIO DE CONDICIONES
La temperatura influye sobre los conductores de las líneas, de forma que si aquella
disminuye, la longitud del conductor y la flecha también disminuyen, aumentando la
tensión T. Por el contrario a un aumento de la temperatura la flecha crece y
disminuye la tensión de los cables.
136
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Por otro lado los conductores están también sometidos a la acción de sobrecargas
de viento y nieve (hielo), que aumenta el peso aparente.
Por tanto, es preciso tomar en cuenta tanto las sobrecargas como los cambios de
temperatura, para que en todo momento los conductores trabajen en buenas
condiciones de seguridad.
Para plantear la ecuación de cambio de condiciones se usará la siguiente notación:
f = Flecha (m)
a = Vano (m)
L = Longitud del arco de parábola correspondiente al vano a (m)
t = Tensión específica en el punto más bajo del cable (kg/mm2)
w = Peso específico (kg/m-mm2)
α = Coeficiente de dilatación lineal del cable (1/°C)
E = Módulo de elasticidad del cable (kg/mm2)
Θ1 y Θ2 = Temperaturas (°C)
L1 y L2 = Longitudes del cable que corresponden a Θ1 y Θ2 (m)
t1 y t2 = Tensiones específicas correspondientes a Θ1 y Θ2 (kg/mm2)
El alargamiento o acortamiento (L2 – L1 ) del cable, correspondiente a una variación
de temperatura (θ2 – θ1) y a una tensión de (t2 – t1) tiene por expresión en función del
coeficiente α de dilatación lineal y suponiendo que la deformaciones son elásticas y
que se pueda aplicar la ley de Hook
t t
L 2  L1  L   2  1   L 2 1
E
Por otro lado
L2  a 
L1  a 
w 22 a3
24 t 2 2
w 12 a 3
24 t12
restando
L 2  L1 
a 3  w 2 2 w12 

24  t 2 2
t12 
igualando
t 2  t 1 a 3  w 2 2 w 12 
L   2  1   L


E
24  t 2 2
t 12 
Si se admite que en esta ecuación L difiere poco de a (lo que es evidente cuando f y
a son pequeños, dividimos el primer miembro entre L y el segundo entre a
t t
a 2  w 2 2 w 12 
  2  1   2 1 

E
24  t 2 2
t12 
137
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Si se considera a
W
w
mi   i  i 
W
w
Coeficiente de sobrecarga
w = Peso específico del conductor solo (kg/m-mm2)
wi = Peso específico del conductor y sobrecargas (kg/m-mm2)
Donde
SOBRECARGA
DE
Viento
Coeficiente de sobrecarga
m
w2  wv2
m
w
w  wH
m
w
Hielo
Viento y hielo
m
W 2  Wv 2
W
W  WH
m
W
w  w H 2  w v 2
w
m
W  WH 2  Wv 2
W
Ordenando respecto a t2

a 2 m12 w 2 E  a 2 m 2 2 w E
t 2 3  t 2 2  E  2  1   t 1 

2


24
24
t
1



a 2 m12 w 2 E  a 2 m 2 2 w E
t 2 2  t 2   E  2  1   t 1 

2


24
24
t
1


Que es una ecuación de tercer grado de la forma
Si K 1  t 1 
Entonces
x 2 x  A   B
a 2 m12 w 2 E
24 t12
t 2 2 t 2  K1   E  2  1  
a2 w 2 E
m2 2
24
Ecuación del cambio de estado o ecuación de Blondel
Con esta ecuación, para las distintas condiciones de temperatura y sobrecargas, se
pueden obtener valores t2 con los que se puede calcular las flechas a través de la
ecuación
a 2 w 2 a2 w
f2 

m2
8 t2
8 t2
138
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La ecuación de cambio de estado es válida para vanos nivelados, es decir, que los
dos apoyos están a la misma altura. Sin embargo, se consigue suficiente
aproximación hasta un 14% de desnivel, lo que es muy común en la mayor parte de
los casos prácticos. Para vanos muy desnivelados o muy grandes se aplican
fórmulas más complejas que requieren un estudio más especializado.
8.6. APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE CAMBIO DE CONDICIONES HIPÓTESIS DE CÁLCULO
El objetivo de la aplicación de la ecuación de cambio de condiciones, es la
determinación de las condiciones más desfavorables (la máxima tensión o la mayor
flecha), y para ello se plantean una serie de hipótesis, que vienen preestablecidas.
Esta hipótesis no están reglamentadas en Bolivia, sin embargo como referencia se
indicarán las establecidas por la norma española.
Se plantean tres hipótesis:
a) Hipótesis de viento (V): Peso propio del conductor (P), acción horizontal del
viento equivalente a 60 kg/m2 (120 km/h) (V) y temperatura de + 15°C
b) Hipótesis de temperatura: Peso propio del conductor (P) y temperatura no
inferior a + 50°C
c) Hipótesis de hielo (H): Peso propio del conductor (P), sobrecarga de hielo
(H) y temperatura de 0°C
ZONA A
HIPÓTESIS
PESO
TEMP.
TRACCION MAXIMA
P+V
-5 °C
P+V
+15 °C
P
+50 °C
T.D.C.
P
+15 °C
FLECHA MINIMA
P
-5 °C
FLECHA MAXIMA
139
LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
ZONA B
HIPÓTESIS
PESO
TEMP.
TRACCION MAXIMA
P+H
-15 °C
ADICIONAL
P+V
-10 °C
P+V
+15 °C
P+H
0
P
+50 °C
T.D.C.
P
+15 °C
FLECHA MINIMA
P
-15 °C
HIPOTESIS
PESO
TEMP.
TRACCION MAXIMA
P+H
-20 °C
ADICIONAL
P+V
-15 °C
P+V
+15 °C
P+H
0
P
+50 °C
T.D.C.
P
+15 °C
FLECHA MINIMA
P
-20 °C
FLECHA MAXIMA
ZONA C
FLECHA MAXIMA
Las hipótesis de flecha mínima y tensión de cada día (T.D.C.) no están
reglamentadas, pero dada su importancia se introducen en las tablas.
La TDC Tensión de Cada Día, es la tensión a la que el conductor está sometido la
mayor parte del tiempo y corresponde al peso del conductor sin sobrecargas y a una
temperatura de +15 ºC.
La ecuación del cambio de condiciones nos permitirá hallar cuál es la peor condición
a la que estará sometido un conductor en un vano, es decir, aquella situación en la
140
LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
que se acerque más a la rotura del conductor; ésta será la hipótesis más
desfavorable.
Para aplicar la ecuación del cambio de condiciones se necesita una serie de datos
básicos que quedarán definidos una vez determinado el conductor. La determinación
del conductor se hace en función de las características eléctricas de la línea, y casi
nunca por requerimientos mecánicos. Posteriormente se elige el vano, teniendo
encuenta que cuanto mayor sea el vano las flechas resultantes serán mayores y por
tanto también la altura de las estructuras que soportan la línea.
Las características del conductor que se necesita y que facilitan las tablas son:






Peso propio por unidad de longitud
Diámetro total
Sección total
Carga de rotura
Módulo de elasticidad.
Coeficiente de dilatación
Para obtener la hipótesis más desfavorable, se compara entre la hipótesis de
tracción máxima o la hipótesis adicional.
Como datos para la Hipótesis de tracción máxima se tienen el peso aparente, la
temperatura y la tensión máxima que puede soportar el cable (carga de rotura
dividida entre el coeficiente de seguridad adoptado).
Como datos de la Hipótesis adicional se tiene el peso aparente y la temperatura,
resultando la tensión t2 la incógnita que se obtiene de la ecuación de cambo de
condiciones.
La hipótesis que presenta una mayor tensión será la más desfavorable y con los
datos de esta hipótesis se calcula la constante K1 en la ecuación del cambio de
condiciones, y a partir de aquí se halla las tensiones correspondientes al resto de las
hipótesis
Una vez efectuadas todas estas operaciones se tendrá la tensión a la que está
sometido el conductor en cada una de las hipótesis que marca el reglamento, y por lo
tanto se hallará las flechas correspondientes, debiendo fijarse especialmente en la
flecha máxima que condiciona la altura de las estructuras.
Además con los datos de la hipótesis más desfavorable se calculará las tablas de
flechado del conductor que se estudiará más adelante.
141
LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
Ejemplo de cálculo mecánico
Hallar las flechas de cada una de las hipótesis aplicando la ecuación de cambio de
condiciones, de una línea de transmisión que tiene un cale ACSR N° 556,500 Eagle
(Águila). La línea está situada a 2500 m.s.n.m. y tiene un vano teórico de 280 m.
Coeficiente de seguridad 3
Los datos del conductor son:
Designación
Composición:
Sección aluminio
Sección conductor completo
Diámetro conductor completo
Peso total
Resistencia de rotura
Módulo de elasticidad
Coeficiente de dilatación
Eagle (Águila)
556,500 MCM
Al (30 x 3,46 mm) ; Ac (7 x 3,46 mm)
282 mm2
347,8 mm2
24,22 mm
1.243 kg/km
12.360 kg
E = 8.200 kg/mm²
α = 1,78 10-5 ºC-1
La línea corresponde a la zona C, por tanto las hipótesis a analizar serán:
HIPOTESIS
PESO
APARENTE
TEMP.
A
TRACCION MAXIMA
P+H
-20 °C
B
ADICIONAL
P+V
-15 °C
P+V
+15 °C
P+H
0
P
+50 °C
1
2
FLECHA MAXIMA
3
4
T.D.C.
P
+15 °C
5
FLECHA MINIMA
P
-20 °C
Inicialmente calculamos las sobrecargas de viento y hielo
kg / m
)
(
W   W 2  Wv 2  1.243 2  1,4648 2  1,9211
Sobrecarga de hielo
142
kg / m
)
(
WV  P . d  60,48 . 0,02422  1,4648
kg / mm 2
)
(
Sobrecarga del viento (v=120 km/h)
P  0,007 . v 2 . 0,6  0,007 . 120 2 . 0,6  60,48
LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
Donde
K 1  t1 
)
)
(
(
WH  0,36 d  0,36 24,22  1,7717 kg / m
W   W  WH  1,243  1,7717  3,0147 kg / m
La ecuación de cambio de condiciones es
a2 w2 E
t 2 2 t 2  K1   E  2  1  
m2 2
24
a 2 m12 w 2 E
El peso específico del cable será:
24 t12
w
W 1,243

 0,003574
S 347,8

kg



 m  mm 2 
A) Hipótesis de tracción máxima (P + H ; θ1 = -20 °C)
El coeficiente de sobrecarga será: m1 
W1 3,0147

kg


 0,008668 

2
S
347,8
 m  mm 
W1 3,0147

 2,42
W
1,243
(
T
12360
T1  R 
 4120
CS
3
La flecha será
T
4120
t1  1 
 11,84
S 347,8
f1 
 kg 


 mm2 
a 2 w 1 280 2 0,008668

 7,17
8 t1
8 . 11,84
(
La tensión será:
kg
m
)
w1 
)
El cable está sometido a un peso
kg / m
)
(
W1  3,0147
B) Hipótesis adicional (P + V ; θ2 = -15)
Peso aparente
w2 
kg / m
)
(
W2  1,9211
W2 1,9211

 0,005523
S
347,8
Coeficiente de sobrecarga
m2 

kg



2
 m  mm 
W2 1,9211

 1,54
W
1,243
143
LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
Calculando
24 . 11,84


t 2 2 t 2  2,45  1,78x 10-5 . 8200  15  20  
t 2  8,38
kg / mm 2
a 2 w 2 280 2 0,005523

 6,46
8 t2
8 . 8,38
(
f2 
La flecha para esta hipótesis será:
a2 w2 E
m2 2
24
280 2 0,003574 2 . 8200
. 1,54 2
24
(
resolviendo
 2,45 kg / mm 2
t 2 2 t 2  K1   E  2  1  
La ecuación de cambio de condiciones
t 2 2 t 2  3,18   812
2
)
280 2 2,42 2 0,003574 2 8200
m
)
24
t 12
 11,84 
(
a 2 m12 w 2 E
)
K 1  t1 
Como t1 > t2 entonces la hipótesis más desfavorable es la de Tracción Máxima
Una vez conocida la hipótesis más desfavorable, y haciendo uso de la constante K1
hallada anteriormente, se calcula el resto de las hipótesis marcadas en la tabla:
1.- Hipótesis de flecha máxima (P + V; θ = +15)
Tenemos los siguientes datos iniciales:
t1 = 11,84 (kg/mm2).; w1 = 0,008688 (kg/m-mm2) ; θ1 = - 20 ºC ; K1 = -2,45 (kg/mm2)
Los datos de la hipótesis de flecha máxima son:
θ2 = +15 ºC

t 2 2 t 2  K1   E  2  1  
a2 w2 E
m2 2
24
280 2 0,003574 2 . 8200
. 1,54 2
24

t 2 2 t 2  2,45  1,78x 10-5 . 8200 15  20  
t 2  7,37
La flecha para esta hipótesis será:
f2 
(
t 2 2 t 2  7,56   811 resolviendo
kg / mm2
a 2 w 2 280 2 0,005523

 7,34
8 t2
8 . 7,37
144
m
)
La ecuación de cambio de condiciones
; m2 =1,54
(
;
)
w2 =0,005523 (kg/m).
LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
2.- Hipótesis de flecha máxima (P + H ; θ = 0)
Tenemos los siguientes datos iniciales:
t1 = 11,84 (kg/mm2).; w1 = 0,008688 (kg/m-mm2) ; θ1 = - 20 ºC ; K1 = -2,45 (kg/mm2)
Los datos de la hipótesis de flecha máxima son:
w2 =0,008688 (kg/m).
;
θ2 = +0 ºC
; m2 =2,42
a2 w2 E
t 2 t 2  K1   E  2  1  
m2 2
24
2
La ecuación de cambio de condiciones
280 2 0,003574 2 . 8200
t 2 t 2  2,45  1,78x 10 . 8200 0  20  
. 2,42 2
24
t 2  11,,05
La flecha para esta hipótesis será:
f2 
kg / mm 2
a 2 w 2 280 2 0,008688

 7,70
8 t2
8 . 11,05
m
)
resolviendo
(
t 2 2 t 2  5,37   2004

)

-5
(
2
3.- Hipótesis de flecha máxima (P ; θ = +50 °C)
Tenemos los siguientes datos iniciales:
t1 = 11,84 (kg/mm2).; w1 = 0,008688 (kg/m-mm2) ; θ1 = - 20 ºC ; K1 = -2,45 (kg/mm2)
Los datos de la hipótesis de flecha máxima son:
w2 =0,003574 (kg/m).
;
θ2 = +50 ºC
La ecuación de cambio de condiciones
; m2 =1
a2 w2 E
t 2 t 2  K1   E  2  1  
m2 2
24
2
280 2 0,003574 2 . 8200 2
t 2 t 2  2,45  1,78x 10 . 8200 50  20  
.1
24
La flecha para esta hipótesis será:
t 2  4,,46
f2 
kg / mm 2
a 2 w 2 280 2 0,003574

 7,85
8 t2
8 . 4,46
145
m
)
resolviendo
(
t 22 t 2  12,67   342

)

-5
(
2
LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
Por lo tanto, la flecha máxima se tiene cuando el conductor esté sometido a la acción
de su propio peso y a una temperatura de 50 °C. Este dato servirá para calcular la
altura de los postes.
4.- Tensión de cada día (P ; θ = 15°C) TDC (no reglamentaria)
Tenemos los siguientes datos iniciales:
t1 = 11,84 (kg/mm2).; w1 = 0,008688 (kg/m-mm2) ; θ1 = - 20 ºC ; K1 = -2,45 (kg/mm2)
Los datos de la hipótesis de TDC:
θ2 = +15 ºC
; m2 =1
t 2 2 t 2  K1   E  2  1  
La ecuación de cambio de condiciones


t 2 2 t 2  2,45  1,78x 10-5 . 8200 15  20  
t 2  5,18
La flecha para esta hipótesis será:
kg / mm 2
a 2 w 2 280 2 0,003574
f2 

 6,76
8 t2
8 . 5,18
(
resolviendo
280 2 0,003574 2 . 8200 2
.1
24
(
t 2 2 t 2  7,56   342
a2 w2 E
m2 2
24
m
)
;
)
w2 =0,003574 (kg/m).
5.- Hipótesis de flecha mínima (P ; θ = -20°C) (no reglamentaria)
Tenemos los siguientes datos iniciales:
t1 = 11,84 (kg/mm2).; w1 = 0,008688 (kg/m-mm2) ; θ1 = - 20 ºC ; K1 = -2,45 (kg/mm2)
Los datos de la hipótesis de TDC:
w2 =0,003574 (kg/m).
;
θ2 = -20 ºC
La ecuación de cambio de condiciones

; m2 =1
t 2 2 t 2  K1   E  2  1  

t 2 2 t 2  2,45  1,78x 10-5 . 8200  20  20  
146
a2 w2 E
m2 2
24
280 2 0,003574 2 . 8200 2
.1
24
LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
f2 
a 2 w 2 280 2 0,003574

 5,59
8 t2
8 . 6,27
(
La flecha para esta hipótesis será:
kg / mm2
m
)
t 2  6,27
)
resolviendo
(
t 2 2 t 2  2,45   342
Resumen:
A
B
1
2
3
4
5
HIPÓTESIS
Tracción máxima
Adicional
Flecha máxima
Flecha máxima
Flecha Máxima
TDC
Flecha mínima
TENSIÓN
TENSION
Coeficiente
FLECHA
(kg/mm2)
11,84
8,38
7,37
11,05
4,46
5,18
6,27
(kg)
4118
2915
2563
3843
1551
1802
2181
sobrecarga
3
4,24
4,82
3,22
7,97
6,86
5,67
(m)
7,17
6,46
7,34
7,70
7,85
6,76
5,59
8.7. TENSIÓN DE CADA DÍA
Por la experiencia adquirida en la explotación de las líneas eléctricas se llegó a la
conclusión de que cuanto más elevada sea la tensión mecánica de un cable,
mayores son las probabilidades de que aparezca el fenómeno de las vibraciones. De
aquí se dedujo la conveniencia de mantener dicha tensión dentro de ciertos límites
para eludir en lo posible la presencia de tal fenómeno.
Se pretendía determinar cuál sería la tensión admisible para poder recomendar
valores con los que se esperaba no se produjeran averías por vibración, es decir,
roturas de los hilos componentes de los cables.
Se llegó al concepto de "tensión de cada día" (T.D.C.) que es la tensión a la que está
sometido el cable la mayor parte del tiempo correspondiente a la temperatura media
de 15 ºC sin que exista sobrecarga alguna.
El coeficiente T.D.C. (tensión de cada día) se expresa en tanto por ciento de la carga
de rotura, es decir:
T
C TCD  TDC x100
TR
%
Se admite que cuando el coeficiente es mayor del 18% se colocarán antivibradores.
147
LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
En la figura se representa un antivibrador Stockbridge constituido por dos mazas
enlazadas a través de un cabo de cable por cuyo centro se fija al conductor.
En el caso del ejemplo anterior la tensión de cada día es igual a 1802 (kg). El
coeficiente de la tensión de cada día es:
T
1802
C TCD  TDC x100 % 
x100  14,6% < 18% ; por tanto no es
TR
12360
necesario la colocación de antivibradores
8.8. TABLAS Y CURVAS DE FLECHADO
Como ya hemos visto, tomando como punto de partida la hipótesis más
desfavorable, obtenemos el resto de las hipótesis de flecha máxima, flecha mínima,
condición T. D. C., etc. No obstante, estos cálculos no serán suficiente, ya que a la
hora de montar la línea, las condiciones climatológicas no serán las de las citadas
hipótesis.
Se trata pues de establecer una serie de condiciones que sean normales a la hora
del montaje y que tendrán como condición extrema de referencia la hipótesis más
desfavorable.
Así, mediante la ecuación del cambio de condiciones, deberemos resolver una serie
de casos en los que supondremos que el viento y el manguito de hielo no existen,
teniendo como única variable las diversas temperaturas que se suponen normales en
la zona. Para cada valor de temperatura obtendremos una tensión, formando así lo
que llamaremos tabla de tendido para un determinado vano.
La siguiente tabla de tendido está construida para un cable ACSR Tagle 556,500
MCM y un vano de 280 metros. Se ha considerado un intervalo de temperaturas
comprendido entre -5 y 35 grados centígrados.
Para el cálculo se utilizó la ecuación de cambio de condiciones con:
t1 = 11,84 (kg/mm2).; w1 = 0,008688 (kg/m-mm2) ; θ1 = - 20 ºC ; K1 = -2,45 (kg/mm2)
148
LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
α = 1,78 x 10-5 (1/°C) ; E = 8200 (kg/mm2)
Y los datos para las distintas condiciones
w2 =0,003574 (kg/m).
;
θ2 = varia de -5 °C a +35 ºC
t 2 2 t 2  K1   E  2  1  
; m2 =1
a2 w2 E
m2 2
24
VANO 280 m
Θ2
(ºC)
Θ2 – Θ1
t 22 t 2  2,45   E  2  1  342
t
(kg/mm2)
( °C )
T
f
(kg)
(m)
-5
15
t 2 2 t 2  4,64   342
5,74
1996
6,10
0
20
t 2 2 t 2  5,37   342
5,59
1944
6,26
5
25
t 2 2 t 2  6,10   342
5,44
1892
6,44
10
30
t 2 2 t 2  6,83   342
5,31
1847
6,60
15
35
t 2 2 t 2  7,56   342
5,18
1802
6,76
20
40
t 2 2 t 2  8,29   342
5,06
1760
6,92
25
45
t 2 2 t 2  9,02   342
4,95
1722
7,07
30
50
t 2 2 t 2  9,75   342
4,84
1683
7,24
35
55
t 2 2 t 2  10,48   342
4,74
1649
7,39
De esta tabla podemos obtener lo que llamaremos curvas de tendido, es decir, la
variación de la tensión y la flecha con la temperatura:
Se observa como la tensión disminuye con la temperatura, mientras que la flecha
aumenta con la temperatura.
149
LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
8.9. VANO IDEAL DE REGULACIÓN.
Un tramo de línea está constituido por una serie de apoyos de alineación, limitadas
por dos estructuras de anclaje (o de tensión). Los vanos entre apoyos serán en
general distintos puesto que la configuración topográfica del terreno obliga a tal
situación.
Si el cálculo de las tensiones y flechas se hiciese de modo independiente para cada
uno de los vanos del tramo (para cada vano a), en función de las diferentes
longitudes de los vanos, habría que tensar de manera distinta en vanos contiguos,
pero como los cables cuelgan de cadenas de aisladores de suspensión, las
diferencias de tensión quedarían automáticamente anuladas por las inclinaciones
que en sentido longitudinal tomarían dichas cadenas, cuya posición correcta es
precisamente vertical y no inclinada.
Puesto que en un tramo de línea constituido por una serie de apoyos de alineación,
limitada por dos de anclaje, las cadenas de suspensión (verticales) no pueden
absorber las diferencias de tensado, debidas a las distintas longitudes de los vanos,
150
LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
se debe admitir que las tensiones de los cables, iguales en todos los vanos, varíen
como lo haría el de un vano teórico que se llama "Vano ideal de regulación".
Es necesario, por consiguiente, que las tablas regulación (de tendido o flechado) de
los distintos vanos tengan una misma tensión para cada valor de la temperatura,
siendo la variación de la flecha quien compense las diferencias de longitud de los
vanos.
El vano ideal de regulación aR puede calcularse mediante la fórmula siguiente:
n
aR 
 a13  a 2 3  a 3 3    a n 3

 a1  a 2  a 3    a n

 ak3

  k 1
n


 ak
k 1
si los apoyos están al mismo nivel
También se puede admitir de manera aproximada
aR  a 
2
a max  a
3


n
 ak
Donde
a  vano promedio  k 1
n
En la que a1, a2, a3, ... an son las diferentes longitudes de los vanos que forman un
determinado tramo de alineación comprendida entre dos estructuras de tensión.
8.10. TABLA DE REGULACIÓN DEL CABLE
Una vez determinado valor del vano ideal de regulación, se debe hallar su condición
reglamentaria más desfavorable y la tabla de tendido correspondiente. De esta
manera tendremos el punto de partida para determinar las características de los
vanos que integran esta serie.
Según la tabla de tendido, para cada temperatura le corresponde una tensión y una
flecha, por lo tanto para el vano de regulación aR le corresponde una flecha de
regulación fR cuyo valor resultará ser:
aR 2 . w
fR 
8 .t
151
LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
Como la tensión en la serie de vanos que integran la alineación es igual en todos
ellos, tendremos que la flecha "incógnita" para cada uno de los distintos vanos, será:
a 2. w
fi  i
8 .t
Dividiendo estas dos igualdades, resulta:
a
fi   i
 aR
2

 . fR

Ecuación que nos proporciona el valor de la flecha fi , de cada vano, en función de la
flecha de regulación fR , y de sus correspondientes vanos ai y aR, para una condición
determinada de temperatura, tensión y peso del conductor.
Ejemplo:
Tomado el ejemplo anterior, y asumiendo que el vano de regulación es de 280 m
θ (ºC)
t (kg/mm2)
T (kg)
f (m)
-5
5,74
1996
6,10
0
5,59
1944
6,26
5
5,44
1892
6,44
10
5,31
1847
6,60
15
5,18
1802
6,76
20
5,06
1760
6,92
25
4,95
1722
7,07
30
4,84
1683
7,24
35
4,74
1649
7,39
Se pueden calcular las flechas para distintos vanos utilizando la expresión anterior
2
2
 ai 
 ai 


fi  
 . fR   280  fR


 aR 
152
LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
TABLA DE TENSIONES Y FLECHAS DE REGULACIÓN
CABLE ACSR 556,500 MCM EAGLE
FLECHAS EN METROS
°C
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Kg
1996
1944
1892
1847
1802
1760
1722
1683
1649
LONGITUDES DE VANO EN METROS
220
240
260
280
300
320
340
360
3,77
3,86
3,98
4,07
4,17
4,27
4,36
4,47
4,56
4,48
4,60
4,73
4,85
4,97
5,08
5,19
5,32
5,43
5,26
5,40
5,55
5,69
5,83
5,97
6,09
6,24
6,37
6,10
6,26
6,44
6,60
6,76
6,92
7,07
7,24
7,39
7,00
7,19
7,39
7,58
7,76
7,94
8,12
8,31
8,48
7,97
8,18
8,41
8,62
8,83
9,04
9,23
9,46
9,65
8,99
9,23
9,49
9,73
9,97
10,20
10,42
10,67
10,90
10,08
10,35
10,64
10,91
11,17
11,44
11,69
11,97
12,22
U.T.O. – F.N.I. - LINEAS DE TRANSMISION
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
154
8.11. PROCEDIMIENTOS DE FLECHADO
8.11.1. Medición de la flecha por visualización
Para este procedimiento se debe contar con la tabla de regulación. La medición de
la temperatura se la realiza por medio de un termómetro suspendido en una
estructura y cubierto de la acción directa de los rayos del sol. Debe evitarse el
flechado en horas donde hay bruscos cambios de temperatura.
Con la finalidad de que en un tramo entre dos estructuras de tensión (retensión o
anclaje) de una línea se realice correctamente el tesado de los conductores, se
efectúa la medición de la flecha en un vano cualquiera del tramo.
Una vez determinada la flecha más adecuada, de acuerdo a la tabla de regulación,
se procede a la medición señalando en cada una de dos estructuras contiguas la
distancia de la flecha medida desde el punto de suspensión del conductor (Puntos
A y B). Luego se dirige la visual alineando la parte más baja del conductor con las
señales de las dos estructuras, pudiendo usarse un teodolito.
8.11.2. Medición de la flecha por el método de la onda de retorno
Este es un método alternativo, muy utilizado en las líneas de alta tensión. El
método consiste en que un individuo golpee secamente el conductor con la mano
o desde tierra con una soga a una distancia de un metro de la cadena de
aisladores, con el fin de producir un impulso mecánico que viajará en forma de
onda y se reflejará en la estructura alejada un ano del individuo. Las sucesivas
reflexiones continuarán hasta que la energía de la onda se disipe completamente.
En el momento de producirse el golpe se cuenta cero y en ese instante se acciona
un cronómetro. Se cuenta cada retorno hasta el décimo y en ese momento se
154
U.T.O. – F.N.I. - LINEAS DE TRANSMISION
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
155
detiene el cronómetro, por lo tanto se mide el tiempo empleado por la onda en
recorrer diez veces ida y vuelta el vano seleccionado para efectuar la medición.
Esta operación no debe realizarse con viento, tampoco en vanos donde la línea
pueda tocar objetos extraños (por ejemplo ramas). Es conveniente realizar la
medición en vanos donde haya estructuras de suspensión, porque la ferretería de
las estructuras de tensión tiende a modificar la onda.
La fórmula para determinar el tiempo de la décima onda de retorno, en función de
la flecha es:
t
Donde:
f
0,3064
t es el tiempo medido en segundos
f es la flecha medida en centímetros
°C
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
VANO 280 m
Flecha (m)
6,10
6,26
6,44
6,60
6,76
6,92
7,07
7,24
7,39
155
Tiempo (seg)
44,62
45,20
45,84
46,41
46,97
47,52
48,03
48,61
49,11