Dinámica de las correlaciones durante el proceso de - e

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Fı́sica
Dinámica de las correlaciones durante el proceso
de decoherencia.
por
Augusto José Roncaglia
Director de Tesis: Juan Pablo Paz
Lugar de Trabajo: Departamento de Fı́sica, FCEN, UBA
Trabajo de Tesis para optar por el tı́tulo de
Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Fı́sicas.
Abril, 2009
Resumen
En esta tesis estudiamos la dinámica de las correlaciones durante el proceso de decoherencia desde dos puntos de vista diferentes. En primer lugar, analizamos el efecto
de la decoherencia sobre el entrelazamiento en un sistema formado por dos osciladores
acoplados a un entorno bosónico. Proveemos una descripción exacta de todos los comportamientos cualitativamente diferentes del entrelazamiento (fases) en función del tiempo.
Los resultados analı́ticos fueron obtenidos utilizando ecuaciones maestras exactas como
principal herramienta y fueron corroborados con la solución numérica exacta. En segundo
lugar, estudiamos la naturaleza de las correlaciones que son creadas entre el sistema y
su entorno durante el proceso de decoherencia. Analizando la evolución temporal de las
correlaciones totales, medidas por la información mutua, y de las correlaciones cuánticas,
caracterizadas por el entrelazamiento, demostramos que en este tipo de modelos las correlaciones resultan ser redundantes. Definimos una nueva medida de redundancia y la
aplicamos para analizar la forma en que la interacción con el entorno induce el surgimiento
de una propiedad central en el mundo clásico: la objetividad.
Palabras claves: Decoherencia, Entrelazamiento, Información cuántica
i
Abstract
In this thesis we study the dynamics of the correlations during the decoherence process
from two different points of view. In the first part of this work, we analyze the effect of
the decoherence over the entanglement of a system composed by two quantum harmonic
oscillators coupled to a bosonic environment. We provide a complete characterization of
the time evolution of entanglement and we identify the phases with different qualitative
long time behavior. The analytical results are obtained using exact master equations as
our main tools, and they are compared with the exact numerical solution. In the second
part, we study the nature of the correlations that are created between the system and the
environment during the decoherence process. We consider the total correlations, measured
by the mutual information, and the quantum correlations, characterized by the entanglement. We analyze the evolution of the correlations between the system and fractions of
the environment of variable size, and we show the appearance of redundancy in these type
of models. We also define a new measure of redundancy and we apply it to analyze the
emergence of a central property of the classical world: objectivity.
Keywords: Decoherence, Entanglement, Quantum Information
iii
Índice general
1. Introducción
1
2. Decoherencia
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Correlaciones, mediciones y decoherencia . . . . . . .
2.3. Decoherencia de un qubit . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Modelos de decoherencia . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Movimiento Browniano Cuántico . . . . . . . . . . .
2.5.1. El Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Ecuación Maestra . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3. Aplicaciones de la ecuación maestra del MBC
coherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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al estudio de la
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3. Decoherencia y Entrelazamiento
3.1. Entrelazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Entrelazamiento entre modos bosónicos . . . . . . . . . .
3.2.1. Nociones básicas y notación . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Estados Gaussianos y su representación . . . . . .
3.2.3. Negatividad logarı́tmica para estados Gaussianos
3.3. Información mutua cuántica . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
4.1. El Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Movimiento Browniano cuántico con acoplamiento en posición . . .
4.1.2. Movimiento Browniano cuántico con acoplamiento simétrico en posición y momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Evolución del entrelazamiento para osciladores acoplados a un mismo entorno
4.2.1. Interpretación: ¿De dónde proviene el entrelazamiento? . . . . . . .
4.3. Diagramas de fases para la dinámica del entrelazamiento . . . . . . . . . .
4.4. Evolución temporal de las diferentes fases: Resultados analı́ticos y numéricos.
4.4.1. Acoplamiento en Posición: diferentes densidades espectrales . . . . .
4.4.2. Acoplamiento Simétrico: diferentes densidades espectrales . . . . . .
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52
61
ÍNDICE GENERAL
4.5. Osciladores no-resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6. Osciladores resonantes interactuantes y estados iniciales mixtos . . . . . . 65
4.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Modelo y simulación numérica . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Dinámica de la Información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Desarrollo de las correlaciones . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Correlaciones entre el sistema y bandas del entorno . . .
5.2.3. Correlaciones entre el sistema y fracciones del entorno . .
5.3. Redundancia en el movimiento Browniano cuántico . . . . . . .
5.3.1. ¿Cómo cuantificar la redundancia? . . . . . . . . . . . .
5.3.2. Desarrollo de redundancia y el rol de la disipación . . . .
5.4. Resultados analı́ticos a partir de un modelo simple . . . . . . .
5.4.1. Información mutua y redundancia de la información . . .
5.4.2. Entrelazamiento y redundancia del entrelazamiento . . .
5.4.3. Efecto de un entorno no-disipativo: el caso super-óhmico
5.5. Información acerca del estado inicial en el entorno . . . . . . . .
5.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Conclusiones Generales
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103
A. Material adicional: Entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo
entorno
107
A.1. Ecuación maestra para acoplamiento simétrico en posición y momento . . . 107
A.2. Coeficientes de la ecuación maestra para osciladores no-resonantes . . . . . 108
B. Operador evolución reducido para el sistema compuesto
109
C. Material adicional: Variables continuas
115
C.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
C.2. Prueba del criterio PPT para estados Gaussianos de dos modos . . . . . . 117
C.3. Autovalores simplécticos de la matriz de covarianza . . . . . . . . . . . . . 119
vi
Capı́tulo 1
Introducción
El interés por la información cuántica ha aumentado vertiginosamente en los últimos
años. Esto se debe no solamente a los importantes desarrollos teóricos sino también a
una serie de avances experimentales en el control y manipulación de sistemas cuánticos.
Una de las ideas centrales de la teorı́a de información cuántica se basa en que sistemas
fı́sicos tales como fotones o iones sean los portadores de la información, en forma similar
a lo que sucede con un papel al escribir una nota. De esta manera, la mecánica cuántica, que describe la fı́sica de estos sistemas, abre nuevas posibilidades para el proceso y
la comunicación de la información. Algunas de sus potenciales aplicaciones van desde la
factorización de números grandes [1], simulación de sistemas cuánticos [2], protocolos de
comunicación [3], teleportación [4] y criptografı́a cuántica [5, 6]. El desempeño superlativo que proveen los sistemas cuánticos en aplicaciones relacionadas con computación y
comunicación es consecuencia del principio de superposición, que permite a un sistema
cuántico existir en una combinación coherente de estados, y de las correlaciones cuánticas: el entrelazamiento. El entrelazamiento, da cuenta de correlaciones asombrosamente
fuertes entre los componentes de un sistema y es uno de los aspectos elementales más
intrigantes de la mecánica cuántica. Luego de que dos sistemas cuánticos interactúan,
generalmente finalizan en un estado que no es separable. De este modo, las propiedades
de cada sistema no pueden ser descriptas en forma independiente, incluso al desplazar a
los componentes a lugares distantes. Dado su carácter no-local, es imposible de recrear
este tipo de correlaciones en sistemas clásicos.
Paradójicamente, las propiedades que hacen poderosas a las computadoras cuánticas,
son la causa de que estos sistemas sean muy sensibles ante las perturbaciones externas.
Todo sistema cuántico al interactuar en forma descontrolada con cualquier agente externo
o entorno crea nuevas correlaciones. Dichas interacciones tienen el poder de entrelazar
a nuestro sistema de interés con el entorno y cambiar su naturaleza. El desarrollo de
correlaciones entre sistema y entorno puede ser interpretado como un monitoreo constante
por parte del entorno sobre el sistema. Esta es la esencia de la decoherencia, debido
al monitoreo por parte del entorno, el estado del sistema pierde su coherencia de fase.
Es ası́ que emergen las propiedades clásicas, haciendo inútil al estado para cualquier
comunicación o computación cuántica.
1
Capı́tulo 1. Introducción
Es por eso, que resulta de gran interés lograr un entendimiento profundo de cómo se
produce la transición cuántico-clásica y de esta manera generar nuevas estrategias que permitan proteger a los sistemas cuánticos, o la información que ellos contienen, de la acción
inevitable del entorno. El objetivo de esta tesis apunta en esa dirección. Estudiaremos las
correlaciones que son creadas, o degradadas, durante el proceso de decoherencia. De esta
manera, el trabajo puede ser dividido en dos partes principales: en la primera, consideraremos la dinámica del entrelazamiento en un sistema compuesto cuando interactúa con un
entorno, y en la segunda estudiaremos el desarrollo de las correlaciones entre el sistema y
las diferentes partes del entorno (ver Fig. 1). En la primer parte, caracterizaremos completamente la dinámica del entrelazamiento para el sistema compuesto y analizaremos
las posibles instancias de su dinámica. Mientras que en la segunda parte analizaremos
de qué manera se generan las correlaciones entre el sistema y diferentes fracciones del
entorno, caracterizando el tipo de correlaciones que se crean haciendo una distinción entre correlaciones totales y correlaciones cuánticas. Además, mostraremos cómo es posible
relacionar la forma en que se crean las correlaciones con la aparición de clasicalidad.
Figura 1.1: La primer parte de la tesis se centrará en el estudio de la dinámica del entrelazamiento en un sistema compuesto acoplado al entorno (izquierda) y la segunda parte en
las correlaciones generadas entre el sistema y el entorno durante el proceso de decoherencia
(derecha).
Esta tesis se encuentra organizada de la siguiente manera: en el Capı́tulo 2 introduciremos las nociones básicas del proceso de decoherencia junto con algunos ejemplos
canónicos. En ese capı́tulo, además, presentamos el modelo de decoherencia que usaremos: el movimiento Browniano cuántico, junto con la resolución de su ecuación maestra
exacta. En el siguiente capı́tulo introduciremos la noción de entrelazamiento, las medidas de entrelazamiento y el formalismo para representar estados Gaussianos. Por último,
introduciremos el concepto de información mutua cuántica como medida de las correlaciones totales. En el Capı́tulo 4 estudiaremos la dinámica del entrelazamiento entre dos
osciladores acoplados a un mismo entorno. Resolveremos exactamente su dinámica para
cualquier temperatura, densidad espectral y presentaremos resultados analı́ticos que describen completamente su dinámica a tiempos asintóticos. En el Capı́tulo 5 estudiaremos
las correlaciones que son creadas entre el sistema y su entorno. Analizaremos el desarrollo
2
de las correlaciones totales y el entrelazamiento entre el sistema y diferentes porciones
del entorno. Pondremos especial énfasis en la aparición de redundancia en ambos tipos
de correlaciones como una manifestación de clasicalidad. Aquı́ los resultados numéricos
exactos también serán complementados con un modelo que describe las diferentes situaciones. Hacia el final de cada capı́tulo agregaremos las conclusiones y al final de la tesis
resumiremos los resultados más generales.
El material contenido en esta tesis ha dado lugar a las siguientes publicaciones originales: el contenido del Capı́tulo 4 se encuentra parcialmente incluido en las referencias
[7, 8]. El contenido del Capı́tulo 5 se encuentra parcialmente incluido en las referencias
[9, 10].
3
Capı́tulo 2
Decoherencia
2.1.
Introducción
Cuando los efectos cuánticos fueron descubiertos, y la teorı́a cuántica fue formulada
en las primeras décadas del siglo pasado, se produjo un cambio de paradigma en la visión
que se tenı́a de la fı́sica en particular y de la naturaleza en general. La posibilidad de
encontrar a los sistemas fı́sicos en una superposición de estados, quizás sea la caracterı́stica
más sobresaliente; y el de gato de Schrödinger [11] el ejemplo más conocido que ilustra
dicha situación. El principio de superposición, indica que cualquier combinación de estados
cuánticos es un estado aceptable. Pero este hecho parece entrar en conflicto con nuestra
realidad cotidiana ya que los estados que percibimos se encuentran localizados, los objetos
macroscópicos los encontramos en un lugar o en otro pero nunca en una combinación
de ambos. Mas aún, el conjunto todos los estados en el espacio de Hilbert es enorme
comparado con el tamaño del conjunto de estados que encontramos en los sistemas clásicos.
En un intento por reconciliar estas dos descripciones de la naturaleza, surge el problema
conocido como la transición cuántico-clásica.
De esta manera, asoma la decoherencia [12, 13, 14, 15, 16, 17] para explicar la aparición
del mundo clásico a partir del sustrato cuántico. La decoherencia es causada por la interacción entre el sistema y su entorno. Dicha interacción es la responsable de la selección
dinámica de un conjunto pequeño de estados del espacio de Hilbert [18, 19]. De este modo,
las superposiciones arbitrarias de estados son transformadas en una mezcla estadı́stica de
estados pertenecientes a una base preferencial de “estados puntero” [18, 19]. Debido a
esta interacción el sistema y el entorno se correlacionan y las superposiciones inicialmente
confinadas al sistema se despliegan al estado (macroscópico) del sistema-entorno. Por lo
tanto, la coherencia del sistema no puede ser más considerada una propiedad individual
del sistema aislado. La idea fundamental que permite entender este proceso consiste en
considerar que el entorno monitorea (o mide) al sistema cuántico continuamente mediante
la interacción. Esto implica que información acerca del mismo es transferida al entorno,
la propiedad importante de los estados puntero es que estos son los más insensibles al
monitoreo, es decir, en el caso más simple, son autoestados de la interacción. Es intere5
Capı́tulo 2. Decoherencia
sante notar que esta dinámica surge de la aplicación de elementos de la mecánica cuántica
tradicional y no constituye una modificación a la mecánica cuántica.
En este capı́tulo daremos una introducción a la decoherencia mostrando algunos ejemplos canónicos que ilustran sus propiedades fundamentales. Hacia el final del capı́tulo
introduciremos el movimiento Browniano cuántico como modelo paradigmático de la decoherencia; y resumiremos los aspectos salientes del mismo que luego serán fundamentales
a lo largo de los demás capı́tulos.
2.2.
Correlaciones, mediciones y decoherencia
Para comenzar podemos plantear el problema de la medición, donde veremos cómo la
decoherencia explica la aparición del comportamiento clásico de un detector en el análisis
cuántico de la medición de von Neumann. Consideremos la medición del estado de un
sistema cuántico S de dos niveles (por ejemplo una partı́cula de spı́n 1/2) [18]. El espacio
de Hilbert del sistema HS puede ser expandido en una base ortonormal {| ↑i, | ↓i}.
Mientras que el aparato o detector, de acuerdo al análisis de la medición de von Neumann
[20], es también un sistema cuántico que vive en un espacio de Hilbert HA expandido en
una base {|Aii}. Si inicialmente el detector se encuentra en el estado |A0 i, el resultado
de la interacción con el sistema crea las siguientes correlaciones:
| ↑i|A0 i → | ↑i|A1 i,
| ↓i|A0 i → | ↓i|A0 i,
(2.1)
donde hA0 |A1 i = 0. Este proceso establece una relación uno a uno entre el estado del
sistema y el del aparato, y el estado del sistema no se ve modificado mientras se encuentre
inicialmente en alguno de los estados {| ↑i, | ↓i}. Ahora podemos considerar que antes
de la interacción, el sistema se encuentra en un estado puro general. La linealidad de la
ecuación de Schrödinger indica que como resultado de la interacción se crea el siguiente
estado correlacionado |Ψi:
|Ψ0 i = (α| ↑i + β| ↓i) |A0 i → |Ψi = α| ↑i|A1 i + β| ↓i|A0i.
(2.2)
Ahora sistema y aparato se encuentran en un estado entrelazado, dotado de correlaciones
cuánticas, en el próximo capı́tulo volveremos a referirnos a estas correlaciones con mayor
profundidad. Un estado correlacionado de esta forma no es suficiente para explicar la
medición en el mundo real, es por eso que a este proceso se lo conoce como premedición.
Para ilustrar√mejor este problema, podemos recurrir al siguiente ejemplo: supongamos
que α = β = 1/ 2, y {| ↑i, | ↓i} es la base de autoestados del operador σz , de esta manera
el resultado de la premedición será:
1
|Ψi = √ (| ↑i|A1 i + | ↓i|A0 i) .
(2.3)
2
Como los estados de la base σx , {|±i}, se √
encuentran relacionados con los de la base de
autoestados de σz por: |±i = (| ↑i ± | ↓i)/ 2, |Ψi puede ser escrito como:
1
|Ψi = √ (|+i|A+ i + |−i|A− i) .
(2.4)
2
6
2.2. Correlaciones, mediciones y decoherencia
√
donde, |A± i = (|A1 i ± |A0 i)/ 2. El primer problema que surge en este caso, es el de la
ambigüedad de la base. Mostramos dos formas en que puede ser expresada la premedición,
de hecho, existen infinitas maneras de expresar las correlaciones perfectas entre sistema
y aparato. De esta manera, un cambio de base redefine la cantidad medida. Esto además
puede apreciarse a partir de la aparición de los términos fuera de la diagonal en la matriz
densidad:
|ΨihΨ| = |α|2 | ↑ih↑ | ⊗ |A1 ihA1 | + αβ ∗ | ↑ih↓ | ⊗ |A1 ihA0 |
+ α∗ β| ↓ih↑ | ⊗ |A0 ihA1 | + |β|2 | ↓ih↓ | ⊗ |A0 ihA0 |.
(2.5)
Por lo tanto, la existencia de un observable “preferencial” no se encuentra explicada por
el estado final sistema-aparato dado por el esquema de von Neumann. Ahora podemos
preguntarnos qué observable efectivamente está midiendo nuestro aparato. Es ası́ que se
necesita un proceso no-unitario que lleve la matriz densidad a su forma diagonal. Para
ello, podemos considerar que a un tercer ente cuántico que interactúa con el aparato: el
entorno E [21, 18, 19].
Ahora veremos cómo el proceso de decoherencia inducido por el entorno convertirá a
las correlaciones cuánticas entre el sistema y el aparato en correlaciones clásicas. Consideremos entonces un tercer sistema E que realiza una premedición sobre el detector, y por
lo tanto:
|Ψ(0)iSAE = (α| ↑i|A1i + β| ↓i|A0 i) |ǫ0 i → |ΨiSAE = α| ↑i|A1 i|ǫ1 i + β| ↓i|A0 i|ǫ0 i. (2.6)
A simple vista parecerı́a que mediante este paso, no hemos solucionado el problema anterior. Pero si tenemos en cuenta que el entorno es inaccesible, veremos que el problema
de la ambigüedad de la base se encuentra resuelto. Esto puede ser garantizado siempre
y cuando hǫ0 |ǫ1 i = 0. Cuando esta condición es satisfecha, la descripción del par S − A
puede ser obtenida por medio de la matriz densidad reducida, ignorando la información
en los grados de libertad que no podemos controlar:
ρSA = TrE |ΨihΨ|
= |α|2| ↑ih↑ | ⊗ |A1 ihA1 | + |β|2| ↓ih↓ | ⊗ |A0 ihA0 |,
(2.7)
esta matriz densidad reducida contiene sólo términos correspondientes a las correlaciones clásicas. Es de esta forma que finalmente emerge, seleccionada por la dinámica, la
base preferencial del detector, conocida como base de estados puntero. Cuando la interacción con el entorno HAE es dominante, los autoestados de cualquier observable A tal
que [A, HAS ] = 0 serán preservados y el entorno tendrá un registro de los estados punteros. De este modo, no será posible medir efectos de interferencia en esta base, y por lo
tanto no podremos confirmar la presencia de la superposición. En este caso analizamos la
transición cuántico-clásica de un detector cuántico. De aquı́ en adelante, estudiaremos la
decoherencia del sistema de interés.
7
Capı́tulo 2. Decoherencia
2.3.
Decoherencia de un qubit
Un ejemplo simple del proceso dinámico de decoherencia se encuentra dado por el de
un sistema cuántico de dos niveles {|0iz , |1iz } (qubit) interactuando con un entorno de
N qubits {| ↑z ik , | ↓z ik } [19]. El caso más sencillo que ilustra las ideas anteriores es en
el cual se desprecia el Hamiltoniano interno del sistema HS = 0, y la interacción tiene la
forma:
X
gk σz(k) .
(2.8)
HSE = σz ⊗
k
Q
Bajo la acción de HSE el estado inicial: |Ψ(0)i = (a|0iz + b|1iz ) N
k=1 (αk | ↑z ik + βk | ↓z ik )
evoluciona a un estado correlacionado, cuya matriz densidad reducida en la base de autoestados de σz es:
ρS (t) = |a|2 |0ih0| + ab∗ r(t)|0ih1| + a∗ br ∗ (t)|1ih0| + |b|2 |1ih1|
(2.9)
El coeficiente r(t) = hǫ|0 ǫ1 i determina el tamaño relativo de los elementos fuera de la
diagonal, lo que representa la pérdida de coherencia del sistema debido a la interacción
con el entorno:
N
Y
r(t) =
[cos 2gk t + i(|αk |2 − |βk |2 ) sin 2gk t].
(2.10)
k=1
Como podemos apreciar, en el caso que el entorno sea finito existe un tiempo de recurrencia
(tiempo de Pincarè) donde el sistema recupera su coherencia. Como sabemos, el proceso
de decoherencia es irreversible y esto simula la dinámica hasta la pérdida de coherencia
para todos los fines prácticos. En el lı́mite de muchos espines (N grande), a tiempos largos,
los términos fuera de la diagonal son pequeños:
|r(t)|2 ≈ 2−N
N
Y
[1 + (|αk |2 − |βk |2 )2 ].
(2.11)
k=1
Esta dinámica tiene una interesante descripción en la esfera de Bloch [13]. Cabe mencionar que en este sistema la decoherencia es exponencialmente efectiva con el tamaño del
sistema. Rápidamente la matriz densidad reducida se vuelve diagonal en la base de estados
puntero. Por otro lado, la selección efectiva depende del estado inicial del entorno, cuando
el entorno se encuentre en un autoestado de HSE el sistema retendrá su coherencia, ya
que el entorno se encontrará en un autoestado del “control”; lo cual es difı́cil de encontrar
en situaciones realistas.
2.4.
Modelos de decoherencia
Como vimos en los casos anteriores, la decoherencia se encuentra ı́ntimamente ligada
al proceso de medición. El estado del sistema influencia al del entorno, que se correlaciona
con el sistema. Este monitoreo constante conduce a una evolución no-unitaria del sistema
8
2.4. Modelos de decoherencia
(reducido), que produce decoherencia. Dicha dinámica no conduce a un colapso de la
función de onda. Lo que produce es que finalmente el sistema se encuentre en un estado
descripto por una matriz densidad, que es una mezcla de todos los posibles resultados de
mediciones en la base de estados puntero.
La tarea de modelar la decoherencia en cada sistema fı́sico resulta complicada. Principalmente porque cada vez que nos enfrentamos a un sistema nuevo, parecerı́a que debemos
comenzar devuelta y encontrar un modelo que se ajuste a esa situación en particular. Afortunadamente, existen algunas simplificaciones que ayudan a atacar los diferentes casos. Es
ası́ que en muchas situaciones (sino todas) de interés práctico, el sistema central interactuante con el entorno puede ser mapeado en un conjunto pequeño de modelos canónicos.
En estos modelos el sistema central en general se representa por una partı́cula que posee
grados de libertad contı́nuos en el espacio de fases, o bien por una partı́cula de espı́n-1/2
si el espacio de estados del sistema es discreto y de dos dimensiones efectivas. Los modelos
de entornos más usados también consideran estas dos opciones.
Los modelos con baños de espines [22, 19, 23, 24] modelan entornos con pocos grados de
libertad y en general se considera un número finito de espines en el entorno. En particular,
estos modelos resultan útiles para la descripción de la interacción del espı́n nuclear, dentro
de una molécula grande, con los demás espines de la misma molécula. Lo que resulta de
interés, por ejemplo, en aplicaciones de información cuántica en NMR, como ası́ también
en varias implementaciones en estado sólido.
Por otro lado, la representación de entornos por un número grande de osciladores
armónicos tiene una larga historia. Los entornos de osciladores corresponden a un cuasicontı́nuo de modos bosónicos donde la coherencia y energı́a del sistema central pueden ser
perdidos irreversiblemente en el entorno. Este tipo de entornos juegan un rol importante
en el modelado del proceso de decoherencia, principalmente porque resultan ser bastante
generales. Se puede mostrar, que a suficiente baja energı́a, una gran cantidad de sistemas
abiertos interactuantes pueden ser representados por una o dos coordenadas del sistema
linealmente acopladas a un entorno de osciladores armónicos. De hecho, la interacción
con cualquier entorno puede ser mapeada a un sistema lineal acoplado a un entorno de
osciladores, siempre que la interacción sea lo suficientemente baja y valga la teorı́a de
perturbaciones a segundo orden [25]. Los dos modelos más importantes consideran al sistema central como una partı́cula con grados de libertad contı́nuos y a un sistema con
dos grados de libertad de espı́n. Este último se lo conoce como modelo de espı́n-bosón
[26]. Consiste en una partı́cula de espı́n-1/2 acoplada a un baño de osciladores que, en
principio a pesar de su dinámica complicada, puede ser resuelto exactamente ya que es
posible derivar la funcional de influencia de Feynman y Vernon [26]. Este modelo tiene
particular importancia en computación cuántica ya que representa un qubit acoplado a
un baño térmico [27, 28]. Además fue muy usado para estudiar la dinámica disipativa de
una partı́cula confinada en un potencial tipo doble pozo [29]. Del otro modelo nos vamos
a ocupar en la siguiente sección.
9
Capı́tulo 2. Decoherencia
2.5.
Movimiento Browniano Cuántico
En esta tesis nos centraremos en el estudio del modelo paradigmático de movimiento
Browniano cuántico (MBC) [30]. Este modelo no sólo es de crucial importancia en el estudio de la decoherencia, sino que además permite discutir muchos aspectos formales, fı́sicos
y conceptuales de la decoherencia. El MBC consiste en una partı́cula moviéndose en una
dimensión espacial que interactúa linealmente con un entorno de osciladores armónicos
independientes, inicialmente en equilibrio térmico.
Este modelo, además, tiene un rol extremadamente importante en el estudio de la
disipación de sistemas cuánticos [31, 17]. Históricamente, han sido varios los intentos de
describir el movimiento Browniano cuántico. Senitzky [32], aplicó el modelo de disipación cuántica para modelar la radiación de ondas electromagnéticas en una cavidad y
demostró que a pesar de no conocer los detalles del medio disipativo, es posible formular
un mecanismo que conduzca la disipación cuántica. Uno de los primeros intentos de resolver el problema fue de Zwanzing [33], que consideró los efectos de memoria de largo rango
en la función de autocorrelación de la fuerza fluctuante. Ford, Kac y Mazur [34] propusieron el modelo de sistema-baño para los sistemas disipativos clásicos y cuánticos, donde
el sistema se encontraba acoplado a un baño de osciladores armónicos. Posteriormente, el
tratamiento formal del modelo sistema-baño fue introducido por Feynman y Vernon [25],
donde derivaron la funcional de influencia para la acción efectiva del sistema integrando
los grados de libertad del baño, por medio de la técnica de integral de camino. Este mismo
método fue utilizado posteriormente por Caldeira y Legget [35] para derivar el comportamiento de la ecuación maestra para un oscilador armónico cuántico acoplado a un baño
de osciladores armónicos. Dekker [36] propuso una ecuación maestra fenomenológica donde el efecto difusivo aparecı́a en las coordenadas canónicas posición y momento. Luego,
en algunos trabajos se obtuvieron diferentes ecuaciones maestras aproximadas [37, 38].
Finalmente, Hu, Paz y Zhang [39] obtuvieron por primera vez la ecuación maestra exacta,
válida para cualquier temperatura y densidad espectral. En lo que sigue, introduciremos
el modelo y mostraremos los aspectos salientes de la ecuación maestra exacta [39].
2.5.1.
El Modelo
El modelo describe a un sistema de masa m y coordenada canónica x que se mueve bajo
la acción de un potencial armónico, e interactúa con un entorno de osciladores armónicos.
El Hamiltoniano completo es H = HS + HSE + HE , donde:
HS =
1 2 1
p + mω 2 x2 ,
2m
2
(2.12)
siendo p es el momento y ω la frecuencia natural del sistema. El entorno está formado por
osciladores armónicos de masas mn y frecuencias ωn que no interactúan entre sı́:
X 1
1
2
2 2
HE =
p + mn ωn qn . .
2mn n 2
n
10
(2.13)
2.5. Movimiento Browniano Cuántico
El acoplamiento entre sistema y entorno es lineal en la coordenada x de la partı́cula
Browniana y la coordenada qn de los osciladores del baño. De esta manera, el Hamiltoniano
de interacción HSE se encuentra definido por
X
HSE = −x
cn qn ,
(2.14)
n
y las constantes de acoplamiento para cada uno de los modos del entorno se determinan
a partir de la densidad espectral.
En este modelo, la evolución del sistema combinado (sistema-entorno), se encuentra
caracterizada por cuatro escalas temporales diferentes: la primera está asociada a la frecuencia natural del sistema; la segunda está representada por el tiempo de relajación
(caracterizado por el acoplamiento entre el sistema y el entorno); la tercera corresponde
al “tiempo de memoria”del entorno (en general asociado a la frecuencia más alta presente
en el entorno) y, finalmente, la escala de tiempo asociada con la temperatura del entorno,
que mide la importancia relativa entre los efectos cuánticos y térmicos.
El efecto del entorno sobre la dinámica del sistema está caracterizado por los fenómenos
de fluctuación y disipación. Estos efectos pueden determinarse a partir una propiedad
totalmente especı́fica del entorno: la densidad espectral J(ω). La densidad espectral mide
la cantidad de osciladores de una frecuencia dada que se acoplan al sistema con una
intensidad especı́fica. En el caso discreto de N osciladores, esta función es
J(ω) =
N
X
n=1
δ(ω − ωn )
c2n
.
2mn ωn
(2.15)
De este modo, indicando la densidad espectral J(ω) y el estado inicial del entorno, tanto
la disipación como las fluctuaciones quedan unı́vocamente determinadas, como podremos
ver a continuación. Diferentes densidades espectrales J(ω) clasifican a los distintos tipos
de entornos. En general uno reemplaza la suma discreta por una función continua de las
frecuencias del entorno. Por razones fı́sicas, además, uno no espera que un entorno real
contenga un número infinito de frecuencias, y es por eso que se introduce una frecuencia
máxima presente en el entorno, que llamaremos frecuencia de corte Λ; es decir J(ω) → 0
cuando ω > Λ. De esta manera, la escala temporal asociada a la respuesta del entorno,
queda determinada por la inversa de esta frecuencia de corte. Las densidades espectrales
que se usan comúnmente corresponden a la familia:
ω n−1
2
J(ω) = mγ0 ω
f (ω, Λ),
π
Λ
(2.16)
donde γ0 es una constante efectiva de acoplamiento y f (ω, Λ) es la función de corte, las
2
2
más comunes son un decaimiento suave exponencial e−ω /Λ , la forma de Lorentz-Drude
Λ2 /(Λ2 + ω 2 ) o un corte abrupto θ(Λ − ω). El parámetro n es el que determina la densidad
espectral, el caso más estudiado es el óhmico, n = 1, y corresponde a la situación fı́sica
en la que el entorno induce sobre el sistema una fuerza lineal con la velocidad [31]. El
11
Capı́tulo 2. Decoherencia
caso n > 1 se conoce como super-óhmico y, para (n = 3), por ejemplo, corresponde
a un fonón en un baño en dos o tres dimensiones dependiendo de las propiedades de
simetrı́a del campo [31]. Además, puede mostrarse que este tipo de entorno puede ser
usado para describir el efecto de la interacción entre una partı́cula cargada y su propio
campo electromagnético [40]. Para n < 1 tenemos el caso sub-óhmico que por ejemplo,
para (n = 1/2), corresponde al tipo de ruido que puede ocurrir en algunos dispositivos
sólidos y, a altas temperaturas, es similar al ruido producido en las junturas Josephson
[41].
2.5.2.
Ecuación Maestra
Una de las herramientas fundamentales para el análisis de la dinámica de los sistemas
cuánticos abiertos es la ecuación que rige la evolución de la matriz densidad reducida,
conocida como “ecuación maestra”. Como es usual, dividiremos a nuestro universo en
sistema de interés S y entorno E. La matriz densidad reducida, ρ, del sistema es el operador
que permite responder todas las cuestiones fı́sicas respecto del sistema S. Y se obtiene a
partir de la matriz densidad total del universo, trazando sobre los grados de libertad del
entorno:
ρ = TrE [ρSE ].
(2.17)
La ecuación maestra exacta fue obtenida en [39] y posteriormente en una forma más
simple en [42]. Una deducción usando teorı́a de perturbaciones puede verse en la referencia
[13]. El truco para derivar la ecuación exacta rápidamente [42] se basa en el uso de las
propiedades del operador evolución de la matriz densidad reducida. Este operador es el
que evoluciona la matriz densidad reducida a partir del tiempo inicial. Por lo tanto, lo
podemos definir como:
′
ρ(x, x , t) =
Z
dx0
Z
dx′0 J(x, x′ , t; x0 , x′0 , t0 )ρ(x0 , x′0 , t0 ).
(2.18)
A partir de aquı́ se puede obtener fácilmente la forma de la ecuación maestra si conocemos la forma explı́cita del operador evolución reducido. Previamente, vamos a asumir
condiciones iniciales tales que el entorno se encuentra en un estado térmico, y por lo tanto,
descorrelacionado del sistema:
ρSE (t0 ) = ρ ⊗ ρE .
(2.19)
Si inicialmente el sistema tiene correlaciones con el entorno también se puede derivar el
operador evolución [43], aunque su forma resulta más complicada. A partir del formalismo de integral de camino y funcional de influencia [25], es posible calcular el operador
evolución reducido [39, 42]. Su forma es Gaussiana, ya que la interacción es lineal, el
12
2.5. Movimiento Browniano Cuántico
Hamiltoniano cuadrático y el estado inicial del entorno térmico1 (Gaussiano):
J(X, Y, t; X0 , Y0, t0 ) =
b3
exp [i(b1 XY + b2 X0 Y − b3 XY0 − b4 X0 Y0 )]
2π × exp −a11 Y 2 − a12 Y Y0 − a22 Y02 ,
(2.20)
donde por conveniencia hemos utilizado X = x + x′ , Y = x − x′ , etc; y la dependencia
temporal se encuentra en los coeficientes bi y alm . Un ejemplo que muestra la forma
en que se deduce dicho operador, puede verse en el Apéndice B, donde se considera un
sistema compuesto interactuando con un entorno. Para obtener la forma explı́cita de la
ecuación maestra, computamos la derivada temporal del operador evolución. Finalmente,
la ecuación maestra se obtiene integrando el producto de J con la matriz densidad sobre
las coordenadas iniciales. Uno esperarı́a que este procedimiento resultara en una ecuación
integro-diferencial no-local en el tiempo. Pero esto no sucede, ya que la dependencia
temporal del operador evolución desaparece mediante el uso de determinadas propiedades
que son consecuencia de la evolución con forma Gaussiana [42]. De esta manera, arribamos
a la siguiente ecuación maestra (~ = 1):
ρ̇ = −i[HS +
m 2
δΩ (t)x2 , ρ] − iγ(t)[x, {p, ρ}] − D(t)[x, [x, ρ]] − f (t)[x, [p, ρ]].
2
(2.21)
Aquı́ los coeficientes dependientes del tiempo: δΩ(t) renormalización de la frecuencia, γ(t)
coeficiente de disipación, D(t) difusión normal y f (t) difusión anómala, tienen la información acerca de la densidad espectral y la temperatura del entorno. Sus valores exactos
pueden obtenerse como función de los coeficientes bi y alm [39, 42, 44] y fueron estudiados
en gran detalle en una serie de trabajos [39, 42, 45, 46]. Además, se puede observar que
el carácter no-Markoviano de esta ecuación se encuentra dado por los coeficientes dependientes del tiempo y, notablemente, resulta ser local en el tiempo debido a la linealidad
del problema. Por otro lado, a pesar de que la ecuación no tiene la forma de Lindblad, la
positividad de la matriz densidad se encuentra asegurada a todo tiempo a diferencia de
otros casos [35, 38]. Esto sucede debido a que todos los coeficientes son nulos inicialmente
y los términos difusivos crecen rápidamente, dominando la dinámica a tiempos cortos, por
sobre el coeficiente disipativo.
En el lı́mite de acoplamiento débil, podemos hacer un desarrollo perturbativo a segundo orden en la constante de acoplamiento γ0 y encontrar ası́ expresiones más sencillas en
función de los núcleos de disipación y ruido (ver Apéndice A.1):
Z
Z t
2 t ′
1
2
′
′
δΩ (t) = −
η(t ) cos(ωt )dt ,
γ(t) =
η(t′ ) sin(ωt′ )dt′ , (2.22)
m 0
mω 0
Z t
Z t
1
′
′
′
ν(t′ ) cos(ωt′ )dt′ .
D(t) =
ν(t ) cos(ωt )dt ,
f (t) = −
mω 0
0
1
Es interesante notar que para llegar a esta expresión basta con escribir la forma Gaussiana más general
e imponer que el operador evolución conserve la traza y la hermiticidad de la matriz densidad reducida.
Esta expresión resulta ser general para cualquier interacción bilineal, es al imponer que la interacción sea
mediante la coordenada posición que se obtiene la forma explı́cita de la ecuación maestra.
13
Capı́tulo 2. Decoherencia
Es conveniente aclarar que estas expresiones son bastante útiles a la hora de estimar
escalas temporales a tiempos muy cortos pero más allá, especialmente en el caso de bajas
temperaturas, no resultan ser precisas y pueden llevar a inconsistencias.
Por último, para comprender el rol de cada uno de los coeficientes podemos, en primer
lugar, calcular las derivadas temporales de valores medios de los primeros momentos de
las coordenadas canónicas:
dhpi
= −mΩ2R (t)hxi − 2γ(t)hpi;
dt
dhxi
hpi
=
,
dt
m
(2.23)
donde Ω2R (t) = ω 2 + δΩ2 (t). De esta manera, es sencillo identificar algunos de los efectos
que ejerce el entorno sobre el sistema, como la renormalización de la frecuencia ΩR y
la fricción inducida por el coeficiente γ(t) que produce pérdida de energı́a y en tiempo
asintótico localiza al sistema en el origen del espacio de fases. Ambos coeficientes sólo
dependen de la densidad espectral y son independientes de la temperatura. La variación
temporal de los segundos momentos nos dirá, en algún sentido, cómo se modifica el área
del estado en el espacio de fases:
dhp2 i
= −mΩ2R (t)hxp + pxi − 4γ(t)hp2 i + 2D(t),
dt
dhx2 i
1
=
hxp + pxi,
dt
m
2 2
dhxp + pxi
=
hp i − 2mΩ2R (t)hq 2 i − 2γ(t)hxp + pxi − 2f (t).
dt
m
(2.24)
De esta manera, podemos notar que los coeficientes D(t) y f (t) producen difusión en
ambas coordenadas. En el caso del coeficiente D(t) al escribir su término en la ecuación
maestra en la representación posición D(t)[x, [x, ρ(t)]] → D(t)(x − x′ )2 ρ(x, x′ , t), podemos
ver que se encuentra asociado a la taza de decoherencia. Es el término responsable de las
fluctuaciones, análogas a las patadas aleatorias del movimiento Browniano clásico. Por
otro lado, al alcanzar el equilibrio, los segundos momentos se encuentran determinados
por:
mΩR hx2 i∞ =
D
− f;
2mγ
hp2 i∞ =
D
,
2γ
(2.25)
en todos los casos consideramos el valor asintótico de los coeficientes. A partir de estas
ecuaciones, podemos ver que el rol de cada uno de los coeficientes es muy diferente.
Mientras que D produce difusión en ambas coordenadas, el coeficiente f de acuerdo al
signo localizará el estado en la coordenada x o bien incrementará la difusión. Es ası́, que
este coeficiente es el que contiene información acerca el observable que interactúa con el
entorno, y en este sentido deja una “huella” en el estado asintótico. Este distinción será de
suma importancia en el análisis que realizaremos en el próximo capı́tulo.
14
2.5. Movimiento Browniano Cuántico
2.5.3.
Aplicaciones de la ecuación maestra del MBC al estudio
de la decoherencia
Los coeficientes que mostramos anteriormente pueden ser calculados en una gran variedad de casos. Las principales caracterı́sticas del entorno que pueden variar son: su densidad
espectral y su temperatura. Aquı́ mostraremos algunos de los resultados importantes que
ilustran la utilidad de ecuación maestra para el estudio de la decoherencia.
Lı́mite de temperatura alta
Consideremos un entorno óhmico, J(w) = π2 mγ0 wθ(Λ − w), con ω ≪ Λ, en el lı́mite
de temperatura alta. Es decir, la energı́a térmica del entorno kB T , es mucho mayor que
las energı́as asociadas a la frecuencia natural del sistema y la frecuencia de corte ~Λ.
En este caso los coeficientes llegan a valores constantes luego de un tiempo transitorio,
dependiente de la temperatura, muy corto. Por lo tanto, en lı́mite kB T ≫ ~ω, Markoviano,
los coeficientes de la ecuación maestra pueden ser aproximados por:
2γ0
Λ,
f (t) ≈ 0.
(2.26)
π
Estrictamente f → 4γ0 kB T /Λπ, pero si comparamos dichas magnitudes con las correspondientes a D en la ecuación maestra, podemos ver que el término de Dx2 ∼ 2mγ0 kB T x2
y el de f xp ∼ f xmωx ∼ 4γ0 kB T /Λπmωx2 ∼ x2 Dω/Λ, entonces al asumir que ω ≪ Λ es
posible simplemente despreciarlo en la ecuación maestra.
De esta manera, la ecuación maestra en el lı́mite de altas temperaturas es:
D ≈ 2mγ0 kB T,
δΩ2 ≈ −
γ ≈ γ0 ,
i
2mγ0 kB T
ρ̇ = − [HR , ρ] − iγ0 [x, {p, ρ}] −
[x, [x, ρ]],
(2.27)
~
~2
donde HR es el Hamiltoniano renormalizado. Esta ecuación es también conocida como la
la ecuación maestra de Caldeira-Legget, y fue derivada por dichos autores usando técnicas
de integrales de camino [35]. El lı́mite de altas temperaturas, permite además que la
ecuación anterior sea válida para un V (x) arbitrario. Vale aclarar, que esta ecuación tiene
anomalı́as a tiempos cortos ∼ 1/Λ ya que conduce a una matriz densidad que no es
definida positiva. Pero luego de ese transitorio, dicha aproximación es extremadamente
útil, de hecho esta ecuación fue muy usada para modelar decoherencia y disipación.
Quizás el ejemplo más simple, que ilustra su utilidad en el estudio de la decoherencia,
sea el del lı́mite macroscópico. En ese caso, ~ es muy pequeño comparado con otras
magnitudes. De esta manera, la ecuación (2.27), escrita en la representación posición, se
encuentra dominada por:
2
(x − x′ )
∂ρ(x, x′ , t)
= −γ0
ρ(x, x′ , t),
(2.28)
∂t
λT
donde λT es la longitud de onda de de Broglie:
λT = √
~
.
2mkB T
15
(2.29)
Capı́tulo 2. Decoherencia
Cuya solución resulta:
′
′
“
′ ”2
−γ0 t x−x
λ
ρ(x, x , t) = ρ(x, x , 0) e
T
,
(2.30)
la matriz densidad pierde sus términos fuera de la diagonal en la representación posición,
mientras que su diagonal permanece inalterable. Por ejemplo, si consideraráramos que el
estado inicial del sistema es un estado tipo “gato de Schrödinger”, dos paquetes Gaussianos
de mı́nima incertidumbre separados por una distancia ∆x en el espacio de fases, entonces
el sistema pierde coherencia luego de un tiempo de decoherencia τD dado por:
2
∆x
−1
τD = γ0
.
(2.31)
λT
Para sistemas masivos y entornos a temperatura considerable λT es pequeño, por lo tanto
el tiempo de decoherencia será mucho menor que la escala de disipación dada por γ0−1 . Esta
expresión fue derivada por primera vez por Zurek [47] para introducir la noción de escala
temporal de decoherencia. Por ejemplo, para una partı́cula de masa 1 g a temperatura
ambiente separadas por 1 cm, la ecuación (2.31), predice un tiempo de decoherencia 1040
veces más rápido que el tiempo de relajación. Finalmente, es conveniente aclarar, que esta
escala temporal es válida estrictamente bajo estas aproximaciones y no es un resultado
general, como fue observado en [45]. Un ejemplo de ello es la dependencia cuadrática en
∆x que aparece en la ec. (2.31), la misma debe saturar y no crecer indiscriminadamente,
ya que el tiempo de decoherencia debe ser siempre mayor que 1/Λ.
Decoherencia en el espacio de fases
Ahora podemos volver a la ecuación maestra general (2.21), e ilustrar la dinámica de
un sistema generada por esta ecuación. Esta situación fue estudiada en detalle en [45], y
consiste en considerar la evolución temporal de la matriz densidad reducida en el espacio
de fases. Para lo cual, resulta útil recurrir a una función distribución que se obtiene a
partir de la matriz densidad, la función de Wigner [48]:
Z ∞
dz ipz
W (x, p) =
e ρ(x − z/2, x + z/2).
(2.32)
−∞ 2π~
La estrategia consiste en considerar un estado inicial delocalizado en posición (o momento), poniendo especial atención en los efectos de interferencia. Ψ(x, t = 0) = Ψ1 (x)+Ψ2 (x)
es la función de onda inicial, donde Ψi (x) son estados de mı́nima incertidumbre localizados simétricamente en el espacio de fases. De esta manera, la función de Wigner puede
ser escrita en forma sencilla como la suma de tres términos [45], dos que representan los
picos Gaussianos y el restante es el término de interferencia:
W (x, p, t) = W1 (x, p, t) + W2 (x, p, t) + Wint (x, p, t),
(2.33)
su forma explı́cita puede verse en la referencia [45]. La dependencia temporal de la función
de Wigner puede ser escrita explı́citamente en función de los coeficientes del operador
16
2.5. Movimiento Browniano Cuántico
evolución de la ec. (2.21). Inicialmente, como consecuencia de la interferencia cuántica,
la función de Wigner oscila y toma valores negativos en algunas regiones del espacio de
fases. Este es un signo de la coherencia del sistema y la frecuencia de las oscilaciones
es proporcional a la distancia que separa los paquetes. A lo largo de la evolución, los
picos Gaussianos cambian su ancho y siguen las trayectorias clásicas, distorsionadas por
la interacción con el entorno. Las franjas de interferencia cambian su longitud de onda y
rotan siguiendo la evolución de los paquetes Gaussianos, ver Figura 2.1. El efecto de la
decoherencia se manifiesta en la disminución de las franjas de interferencias. Este efecto
se puede estudiar, por medio del “factor de visibilidad de las franjas” Aint [45], definido
por:
1
Wint (x, p)|pico
exp(−Aint ) =
.
(2.34)
2 (W1 (x, p)|pico W2 (x, p)|pico )1/2
Al considerar las posibles condiciones iniciales: separación en posición y momento, se
puede encontrar una diferencia notable en la taza a la cual desaparecen las franjas de interferencia. Esto se puede explicar de la siguiente manera: la interacción entre el sistema y
el entorno se efectúa mediante la coordenada posición, por lo tanto el entorno monitorea
al sistema en dicho observable, es ası́ que las superposiciones en x pierden su coherencia
casi instantáneamente. Por el contrario, las superposiciones en momento son insensibles
al monitoreo inicial, ya que el estado inicial se halla localizado en ese observable. Al evolucionar el sistema, rotando alrededor del origen del espacio de fases, las superposiciones
en momento se tornan en superposiciones en posición y el sistema invariablemente sufre
la pérdida de coherencia, pero a diferencia del caso anterior, en una escala temporal que
está relacionada con la dinámica del sistema.
p
p
x
x
Figura 2.1: Movimiento Browniano cuántico en el espacio de fases. Evolución de la función
de Wigner para un estado inicial tipo “gato de Schrödinger”. Las franjas de interferencia
denotan la coherencia cuántica del estado.
Este tratamiento resulta muy útil, además, ya que permite estimar escalas temporales
de decoherencia para diferentes temperaturas. Es ası́ que se puede estudiar la aproximación
de temperaturas altas y estimar su rango de validez [45]. Por otro lado, es posible obtener
tiempos de decoherencia para varias situaciones ya que existe una caracterı́stica clara
17
Capı́tulo 2. Decoherencia
que nos permite, de alguna manera, marcar el borde entre el comportamiento cuántico
y clásico. Esta propiedad es la coherencia del sistema, que se encuentra cuantificada por
el factor de visibilidad. Imponiendo que Aint (τD ) = 1, se puede obtener que el tiempo de
decoherencia a bajas temperaturas es del orden de [45, 49]:
τD−1
≈ γ0
∆x
∆x0
2
(2.35)
donde ∆x20 = ~ coth(ω/2kB T )/mω, y para parámetros macroscópicos, sigue siendo más
corto que el tiempo de disipación.
Estados puntero del MBC
Como vimos al principio de este capı́tulo, el proceso más importante de la decoherencia es la selección dinámica de un conjunto de estados estables. Estos estados son, por
definición, los menos afectados por la interacción con el entorno. Un criterio para obtener
sistemáticamente estos estados fue propuesto en [50, 51]. La idea básica es la siguiente:
para encontrar los estados puntero, uno debe considerar todos los posibles estados iniciales puros para el sistema y calcular la entropı́a asociada con la matriz densidad reducida
luego de un determinado tiempo t. Los estados puntero son aquellos que minimizan la
producción de entropı́a durante escalas temporales dinámicas.
Este criterio, puede ser aplicado en los modelos más simples de decoherencia, donde
el Hamiltoniano del sistema puede ser despreciado. En estos casos, los estados punteros
son simplemente los autoestados del Hamiltoniano de interacción. En situaciones más
realistas, donde el Hamiltoniano del sistema debe ser tenido en cuenta, los estados puntero
se encontrarán determinados por la interacción y la dinámica interna del sistema. El
ejemplo más claro se encuentra dado por el MBC, donde los estados puntero pueden ser
calculados explı́citamente, utilizando la ecuación maestra como herramienta fundamental.
Para encontrar los estados puntero, se puede estudiar la pureza del sistema ζ = Trρ2
en vez de la entropı́a de von Neumann. Esta cantidad es igual a 1 para un estado puro y
decrece cuando el sistema se vuelve mixto debido a la interacción con el entorno. Antes
de continuar resulta conveniente hacer algunas hipótesis, como utilizar la aproximación
perturbativa (caso subamortiguado) y despreciar el efecto de la fricción a tiempos cortos
(ya que intenta aumentar la pureza localizando el estado compitiendo con los efectos
difusivos). Luego, considerando que el estado inicial es puro, es posible calcular el cambio
de pureza durante un perı́odo a partir de los coeficientes de la ecuación maestra [51]:
∆p2
2
ζ(T ) − ζ(0) = −2D ∆x + 2 2 ,
(2.36)
mω
donde ∆x y ∆p son las dispersiones en posición y momento del estado inicial. Se puede probar además, que el término de difusión anómala no produce un incremento de la
entropı́a ya que se promedia a cero sobre un perı́odo. Variando sobre todos los posibles estados iniciales y considerando el principio de mı́nima incertidumbre ∆x∆p ≥ ~/2, resulta
18
2.5. Movimiento Browniano Cuántico
claro que los estados puntero son los de mı́nima incertidumbre [51, 52]: ∆x2 = ~/2mω
y ∆p2 = ~mω/2. La mecánica cuántica no permite la localización perfecta en el espacio
de fases, pero los estados coherentes seleccionados por el dinámica representan la mejor
localización posible en el espacio de fases. De hecho, podemos ver a los estados coherentes
como la versión cuántica del concepto idealizado de puntos clásicos en el espacio de fases.
19
Capı́tulo 3
Decoherencia y Entrelazamiento
El entrelazamiento caracteriza las correlaciones cuánticas. Este tipo de correlaciones
resultan ser mucho más fuertes y cualitativamente diferentes a cualquier otro tipo de
correlación conocida. Es por eso, que resulta ser el responsable de algunos de los aspectos
más anti-intuitivos de la mecánica cuántica y ha sido el foco de extensas discusiones
en el área de fundamentos de la mecánica cuántica. Una de sus caracterı́sticas notables
radica en que es altamente no-local, puede ser compartido por pares de átomos, fotones,
electrones, a pesar de estar remotamente separados. Esta propiedad posibilita su uso para
diferentes estrategias de comunicación y encriptación cuántica, de hecho es el ingrediente
principal en el protocolo de teleportación. De esta manera, no es sólo considerado como
una propiedad peculiar de los sistemas cuánticos sino además como un recurso fı́sico.
Es ası́ que la creación y manipulación del entrelazameinto es un tema interesante, no
sólo por sus implicancias fundamentales, sino además por sus aplicaciones prácticas. De
hecho, durante la última década se ha puesto especial énfasis en el estudio de la fı́sica del
entrelazamiento [53]; probablemente impulsado por el desarrollo de nuevos algoritmos y
protocolos criptográficos. Su estudio no se restringe al caso de sistemas discretos como
qubits, sino que además se consideran sistemas con variables continuas [54], donde varios
experimentos mostraron la implementación exitosa de por ejemplo protocolos criptográficos [55] y teleportación cuántica [56]. Este tipo de correlaciones, al igual que las clásicas,
en general decaen cuando se encuentran inmersas en entornos ruidosos, de forma que la
atenuación del entrelazamiento es casi ineludible. En este contexto, comprender el impacto de la interacción entre el sistema cuántico compuesto, eventualmente entrelazado, y su
entorno es de considerable importancia. En efecto, las consecuencias de la decoherencia
en algunos casos pueden ser devastadoras: debido a la interacción con el entorno, el entrelazamiento en un sistema compuesto puede desaparecer en tiempo finito. Este fenómeno,
que en un principio fue discutido y analizado en sistemas formado por qubits [57, 58, 59]
y recientemente detectado en el laboratorio en dos contextos diferentes [60, 61], se conoce como “muerte súbita” del entrelazamiento (SD: sudden death). De todas formas, en
general, el destino del entrelazamiento para sistemas cuánticos abiertos no es del todo
evidente, y hasta ahora no hay un entendimiento profundo de cómo es posible prevenir
su muerte súbita.
21
Capı́tulo 3. Decoherencia y Entrelazamiento
Este capı́tulo contiene una revisión de conceptos que serán utilizados más adelante.
En lo que sigue introduciremos la noción de entrelazamiento, ası́ como también medidas
de entrelazamiento. Además introduciremos el formalismo para describir eficientemente
estados Gaussianos y mostraremos cómo calcular el entrelazamiento para estos estados.
Por último mostraremos una medida de las correlaciones totales (clásicas y cuánticas): la
información mutua cuántica.
3.1.
Entrelazamiento
El nombre “entrelazamiento” [53] se utiliza para describir a las correlaciones cuánticas
existentes entre sistemas compuestos. Comenzaremos por su definición y luego estudiaremos algunas de sus propiedades. Consideremos un sistema bipartito formado por dos
subsistemas A y B, cuyo espacio de Hilbert es H = HA × HB . Un estado puro |ψi del
sistema global se dice que es separable si y sólo si puede ser escrito como producto:
|ψi = |ϕiA ⊗ |φiB .
(3.1)
Un estado se encuentra entrelazado si y sólo si no es separable. De este modo, si un estado
es separable cada subsistema puede ser considerado como una entidad. Los subsistemas a
pesar de formar parte de un sistema compuesto, conservan completamente su individualidad. En el caso de estados puros, el entrelazamiento puede estudiarse recurriendo a la
representación de Schmidt [62]. Es posible demostrar que todo estado puro bipartito, |ψi,
puede ser descompuesto de la siguiente manera:
|ψi =
d
X
i=1
λi |iA i ⊗ |iB i;
(3.2)
donde λi ≥ 0 son los coeficientes
de Schmidt, {|iA i} y {|iB i} son las bases de Schmidt, y la
P
normalización impone di=1 λ2i = 1. El valor de d, que determina la cantidad de términos
de la expansión, se conoce como número de Schmidt. Por lo tanto, resulta sencillo obtener
la matriz densidad reducida de cada uno de los subsistemas:
ρA =
d
X
ρB =
λ2i |iA ihiA |,
i=1
d
X
i=1
λ2i |iB ihiB |.
(3.3)
De esta ecuación se desprende que los estados separables puros se encuentran escritos
directamente en la representación de Schmidt con d = 1, donde la matriz densidad reducida de cada subsistema corresponde a estados puros (ρA = |ϕihϕ| y ρB = |φihφ|). Por
otro lado, si el número de Schmidt es d > 1 el estado ya no puede escribirse como estado
producto. En consecuencia, es posible formular el siguiente criterio de entrelazamiento:
22
3.1. Entrelazamiento
un estado bipartito se encuentra entrelazado si y sólo si las matrices densidad reducida
corresponden a estados mixtos, es decir si d > 1. Este resultado es sencillo de entender: el
estado global (3.2) contiene información no sólo de los sistemas A y B sino que además
de las correlaciones entre ellos; por lo tanto, la información que se puede obtener a partir
de la matriz densidad reducida ρA (o equivalentemente ρB ) es menor que la contenida en
el estado |ψi, ya que de esta manera renunciamos a considerar las correlaciones cuánticas
existentes entre ambos subsistemas. Resulta evidente entonces, que la entropı́a de ρA (ρB )
debe ser no nula. Mediante la observación de un subsistema por separado, sólo es posible
obtener un conocimiento estadı́stico acerca del estado del otro subsistema.
Pudimos concluir que la presencia entrelazamiento en estados puros se encuentra directamente relacionada con la impureza de la matriz densidad reducida. Además, es posible
cuantificar la cantidad de entrelazamiento presente con la entropı́a de entrelazamiento
E(ρR ). E(ρR ) se encuentra definida
la entropı́a de von Neumann de la matriz densiPd como
2
dad reducida, ρR : E(ρR ) = − i=1 λi log λ2i . Esta cantidad constituye la medida canónica
de entrelazamiento para estados puros. Además se puede notar, a partir de la ecuación
(3.2), que el número y los coeficientes de Schmidt son invariantes frente a operaciones
unitarias locales, ya que sólo modifican las bases de Schmidt.
Al considerar estados mixtos la identificación de estados entrelazados no resulta ser
tan sencilla. Un estado mixto general puede ser escrito como una suma convexa de estados
puros:
X
ρ=
pi |ψi ihψi |.
(3.4)
i
Esta propiedad, el hecho de que las matrices densidad formen un conjunto convexo, tiene un simple interpretación fı́sica. La ecuación (3.4) nos dice cómo preparar el estado
descripto por la matriz densidad ρ. En este caso, para conseguir ρ podemos preparar el
estado puro |ψ1 i con probabilidad p1 , el estado puro |ψ2 i con probabilidad p2 , etc. No
obstante, esta representación es ambigua ya que no es única, de hecho, existen infinitas
maneras de expresar ρ como una suma convexa de estados puros. Por lo tanto, un estado
bipartito mixto será separable si existe una dada preparación donde sólo sean necesarias
operaciones locales y comunicación clásica (LOCC). Formalmente esto implica que un
estado ρ del sistema global se dice que es separable si y sólo si puede ser escrito como una
suma convexa de estados producto [63]:
ρ=
k
X
i=1
pi ρAi ⊗ ρBi ,
Pk
(3.5)
donde i pi = 1 (preservando la norma) y cada ρAi (ρBi ) describen estados del sistema A
(B). Para estados globales puros, esta definición se reduce a la ecuación (3.1). Determinar
si un estado mixto es separable resulta extremadamente difı́cil, ya que requiere chequear
todas las posibles preparaciones. Por este motivo, existen varios criterios que permiten
determinar la separabilidad de un estado mixto.
Como vimos, los estados puros se encuentran dotados de correlaciones puramente
cuánticas: la naturaleza de las correlaciones son profundamente diferentes de las corre23
Capı́tulo 3. Decoherencia y Entrelazamiento
laciones clásicas, que pueden ser creadas eligiendo las mezclas estadı́sticas correctas. En
general, un signo caracterı́stico de entrelazamiento es la violación de desigualdades impuestas por teorı́as realistas locales [64]. Todo estado bipartito se encuentra entrelazado
si, para un conjunto adecuado de observables, conduce a la violación de dichas desigualdades. Podemos concluir además que constituye el tipo de correlaciones que no pueden
ser creadas a partir de operaciones locales y comunicación clásica (LOCC).
Nuestro próximo paso será mostrar una medida de entrelazamiento compatible con
nuestro sistema cuántico. Es decir, una función de valores reales que cuantifique el grado
de entrelazamiento de un dado estado. Para estados puros bipartitos hemos mostrado
que la entropı́a reducida constituye una buena medida de entrelazamiento. En el caso de
estados mixtos, este sigue siendo un problema abierto, y es por eso que se han desarrollado
diversos criterios operacionales para detectar entrelazamiento [53, 65]. Uno de los más
importantes y poderosos hasta ahora es el criterio de separabilidad de la transpuesta
parcial de Peres-Horodecki [66, 67]: si un estado ρAB bipartito es separable, entonces su
A
transpuesta parcial ρTAB
(con respecto a uno de los subsistemas, en este caso A) es una
matriz densidad válida, en particular definida positiva. El criterio se conoce comúnmente
como PPT (positive partial transposition):
A
ρAB separable =⇒ ρTAB
≥ 0.
(3.6)
La condición de positividad es independiente de la base en la cual se hace la transposición parcial, y resulta ser necesaria para la separabilidad. En particular, para los casos de
dimensión finita 2⊗2 y 2⊗3 resulta ser una condición necesaria y suficiente para la separabilidad [66, 67]. Por otro lado la inversa es, en general, falsa. Es decir, no todo estado con
transpuesta parcial positiva es separable. Los estados entrelazados con transpuesta parcial
positiva, se conocen como de entrelazamiento ligado (bound entangled) [68], ya que su
entrelazamiento no puede ser destilable para obtener estados máximamente entrelazados.
Una buena medida de entrelazamiento debe reflejar las propiedades esenciales que
asociamos al entrelazamiento, estas se encuentran contenidas en una serie de postulados
axiomáticos para medidas de entrelazamiento [53, 65]. En los casos donde el criterio PPT
es necesario y suficiente para que exista entrelazamiento, la Negatividad [69, 70], N (ρAB ),
constituye una función monótona de entrelazamiento que cuantifica la negatividad en el
A
espectro de la matriz densidad transpuesta parcial ρTAB
, y se encuentra definida como:
N (ρAB ) =
A
k ρTAB
k −1
,
2
(3.7)
p
P
−
donde k ρ k= Tr ρ† ρ. Se puede ver además que N (ρ) = | i λ−
i | donde λi son los autovalores negativos de la matriz densidad transpuesta parcial. Por otro lado, una cantidad muy
relacionada con la negatividad, y es la que usaremos para cuantificar el entrelazamiento
de nuestros sistemas, es la Negatividad logarı́tmica [71, 70]:
A
EN (ρAB ) = ln k ρTAB
k≡ ln[1 + 2N (ρ)].
24
(3.8)
3.2. Entrelazamiento entre modos bosónicos
La negatividad logarı́tmica, al igual que la negatividad, es una función monótona de
entrelazamiento. Además, se puede mostrar que no se reduce a la entropı́a de entrela1
zamiento
para estados
puros, es aditiva y no es convexa [72], es decir no cumple con
P
P
EN ( i pi ρi ) ≤
i pi EN (ρi ). Su mayor ventaja es que resulta muy simple de calcular
y además posee varias interpretaciones operacionales: es una cota superior al entrelazamiento destilable2 [70], proporciona un lı́mite a la capacidad de teleportación [71] y se
encuentra relacionada con el costo de entrelazamiento3 en la preparación de estados con
operaciones PPT [74] (mapean estados PPT en estados PPT).
3.2.
Entrelazamiento entre modos bosónicos
A lo largo de la tesis, nos restringiremos al análisis de las correlaciones para estados
Gaussianos. En esta sección introduciremos las nociones básicas para el estudio de sistemas
con variables continuas, en particular estados Gaussianos. Mostraremos el formalismo
que permite describir, a partir de la matriz de covarianza, la evolución de un conjunto
de sistemas cuánticos descriptos por un estado Gaussiano. Para profundizar acerca de
sistemas con variables continuas se puede recurrir a las referencias [54, 75, 76].
3.2.1.
Nociones básicas y notación
Consideraremos un sistema cuántico canónico de dimensión infinita constituido por
un conjunto de n “modos”. Hk = ~ωk (a†k ak + 21 ), donde los operadores conjugados xk y
pk actuando en el espacio de Hilbert Hk son:
r
r
~
~mk ωk
†
(ak + ak ),
pk = −i
(ak − a†k ).
(3.9)
xk =
2mk ωk
2
En lo que sigue, consideraremos unidades naturales: ~ = kb = 1. Además definiremos
pares de variables conjugadas adimensionales:
r
r
mk ωk
1
Xk =
pk .
(3.10)
xk ,
Pk =
~
~mk ωk
Estos operadores representan las cuadraturas de un sólo modo k, en términos clásicos
corresponden a la parte real e imaginaria de la amplitud compleja del oscilador. Por
~ =
conveniencia agruparemos los operadores canónicos en un vector de operadores R
T
(X1 , P1 , ..., Xn , Pn ) . De esta manera, las relaciones de conmutación canónicas pueden
ser expresadas como:
[Rk , Rl ] = iΩkl .
(3.11)
1
Estrictamente se llama “medida de entrelazamiento” a la función monótona de entrelazamiento que
además se reduce a la entropı́a de entrelazamiento para estados puros [72].
2
El entrelazamiento destilable [73] es la la fracción asintótica M/N de pares de Bell (estados máximamente entrelazados) que pueden ser extraı́dos de N copias del estado ρ mediante LOCC.
3
El costo de entrelazamiento es el número de estados máximamente entrelazados que se requieren para
crear un dado estado.
25
Capı́tulo 3. Decoherencia y Entrelazamiento
donde Ω es la forma simpléctica.
Ω=
n
M
ω,
ω=
i=1
0 1
−1 0
.
(3.12)
~ = (X1 , ..., Xn , P1 , ..., Pn )T ,
Si, por otro lado, agrupamos los operadores de la siguiente manera S
es posible reescribir las relaciones de conmutación de la siguiente forma:
[Sk , Sl ] = iJk,l ,
(3.13)
donde Jkl son los elementos de la matriz simpléctica antisimétrica de 2n × 2n
0 In
J=
,
−In 0
(3.14)
y In es la matriz identidad de n × n. Ambas notaciones son muy usadas en la literatura.
3.2.2.
Estados Gaussianos y su representación
Los estados Gaussianos cuánticos cumplen un rol fundamental en muchos campos de
la fı́sica teórica. Por ejemplo, en óptica cuántica como estados de los modos del campo de
la luz; como estado fundamental de Hamiltonianos cuadráticos en posición y momento;
pero por otro lado representan estados que pueden ser útiles para propósitos relacionados
con la información cuántica, ya que pueden ser producidos eficientemente en un laboratorio. Su nombre deriva de la propiedad que los define: la función caracterı́stica [77] del
estado es Gaussiana en el espacio de fases, o equivalentemente la función de Wigner [48]
es Gaussiana. Un estado Gaussiano general de n modos se encuentra descripto por la
siguiente función de Wigner:
W (ξ) =
1
√
1
(2π)n detV
T V −1 (ξ−r)
e− 2 (ξ−r)
,
(3.15)
donde ξ es el vector que tiene los pares de cuadraturas de todos los n de modos, y V
es la matriz de covarianza. V y ~r caracterizan completamente el estado conteniendo los
primeros y segundos momentos de los operadores de cuadratura, respectivamente:
ri ≡ hXi i,
hXi Xj + Xj Xi i
V ij ≡
− hXi ihXj i,
2
(3.16)
(3.17)
donde hOi ≡ Tr[Oρ] es el valor medio usual del operador O. De aquı́ en adelante consideraremos las matrices de covarianza en negrita (ej. V ). La positividad de la matriz
densidad y las relaciones de conmutación canónicas proveen la siguiente restricción a la
matriz de covarianza de un dado estado fı́sico ρ [78, 79].
26
3.2. Entrelazamiento entre modos bosónicos
Principio de incertidumbre. La matriz de covarianza V asociada a un estado ρ debe
cumplir la siguiente desigualdad:
i
(3.18)
V + Ω≥0
2
para ser una matriz de covarianza genuina.
Dicha ecuación, (la demostración se encuentra en el Apéndice C.1) indica que la suma
de matrices de la parte izquierda no tiene autovalores negativos. Se puede notar que esta
relación debe ser satisfecha no sólo por estados Gaussianos, sino que cualquier estado
fı́sico debe cumplirla. Para estados Gaussianos, no es sólo una condición necesaria, sino
que es suficiente para asegurar la positividad de ρ [80]. Además, resulta sencillo de ver
que en el caso más simple, para un sólo modo, se reduce a detV ≥ 1/4, que es una versión
más precisa y completa del principio de incertidumbre de Heisenberg.
Por ejemplo, el estado de vacı́o de n modos (autoestados simultáneos de todos los
operadores ai ) es Gaussiano con matriz de covarianza V = I y primeros momentos r = 0.
En general, un modo de radiación de frecuencia ωk , en equilibrio térmico a temperatura
T , también se encuentra descripto por una función de Wigner Gaussiana. Su matriz de
covarianza ν es isótropa: ν = νk I2 :
νk =
2n̄k + 1
1
≥ ,
2
2
con n̄k = (eωk /T − 1)−1
(3.19)
mientras que los primeros momentos son nulos, n̄k es el número medio de fotones en
equilibrio en el modo k .
El conjunto de operaciones generadas por los polinomios de segundo orden en los
operadores de cuadraturas es especialmente relevante cuando uno trabaja con estados
Gaussianos. Dichas operaciones corresponden a transformaciones simplécticas en el espacio de fases: operaciones lineales que preservan la forma simpléctica Ω. La correspondencia
entre las transformaciones simplécticas en el espacio de fases Γ y las operaciones unitarias
en el espacio de Hilbert H se encuentran contenidas en el teorema de Stone-von Neumann.
Dicho mapeo entre transformaciones unitarias y simplécticas se conoce comúnmente como
representación “metapléctica”. Una matriz S corresponde a una transformación simpléctica (en un espacio de fases de n modos) si y sólo si:
S T ΩS = Ω.
(3.20)
Además, es fácil de ver que estas transformaciones forman un grupo: grupo real simpléctico Sp(2n, R). Las transformaciones simplécticas actúan linealmente en los primeros momentos y por congruencia en las matrices de covarianza: V → S T V S. Como primer
consecuencia de la ec. (3.20) podemos notar que DetS = 1, ∀S ∈ Sp(2n, R).
Dentro del marco de la óptica cuántica podemos encontrar algunos ejemplos de operaciones unitarias que preservan el carácter Gaussiano de los estados. Por ejemplo, divisores
de haz ideales, cambios de fase y operaciones de squeezing se encuentran descriptos por
operaciones simplécticas. De hecho, los squeezing de un modo y dos modos que ocurren en
27
Capı́tulo 3. Decoherencia y Entrelazamiento
conversiones paramétricas degeneradas y no degeneradas respectivamente, se encuentran
† †
1
∗
descriptas por los operadores Uij,r,ϕ = e 2 (ǫai aj −ǫ ai aj ) con ǫ = rei2ϕ y para un sólo modo i si
i = j. Otro ejemplo muy importante son los divisores de haz que se encuentran descriptos
†
†
por el operador Bij,θ = eθai aj −θai aj . La representación simpléctica de estas operaciones
unitarias junto con la demostración del teorema que se encuentra a continuación pueden
verse en el Apéndice C.1.
El siguiente teorema de Williamson [81, 82], es una herramienta crucial para el análisis
simpléctico y provee una herramienta muy útil para el estudio de estados Gaussianos.
Teorema de Williamson. Sea V una matriz real simétrica de dimensión 2n definida
positiva. Entonces, existe S ∈ Sp(2n, R) y D de dimensión n, diagonal y positiva tal que:
D 0
T
S.
(3.21)
V =S
0 D
Las matrices S y D son únicas salvo una permutación de los elementos de D.
A partir del teorema anterior se desprende la siguiente propiedad importante. Toda
matriz de covarianza V de n modos, puede ser escrita en la Forma Normal de Williamson:
V = S T νS,
(3.22)
donde S es una transformación simpléctica, que no es única, y
n M
νi 0
ν=
.
0 νi
(3.23)
i=1
El significado fı́sico de la descomposición (3.23) es que todo estado Gaussiano ρ puede
ser obtenido a partir del estado térmico ρν , descripto por la matriz de covarianza ν, a
partir de la transformación unitaria US asociada con la transformación simpléctica S,
ρ = US ρν US† . La transformación S se dice que realiza una diagonalización simpléctica, y
el conjunto de {νi } se conoce como el espectro de V . νi son los autovalores simplécticos
de V , que pueden ser calculados de la siguiente manera (ver Apéndice C.1):
Diagonalización simpléctica. Los autovalores simplécticos de la matriz de covarianza
V son los autovalores ordinarios de la matriz |iΩV |.
Los autovalores simplécticos {νi } de la matriz de covarianza V = S T νS contienen
información esencial acerca del estado Gaussiano ρ y permiten expresar sus propiedades
fundamentales en forma sencilla. Un ejemplo es la relación de incertidumbre dada por la ec.
(3.18). Como S es simpléctica, S −1 ΩS = Ω, entonces la desigualdad (3.18) es equivalente
a ν + 2i Ω ≥ 0. Que en términos de los autovalores simplécticos, es simplemente
νi ≥
1
∀i = 1, ..., n.
2
28
(3.24)
3.2. Entrelazamiento entre modos bosónicos
Los autovalores simplécticos de una matriz de covarianza V son, claramente, invariantes ante transformaciones simplécticas sobre V . Por lo tanto, un estado Gaussiano
será puro si y sólo si se obtiene a partir de una ρν pura, que equivale al estado de vacı́o
de n modos. De esta manera, a partir de la condición (3.22) todo estado Gaussiano puro
puede ser escrito como:
V = 2−1 SS T ,
(3.25)
además, de la ecuación (3.24), podemos ver que los Gaussianos estados puros son estados
de mı́nima incertidumbre para las cuadraturas adecuadas νk = 1/2.
Será de suma importancia identificar otros invariantes simplécticos como función de los
elementos de V , es decir, los segundos momentos. De acuerdo al teorema de Williamson,
existen n invariantes independientes para un sistema de n modos. Como DetS = 1 ∀S ∈
Sp(2n, R), un primer invariante trivial se encuentra dado por DetV para cualquier número
de modos. Asimismo, se puede demostrar que el significado fı́sico de este invariante se
encuentra directamente relacionado con la pureza del estado:
Trρ2 =
2n
√
1
.
DetV
(3.26)
Esta igualdad resulta ser válida para cualquier cantidad de modos.
Estados Gaussianos de un sólo modo
La clase más simple de estados Gaussianos involucra a los formados por un sólo modo. En este caso, el único invariante simpléctico es DetV = ν12 . Como consecuencia del
teorema de Williamson, todo estado Gaussiano ρ de un sólo modo puede ser escrito como:
ρ = D † (α)S † (r, ϕ)ρν1 S(r, ϕ)D(α),
(3.27)
donde D(α) = D1 (α) es un operador desplazamiento, S(r, ϕ) = S11,r,ϕ es un operador de
squeezing de un sólo modo y ρν1 es un estado térmico. Además, la pureza de un estado de
un sólo modo se encuentra dada por Trρ2 = 1/2ν1 . De esta manera, es posible parametrizar
la matriz de covarianza V en términos de los parámetros de squeezing y su pureza:
2n̄ + 1
(cosh(2r) − sinh(2r) cos(2ϕ)) ,
2
2n̄ + 1
(cosh(2r) + sinh(2r) cos(2ϕ)) ,
=
2
2n̄ + 1
= V 21 =
sinh(2r) sin(2ϕ).
2
V 11 =
V 22
V 12
(3.28)
Es ası́ que la pureza depende del número medio de fotones, ya que las operaciones de
squeezing y desplazamiento son unitarias, y por lo tanto no afectan a la pureza del estado:
Trρ2 =
1
1
≡
.
2n̄ + 1
2ν
29
(3.29)
Capı́tulo 3. Decoherencia y Entrelazamiento
Esta misma observación resulta ser válida para la entropı́a de Von Neumann, definida
como H(S) = −Tr[ρS ln ρS ]. Para el caso de estados Gaussianos de un sólo modo es
equivalente a [83]:
H(S) = g(ν),
(3.30)
donde,
1
1
1
1
ln x +
− x−
ln x −
.
g(x) = x +
2
2
2
2
(3.31)
Esta expresión muestra que H resulta ser una función monótona creciente de la entropı́a
lineal, para estados Gaussianos de un modo. Podemos notar además que ν es proporcional
al área simpléctica del estado. Otra peculiaridad que podemos observar es que la entropı́a
es independiente de los primeros momentos r, esto resulta sencillo de comprobar notando
que la variación de los mismos corresponden a traslaciones en el espacio de fases que
dejan invariante el área simpléctica; por otro lado se encuentran asociadas a operaciones
unitarias en el espacio de Hilbert que no modifican la pureza del estado. Esta propiedad
será utilizada en todos los análisis subsiguientes, ya que sólo examinaremos las propiedades
de la matriz de covarianza.
Estados Gaussianos de n modos
Aquı́ veremos las propiedades de estados Gaussianos compuestos, nos centraremos en
la descripción de las propiedades de los estados Gaussianos de dos modos que fácilmente
pueden ser generalizadas.
El sistema compuesto más simple que estudiaremos a lo largo de la tesis es el formado
por estados Gaussianos de dos modos. Por eso es conveniente mostrar algunas propiedades de estos estados, encontrar los invariantes simplécticos y establecer la notación que
será utilizada. Comenzaremos por expresar la matriz de covarianza V de un estado Gaussiano general de dos modos, en términos de submatrices de 2 × 2: α, β y γ siguiendo la
notación de la referencia [84]:
α γ
,
(3.32)
V =
γT β
donde α y β son las matrices asociadas al estado reducido de cada uno de los subsistemas, mientras γ describe las correlaciones entre los dos subsistemas. Nuestro interés se
encuentra centrado en el estudio de las correlaciones, por este motivo resultará útil conocer las cantidades invariantes ante operaciones locales. Dos estados ρ1 y ρ2 de un sistema
bipartito HA ⊗ HB son localmente equivalentes si existen dos transformaciones unitarias
UA y UB actuando en HA y HB respectivamente, tal que ρ2 = UA ⊗ UB ρ1 UA† ⊗ UB† . En
término de matrices de covarianza las transformaciones locales (Gaussianas) están asociadas a transformaciones simplécticas locales. De esta manera, las submatrices α, β y γ,
transforman ante operaciones locales simplécticas S1 ⊕ S2 como:
α → S1T αS1 ,
β → S2T βS2 ,
30
γ → S1T γS2 .
(3.33)
3.2. Entrelazamiento entre modos bosónicos
Por lo tanto, podemos identificar rápidamente cuatro invariantes simplécticos asociados
a V : Detα, Detβ y Detγ; y el restante, como vimos, DetV .
Además, la matriz de covarianza correspondiente a sistemas de dos modos puede ser
reducida a la forma standard [85] mediante operaciones simplécticas locales:


a 0 c1 0
 0 a 0 c2 

(3.34)
SlT V Sl = V sf = 
 c1 0 b 0  .
0 c2 0 b
Donde a, b, c1,2 son cantidades reales que se determinan a partir de los cuatro invariantes
simplécticos locales DetV = (ab − c21 )(ab − c22 ), Detα = a2 , Detβ = b2 y Detγ = c1 c2 .
Esto se puede ver de la siguiente manera: de acuerdo al teorema de Williamson, mediante transformaciones simplécticas locales podemos llevar a las matrices de covarianza
reducidas α y β a su forma diagonal (proporcional a la identidad). Luego la matriz γ
transformará de acuerdo a la ecuación (3.33), que podrá no ser simétrica y por lo tanto
no-diagonalizable en el campo real. De todas formas, admite una descomposición singular
(SVD): O1T γO2 = D, para alguna matriz real diagonal D y O1 , O2 ∈ SO(2) (en general
O1 6= O2 ). Por lo tanto, la operación simpléctica local O1 ⊕ O2 hace γ diagonal, como
en la ecuación (3.34), mientras que los bloques α y β permanecen invariantes siendo
proporcionales a la identidad.
Como las varianzas de la forma standard son determinadas por los invariantes simplécticos, la forma standard correspondiente a una matriz de covarianza V es única (a menos
de cambio de modos y cambios de signo comunes en c1,2 ). Por otro lado, ∆(V ), definido
por:
∆(V ) = Detα + Detβ + 2 + Detγ,
(3.35)
es invariante ante transformaciones globales simplécticas [84] al igual que DetV . De esta
manera, si ν± son los autovalores simplécticos de V , entonces: DetV = ν−2 ν+2 y ∆(V ) =
ν−2 + ν+2 , y por lo tanto es posible escribirlos de la siguiente forma:
s
p
∆(V ) ∓ ∆(V )2 − 4DetV
.
(3.36)
ν∓ (V ) =
2
Asimismo, la relación de incertidumbre (3.18) para dos modos se reduce a ν− ≥ 1/2 que
en función de los invariantes simplécticos puede ser escrita como:
∆(V ) ≤
1
+ 4DetV .
4
(3.37)
A partir de la ecuación (3.36) podemos escribir la entropı́a de von Neumann en una
forma simple. Para lo cual podemos notar que la entropı́a del estado de dos modos es igual
a la entropı́a del estado equivalente en equilibrio térmico, ec. (3.23), obtenido luego de
la diagonalización simpléctica. Esta diagonalización corresponde a una operación global
unitaria, que como podemos probar fácilmente, no modifica la pureza del estado. Luego,
31
Capı́tulo 3. Decoherencia y Entrelazamiento
utilizando el hecho de que la entropı́a de un estado producto es igual a la suma de las
entropı́as:
H(ρ) = g(ν− ) + g(ν+ ),
(3.38)
donde g(x) se encuentra dado por la ecuación (3.31).
La extensión de este formalismo a n modos es directa, pero sólo en algunos casos
es posible obtener expresiones analı́ticas de cantidades de interés. Este es el caso de la
entropı́a de von Neumann,
donde podemos utilizar el mismo razonamiento anterior para
Pn
probar que H(ρ) = i=1 g(νi ), siendo νi los autovalores simplécticos.
3.2.3.
Negatividad logarı́tmica para estados Gaussianos
Los estados Gaussianos cumplen con el criterio de Peres-Horodecki, esto fue probado
para estados de dos modos [86, 85] (la demostración es sencilla y se encuentra en el
Apéndice C.2) y particiones de 1 × N modos [80]. La prueba de este criterio para estados
Gaussianos aprovecha el hecho de que la operación de transponer corresponde a una
conjugación compleja de la matriz densidad hermı́tica. Luego, tomando en cuenta que una
conjugación compleja equivale a una inversión temporal de la ecuación de Schrödinger,
en variable continua esto corresponde a un cambio de signo en todos los momentos, lo
que es equivalente a una reflexión. En el caso de particiones de 1 × N la transposición
parcial sobre el primer subsistema corresponde solo a la transformación p1 → −p1 . De
esta manera, el criterio PPT para estados Gaussianos resulta: un estado Gaussiano ρ de
(N + 1) modos es separable bajo la partición 1A × NB si y sólo si ρTA ≥ 0. De acuerdo a
la relación (3.24), la positividad de ρTA se reduce a pedir que:
1
ν̃i ≥ ,
2
(3.39)
donde {ν̃i } son los autovalores simplécticos de ρTA . Por lo tanto, la negatividad cuantificará el entrelazamiento para estados bipartitos Gaussianos.
Para estados Gaussianos, la negatividad puede ser calculada a partir de los autovalores
simplécticos de la matriz de covarianza asociada a la matriz densidad transpuesta parcial.
A
A partir de la, ec. (3.7), vemos que su valor es función de la norma de ρTAB
que como
podemos notar es invariante ante transformaciones unitarias globales, que en el espacio
A
de fases corresponden a transformaciones simplécticas. Una de ellas es la que lleva ρTAB
a su forma normal, por medio de la diagonalización simpléctica, transformándola en un
producto de estados térmicos:
A
ρTAB
=
N
+1
O
i=1
ρν̃i =
N
+1
O
i=1
∞
2 X
2ν̃i + 1
k=0
2ν̃i − 1
2ν̃i + 1
k
|kiii hk|,
(3.40)
A
donde ν̃i son los autovalores simplécticos de ρTAB
. Estos operadores se encuentran normalizados para ν̃i ≥ 1/2 ya que constituyen estados válidos ec. (3.24). Mientras que cuando
ν̃i < 1/2, entonces Trρν̃i = 1/2ν̃i , y por lo tanto:
32
3.3. Información mutua cuántica
N (ρAB ) =



1
2
0
(
Q
k (2ν̃k )
si
−1
− 1) ,
para 2ν̃k < 1.
(3.41)
2ν̃k ≥ 1 ∀k.
De esta manera, la negatividad logarı́tmica para estados Gaussianos de 1 × N modos
puede ser escrita como:
X
EN (ρAB ) = máx{0, −
ln[2ν̃k ]}.
(3.42)
ν̃k <1/2
Finalmente, podemos obtener expresiones sencillas de la negatividad logarı́tmica para estados de dos modos. De acuerdo a lo que vimos anteriormente, los autovalores
simplécticos de toda matriz de covarianza se encuentran determinados por cuatro invariantes. Para calcular la negatividad logarı́tmica, necesitamos obtener los autovalores
simplécticos de la matriz densidad transpuesta parcial, que resulta la reflexión pA → −pA .
˜ ) =
Que, en consecuencia, es equivalente al cambio Detγ → −Detγ. Definiendo: ∆(V
Detα + Detβ − 2Detγ, los autovalores simplécticos son:
v
q
u
u˜
˜ )2 − 4DetV
t ∆(V ) ∓ ∆(V
.
(3.43)
ν̃∓ (V ) =
2
Es fácil de comprobar que ν̃+ ≥ 1/2, por lo tanto el menor autovalor simpléctico ν̃− es
el que contiene información acerca del entrelazamiento, y la negatividad logarı́tmica para
estados Gaussianos de dos modos resulta ser:
EN (ρAB ) = máx{0, − ln[2ν̃− ]}.
3.3.
(3.44)
Información mutua cuántica
La información mutua cuántica es una de las medidas de correlaciones que vamos a
utilizar en el último capı́tulo. Su definición proviene de una extensión de la información
mutua clásica a la mecánica cuántica. Comenzaremos por recordar las propiedades de
sistemas clásicos y luego introduciremos su contraparte cuántica.
En teorı́a de la información clásica [87] la entropı́a de Shannon [88], h(X), describe la
ignorancia acerca de una variable aleatoria X. Sea X una variable aleatoria asociada a
función probabilidad p(x), la entropı́a de dicha variable discreta se define como:
h(X) = −
X
p(x) ln p(x).
(3.45)
x
En este caso expresamos la entropı́a en base e y de esta forma se encuentra medida en
nats. En base 2 la entropı́a se expresa en bits, por ej. la entropı́a al tirar una moneda es 1
33
Capı́tulo 3. Decoherencia y Entrelazamiento
bit. Como se puede ver, la entropı́a no depende de los valores de la variable aleatoria X,
sino de su distribución de probabilidad.
Si el sistema se encuentra compuesto por dos variables X e Y , h(X, Y ) se calcula
usando la probabilidad conjunta p(x, y). En este caso, podemos además definir la entropı́a
condicional, h(Y |X), de una variable aleatoria dada la otra, como el valor de expectación
de las distribuciones de entropı́as condicionales promediado sobre la variable condicional,
es decir:
X
XX
h(Y |X) =
p(x)h(Y |X = x) = −
p(x, y) ln p(y|x).
(3.46)
x
x
y
De esta manera, resulta que la entropı́a conjunta se encuentra relacionada con la entropı́a
condicional por:
h(X, Y ) = h(X) + h(Y |X).
(3.47)
Una observación importante es que h(Y |X) 6= h(X|Y ), mientras que h(X, Y ) = h(Y, X)
Como vimos, la entropı́a es una medida de la información promedio requerida para describir una variable aleatoria. Para sistemas compuestos podemos definir, además, la información mutua como una medida de la información que una variable contiene acerca
de la otra:
I(X; Y ) = h(Y ) − h(Y |X).
(3.48)
Esta resulta ser la disminución de incertidumbre de una variable aleatoria debido al conocimiento de otra, es decir, es la ganancia media de información sobre Y al medir X.
Que por simetrı́a equivale a:
I(X; Y ) = h(X) + h(Y ) − h(X, Y ).
(3.49)
Además podemos notar que I(X; X) = h(X), la información mutua de una variable aleatoria consigo misma es la entropı́a de la variable. Por ejemplo, podemos tomar dos variables
aleatorias X e Y perfectamente correlacionadas que pueden tomar valores xi , i = 1, N y
yi , i = 1, N, respectivamente. Por lo tanto, la distribución de probabilidades satisface:
p(x, y) =
1
1
1
δ(x − y), p(x) = , p(y) = .
N
N
N
(3.50)
Podemos calcular la información mutua y ver que: I(X; Y ) = h(X) = h(Y ) = ln N, la
información mutua es igual a la entropı́a de cada una de las variables. De esta manera, al
medir una de las variables obtenemos información completa acerca de la otra. La relación
entre entropı́as e información mutua puede ser resumida en el diagrama de Venn de la
Figura 3.1.
Para generalizar el concepto de entropı́a a sistemas cuánticos reemplazaremos la distribución de probabilidad clásica por la matriz densidad apropiada ρ, y la entropı́a de
Shannon por la entropı́a de von Neumann [20] H(ρ) = Tr [ρ ln ρ]. Su interpretación operacional, es similar a su contraparte clásica, se encuentra asociada a la cantidad de qubits
(usando log2 ) necesarios para transmitir estados cuánticos emitidos por una fuente estadı́stica [89]; es decir, es una medida de los recursos fı́sicos necesarios para representar
la información de un sistema en un estado mixto.
34
3.3. Información mutua cuántica
Figura 3.1: Relación entre la entropı́a y la información mutua.
Por otro lado, podemos definir la información mutua cuántica a partir de la ecuación
(3.49). De esta forma, la información mutua cuántica [90] entre dos sistemas A y B,
I(A, B), se encuentra definida por:
I(A, B) = H(A) + H(B) − H(A, B),
(3.51)
En esta definición H(A) + H(B) representa la incerteza de A y B tratados en forma
separada, y H(A, B) la del sistema combinado. La información mutua cuántica mide, en
forma análoga a su contraparte clásica, la habilidad de predecir el estado de un sistema
a partir del conocimiento del estado del otro sistema. Al igual que en el caso anterior, si
los sistemas no se encuentran correlacionados H(A, B) = H(A) + H(B) y la información
mutua es cero. La principal diferencia que podemos encontrar entre el caso cuántico y el
clásico es que por ejemplo, para estados globales puros I(A, B) = H(A) + H(B). Es decir,
la información mutua puede ser mayor que la entropı́a de cada sistema por separado. Esto
es un signo de la existencia de correlaciones de carácter cuántico. Podemos ver el siguiente
ejemplo, consideremos dos sistemas de dos niveles en un estado de Bell:
1
|Ψi = √ (|0iA |0iB + |1iA |1iB ).
2
(3.52)
Este es un estado puro con correlaciones cuánticas (entrelazamiento) perfectas. En este
caso H(A) = H(B) = ln 2 mientras que I(A, B) = 2 ln 2, la información mutua es el doble
de la entropı́a de cada subsistema, las correlaciones perfectas cuánticas son diferentes de
las correlaciones perfectas clásicas. De esta manera, la información mutua cuántica nos
provee una medida de las correlaciones totales, y no discrimina entre las de carácter clásico
y cuántico.
En el caso de estados Gaussianos resulta inmediato el cálculo de la información mutua
(3.51), a partir de los autovalores simplécticos de la matriz de covarianza correspondiente
35
Capı́tulo 3. Decoherencia y Entrelazamiento
a cada subsistema:
H(ρ) =
n
X
g(νi),
i=1
y g(x) se encuentra dado por la ecuación (3.31).
36
(3.53)
Capı́tulo 4
Dinámica del entrelazamiento entre
dos osciladores en un mismo entorno
Durante el último tiempo ha crecido el interés en caracterizar la dinámica del entrelazameinto en sistemas abiertos, es ası́ que se han obtenido algunos resultados sorprendentes. Por ejemplo, se mostró que bajo determinadas condiciones el entorno puede
actuar como un canal cuántico mediante el cual puede crearse entrelazamiento [91]. En
este caso, incluso si el estado inicial del sistema es separable, el estado final puede hallarse
entrelazado. Posteriormente, en un gran número de trabajos se estudió la dinámica del
entrelazamiento en sistemas formados por qubits interactuando con el mismo o diferentes
entornos [91, 92, 93, 94, 95, 96, 97]. Por otro lado, los sistemas de variables continuas
también fueron estudiados; por ejemplo, se ha analizado la degradación del entrelazamiento en sistemas cuánticos armónicos interactuando con diferentes entornos bosónicos
[98, 99, 100]. Además, se estudió el destino de un tipo de estados inicialmente entrelazados
(estados squeezed de dos modos) interactuando con un baño común mediante diferentes
aproximaciones [101, 102, 103]. Más allá de los resultados interesantes que han aparecido
a partir de esos trabajos, es importante señalar que en [102] se dedujo una condición para
la existencia de muerte súbita para estados squeezed de dos modos bajo la aproximación
de Markoviana de onda rotante (RW: rotating wave). Recientemente, se consideró además
el régimen no-Markoviano [104, 105, 106] y han surgido un conjunto de comportamientos
diferentes a tiempos largos. De hecho, en [104] se advierte que la condición obtenida en
[102] para la existencia de SD debe ser modificada debido a los efecto no-Markovianos.
En este capı́tulo mostraremos que es posible obtener una visión unificada de los comportamientos cualitativamente diferentes del entrelazamiento para estados iniciales Gaussianos generales en entornos no-Markovianos [7, 8]. De esta manera, la dinámica asintótica
del entrelazamiento puede ser descripta por tres posibles fases: SD (muerte súbita), SDR
(muerte súbita y revivals) y NSD (no hay muerte súbita). La existencia de una ecuación maestra para el movimiento Browniano cuántico nos permitirá obtener expresiones
analı́ticas para el entrelazamiento y el lı́mite entre las fases, representadas en un diagrama
de fases. Dicho diagrama contiene toda la información de la dinámica del entrelazamiento
en el lı́mite asintótico. Además analizaremos no sólo el modelo usual del MBC donde el
37
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
acoplamiento entre el sistema y el entorno es mediante la coordenada posición, sino que
estudiaremos cómo varı́an los resultados cuando este acoplamiento es simétrico en posición y momento (este caso, será técnicamente equivalente a la aproximación RW). Los
resultados que presentamos a continuación son generales y se aplican a osciladores que
interactúan o no entre sı́. Asimismo, mostraremos cómo es posible obtener una interpretación de las diferentes fases, en términos de óptica cuántica. Finalmente, estudiaremos
el entrelazamiento entre osciladores no-resonantes donde derivaremos una nueva ecuación
maestra.
El presente capı́tulo se encuentra organizado de la siguiente manera: Comenzaremos
con la Sección 4.1 donde discutiremos los modelos que vamos a considerar. La Sección 4.2
estará dedicada a la presentación de resultados analı́ticos generales que caracterizan las
diferentes instancias del entrelazamiento a tiempos asintóticos para osciladores resonantes. Luego, en la Sección 4.3, presentaremos los diagramas de fases que describen estas
diferentes instancias en función del estado inicial del sistema y el entorno. En la Sección
4.2 presentaremos los resultados analı́ticos y numéricos que reproducen las predicciones
teóricas para los diferentes modelos y densidades espectrales; además mostraremos una interpretación de los resultados en términos de operaciones elementales en la óptica cuántica.
Posteriormente, en la Sección 4.5 analizaremos el caso de osciladores no-resonantes donde derivaremos una nueva ecuación maestra. En la Sección 4.6 mostraremos diferentes
ejemplos que ilustran la generalidad de nuestros resultados, como es el caso de estados
iniciales mixtos y osciladores interactuantes. Finalmente, en la Sección 4.7 presentaremos
las conclusiones de este capı́tulo.
4.1.
El Modelo
Nuestro objetivo será estudiar la dinámica del entrelazamiento entre dos sistemas que
se encuentran acoplados a un mismo entorno. En esta sección, introduciremos las diferentes
situaciones que consideraremos a lo largo de este capı́tulo e ilustraremos la manera en que
puede ser resuelta su dinámica a tiempos asintóticos.
Los modelos que estudiaremos consideran interacciones bilineales y por lo tanto es
posible mostrar que el operador evolución reducido es de la forma (2.21). De esta manera,
se induce una evolución de forma Gaussiana: si el estado inicial de sistema y entorno es
Gaussiano, su forma se encuentra preservada durante toda la evolución. Es ası́, que aprovecharemos esta situación y estudiaremos la dinámica del entrelazamiento para estados
iniciales Gaussianos.
4.1.1.
Movimiento Browniano cuántico con acoplamiento en posición
Uno de los casos que estudiaremos es el sistema formado por dos osciladores cuánticos
que se encuentran acoplados al mismo entorno mediante la coordenada posición. De esta
manera el sistema global se encuentra gobernado por el siguiente Hamiltoniano H =
38
4.1. El Modelo
HS + Hint + HE donde:
HS
HE
p21 + p22 m 2 2
+ (ω1 x1 + ω22 x22 ) + mc12 x1 x2 ,
=
2m
2
N
2
X
mn 2 2
π
w q ),
=
( n +
2mn
2 n n
n=1
Hint = (x1 + x2 )
N
X
(4.1)
cn qn .
n=1
√
Para estudiar su dinámica será conveniente pasar a coordenadas x± = (x1 ±x2 )/ 2 donde
x+ se acopla al entorno. En estas coordenadas el Hamiltoniano HS es:
HS =
(p2+ + p2− ) m 2 2
2 2
+ (ω− x− + ω+
x+ ) + mc+− x+ x− ,
2m
2
(4.2)
2
donde las frecuencias de los osciladores x± son ω±
= (ω12 + ω22 )/2 ± c12 y la constante de
acoplamiento entre ellos es c+− = (ω12 − ω22 )/2. De esta manera, pasamos a un sistema
equivalente formado por dos osciladores que interactúan entre sı́, mientras que sólo uno de
ellos, x+ , interactúa con un entorno, Fig. 4.1. A continuación resolveremos analı́ticamente
un caso especial pero muy relevante: Consideraremos dos osciladores resonantes, es decir,
tomaremos ω1 = ω2 (en este caso los osciladores x± se encontrarán desacoplados, ya que
c+− = 0).
Como vimos anteriormente, este modelo puede ser resuelto exactamente [39]. De este
modo, serán necesarios sólo dos parámetros para caracterizar completamente el efecto del
entorno sobre el sistema. El primero se encuentra dado por el estado inicial del entorno
(asumimos que es térmico, con una temperatura inicial T ). El segundo caracteriza el
tipo de acoplamiento entre el sistema y los diferentes osciladores del entorno, la densidad
espectral. Es fácil demostrar que la matriz densidad reducida ρ, que se obtiene a partir
del estado del universo luego de trazar sobre los grados de libertad de los osciladores del
entorno, obedece la siguiente ecuación maestra [39, 107]:
ρ˙S = −i[HR , ρ] − iγ(t)[x+ , {p+ , ρ}] − D(t)[x+ , [x+ , ρ]] − f (t)[x+ , [p+ , ρ]].
(4.3)
En este caso, el Hamiltoniano renormalizado es
HR = HS +
m 2
δω (t)x2+ .
2
(4.4)
Los coeficientes δω 2 (t), γ(t), D(t) y f (t) dependen de la densidad espectral del entorno
(D(t) y f (t) además dependen de la temperatura inicial T ). La forma explı́cita de estos
coeficientes es un poco complicada y fue estudiada en detalle en muchos trabajos [39, 46,
49] en algunos casos apelando a cálculos perturbativos. Algunos resultados referidos al
comportamiento de los coeficientes para densidades espectrales tı́picas serán descriptos
39
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
más adelante. En particular, vamos a considerar la familia de densidades espectrales de
la forma:
ω n−1
2
θ(Λ − ω),
(4.5)
J(ω) = mγ0 ω
π
Λ
donde Λ es la frecuencia de corte (frecuencia más alta presente en el entorno) y γ0 es la
constante efectiva de acoplamiento. Como vimos, dependiendo del valor de n, las densidades espectrales se conocen como: óhmica (n = 1), sub-óhmica (n < 1) y super-óhmica
(n > 1).
Para estudiar analı́ticamente el régimen asintótico, sólo es necesario asumir (como es
el caso de los entornos realistas) que los coeficientes de la ecuación maestra toman valores
asintóticos constantes luego de un tiempo que depende de la temperatura del baño. Las
2
frecuencias de los osciladores originales Ω21,2 (t) = ω1,2
+δω 2 (t)/2 tendrán valores asintóticos
independientes de la frecuencia de corte sólo si las frecuencias naturales ω1,2 contienen
una dependencia apropiada con la frecuencia de corte. Resulta importante notar, que
la constante de acoplamiento c1,2 también debe ser renormalizada de la misma forma, de
manera que el acoplamiento dependiente del tiempo C12 (t) = c12 + δω 2 (t)/2 tome un valor
asintótico independiente de la frecuencia de corte. El comportamiento de los coeficientes
de difusión D(t) y f (t) es un poco más complicado ya que depende de la temperatura
inicial. Respecto de la notación: letras en mayúsculas corresponderán a las cantidades
renormalizadas (p. ej., Ω1,2 representa el valor asintótico de la frecuencia renormalizada
de los osciladores, etc.).
La ecuación maestra es una herramienta poderosa que permite estudiar el comportamiento del sistema. En este sentido, es conveniente utilizarla y ası́ obtener las ecuaciones
para la evolución de los segundos momentos de x± y p± . Resulta sencillo mostrar que los
segundos momentos de x+ y p+ , satisfacen las siguientes ecuaciones:
d hp2+ i
m
d
2γ(t) 2
D(t)
+ Ω2 (t) hx2+ i = −
hp+ i +
,
(4.6)
dt 2m
2
dt
m
m
dhx2+ i
hp2+ i f (t)
1 d2 hx2+ i
2
2
+
γ(t)
+
Ω
(t)hx
i
=
−
.
(4.7)
+
2 dt2
dt
m2
m
Donde Ω(t) es la frecuencia renormalizada del oscilador x+ . Y las ecuaciones correspondientes para los segundos momentos de x− y p− son simplemente las asociadas a un
oscilador que evoluciona libremente (pueden ser obtenidas a partir de las anteriores considerando valores nulos de todos los coeficientes de la ecuación maestra).
A partir de las ecuaciones anteriores, la interpretación de los coeficientes que aparecen
en la ecuación maestra resulta transparente: γ(t) es responsable de la relajación ya que
induce decaimiento de la energı́a, D(t) es un coeficiente difusivo que aumenta la dispersión
en momento. f (t), el coeficiente de difusión anómala, es el responsable del squeezing en el
estado asintótico o de la violación del principio de equipartición: en el estado estacionario
(que es alcanzado sólo si el entorno es tal que los coeficientes de la ecuación maestra
toman valores asintóticos constantes) la ec. (4.7) implica que los valores de expectación
de las energı́as cinética y potencial difieren por un factor que es proporcional a f (t). Este
término, será muy importante en el análisis que realizaremos más adelante.
40
4.1. El Modelo
Nuestro estudio se encuentra basado en el uso de las ecuaciones anteriores para el
análisis del régimen asintótico en los casos donde el entorno es tal que los coeficientes de
la ecuación maestra adquieren valores asintóticos constantes. De esta manera, será útil
escribir explı́citamente los valores asintóticos de las dispersiones: ∆2 x+ = hx2+ i y ∆2 p+ =
hp2+ i. A partir de las ecs. (4.7) podemos obtener:
∆p+ =
s
D
,
2γ
Ω∆x+ =
s
f
D
− ,
2
2m γ m
(4.8)
y h{x+ , p+ }i = 0.
Es importante notar que dependiendo de f la naturaleza de la relación entre las varianzas, o el “squeezing”, puede cambiar dramáticamente. El signo de f indica qué observable
es localizado efectivamente. De hecho, si el coeficiente f es positivo el estado asintótico se encuentra localizado en posición (el estado de equilibrio se encuentra squeezed en
posición) que es una caracterı́stica de los entornos a bajas temperaturas.
Figura 4.1: Luego del cambio de coordenadas x1,2 → x± , los osciladores originales son
mapeados al sistema equivalente, donde sólo uno de ellos interactúa con el entorno.
4.1.2.
Movimiento Browniano cuántico con acoplamiento simétrico en posición y momento
Además consideraremos otro modelo que también puede ser resuelto exactamente en
una manera similar a la anterior. La única diferencia radica en que el sistema y el entorno
se encuentran acoplados mediante las coordenadas posición y momento. En este caso, el
Hamiltoniano de interacción entre dos osciladores resonantes y el entorno es:
H̃int = (x1 + x2 )
N
X
cn qn +
n=1
p1 + p2
mω
X
N
n=1
c̃n
πn .
mn wn
(4.9)
Cuando cn = c̃n toda la interacción puede ser reescrita en términos de los operadores de
creación y destrucción del oscilador x+ , a y a† ; y los operadores asociados a los osciladores
41
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
del entorno, bn y b†n . Entonces,
H̃int =
N
X
n=1
√
cn 2 2
(ab† + a† bn ).
√
mmn ωwn n
(4.10)
Este es el mismo tipo de interacción que uno hubiese obtenido mediante la conocida aproximación de onda rotante (RWA). Es importante remarcar que este modelo será tratado
como un modelo separado con su solución exacta. Como en el caso anterior, la interacción
con el entorno induce una renormalización de los parámetros del sistema. En este caso, el
Hamiltoniano lineal más general de dos osciladores incluye no sólo el acoplamiento entre
los osciladores mediante la coordenada posición sino que además incluye la interacción en
momento:
p2 + p22 m 2 2
c̃12
H̃S = 1
+ ω (x1 + x22 ) + mc12 x1 x2 +
p1 p2 .
(4.11)
2m
2
mω 2
En el caso resonante este Hamiltoniano puede ser escrito simplemente en términos de
2
las coordenadas x± como la suma de dos osciladores desacoplados con frecuencias ω±
=
2
2
2
2
ω (1 ± c12 /ω )(1 ± c̃12 /ω ) y masas m± = m/(1 ± c̃12 /ω ). En este caso, es posible obtener
una ecuación maestra exacta para la matriz densidad reducida ρ:
ρ̇ = −i[H̃R , ρ] − iγ̃(t) [x+ , {p+ , ρ}] − [p+ , {x+ , ρ}]
1
− D̃(t) [x+ , [x+ , ρ]] + 2 2 [p+ , [p+ , ρ]] .
(4.12)
m+ ω+
En el Apéndice A.1 se encuentra la forma de dichos coeficientes en el cálculo perturbativo.
En este caso, el Hamiltoniano renormalizado H̃R es
1 p2
1
+
2
+
m
x
(4.13)
H̃R = H̃S + δ Ω̃2 (t)
+
+ .
2
2 m+ ω+
2
Las principales caracterı́sticas de esta ecuación maestra son simples de entender: esta
ecuación es similar a la versión simetrizada de la ec. (4.3). De hecho, el coeficiente de disipación γ̃(t) aparece multiplicando un término que es simétrico bajo intercambio canónico
de las coordenadas posición y momento. Esto mismo ocurre con el término de difusión
normal (proporcional a D̃(t)). Es esperada la ausencia de la difusión anómala y es consecuencia de la misma simetrı́a, ya que este término es antisimétrico en la ec. (4.3).
La renormalización también es simétrica, ya que este tipo de acoplamiento induce no
sólo una renormalización de la frecuencia del oscilador sino además de su masa. De esta manera, podemos definir las frecuencias y masas renormalizadas para cada oscilador:
Ωi (t) = ω(1 + δ Ω̃2(t)/2ω 2 ), Mi (t) = m/(1 + δ Ω̃2 (t)/2ω 2). Y además, los acoplamientos renormalizados son: C12 (t) = c12 + δ Ω̃2 (t)/2, C̃12 (t) = c̃12 + δ Ω̃2 (t)/2. A partir de la ecuación
maestra, podemos obtener nuevamente las ecuaciones de movimiento para los segundos
momentos del oscilador x+ :
d 2
hp i = −M(t)Ω2 (t)h{x+ , p+ }i − 4γ̃(t)hp2+ i + 2D̃(t),
dt +
42
4.2. Evolución del entrelazamiento para osciladores acoplados a un mismo entorno
1
2
d 2
D̃(t),
hx+ i =
h{x+ , p+ }i − 4γ̃(t)hx2+ i +
dt
M(t)
M(t)2 Ω2 (t)
hp2 i
d
h{x+ , p+ }i = 2 + − 2M(t)Ω2 (t)hx2+ i − 4γ̃(t)h{x+ , p+ }i.
dt
M(t)
(4.14)
donde M(t) = m/(1 + (δ Ω̃2 (t) + c̃12 )/ω 2) y Ω(t) = ω(1 + (δ Ω̃2 (t) + c12 )/ω 2) son la masa
y la frecuencia del oscilador x+ . El rol de cada término es transparente γ̃(t) es la tasa
de disipación que induce decaimiento al estado fundamental, mientras que D̃(t) es una
constante de difusión que extiende la incerteza posición y momento. Asumiendo que estos
coeficientes alcanzan valores constantes asintóticos es posible derivar los valores de las
dispersiones en posición y momento en este régimen:
s
D̃
∆p+ = MΩ∆x+ =
;
(4.15)
2γ̃
y h{x+ , p+ }i = 0. Contrariamente a lo que sucede en el caso no-simétrico, gobernado por
la ecuación maestra (4.3), el estado asintótico satisface el principio de equipartición: el
valor de expectación de las energı́as potencial y cinética son idénticos. En forma análoga,
como se mencionará más adelante, el estado asintótico del oscilador x+ no se encuentra
squeezed.
4.2.
Evolución del entrelazamiento para osciladores
acoplados a un mismo entorno
Como dijimos anteriormente, asumiremos que el estado inicial del sistema es Gaussiano
de forma que la naturaleza Gaussiana del estado es preservada a todo tiempo. Esto permite
calcular analı́ticamente el entrelazamiento entre los osciladores de la siguiente manera:
como vimos en la sección anterior, el entrelazamiento para estados Gaussianos se encuentra
completamente determinado por las propiedades de la matriz de covarianza, definida como:
V ij (t) =
h{ri , rj }i
− hri ihrj i,
2
(4.16)
donde i, j = 1, . . . , 4 y ~r = (x1 , p1 , x2 , p2 ). En este caso, por simplicidad, utilizaremos la
matriz de covarianza cuyos elementos no se encuentran normalizados. Esta matriz y la
normalizada, es decir sin unidades, se encuentran relacionadas por una transformación
simpléctica de manera que comparten los mismos autovalores simplécticos (ver Apéndice
C.3). Como se vio anteriormente, una buena medida de entrelazamiento para dichos estados es la llamada negatividad logarı́tmica EN , ec. (3.42). Que se obtiene a partir de ν− ,
el mı́nimo autovalor simpléctico de la matriz de covarianza transpuesta parcial. Existen
algunas expresiones conocidas de EN para algunos estados Gaussianos relevantes que van
a ser usados como condiciones iniciales en las simulaciones. Por esta razón es conveniente
43
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
mencionarlos aquı́ brevemente: Para el estado squeezed de dos modos, que puede ser obtenido a partir del vacı́o mediante la aplicación del siguiente operador exp(−r(a†1 a†2 −a1 a2 )),
se obtiene EN = 2|r|. Para este estado las dispersiones satisfacen la condición de mı́nima
incerteza δx+ δp+ = δx− δp− = 1/2. Y el factor de squeezing determina la proporción entre
las varianzas mΩδx+ /δp+ = δp− /(mΩδx− ) = exp(2r). En el lı́mite r → ∞ el estado se
encuentra localizado en las variables p+ y x− aproximando un estado EPR ideal [108].
En lo que sigue consideraremos que los dos osciladores centrales se encuentran inicialmente en un estado Gaussiano general. A partir de la ecuación maestra apropiada
para cada caso (4.3) y (4.12) mostramos cómo obtener ecuaciones de movimiento para los elementos de la matriz de covarianza en la base de osciladores x± . La matriz de
covarianza en el lı́mite asintótico puede dividirse en bloques de 2 × 2. La evolución del
primer bloque de la diagonal, formado por los segundos momentos de los osciladores x−
y p− , corresponde a la de un oscilador libre de frecuencia ω− que siempre puede ser expresada en términos de dos dispersiones δx− y δp− . Esto es sencillo de ver notando que
2
2m− (∂δx2− (t)/∂t) = −2m− ω−
(∂δp2− (t)/∂t) = δxp− (t). Entonces, los extremos de las fun2
2
ciones δx− (t) y δp− (t) corresponden a los ceros de δxp2− (t), por lo tanto siempre es posible
obtener la variación temporal de estas cantidades en función del valor de δx2− y δp2− en
los extremos.
Las ecuaciones de evolución para el segundo bloque diagonal, formado por los segundos
momentos de x+ y p+ , fueron discutidas anteriormente y alcanzan valores de equilibrio
∆x+ y ∆p+ . Por otro lado, puede probarse fácilmente que el bloque fuera de la diagonal,
que contiene las correlaciones entre los osciladores (x+ , x− ), son nulos en el lı́mite asintótico. Estas simples observaciones constituyen casi todo lo que uno necesita para analizar la
evolución del entrelazamiento entre estados iniciales Gaussianos. Finalmente, usando el
bloque diagonal de la matriz de covarianza en la base (x+ , x− ) (y cambiando de base para
obtener los elementos correspondientes osciladores originales x1,2 ) es sencillo encontrar
el mı́nimo autovalor simpléctico de esa matriz y ası́ calcular el valor de la negatividad
logarı́tmica. El resultado es el siguiente:
EN (t) → máx{0, E(t)},
(4.17)
donde la función E(t) se encuentra definida como:
E(t) = ẼN + ∆EN G(t).
(4.18)
En este caso G(t) es una función que oscila con un perı́odo π/ω− y toma valores en el
intervalo {−1, +1}. Su forma explı́cita se encuentra detallada más abajo. El valor medio
ẼN y la amplitud ∆EN que caracterizan las oscilaciones de E(t) pueden ser escritas
simplemente como:
ẼN = máx{|r|, |rcrit|} − Scrit ,
∆EN = mı́n{|r|, |rcrit|}.
En las ecuaciones anteriores r es el factor de squeezing inicial, definido como:
1
δx−
r = ln m− ω−
,
2
δp−
44
(4.19)
(4.20)
(4.21)
4.2. Evolución del entrelazamiento para osciladores acoplados a un mismo entorno
y rcrit se encuentra relacionado con el factor de squeezing del estado de equilibrio del
oscilador x+ :
∆x+
1
.
(4.22)
rcrit = ln m− ω−
2
∆p+
Finalmente, Scrit se encuentra definido como:
Scrit =
1
ln[4∆x+ ∆p+ δx− δp− ],
2
(4.23)
y resulta que esta cantidad se encuentra relacionada con la entropı́a del estado asintótico.
La entropı́a de von Neumann, H(S), del estado asintótico del sistema compuesto es:
H(S) = g(σ+ )+g(σ− ) donde g(σ) = (σ+ 12 ) ln(σ+ 21 )−(σ− 12 ) ln(σ− 12 ), con σ+ = ∆x+ ∆p+
y σ− = δx− δp− . Es conveniente recalcar que en las fórmulas anteriores las cantidades
∆x+ y ∆p+ son los valores asintóticos de las dispersiones en posición y momento, que
dependen de la temperatura y el tipo de acoplamiento con el entorno (para los modelos
que analizamos se encuentran dados por las ecuaciones (4.8) y (4.15)). Por completitud
agregamos la forma explı́cita de la función G(t):
1 h
∆EN G(t) = máx{|r|, |rcrit|} + ln cosh[2(r − rcrit )] cos2 (ω− t) + cosh[2(r + rcrit )]
2
2
sin (ω− t) − 2 sinh2 (2r) + sinh2 (2rcrit) sin2 (ω− t) cos2 (ω− t)
1/2 i
2
2
4
4
+ sinh [2(rcrit − r)] cos (ω− t) + sinh [2(rcrit + r)] sin (ω− t)
.
Estos resultados simples nos ayudarán a deducir conclusiones generales acerca de la
dinámica del entrelazamiento a tiempos largos. Resulta evidente que la dinámica del
entrelazamiento se encuentra caracterizada totalmente por dos cantidades: rcrit y Scrit . En
la siguiente sección analizaremos los diferentes comportamientos que aparecen teniendo
en cuenta la dependencia de estas cantidades con la temperatura del entorno, la densidad
espectral, etc. Pero antes es conveniente señalar algunas propiedades generales de este
resultado.
A partir del análisis anterior podemos trazar algunas conclusiones generales: Existen
tres tipos de comportamientos cualitativamente diferentes del entrelazamiento a tiempos
largos los que llamaremos “fases”. En primer lugar, el entrelazamiento puede persistir
a tiempos arbitrarios. Esta fase, se encuentra caracterizada por el hecho de que no hay
muerte súbita del entrelazamiento, la etiquetaremos con “NSD” (por “no-sudden death”),
y aparece cuando el estado inicial es tal que 0 < ẼN − ∆EN lo que es equivalente a
Scrit < ||r| − |rcrit ||. Luego, existe una fase donde el entrelazamiento experimenta eventos
de “muerte súbita” y “revival súbito” del entrelazamiento [109, 110]. Esto ocurre si el
estado inicial es tal que |Ec | ≤ r ≤ −Ec + 2|rcrit|, donde Ec se encuentra definido por:
Ec ≡ |rcrit| − Scrit .
(4.24)
Esta fase la etiquetaremos con “SDR” (por sudden death and revival). Finalmente, existe
una tercera fase donde el evento final es la “muerte súbita” del entrelazamiento y se
45
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
encontrará presente si |r| ≤ −Ec . Esta fase la rotularemos como “SD” (por sudden death).
En resumen, cada una de las fases cumple con:
NSD : Scrit < ||r| − |rcrit ||
SDR : kEc | ≤ r ≤ −Ec + 2|rcrit|
SD :
|r| ≤ −Ec .
(4.25)
En lo que sigue analizaremos las distintas fases para las diferentes densidades espectrales y acoplamientos entre los osciladores y el entorno. Pero antes mostraremos una
interpretación de los resultados anteriores que puede ayudar a comprender la razón por
la cual es posible obtener entrelazamiento en el estado final.
4.2.1.
Interpretación: ¿De dónde proviene el entrelazamiento?
Los resultados de la sección anterior resultan, a primera vista, extraños. El estado
final de los dos osciladores puede contener entrelazamiento a pesar de no estar entrelazado
inicialmente. En algún sentido, el entorno común provee un canal cuántico mediante el cual
el entrelazamiento entre los osciladores puede ser creado o bien destruido, dependiendo
de las circunstancias (estado inicial, temperatura, etc.). En esta sección, discutiremos
este resultado y mostraremos una interpretación muy simple que se encuentra basada en
el análisis anterior. La clave para entender este resultado puede ser representada en el
diagrama que se muestra en el Fig. 4.2. En el diagrama el tiempo fluye desde la izquierda
hacia la derecha. Los osciladores originales x1,2 son transformados a osciladores virtuales
x± por la acción de un divisor de haces 50/50. Luego de la acción del divisor de haces, el
oscilador x− evoluciona en forma unitaria desacoplado del oscilador x+ que, finalmente,
es el que interactúa con el entorno. En el lı́mite asintótico la interacción con el entorno
conduce al sistema a un estado de equilibrio que no posee correlación alguna con el estado
de x− . Dicho estado es Gaussiano y se encuentra completamente caracterizado por las
varianzas del equilibrio ∆x+ y ∆p+ . Finalmente, el segundo divisor de haces vuelve a
acoplar los dos osciladores virtuales para producir nuevamente los modos reales x1 y x2 .
El entrelazamiento en el estado final es un recurso cuántico que puede ser originado a
partir de otros recursos presentes en el estado de los osciladores x± inmediatamente antes
del segundo divisor de haces. Este recurso cuántico es el squeezing. De hecho, es sabido que
un divisor de haces produce entrelazamiento en los modos salientes si existe squeezing en
los modos entrantes [111]. Esta observación permite entender el origen del entrelazamiento
en el estado final de los osciladores x1,2 : Proviene del squeezing que se encuentra en
el oscilador x− o bien en el x+ . Es ası́ que el squeezing existente en el modo x− , que
naturalmente oscila con frecuencia ω− , es heredado del squeezing (o entrelazamiento)
eventualmente presente en los modos entrantes. Por otro lado, el squeezing en el estado
asintótico (equilibrio) del oscilador x+ que se encuentra medido por rcrit , es una fuente
de entrelazamiento en el estado final. Un valor no nulo de rcrit es una predicción de la
ecuación maestra para MBC con acoplamiento en posición y es una consecuencia directa
de la asimetrı́a en el acoplamiento entre posición y momento.
46
4.2. Evolución del entrelazamiento para osciladores acoplados a un mismo entorno
Figura 4.2: La evolución de dos osciladores resonantes acoplados a un mismo entorno
(lado izquierdo del diagrama) se encuentra descripta, en el lı́mite asintótico, por el lado
derecho del diagrama: Un divisor de haces 50/50 combina los osciladores originales x1,2
para formar los modos x± . Mientras x− evoluciona libremente, x+ se encuentra acoplado al
entorno que conduce este modo al estado asintótico de equilibrio. Este estado no contiene
correlaciones con x− y se encuentra completamente caracterizado por ∆x+ y ∆p+ . Un
segundo divisor recrea los modos x1,2 que se encontrarán entrelazados si existe squeezing
en los modos x± antes del segundo divisor de haces.
El surgimiento de las tres fases que mencionamos anteriormente puede ser entendido
mediante esta interpretación. Con el objetivo de hacer más evidente la conexión entre
el entrelazamiento final y el squeezing es conveniente reescribir las expresiones para el
entrelazamiento asintótico (4.18) como sigue:
E(t) = |rcrit | − Scrit + |r|G(t),
E(t) = |r| − Scrit + |rcrit|G(t),
if |r| ≤ |rcrit |,
if |r| > |rcrit|.
A partir de estas ecuaciones podemos extraer algunas conclusiones interesantes. En primer lugar, es claro que para valores iniciales |r| ≤ |rcrit| es posible utilizar el entorno
como recurso a partir del cual es posible extraer entrelazamiento. De este modo, para
valores pequeños de squeezing, el entrelazamiento en el estado final puede ser mayor que
el recurso (squeezing) presente en el estado inicial. Este es el caso en el cual se cumple
la siguiente desigualdad |rcrit | − Scrit ≥ 2|r|. En otros casos el entorno degrada el recurso cuántico que se encuentra presente en el estado inicial (en la forma de squeezing
o entrelazamiento). Más adelante, analizaremos estas situaciones utilizando una herramienta conveniente: el diagrama de fases, donde el destino del entrelazamiento puede ser
representado gráficamente para cualquier estado inicial.
47
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
4.3.
Diagramas de fases para la dinámica del entrelazamiento
En esta sección introduciremos una herramienta que resulta de gran utilidad para
el estudio de las diferentes fases dinámicas del entrelazamiento. De hecho, dependiendo
de las propiedades del entorno (temperatura inicial, tasa de disipación, etc.) un dado
estado inicial (parametrizado por el squeezing r y por el producto de las dispersiones
iniciales δx− δp− ) pertenecerá a alguna de las tres fases: SD, NSD o SDR. Para valores
dados de γ y δx− δp− es posible construir un diagrama de fases como el que se muestra
en la Fig. 4.3. Para lo cual es necesario analizar las dispersiones asintóticas y obtener
|rcrit | y Scrit como función de la temperatura. En el diagrama de fases se muestran las
áreas correspondientes a cada una de las tres fases. Como referencia, además se incluyen
dos curvas que muestran la dependencia de Scrit y |rcrit | con la temperatura (lı́nea con
guiones y punteada respectivamente). El diagrama de fases que se muestra en la Fig. 4.3
corresponde a un caso particular: un entorno con densidad espectral óhmica acoplado
al sistema mediante la coordenada posición con C12 = 0 (entonces, ω− = Ω y m− =
m). Además asumimos que el estado inicial es puro, δx− δp− = 1/2. En lo que sigue
presentaremos otras densidades espectrales que pueden dar lugar a diferentes propiedades
del diagrama de fases pero sin alterar su topologı́a. Cambios en el estado inicial (p. ej.,
considerando estados iniciales mixtos con δx− δp− > 1/2) pueden ser comprendidos en
forma simple y serán discutidos más adelante.
El diagrama de fases que se muestra en la Fig. 4.3 provee toda la información acerca de
la evolución del entrelazamiento en el lı́mite asintótico para el caso en que los osciladores
se encuentran acoplados al entorno mediante la coordenada posición. En primer lugar,
analizaremos la fase NSD presente a bajas temperaturas. Su origen es puramente noMarkoviano y no-perturbativo. El área se reduce a medida que la tasa de disipación
decrece. Los estados en esta fase son tales que el entrelazamiento final puede ser mayor
que el squeezing invertido en el estado inicial. Para dichos estados el entrelazamiento
proviene del squeezing existente en el entorno. Esto resulta particularmente claro para
estados iniciales coherentes. En este caso, el squeezing inicial es nulo y el entorno puede
inducir entrelazamiento asintóticamente, siempre y cuando este se encuentre por debajo
de una temperatura crı́tica T0 .
Para comprender la naturaleza del entrelazamiento en esta región del diagrama de
fases, es fundamental analizar las propiedades de dicho diagrama junto con sus ejes. La
lı́nea de temperatura cero (lı́nea horizontal) contiene estados en la fase NSD para squeezings pequeños y grandes. Es ası́ que la fase NSD existe cuando el squeezing inicial r es
|r| ≥ r2 o |r| ≤ r1 , donde
r1
r2
1
1
=
,
ln
2
2mΩ∆x2+ (T = 0)
2∆p2+ (T = 0)
1
,
ln
=
2
mΩ
48
(4.26)
(4.27)
4.3. Diagramas de fases para la dinámica del entrelazamiento
ver Fig. 4.3. En el rango de squeezings entre r1 y r2 (la región centrada alrededor de |rcrit|)
los estados pertenecen a la fase SDR. Esto implica estados iniciales puros, en un entorno
a T = 0, nunca experimentarán muerte súbita del entrelazamiento (no se encuentran
incluidos en la fase SD).
Es interesante notar que para T = 0 el estado asintótico del oscilador x+ se encuentra
squeezed en posición (mΩ∆x+ (T = 0) < ∆p+ (T = 0)) y además su entropı́a es no
nula (∆x+ (T = 0)∆p+ (T = 0) > 1/2). En la próxima sección se presentan expresiones
analı́ticas para ∆x+ y ∆p+ para el entorno óhmico. En este caso es suficiente mencionar
que el squeezing en posición es consecuencia del hecho que, siendo la interacción con el
entorno mediante posición, el estado asintótico tiende a localizarse mayormente en ese
observable que en momento. El squeezing r1 (r2 ) expresa precisamente la relación entre la
dispersión asintótica en posición (momento) y la correspondiente al vacı́o: un valor no nulo
de r1 significa que el estado del oscilador x+ tiene una dispersión en posición que es menor
que la del vacı́o. Por lo tanto, los estados que pertenecen a la isla de NSD son los que tienen
la dispersión en posición del oscilador x+ menor que la correspondiente al vacı́o, que se
encuentra dada por 1/2mΩ. Además, ∆x+ aumenta a medida que aumenta la temperatura
del entorno. Por lo tanto, la fase NSD se comprime y desaparece completamente por
encima de la temperatura crı́tica T0 , que es precisamente la temperatura a la cual la
dispersión en posición es idéntica a la correspondiente al vacı́o:
T0 tal que ∆x+ (T = T0 ) = √
1
.
2mΩ
(4.28)
El eje vertical del diagrama de fase es interesante también. Este describe el destino de
los estados iniciales coherentes (tales que r = 0). Como fue mencionado más arriba, para
temperaturas por debajo de T0 dichos estados finalizan entrelazados debido a la interacción
con el entorno. Pero para temperaturas mayores a T0 dichos estados experimentan muerte
súbita del entrelazamiento (los estados pertenecen a la fase SD).
La región del diagrama de fases para temperaturas altas se diferencia bastante de
la correspondiente a bajas temperaturas. De hecho, para altas temperaturas Ec < 0, lo
que significa que los estados coherentes no se entrelazan. Además rcrit ≪ Scrit , por lo
tanto la región cubierta por la fase SDR se vuelve más angosta. De este modo, para altas
temperaturas los estados iniciales con squeezing grande (|r| > ln(2∆x+ ∆p+ )/2 = Scrit )
retienen algo de su entrelazamiento, mientras que aquellos con factores de squeezing menor
que el valor crı́tico Scrit sufren muerte súbita. No obstante, nuestro análisis muestra que
el lı́mite entre las fases SD y NSD bastante sutil: para cualquier temperatura finita estas
fases se encuentran separadas por una porción muy estrecha de fase SDR. En esta fase
existen oscilaciones del entrelazamiento cuya amplitud, |rcrit |, depende de la temperatura
en una manera que es diferente para las distintas densidades espectrales. Asimismo, estas
oscilaciones son otro efecto no-Markoviano interesante identificado por nuestro análisis.
Es conveniente hacer un comentario final acerca del diagrama de fases: Las fases NSD
y SDR se encuentran caracterizadas por un valor no nulo del entrelazamiento asintótico,
que puede ser cuantificado en forma muy sencilla a partir del diagrama de fases. El valor
medio de la negatividad logarı́tmica es simplemente la distancia a la lı́nea de segmentos
49
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
(que determina el punto medio de la fase SDR) o la distancia entre las lı́neas de segmentos
y punteada para |r| ≤ |rcrit |. Mientras que la amplitud de oscilación se encuentra dada
por r o rcrit dependiendo del caso.
10
8
0.8
SD
T
6
Ω
0.4
SD
4
SDR
T0
2
NSD
NSD
NSD
0
r1 Scrit
rcrit
|r|
r2
0
0.35 0
0.5
|r|
1
1.5
Figura 4.3: Diagrama de fases para un entorno óhmico (Ω = 1, m = 1, γ0 = 0,1, Λ = 20,
C12 = 0, δx− δp− = 1/2). Las fases: muerte súbita (SD), revival súbito (SDR) y supervivencia del entrelazamiento (NSD); describen los tres comportamientos cualitativamente
diferentes del entrelazamiento entre osciladores resonantes inmersos en el mismo entorno.
La fase SDR se encuentra centrada en la lı́nea de segmentos que representa a Scrit y tiene un ancho dado por la lı́nea punteada |rcrit | por encima de T0 , temperatura a la cual
Scrit = |rcrit |. Debajo de esta temperatura el rol de Scrit y |rcrit | se encuentra intercambiado. La fase SDR separa a las fases SD y NSD. La isla de NSD a bajas temperaturas
aparece debido a efectos no-Markovianos y no-perturbativos. ẼN es la distancia entre |r|
y la lı́nea de segmentos para |r| > |rcrit |, y la distancia entre la lı́nea de segmentos y la
lı́nea punteada para |r| ≤ |rcrit|.
Existe una importante diferencia cualitativa entre los casos con acoplamiento en posición y acoplamiento simétrico en posición y momento. En este último caso, la simetrı́a
presente en el acoplamiento implica que el estado asintótico del oscilador x+ no se encuentra squeezed. En efecto, considerando que la interacción entre los osciladores es simétrica
entonces c12 = c̃12 y, como fue discutido en la sección anterior, se obtiene rcrit = 0. Por
lo tanto, no existen oscilaciones del entrelazamiento en el estado estacionario y la fase
SDR no se está presente. De este modo, el entrelazamiento asintótico para acoplamiento
simétrico es:
1
E(t) = |r| − ln[4∆x+ ∆p+ δx− δp− ].
(4.29)
2
50
4.3. Diagramas de fases para la dinámica del entrelazamiento
Este resultado indica, además, que estados iniciales coherentes no finalizan entrelazados
en el lı́mite asintótico.
25
20
15
SD
T
Ω10
5
0
0
NSD
0.5
1
|r|
1.5
2
Figura 4.4: Diagrama de fases para un entorno óhmico con acoplamiento simétrico (Ω = 1,
M = 1, C12 = 0, δx− δp− = 1/2). El diagrama de fases es cualitativamente diferente al
correspondiente a acoplamiento en posición. Las fases SD y NSD se encuentran presentes.
rcrit = 0, para toda temperatura el entrelazamiento asintótico es constante. En este caso,
ẼN es la distancia desde |r| a la lı́nea que limita las dos fases.
Para este tipo de acoplamiento el diagrama de fases es más simple, como se muestra
en la Fig. 4.4 para estados iniciales puros. En este caso, la diferencia principal que existe
con el diagrama anterior es la ausencia de la fase SDR. El hecho de que rcrit = 0 es
válido para todas las densidades espectrales tales que el estado del oscilador x+ alcanza
el equilibrio. La fase NSD se encuentra caracterizada por |r| > ln(2∆x+ ∆p+ )/2. A partir
del gráfico, el entrelazamiento alcanzado en el régimen asintótico es la diferencia entre |r|
y la curva que limita las dos fases. Contrariamente a lo que sucede para el acoplamiento
en posición, estados iniciales puros (con r = 0) pertenecen a la fase SD a temperatura
cero. Por otro lado, los estados pertenecientes a la fase NSD son conocidos como GLEMS
(Gaussian least-entangled mixed states) [112]. Como comentario final podemos señalar
que para estados iniciales squeezed de dos-modos, el lı́mite de la región NSD (dado por la
ec. (4.29)) coincide con el que fue obtenido en [102] para estados squeezed de dos modos,
donde el entrelazamiento fue estudiado bajo la aproximación de onda rotante en el lı́mite
Markoviano.
51
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
4.4.
Evolución temporal de las diferentes fases: Resultados analı́ticos y numéricos.
En esta sección analizaremos los resultados anteriores contrastando las predicciones
analı́ticas con los resultados de la solución numérica exacta del problema. La solución
numérica fue obtenida utilizando una versión similar del método discutido en la Sección
5.1.1. Aprovechando la linealidad del problema implementamos una simulación eficiente de
la dinámica cuántica completa del sistema y el entorno. En este caso, la única aproximación
que se hizo fue considerar un entorno con un número finito N de osciladores que se
encuentran acoplados con una intensidad distribuida de acuerdo a la densidad espectral.
Para este sistema finito es sencillo evolucionar la matriz de covarianza, y obtener el estado
cuántico completo. En el caso con acoplamiento en posición y densidad espectral óhmica,
comparamos dicha evolución con la obtenida a partir del operador evolución reducido
exacto (que se encuentra descripto en el Apéndice B), encontrando gran acuerdo entre
ambos métodos.
4.4.1.
Acoplamiento en Posición: diferentes densidades espectrales
Densidad espectral óhmica (n = 1)
Ahora, nos centraremos en el estudio de un entorno con densidad espectral óhmica ec.
(4.3) con n = 1, donde la frecuencia de corte Λ define una escala de tiempos caracterı́stica
Λ−1 sobre la cual los coeficientes γ(t) y δω 2 (t) varı́an. Para tiempos t ≫ Λ−1 estos dos
coeficientes, independientes de la temperatura, alcanzan valores asintóticos: γ(t) → γ =
2γ0 (el factor 2 viene del hecho de que estamos considerando al oscilador x+ y γ0 es
la constante de acoplamiento entre cada oscilador y el entorno), y δω 2 (t) → −4Λγ/π.
En este caso consideraremos dos osciladores que no interactúan entre sı́, a pesar de que
el análisis anterior es independiente de esta hipótesis. Resulta útil hacer una referencia
técnica relacionada con la renormalización que parece haber causado confusión en la
literatura. Es sabido que la interacción con un entorno común induce un acoplamiento
entre los osciladores. Por lo tanto, incluso si se considerara un acoplamiento natural igual
a cero (c12 = 0), el valor asintótico del acoplamiento serı́a no nulo y dado por C12 =
δω 2 /2. Teniendo en cuenta que los parámetros fı́sicos que gobiernan la evolución de los
osciladores son medidos a tiempos largos, definiremos los parámetros relevantes como los
correspondientes a tiempos largos. Por lo tanto, para que el acoplamiento renormalizado
sea C12 = 0 debemos considerar un acoplamiento natural c12 = −δω 2 /2 en el Hamiltoniano
original. Por consiguiente, la constante de acoplamiento entre los osciladores debe ser
renormalizada ası́ como sus frecuencias naturales (con el mismo contratérmino). Si uno
no hiciera esta distinción (y asumiera, por ejemplo, acoplamiento natural nulo) entonces
serı́a posible observar oscilaciones de frecuencias altas, dependientes de Λ, en el régimen
asintótico. Por el contrario, mediante la adición de este contratérmino al Hamiltoniano
natural uno obtiene un comportamiento a tiempos largos independiente de Λ. En este
52
4.4. Evolución temporal de las diferentes fases: Resultados analı́ticos y numéricos.
caso tendremos Ω1 = Ω2 = Ω = ω− .
En las secciones previas obtuvimos predicciones analı́ticas bastante sencillas, pero a
la vez no triviales, de la evolución del entrelazamiento en el régimen asintótico. Estas
predicciones pueden ser verificadas numéricamente mediante la solución numérica exacta del problema. Para nuestras simulaciones numéricas consideramos un entorno óhmico
con los siguientes parámetros: γ0 = 0,1, Ω = 1, Λ = 20, m = 1, C12 = 0 (la extensión
al caso donde los osciladores renormalizados interactúan pude hacerse en forma simple).
Las simulaciones se han hecho considerando dos estados iniciales diferentes: squeezed
separable para el que mΩδx1,2 /δp1,2 = exp(2r) y squeezed de dos-modos para el que
mΩδx+ /δp+ = δp− /(mΩδx− ) = exp(2r), en ambos casos se verifica que δx− δp− = 1/2.
En la Fig. 4.5, se muestra la dinámica del entrelazamiento en un baño a temperatura cero.
Se puede ver claramente que el entrelazamiento alcanzado finalmente por los diferentes
estados iniciales depende del factor de squeezing r. Estados entrelazados iniciales reducen
su entrelazamiento mientras que estados iniciales separables terminan entrelazados debido a la interacción con el mismo entorno. Además, podemos comparar la dinámica del
entrelazamiento para estados con squeezing positivo y negativo, ver Figs. 4.5 (a) y (b).
En el primer caso, EN crece rápidamente a tiempos cortos, mientras que en el segundo
caso puede observarse un crecimiento lento hasta que alcanza el régimen asintótico. Estas
diferencias aparecen debido a que el estado inicial del primer caso se encuentra extendido
en la coordenada posición del oscilador x+ y el acoplamiento con el entorno es mediante
dicho observable. En el régimen asintótico, como predice el modelo, la dinámica es la
misma. El entrelazamiento oscila con la misma frecuencia en ambos casos y alrededor del
mismo valor medio con la misma amplitud, pero, como es esperado, con una diferencia de
fase de π/2.
La existencia de eventos de muerte súbita y resurgimiento del entrelazamiento también
puede observarse a partir de la solución numérica y se muestra en la Fig. 4.6 (las simulaciones numéricas exhiben un acuerdo completo con el análisis presentado anteriormente
en la fase SDR). En la misma figura, se muestra además la evolución correspondiente a
estados iniciales pertenecientes a la fase NSD. Dichos estados iniciales tienen un squeezing
tal que |r| < |rcrit |. En este caso, como se vio anteriormente, la amplitud de las oscilaciones en el régimen asintótico es igual a |r| y el valor medio del entrelazamiento es Ec . Por
otro lado, un ejemplo de la fase SD aparece en la Fig. 4.6 junto con otro ejemplo de la
fase NSD para temperatura mayor a cero. Se puede notar además que la amplitud de las
oscilaciones es aproximadamente nula en el lı́mite de altas temperaturas.
El comportamiento asintótico del entrelazamiento se encuentra resumido en el diagrama de fases en la Fig. 4.3. El carácter oscilante del entrelazamiento es una consecuencia
del valor no nulo del coeficiente de difusión anómala f (t). De hecho, es sencillo probar
que el squeezing crı́tico rcrit es diferente de cero debido a f :
1 h
2mγf i
rcrit = ln 1 −
.
(4.30)
4
D
Como consecuencia, el coeficiente de difusión anómala es responsable de la generación de
entrelazamiento en el régimen asintótico para estados coherentes iniciales, ver Fig. 4.5.
53
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
2
(a)
Separable (r = 1)
Two-mode (r = 1)
Coherent (r =0)
1.5
EN 1
0.5
0
0
10
Ωt
20
30
2
1.5
(b)
Separable (r = -1)
Two-mode (r = -1)
EN 1
0.5
0
0
10
Ωt
20
30
Figura 4.5: Negatividad logarı́tmica para osciladores resonantes acoplados a un mismo
entorno. (a) Para T = 0 la fase NSD aparece tanto para squeezings grandes como para
pequeños. Estados iniciales separables, squeezed o coherentes terminan entrelazados. El
comportamiento asintótico sólo depende de r. La amplitud de las oscilaciones se anula
cuando r → 0. (b) Estados iniciales con squeezing negativo, tienen el mismo comportamiento asintótico con un defasaje de π/2 respecto al caso anterior.
Pero en este caso el entrelazamiento es estrictamente constante EN (t) = Ec y aumenta
con γ, a medida que el estado asintótico del oscilador x+ se encuentra más localizado en
posición. Por otro lado, es importante notar que para estimar el comportamiento asintótico
mediante una expansión perturbativa en potencias de la constante de acoplamiento, es
preciso obtener el coeficiente D a un orden superior que f . Si esto no se hiciera, es
posible obtener resultados erróneos que violen, por ejemplo, el principio de incertidumbre
de Heisenberg. A bajas temperaturas es necesario obtener los coeficientes de la ecuación
maestra más allá del primer orden, esto fue notado en [46], y resulta evidente a partir de
la ecuación (4.30).
Además, es posible obtener expresiones analı́ticas de varios parámetros que son necesarios para el análisis de la dinámica del entrelazamiento. De este modo, a partir de las
expresiones exactas obtenidas en [46] los parámetros relevantes necesarios para obtener el
54
4.4. Evolución temporal de las diferentes fases: Resultados analı́ticos y numéricos.
3
(a)
EN
|r|
Separable (r = 0.05)
Separable (r = 0.1)
2
1
0
0
2
1.5
10
5
(b)
20
Two-mode (r = 1.4)
Separable (r = 2)
Two-mode (r = 2)
EN 1
|r|
0.5
0
0
15
5
10
Ωt
15
20
Figura 4.6: (a) La fase SDR aparece para valores intermedios de squeezing a temperatura
cero. Para |r| < |rcrit | (lı́nea con guiones) ẼN = Ec y la amplitud de oscilaciones es igual
a |r|. (b) T /Ω = 10, la fase SD aparece para pequeños valores de |r| y la fase NSD para
grandes valores de squeezing, oscilaciones del entrelazamiento en el estado asintótico se
encuentran atenuadas a medida que aumenta la temperatura del entorno.
diagrama de fases se encuentran dados por:
p
1 h π 1 − γ 2 /Ω2 i
r1 ≡ Ec (T = 0) = ln
,
2
2 arc cos(γ/Ω)
1 h 2 − 4γ 2 /Ω2
4 γ h Λ ii
,
ln
r2 = ln p
arc cos(γ/Ω) +
2
πΩ
Ω
1 − γ 2 /Ω2
p
1 h
γ2
ln[Λ/Ω] i
rcrit = ln 1 − 2 2 + 2γ/Ω 1 − γ 2 /Ω2
,
4
Ω
arc cos(γ/Ω)
i
hΛi
8
γ/Ω
1 h 4 1 − 2γ 2 /Ω2
2
arc cos(γ/Ω) .
arc cos (γ/Ω) + 2 p
Scrit = ln 2
ln
4
π 1 − γ 2 /Ω2
π
Ω
1 − γ 2 /Ω2
Estas fórmulas resultan más simples en el lı́mite de acoplamiento débil donde:
1 h
2γ i
r1 ≈ ln 1 +
,
2
πΩ
55
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
h Λ i 1 4γ i
1 h
−
,
ln 1 + ln
2
Ω
2 πΩ
4 hΛi γ i
1 h
,
rcrit ≈ ln 1 + ln
4
π
Ω Ω
4γ i
hΛi
1 h
Scrit ≈ ln 1 + ln
−1
.
4
Ω
πΩ
r2 ≈
En este caso, los coeficientes de la ecuación maestra a segundo orden en γ se encuentran
dados por:
hΛi
2mγ 2 2 ln
−1 ,
D ≈ mγΩ +
π
Ω
2γ h Λ i
f ≈
.
ln
π
Ω
(4.31)
También es posible estimar el valor de la temperatura crı́tica T0 a partir de la cual
los estados coherentes no finalizan entrelazados (que, como se menciona más arriba, es la
temperatura para la cual la dispersión en posición es igual a la del vacı́o) usando una aproximación válida a bajas temperaturas. De esta manera, utilizando los resultados exactos,
podemos obtener una expresión para la dispersión en posición a bajas temperaturas:
h γ + ipΩ2 − γ 2 i
T
1
2
p
∆ x(T ) = 2 +
,
Im H
Ω m πm Ω2 − γ 2
2πT
donde la función H(z) es el “número armónico”. Expandiendo esta fórmula a bajas temperaturas (T /Ω ≪ 1),
T 2 8π 3
T 4
2π
arc cos(γ/Ω)
+
γ/Ω
+
(1 − 2(γ/Ω)2 )
, (4.32)
mΩ∆2 x(T ) ≈ p
3
Ω
15
Ω
π 1 − (γ/Ω)2
es posible aproximar el valor
pde T0 . La fórmula anterior reproduce con bastante precisión
los resultados para arctan ( 1 − (γ/Ω)2 /(γ/Ω)) ≪ π/2.
Por otro lado, el comportamiento del entrelazamiento a altas temperaturas puede ser
analizado utilizando expresiones aproximadas para rcrit y Scrit en ese régimen:
1 h
2γ h Λ + Ω ii
rcrit ≈ ln 1 +
,
ln
4
πΩ
Λ−Ω
1 h Ti 1 h
2γ h Λ + Ω ii
Scrit ≈ ln 2
+ ln 1 +
.
ln
2
Ω
4
πΩ
Λ−Ω
Se puede notar que en lı́mite de altas temperaturas el squeezing crı́tico rcrit alcanza un
valor que es independiente de la temperatura, decrece con la frecuencia de corte y aumenta
con la constante de acoplamiento γ. Como consecuencia, el entrelazamiento asintótico es
aproximadamente constante. El comportamiento de Scrit es más simple y similar al de la
entropı́a, crece como ln(T ) para altas temperaturas. La frontera entre las fases SD y NSD
se hace estrecha, del orden de 1/Λ, en el lı́mite de altas temperaturas. Por completitud, se
56
4.4. Evolución temporal de las diferentes fases: Resultados analı́ticos y numéricos.
incluimos los coeficientes de difusión en el régimen de altas temperaturas a primer orden
en γ:
D ≈ 2mγT,
2γ h Λ + Ω i
T.
ln
f ≈ −
πΩ
Λ−Ω
(4.33)
Densidad espectral sub-óhmica (n = 1/2)
Aquı́ analizaremos el comportamiento del entrelazamiento en un entorno con densidad
espectral sub-óhmica, donde J(ω) se encuentra dado por la ecuación (4.5) con n = 1/2.
En este caso, los osciladores de las bandas infrarrojas se encuentran acoplados fuertemente al sistema (ya que en general se considera que Ω ≪ Λ), por lo tanto este entorno es
más disipativo que el anterior. En consecuencia, el estado de equilibrio del oscilador x+ se
encuentra notablemente más squeezed en posición que en el caso óhmico. De esta manera,
a partir de la ecuación (4.20), se espera un valor mayor de |rcrit| a temperatura cero, esto
a la vez implica oscilaciones del entrelazamiento de gran amplitud en el estado estacionario. Además, el entrelazamiento alcanzado por estados iniciales coherentes será mayor,
ası́ como también el valor de la temperatura crı́tica T0 . En este caso mostraremos sólo las
simulaciones numéricas ya que no existen resultados analı́ticos para los coeficientes de la
ecuación maestra.
Consideramos un entorno sub-óhmico con los mismos parámetros de la subsección
anterior, se puede notar en este caso que δω 2 (t) → −8(2γ0 )/πΛ. En la Fig. 4.7, se muestra
la dinámica del entrelazamiento para dos osciladores resonantes que se encuentran en un
baño a temperatura cero. Se puede observar que la amplitud de las oscilaciones, en el
régimen estacionario, es mayor que en el caso óhmico. Para estados iniciales coherentes, el
entrelazamiento alcanzado es mayor que en el caso óhmico. Como se dijo anteriormente,
esto es una consecuencia del acoplamiento entre el sistema y las bandas infrarrojas del
entorno, que producen un squeezing sustancial en el estado asintótico del oscilador x+ .
Además, se puede advertir que el sistema arriba al estado estacionario antes que en el
caso óhmico debido a que este entorno es más disipativo.
Los diferentes comportamientos del entrelazamiento en el régimen estacionario pueden
ser resumidos en el diagrama de fases de la Fig. 4.8. La forma del diagrama es esencialmente la misma que la del entorno óhmico. En la región de bajas temperaturas encontramos
nuevamente una isla de NSD con un área mayor. Además, el valor de |rcrit| a temperatura
cero es mayor que en el caso óhmico, y decrece al aumentar la temperatura. Como consecuencia, podemos observar también una región SDR a altas temperaturas con un ancho
dado por |rcrit|.
A pesar de no haber expresiones analı́ticas para este tipo de entorno podemos obtener
fórmulas aproximadas en el lı́mite de acoplamiento débil y frecuencia de corte alta. Estas
ecuaciones no permiten efectuar conclusiones cuantitativas, pero muestran en forma cualitativa el comportamiento esperable para el entorno sub-óhmico. Como se mencionó en la
subsección anterior, para estimar cantidades tales como rcrit y Scrit es necesario obtener
57
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
2
1.5
EN
Separable (r =1)
Two-mode (r = 1)
Coherent (r = 0)
(a)
1
0.5
0
0
2
1.5
EN
|r|
10
5
(b)
15
Two-mode (r = 2)
Separable (r = 2)
1
0.5
0
0
10
Ωt
5
15
20
Figura 4.7: Negatividad logarı́tmica para osciladores resonantes en el entorno sub-óhmico.
(a) A T = 0 la fase NSD aparece para diferentes valores de squeezing. La amplitud de
las oscilaciones es mayor que en el caso óhmico. Como consecuencia, el entrelazamiento
alcanzado para estados iniciales coherentes es también mayor. (b) Para T /Ω = 10 también
aparecen oscilaciones en el régimen asintótico.
la forma del coeficiente
D a segundo orden en la constante de acoplamiento. En este caso
p
γ(t) → γsub = 2γ0 Λ/Ω. A temperatura cero, los coeficientes de difusión a primer orden
en la constante de acoplamiento son:
D ≈ mγsub Ω,
r
2 Λ h Λ + Ω i
f ≈ γsub 1 −
.
ln
π Ω
Λ−Ω
(4.34)
(4.35)
Ambos coeficientes crecen con la constante de acoplamiento y con la frecuencia de corte.
El coeficiente de difusión anómala f es mayor que el correspondiente al caso óhmico. Esto
produce una localización mayor en posición del estado asintótico del oscilador x+ . Se debe
recordar que estos coeficientes no pueden ser usados para evaluar las dispersiones asintóticas. De hecho, utilizando estos coeficientes la dispersión en momento es la correspondiente
al vacı́o. Esto se debe a que estamos utilizando una aproximación a primer orden de los
coeficientes, mientras que la dispersión es de orden cero en γ0 . Es posible verificar que esto
sucede en general, por ejemplo para el entorno óhmico la aproximación a primer orden
58
4.4. Evolución temporal de las diferentes fases: Resultados analı́ticos y numéricos.
para D es D ≈ mΩγoh (donde γoh es el valor asintótico de γ(t) para la densidad espectral
óhmica). También se pueden obtener las expresiones a altas temperaturas en el régimen
de acoplamiento débil:
D ≈ 2mγsub T,
T
f ≈ −2γsub .
Ω
(4.36)
(4.37)
En este caso, todos los coeficientes son proporcionales a la temperatura. A temperaturas
altas, el estado asintótico del oscilador x+ se encuentra levemente squeezed.
10
1
0.75
8
SD
6
T 0.5
SDR
Ω
0.25
0
0
4
NSD
NSD
0.2
0.4
|r|
SD
0.6
2
0
0
NSD
0.5
|r|
1
1.5
Figura 4.8: Diagrama de fases para el entorno sub-óhmico. Las fases SD, NSD y SDR,
describen los comportamientos cualitativamente diferentes para el entrelazamiento. La isla
de NSD, presente a bajas temperaturas, tiene un tamaño mayor que la correspondiente
al entorno óhmico.
Densidad espectral super-óhmica (n = 3)
Aquı́ consideraremos un entorno con una densidad espectral super-óhmica, ec. (4.5) con
n = 3. En este caso, los osciladores del entorno de alta frecuencia son los que se encuentran
acoplados más fuertemente al sistema. Debido a esta particularidad el entorno induce una
menor tasa de disipación que en el caso óhmico. De hecho, para el entorno super-óhmico
el coeficiente de disipación alcanza un valor asintótico dado por γ(t) → γsup = 2γ0 (Ω/Λ)2
y el corrimiento en frecuencia es δω 2 (t) → −4(2γ0 )Λ/3π. Por consiguiente, en el lı́mite
de frecuencia de corte infinito el coeficiente de disipación se anula. De esta manera, el
59
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
oscilador x+ no alcanza el equilibrio, este hecho fue advertido en [45] y relacionado con el
fenómeno de recoherencia que puede ser inducida por este tipo de entornos. Como γ(t) es
nulo en el lı́mite asintótico, no es posible aplicar el análisis que se presentó en la sección
anterior, ya el mismo supone que el oscilador x+ alcanza el equilibrio. Por consiguiente,
para esta densidad espectral, se espera que el entrelazamiento oscile a tiempos largos.
Esto es precisamente lo que se observa en la Fig. 4.9, allı́ se muestran los resultados de
las simulaciones numéricas para dos estados iniciales diferentes. Se puede observar que las
oscilaciones del entrelazamiento se encuentran presentes a bajas y altas temperaturas. La
amplitud de las oscilaciones decrece muy lentamente ya que en este caso consideramos una
frecuencia de corte finita. Efectivamente, el coeficiente de disipación no es estrictamente
cero sino simplemente muy pequeño. Esto implica que el sistema alcanzarı́a el equilibrio
en un tiempo extremadamente largo (tiempos del orden de 1/γsuper , una estimación que
es consistente con el comportamiento observado numéricamente).
2
Two-mode (r = 1)
Separable (r = 1)
1.5
EN
(a)
1
0.5
0
0
2
1.5
100
200
(b)
300
Two-mode (r = 2)
Separable (r = 2)
EN 1
|r|
0.5
0
0
100
Ωt
200
300
Figura 4.9: Negatividad logarı́tmica para osciladores resonantes en un entorno super-óhmico. (a) T = 0, no se observa que el entrelazamiento alcance un equilibrio. Las oscilaciones
se encuentran presentes a tiempos largos, y dependen fuertemente del estado inicial. (b)
A T /Ω = 10 el entrelazamiento oscila con una amplitud menor.
A temperatura cero también es posible obtener el comportamiento asintótico de los
coeficientes de difusión en el lı́mite de acoplamiento débil:
2
2γ0 γsup
Λ − Ω2
2γ0
f≈
+
ln
≈
,
2
π
π
Ω
π
60
4.4. Evolución temporal de las diferentes fases: Resultados analı́ticos y numéricos.
D ≈ mΩγsup .
(4.38)
Por lo tanto, en este caso la difusión anómala f es proporcional a la constante de acoplamiento y se vuelve independiente de la frecuencia de corte. Toma el valor más pequeño,
comparando las tres densidades espectrales que se consideraron, que es una señal del acoplamiento débil entre el sistema y las bandas de bajas frecuencias del entorno. Por otro
lado, D se hace nulo en el lı́mite de frecuencia de corte infinita (como se menciona más
arriba, γsup se anula también). En el lı́mite de altas temperaturas se obtiene:
γ0 T
,
π Λ
D ≈ 2mT γsup .
f ≈2
(4.39)
En este caso el estado asintótico tendrı́a un squeezing menor que todos los casos anteriores
y se encuentra reflejado en el valor pequeño de f .
4.4.2.
Acoplamiento Simétrico: diferentes densidades espectrales
Aquı́ consideraremos el caso donde el acoplamiento con el entorno es simétrico en
posición y momento. Este modelo a temperatura cero fue estudiado previamente en
[105] para una clase restringida de estados iniciales (squeezed de dos modos). En este
caso presentamos resultados extendiendo el trabajo anterior considerando estados iniciales Gaussianos y temperaturas del entorno arbitrarias (además aprovechamos para
corregir algunos resultados erróneos presentados en [105]). Es sencillo probar que en
el lı́mite de acoplamiento débil, el valor asintótico de la constante de acoplamiento es
γ̃ → 4γ0 (Ω/Λ)n−1 = 2J(Ω)π/Ωm donde J(ω) donde la densidad espectral se encuentra
definida por la ecuación (4.5). Este resultado indica que para el caso de acoplamiento
simétrico el comportamiento será similar al observado para el acoplamiento en posición:
entornos sub-óhmicos inducen mayor disipación y para entornos super-óhmicos (n > 1)
no existe un equilibrio en el lı́mite de frecuencia de corte infinita.
Aquı́ se presentan los resultados de las simulaciones numéricas utilizando los mismos
parámetros que en las secciones anteriores. Además se considera que C12 = C̃12 = 0
(entonces, Ω = ω− y M = m− ). En la Fig. 4.10 se muestra la dinámica del entrelazamiento
para las densidades espectrales óhmica y sub-óhmica. Allı́ puede observarse que cuando el
entorno se halla a temperatura cero, el entrelazamiento se reduce exactamente a la mitad si
el estado inicial es un estado squeezed de dos modos (como también fue mostrado en [105]).
Este hecho es predicho por nuestros resultados anteriores, como muestra la ecuación (4.19)
y el diagrama de fases. Este resultado es válido para densidades espectrales óhmicas y subóhmicas y para cualquier densidad espectral tal que el oscilador x+ alcance el equilibrio,
ya que en esos casos el estado asintótico del oscilador x+ es el estado fundamental. Es
posible verificar a partir de la ecuación maestra a temperatura cero que el vacı́o es un
estado estacionario para ambas densidades espectrales. Por lo tanto, el estado asintótico
es puro y este mecanismo puede ser utilizado para generar estados Gaussianos puros
61
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
entrelazados. Otra consecuencia visible del acoplamiento simétrico es que la dinámica del
entrelazamiento para estados iniciales con factor de squeezing positivo y negativo es el
mismo. En la Fig. 4.10 se muestra un ejemplo del comportamiento del entrelazamiento
para temperatura diferente de cero. Como se discutió anteriormente, el estado estacionario
tiene entrelazamiento constante. Estos resultados pueden ser resumidos en un diagrama de
fases simple como el de la Fig. 4.4, que es esencialmente el mismo para ambas densidades
espectrales.
2
(a)
Ohmic Two-mode (r = 1)
Ohmic Separable (r = 1)
SubOhmic Two-mode (r = 1)
1.5
EN 1
0.5
0
0
2
1.5
10
20
(b)
Ohmic (r = 2)
SubOhmic (r = 2)
EN
1
|r|
0.5
0
0
10
Ωt
20
Figura 4.10: Dinámica del entrelazamiento para osciladores resonantes en un entorno con
acoplamiento simétrico. (a) Entorno a temperatura cero, el entrelazamiento asintótico
depende del squeezing r y es constante. Las densidades espectrales óhmicas y sub-óhmicas
alcanzan el mismo estado de equilibrio entrelazado. (b) Entorno a temperatura T /Ω = 10,
el entrelazamiento final depende del squeezing inicial para ambas densidades espectrales.
Además incluimos los resultados correspondientes a la densidad espectral super-óhmica. Aquı́ el coeficiente de disipación γ̃ alcanza un valor que es proporcional a 1/Λ2. En
la Fig. 4.11 se muestra la dinámica del entrelazamiento para dicha densidad espectral.
Allı́ pueden observarse oscilaciones a tiempos suficientemente largos, consecuencia del valor pequeño del coeficiente disipativo. Esto contradice los resultados obtenidos en [105]
donde se muestra que para en entorno super-óhmico el entrelazamiento alcanza el equilibrio antes que el óhmico y sub-óhmico. A partir del análisis anterior, basado en el uso de la
62
4.5. Osciladores no-resonantes
2
T/Ω = 0, Two-mode (r = 1)
T/Ω = 10, Two-mode (r = 2)
1.5
EN
1
|r|
0.5
0
0
20
40
60
Ωt
80
100
Figura 4.11: Osciladores con acoplamiento simétrico acoplados a un entorno super-óhmico.
T = 0, el entrelazamiento oscila. La amplitud de las oscilaciones decrece lentamente ya
que estamos considerando una frecuencia de corte finita. Además se observan oscilaciones
del entrelazamiento a temperaturas altas.
ecuación maestra, es posible concluir que los resultados de [105] no parecen ser confiables.
Por el contrario, nuestros resultados numéricos corroboran las conclusiones que inferimos
analı́ticamente. Por lo tanto, el entrelazamiento oscila y decae lentamente con una tasa
aproximada γ̃ (que es nula en el lı́mite de frecuencia de corte infinita).
Finalmente, por completitud se incluye el valor del coeficiente difusivo en el lı́mite de
Ω
). Utilizando esta expresión es
acoplamiento débil (ver apéndice A.1) D̃ = 2J(Ω)π coth( 2T
posible obtener las siguientes dispersiones asintóticas para el oscilador x+ :
Ω
MΩ
2 2
2
2
,
(4.40)
coth
M Ω ∆x+ = ∆p+ =
2
2T
que corresponde al equilibrio térmico a temperatura finita T . Utilizando estos valores es
posible recuperar los resultados de [102].
4.5.
Osciladores no-resonantes
Las propiedades anteriores son válidas bajo una hipótesis importante: los dos osciladores tienen la misma frecuencia. Si este no es el caso, el análisis se vuelve más complicado:
la ecuación maestra ya no es válida debido a que existen términos que acoplan los osciladores virtuales x− y x+ . El oscilador x− ya no se encuentra protegido de la acción del
entorno y una nueva ecuación maestra rige la dinámica del sistema. Si la interacción entre
los osciladores es en posición es posible deducir una nueva ecuación maestra:
ρ̇ = −i[HR , ρ] − iγ(t)[x+ , {p+ , ρ}] − D(t)[x+ , [x+ , ρ]] − f (t)[x+ , [p+ , ρ]]
m
− i δΩ2+− (t)[x+ , {x− , ρ}] − iγ+− (t)[x+ , {p− , ρ}] − D+− (t)[x+ , [x− , ρ]]
2
63
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
− f+− (t)[x+ , [p− , ρ]].
(4.41)
La forma de esta ecuación maestra refleja el hecho de que los osciladores ± se encuentran
acoplados entre sı́ cuando el sistema se encuentra fuera de la resonancia (la constante de
acoplamiento se encuentra dada por c+− = (ω12 −ω22 )/2), y el oscilador x+ se halla acoplado
al entorno. En el Apéndice A.2 se encuentran las expresiones analı́ticas de los coeficientes
de la ecuación maestra (4.41), válidos en el lı́mite de acoplamiento débil. Existen cuatro
términos nuevos en la ecuación maestra. Estos coeficientes se encuentran etiquetados por
los subı́ndices +−. Además, todos estos coeficientes son proporcionales a la desintonı́a
∆ = (ω1 − ω2 ), y es ası́ que su importancia aumenta cuando el sistema se aparta de la
resonancia (en el lı́mite resonante todos los coeficientes son nulos y la ecuación maestra se
reduce a la anterior). Es posible obtener las dispersiones asintóticas de los dos osciladores,
pero las fórmulas correspondientes son un poco largas y poco esclarecedoras.
Las conclusiones generales más importantes que se pueden enumerar a partir la ecuación maestra para osciladores no-resonantes son las siguientes. Al existir un estado final
de equilibrio para ambos osciladores ±, el entrelazamiento final es independiente del estado inicial. Para temperaturas altas en el lı́mite asintótico no existe entrelazamiento.
Sin embargo, para temperaturas suficientemente bajas el estado final puede encontrarse
entrelazado. En la Fig. 4.12 se muestra cómo cambian los resultados cuando el sistema se
aparta de la resonancia si el entorno se encuentra a una temperatura (T /Ω = 10). En ese
caso se puede observar la dinámica del entrelazamiento para las densidades espectrales
óhmica y sub-óhmica. A tiempos cortos, estados iniciales separables se entrelazan debido a
la acción del entorno. Sin embargo, EN decae fuertemente para osciladores no-resonantes
y el sistema se desentrelaza en un tiempo finito (SD).
Además analizamos el valor de EN para diferentes valores de desintonı́a. El resultado
se muestra en la Fig. 4.13, donde se puede ver claramente que el pico resonante se hace
más angosto a medida que transcurre el tiempo. También podemos observar que el entorno sub-óhmico puede retener por un tiempo más largo el entrelazamiento que en caso
óhmico. Esto se debe a que el acoplamiento natural (que es cancelado luego por el acoplamiento inducido por el entorno) produce mayor entrelazamiento a tiempos cortos, que
en el caso óhmico. Asimismo, se pueden observar pequeñas diferencias entre la evolución
correspondiente a osciladores fuera de la resonancia. Esto se debe a que la interacción
virtual, c+− , depende del cuadrado de las frecuencias y no sólo de la diferencia entre ellas.
Como ambos osciladores alcanzan un estado de equilibrio (que se encuentra caracterizado
por un valor no nulo de las correlaciones entre ellos) el entrelazamiento final se vuelve
independiente del estado inicial, y sucede que es nulo a altas temperaturas. La evolución
del entrelazamiento para osciladores no-resonantes a temperatura cero se muestra en la
Fig. 4.14. Allı́, se puede ver claramente que el entrelazamiento puede persistir a tiempos
largos. El sistema alcanza el equilibrio en una manera complicada debido a la existencia
de dos tasas de relajación: una de ellas es γ (la misma que en el caso resonante) mientras
que la restante se encuentra modulada por la desintonı́a ∆/Ω. Por último, es interesante
notar que para toda desintonı́a es posible encontrar una temperatura por debajo de la
cual el estado asintótico es entrelazado. La dependencia del entrelazamiento final con la
64
4.6. Osciladores resonantes interactuantes y estados iniciales mixtos
0.75
Ω2/Ω = 1
Ω2/Ω = 0.8
Ω2/Ω = 1.2
(a)
0.5
EN
| r | 0.25
0
0
1
1
0.5
Ω2/Ω = 1
Ω2/Ω = 0.8
Ω2/Ω = 1.2
(b)
0.75
EN 0.5
|r|
0.25
0
0
1.5
0.5
Ωt
1
1.5
Figura 4.12: Dinámica del entrelazamiento para osciladores no-resonantes en un estado
inicial separable r = 2. Se muestra la dinámica del entrelazamiento para osciladores
no-resonantes junto con la del caso resonante. Entornos (a) óhmico y (b) sub-óhmico a
T /Ω = 10 con γ0 = 0,1.
temperatura es analizada en la Fig. 4.15. La curva es muy similar a una transición de fase
con una temperatura crı́tica dependiente de la desintonı́a. La existencia de entrelazamiento en el estado asintótico no es algo totalmente sorprendente y es muy probable que se
encuentre relacionado con la existencia de entrelazamiento en el estado fundamental de
cadenas armónicas [113].
4.6.
Osciladores resonantes interactuantes y estados
iniciales mixtos
Los resultados presentados anteriormente pueden ser extendidos en varias maneras.
De hecho, a lo largo de la primera parte nos centramos en el caso donde los osciladores
renormalizados no interactuaban entre sı́, pero el mismo análisis puede ser aplicado a los
casos donde la constante de interacción renormalizada entre los osciladores, C12 , no es
nula: C12 = c12 + δω 2/2. De esta manera, es posible escribir las frecuencias renormalizadas
65
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
0.3
Ωt = 0.5
Ωt = 0.8
Ωt = 1
Ωt = 3
Ωt = 30
(a)
0.2
0.6
(b)
0.4
EN
|r|
0.2
0.1
0
0.6 0.8
1 1.2 1.4
Ω 2/Ω
0
0.6 0.8
1 1.2 1.4
Ω2/Ω
Figura 4.13: Entrelazamiento para osciladores no-resonantes inicialmente en un estado
separable r = 2 y T /Ω = 10. En los gráficos se consideran las densidades espectrales
óhmica (a) y sub-óhmica (b).
0.1
Ω2 = 1.2
Ω2 = 2
EN
0.05
0
0
20
Ωt
40
60
Figura 4.14: Entrelazamiento para osciladores no-resonantes en un entorno óhmico a T =
0. El estado inicial es un estado coherente separable (r = 0). Para varias desintonı́as el
estado asintótico continúa entrelazado en lı́mite de tiempos largos. Cerca de la resonancia
este entrelazamiento es del orden de Ec .
de los osciladores x± :
Ω2 = Ω2R + C12
2
ω−
= Ω2R − C12
66
(4.42)
(4.43)
4.6. Osciladores resonantes interactuantes y estados iniciales mixtos
∆ = 0.2
∆=0
∆ = − 0.1
∆ = − 0.2
0.06
EN
0.04
0.02
0
0
0.1
0.2
T/Ω
0.3
Figura 4.15: Entrelazamiento asintótico en función de la temperatura del entorno. El
entrelazamiento asintótico para osciladores no resonantes es independiente del estado
inicial. Para cada valor de desintonı́a existe una temperatura crı́tica a partir de la cual no
existe entrelazamiento en el estado asintótico.
donde ΩR es la frecuencia renormalizada de los osciladores resonantes y |C12 | < Ω2R . A
partir de estas ecuaciones se puede ver que si C12 6= 0 las frecuencias de los osciladores
x± son diferentes, Ω 6= ω− 6= ΩR . Como se vio anteriormente, consideraremos osciladores
acoplados en posición y con masas idénticas, es decir, m− = m+ = m. De esta manera, las
ecuaciones que determinan el entrelazamiento asintótico no cambian y podemos reescribir
el valor de rcrit :
1 h ω− i
∆x+
1
+ ln
.
(4.44)
rcrit = ln mΩ
2
∆p+
4
Ω
A partir de esta expresión se puede ver claramente que a pesar de que el estado asintótico
del oscilador x+ no tenga squeezing, el valor de rcrit puede ser diferente de cero. Por
lo tanto, es posible obtener oscilaciones del entrelazamiento a altas temperaturas si los
osciladores renormalizados interactúan entre sı́. Algunos ejemplos del comportamiento del
entrelazamiento cuando los osciladores interactúan entre sı́ pueden observarse en la Fig.
4.16.
Como se mencionó anteriormente, si se asume simplemente que el acoplamiento natural
c12 es cero, la interacción efectiva a tiempos largos se volverá dependiente de la frecuencia
de corte. En este caso, se obtienen oscilaciones dependientes de la frecuencia de corte,
en el lı́mite de tiempos largos. Sin embargo, este efecto puede ser suprimido al tener
en cuenta la renormalización del acoplamiento, ver Fig. 4.16 (b). Por otro lado, en el
caso de acoplamiento simétrico la evolución asintótica no cambia demasiado si se añade
una interacción entre los osciladores. De hecho, en este caso siempre se obtiene MΩ =
m− ω− = mω y rcrit es nulo, como puede verse en las ecuaciones (4.22) y (4.15). Como
consecuencia, para el acoplamiento simétrico, no existen oscilaciones del entrelazamiento
en el lı́mite asintótico. Existe una única excepción a esta regla: Si uno introduce un
acoplamiento que no es simétrico entre los osciladores, por ejemplo c12 6= c̃12 , entonces se
obtiene MΩ 6= m− ω− y rcrit 6= 0.
67
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
6
5
4
EN 3
2
1
0
0
6
5
(a)
C12 = 0.5
C12 = - 0.5
C12 = 0
10
5
Λ = 20, C12 = 0
Λ = 40, C12 = 0
(b)
ΩR t
2.5
(c)
Λ = 20, C12 = δω /2
EN 3
Λ = 40, C12 = δω /2
1.5
2
1
2
0.5
1
0
25
δx-δp- = 1/2
δx-δp- = 1
2
2
4
0
20
15
10
0
20
tiempo (u. a.)
0
10
ΩR t
20
30
Figura 4.16: Dinámica del entrelazamiento para osciladores resonantes, acoplados a un
mismo entorno a temperatura T /ΩR = 10, en diferentes situaciones. (a) Estado inicial
squeezed de dos modos (r = 3, Ω1,2 ≡ ΩR = 1) y diferentes constantes de acoplamiento, se
pueden observar oscilaciones a altas temperaturas cuando los osciladores renormalizados
interactúan entre sı́. (b) Estado inicial squeezed de dos modos (r = 3, ΩR = 3), aparecen
oscilaciones dependientes de la frecuencia de corte al considerar osciladores naturales no
interactuantes. (c) Estado inicial separable (r = 3). El entrelazamiento final depende del
grado de pureza del estado inicial y es menor, que el correspondiente a un estado inicial
puro, en una cantidad ln (2δx− δp− ) /2.
Los resultados que se reportan más arriba, pueden cambiar si además se consideraran
estados iniciales mixtos, ver Fig. 4.16 (c). Sin embargo, el cambio en el diagrama de
fases es simple de entender. De hecho, el grado de pureza del estado inicial se encuentra
caracterizado por el producto δx− δp− , que sólo modifica el valor de Scrit , cambiando
el valor medio del entrelazamiento final en una cantidad ln (2δx− δp− ) /2 (como puede
verse de las ecuaciones (4.19) y (4.23)). De esta manera, el entrelazamiento alcanzado por
estados puros es, lógicamente, mayor que el obtenido por estados mixtos con el mismo
factor de squeezing. El diagrama de fases para estados iniciales mixtos puede ser obtenido
68
4.7. Conclusiones
en forma sencilla a partir del correspondiente a estados puros iniciales trasladando la
curva Scrit hacia la derecha. Esto tiene el simple efecto de mover hacia arriba el eje
horizontal (ver Fig. 4.3). Como consecuencia, el valor de T0 cambia y la isla NSD de bajas
temperaturas puede desaparecer dependiendo del grado de impureza del estado inicial.
4.7.
Conclusiones
En este capı́tulo presentamos un estudio completo de la evolución del entrelazamiento
entre dos osciladores que interactúan con el mismo entorno. Consideramos dos modelos
relacionados para la interacción entre el sistema y el entorno: uno donde el acoplamiento
es mediante posición y el otro donde el acoplamiento es simétrico en posición y momento.
En ambos casos se hizo uso de una ecuación maestra exacta como principal herramienta
analı́tica. Para el acoplamiento en posición presentamos un diagrama de fases que es válido para densidades espectrales óhmica y sub-óhmica, y mostramos que existen tres fases
dinámicas diferentes (SD, NSD y SDR). Para ambas densidades espectrales el diagrama
de fases es cualitativamente equivalente. La principal diferencia consiste en que el entorno
sub-óhmico tiende a aumentar la amplitud de las oscilaciones del entrelazamiento (debido
al hecho de que el estado asintótico del oscilador virtual x+ se encuentra más squeezed
que el correspondiente al caso óhmico). Por otro lado, mostramos que un diagrama de
fases cualitativamente diferente emerge cuando el acoplamiento es simétrico. En ese caso,
la fase SDR se encuentra ausente y el entrelazamiento asintótico no oscila. Nuestros resultados muestran claramente que estados iniciales separables pueden terminar entrelazados
y estados inicialmente entrelazados pueden sufrir muerte súbita del entrelazamiento.
En el caso donde el acoplamiento es mediante la coordenada posición, mostramos que
(para estados iniciales puros) existe un rango de temperaturas para las cuales no existe SD.
De hecho, esto sucede para T ≤ T0 donde T0 es la temperatura para la cual la dispersión
en posición del oscilador x+ se vuelve idéntica a la correspondiente al vacı́o (por debajo
T0 dicha dispersión es menor). Por otro lado, para acoplamiento simétrico la fase SD se
encuentra presente a toda temperatura.
La existencia de entrelazamiento en el estado final puede ser comprendida utilizando
la interpretación que fue discutida anteriormente en la Sección 4.2.1. Allı́ se mostró que
la evolución de dos osciladores resonantes interactuando con el mismo entorno es equivalente a la siguiente secuencia de acciones sobre los modos armónicos que describen a los
osciladores originales: i) un divisor de haces 50/50 mezcla los dos modos (que corresponden a la creación de los osciladores x± a partir de los originales), ii) uno de los modos
(x− ) evoluciona libremente mientras que el otro es reemplazado por uno con dispersiones a lo largo de las cuadraturas dadas por los valores de equilibrio (esto reemplaza la
interacción entre x+ y el entorno), iii) un segundo divisor de haces 50/50 es aplicado,
lo que da lugar al estado final de los osciladores x1,2 a partir de los osciladores virtuales
x± . Con esta analogı́a, y utilizando las ideas discutidas en [111], se puede concluir que la
no-clasicalidad en los campos salientes (luego del segundo divisor de haces) debe surgir a
partir de alguna forma de no-clasicalidad a la entrada. Esto puede suceder si el estado de
69
Capı́tulo 4. Dinámica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno
equilibrio tiene algún grado de squeezing (acoplamiento en posición) o si el estado inicial
no es clásico (entrelazado o squeezed). Por otro lado, si el estado inicial puro no se encuentra squeezed (r = 0, δx+ δp+ = δx− δp− = 1/2), la condición que debe cumplirse para
que exista entrelazamiento en el estado final es rcrit > 1/2 ln(2∆x+ ∆p+ ). De hecho, para
satisfacer esta condición es necesario que el entorno produzca un estado de equilibrio donde la dispersión de alguna de las cuadraturas del oscilador x+ sea menor que la del vacı́o,
mı́n{∆2 x+ , ∆2 p+ } < 1/2 (para m = 1, Ω− = 1). Como se vio anteriormente, esto sucede
para acoplamiento en posición a temperaturas menores que T0 . Además, la descripción
anterior del problema permite obtener una conclusión aun más fuerte: cuando el acoplamiento sea simétrico, los estados iniciales coherentes nunca se encontrarán entrelazados,
ni siquiera a tiempos cortos. Este resultado, que se encuentra confirmado por las simulaciones numéricas y puede ser visto de esta manera: Para estados iniciales coherentes, los
osciladores x+ y x− no se encuentran squeezed inicialmente. Además, x− no evoluciona
para este tipo de acoplamiento mientras que el oscilador x+ cambiará sus varianzas pero
nunca se encontrará squeezed debido a la naturaleza de la interacción, que es simétrica en
posición y momento. Por lo tanto, los modos tendrán squeezing nulo durante la evolución
y, como consecuencia los osciladores x1,2 nunca se encontrarán entrelazados.
Es importante mencionar que muchos de los efectos interesantes que fueron observados
(como la fase SDR o la fase de NSD de bajas temperaturas) surgen del término de difusión
anómala en la ecuación maestra para movimiento Browniano cuántico. De hecho, esto se
puede observar claramente a partir de las expresiones de las varianzas asintóticas del
oscilador x+ como se muestra en (4.8). Como se mencionó anteriormente, la difusión
anómala es responsable del squeezing del estado asintótico. Sin embargo, es importante
recalcar que dependiendo del signo del valor asintótico de este coeficiente la naturaleza
del squeezing puede cambiar dramáticamente. De hecho, si el coeficiente f es positivo, el
estado asintótico se encontrará localizado en posición. Utilizando las expresiones analı́ticas
de estos coeficientes en el régimen de acoplamiento débil, se mostró que a temperatura cero
el valor asintótico de f es siempre positivo, y su magnitud aumenta con la constante de
disipación (ver ecuaciones (4.31) y (4.35)). No obstante, en el lı́mite de altas temperaturas
esta situación es diferente ya que el valor asintótico de la difusión anómala es negativo
(para las densidades óhmicas y sub-óhmicas, como puede verse de las ecuaciones (4.33) y
(4.37)). Por lo tanto, para dichos entornos el estado asintótico se encuentra más localizado
en momento que en posición. De hecho, el signo de f indica cuál es el observable que
localiza el entorno a tiempos largos: Cuando f es positivo (negativo), el entorno induce
localización en posición (momento).
Finalmente, se estudió el comportamiento del entrelazamiento para osciladores noresonantes utilizando herramientas numéricas y analı́ticas. En este contexto obtuvimos
una nueva ecuación maestra para los dos osciladores virtuales (x+ y x− ) que se encuentran acoplados. Ambos osciladores alcanzan un estado de equilibrio donde se encuentran
correlacionados y además tienen diferentes varianzas. De esta manera, es posible que los
osciladores se encuentren entrelazados a bajas temperaturas. En general, a temperaturas
finitas el destino del entrelazamiento es la muerte súbita. Además, mostramos que existe
un lı́mite de bajas temperaturas que depende de la desintonı́a a partir de la cual existe
70
4.7. Conclusiones
muerte súbita del entrelazamiento. Esto se encuentra relacionado probablemente con el
entrelazamiento estudiado en cadenas armónicas [113].
A partir de este trabajo se encuentran en marcha propuestas experimentales [114],
utilizando trampas de iones, para estudiar la existencias de estas fases de entrelazamiento.
71
Capı́tulo 5
Dinámica de las correlaciones entre
el sistema y el entorno
La decoherencia es el proceso fı́sico que ocurre cuando un sistema interactúa con su
entorno. Este proceso es crucial para comprender el origen del dominio clásico a partir del
sustrato cuántico. La ausencia de superposiciones macroscópicas es una de las caracterı́sticas esenciales del realismo clásico, que se encuentra explicado por la decoherencia como
consecuencia de una regla efectiva de súper-selección que previene la existencia estable
de la mayorı́a de los estados en el espacio de Hilbert [18, 19]. Durante el último tiempo algunos desarrollos importantes permitieron entender el origen de otra propiedad que
define a los sistemas clásicos: estos existen en un estado objetivo. Zurek y colaboradores
estudiaron esta idea en forma más precisa notando que el surgimiento de la clasicalidad
se encuentra relacionado con la existencia de copias redundantes del estado del sistema
impreso en el entorno. La redundancia resulta ser clave para definir objetividad y clasicalidad: Un sistema se comporta clásicamente cuando diferentes fracciones del entorno
se correlacionan con el mismo en forma redundante. Dicho consenso acerca del estado
del sistema caracteriza el realismo clásico y permite una definición de objetividad. De
esta manera, Zurek y colaboradores iniciaron un estudio de la aparición de redundancia
a partir de las correlaciones totales entre el sistema y entorno, medidas con herramientas
provenientes de la teorı́a de la información tales como la información mutua.
En este capı́tulo realizaremos un estudio detallado de la dinámica de las correlaciones creadas entre sistema y entorno durante el proceso de decoherencia en el movimiento
Browniano cuántico. Analizaremos las correlaciones totales y las de carácter puramente
cuántico (entrelazamiento). Por un lado, estudiaremos cómo es que se localizan dinámicamente las correlaciones en las diferentes bandas del entorno. Y luego estudiaremos la
dependencia de las correlaciones con tamaño de la fracción. Analizaremos la aparición de
redundancia en las correlaciones totales y en el entrelazamiento, y mostraremos la relación
entre ellas [9].
El siguiente capı́tulo se encuentra ordenado de la siguiente manera: en la Sección
5.1.1 mostraremos los detalles del modelo y el método para simular la dinámica. En
la Sección 5.2 analizaremos las correlaciones entre el sistema y fracciones del entorno,
73
Capı́tulo 5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
poniendo especial atención en la localización, de acuerdo a bandas de osciladores, y la
dependencia con el tamaño de sub-entornos. En la Sección 5.3 estudiaremos la manera
en la cual se distribuyen las correlaciones en el entorno, analizando exclusivamente su
carácter redundante; consideraremos la redundancia a partir de las correlaciones totales
y a partir del entrelazamiento, y su relación con los efectos disipativos. En la Sección 5.4
mostraremos un modelo capaz de reproducir con gran precisión los resultados numéricos en
el caso no-disipativo, a partir de este modelo mostraremos resultados analı́ticos que ayudan
a entender el tipo de correlaciones que se crean durante el proceso de decoherencia. En la
Sección 5.5 mostraremos un ejemplo que ilustra la posibilidad de, en principio, recuperar
información acerca del estado inicial del sistema perdida por la acción de la decoherencia.
Finalmente en la Sección 5.6 presentaremos las conclusiones de este capı́tulo.
5.1.
Introducción
En este capı́tulo estudiaremos las correlaciones que son creadas entre sistema y entorno.
Consideraremos el modelo de movimiento Browniano cuántico donde nuestro sistema de
interés es un oscilador cuántico central. Estudiaremos el caso donde el entorno se encuentra
a temperatura cero y los estados iniciales del sistema son Gaussianos puros. Nuestro
objetivo estará centrado en el análisis de las correlaciones que son creadas entre sistema
y entorno, ver Fig. 5.1. En este caso utilizaremos dos medidas de correlaciones; por un
lado la información mutua cuántica, como medida de las correlaciones totales, y por el
otro el entrelazamiento, como caracterı́stica de las correlaciones cuánticas (medido por
la negatividad logarı́tmica). Comenzaremos por analizar el desarrollo de las correlaciones
entre el sistema y bandas de osciladores del entorno, lo que nos dará una idea de la
localización de la información, es decir, qué frecuencias son capaces de adquirir mayor
información acerca del sistema. Luego estudiaremos las correlaciones entre el sistema y
conjuntos de osciladores (fracciones del entorno), con el fin de caracterizar la cantidad de
información compartida entre sistema y entorno en función del tamaño de sub-entorno
que analizamos. Para comenzar, en la sección siguiente daremos una descripción de los
métodos que utilizaremos para obtener la dinámica del sistema completo.
5.1.1.
Modelo y simulación numérica
El baño de osciladores será tratado como un conjunto de osciladores independientes
acoplados al sistema. Los resultados numéricos que se presentarán a continuación corresponden a la solución exacta de este caso y una excelente aproximación al espectro
continuo. Como vimos en el primer capı́tulo, es posible obtener la evolución temporal
exacta de la matriz densidad reducida del sistema S a partir de la ecuación maestra [39].
Además si nos restringimos al estudio de estados Gaussianos iniciales, es posible obtener
la evolución completa (sistema + entorno) en forma exacta y eficiente. De esta manera, si
inicialmente el entorno se encuentra en un estado de equilibrio térmico y el estado inicial
del sistema es Gaussiano resulta fácil de ver que, gracias a la forma cuadrática del Ha74
5.1. Introducción
Figura 5.1: En este capı́tulo analizaremos las correlaciones entre sistema y diferentes partes
del entorno.
miltoniano (Sec. 2.5.1), esta estructura se mantiene a tiempos arbitrarios. Considerando
que la dinámica de estados Gaussianos refleja la dinámica correspondiente a distribuciones de probabilidad clásicas, es posible obtener la evolución cuántica en forma eficiente.
Esto equivale a la evolución del vector que contiene los valores medios de los primeros
momentos y la matriz de covarianza que almacena los valores de los segundos momentos.
El método utilizado para obtener la dicha evolución es sencillo y fue usado en [115, 116].
En nuestro caso, cada oscilador del entorno tiene una frecuencia wn y representa una
banda de osciladores centrada en la frecuencia wn de un ancho ∆ω. De esta manera, el
acoplamiento entre el sistema y una banda de osciladores del entorno de frecuencia wn
puede ser escrito como:
c2n = 2mn wn J(wn )∆ω.
(5.1)
La familia de densidades espectrales que se considerarán en nuestro análisis corresponden
a las que poseen una dependencia con las potencias de ω hasta una determinada frecuencia
de corte:
2mS γ0 ω n−1
J(ω) =
ω
θ(Λ − ω).
(5.2)
π
Λ
Como se dijo anteriormente, el espectro continuo de osciladores es reemplazado por un conjunto NE finito de osciladores de frecuencias distribuidas a lo largo del intervalo [0 . . . Λ].
Este sistema representa fielmente a un espectro continuo hasta un tiempo de Poincarè
dado por el espaciamiento entre frecuencias tc = 2π/∆ω.
El estado Gaussiano del sistema completo, formado por N = NE + 1 osciladores,
se encuentra representado por el vector que contiene los valores medios de los primeros
momentos ~r(t) y la matriz de covarianza V . ~r(t) transforma como ~r(t) = S(t)~r0 , donde S
es una matriz simpléctica de 2N × 2N, que representa la evolución unitaria del sistema
completo. La matriz de covarianza V , al ser un tensor simétrico, transforma como:
V (t) = S(t)V 0 S(t)T .
75
(5.3)
Capı́tulo 5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
La manera de encontrar la forma de la matriz simpléctica S es sencilla. En primer lugar
es necesario hallar los modos normales del sistema compuesto (S ⊕ E) y sus frecuencias,
primero realizando una transformación que reescalea las masas M, y luego encontrando la
matriz ortogonal O que diagonaliza la matriz de potencial. En este caso la matriz O actúa
sólo en las coordenadas, ya que sólo existen acoplamientos entre coordenadas posición.
Cada modo normal tiene una frecuencia Ωn , donde (Ω2n ) es el autovalor de la matriz de
potencial. Por lo tanto, la matriz de evolución temporal es diagonal por bloques en la
base de modos normales (S0 (t)), con bloques simplécticos S0n (t) que implementan una
evolución oscilatoria cuando Ω2n > 0,
1
cos Ωn t
sin Ωn t
(n)
Ω
n
,
(5.4)
S0 (t) =
−Ωn sin Ωn t cos Ωn t
o una evolución exponencial divergente cuando Ω2n < 0, (cos Ωn t → cosh Ωn t, sin Ωn t →
i sinh Ωn t). Finalmente, es posible escribir el operador evolución temporal como:
S(t) = M−1 OT S0 (t)OM−1 .
(5.5)
Los resultados de estas simulaciones fueron contrastados con los obtenidos a partir del
operador evolución reducido para el sistema continuo del Apéndice B, encontrando un
gran acuerdo. En ese caso fue posible analizar la información mutua entre el sistema y
bandas de osciladores, y entre el sistema y fracciones pequeñas del entorno. Esto se llevó a
cabo asociando el valor de λ ec. (B.1) a la constante de acoplamiento cn de la ec. (5.1),
que depende tanto de la frecuencia de la banda de osciladores wn ası́ como de su tamaño
∆ω.
5.2.
5.2.1.
Dinámica de la Información
Desarrollo de las correlaciones
En primer lugar, estudiaremos la dinámica de las correlaciones totales entre el sistema
S y el entorno E, o dicho de otro modo la información total disponible en el entorno. Consideraremos al entorno a temperatura cero y el estado inicial del sistema puro. De esta
manera, el sistema global S-E se encontrará en un estado puro y las correlaciones generadas entre ellos serán de carácter cuántico. Utilizaremos la información mutua cuántica
(IM) para cuantificar las correlaciones. El sistema se encuentra inicialmente en un estado
Gaussiano squeezed, al igual que en el capı́tulo anterior. En este caso, siendo el estado
global puro, la información mutua entre el sistema y el entorno es simplemente el doble de
la entropı́a del sistema S: I(S, E) = H(S) + H(E) − H(S, E) = 2H(S). El acoplamiento
entre el sistema y el entorno se encuentra caracterizado por las tres densidades espectrales
que estudiaremos: n = 1, n = 1/2 y n = 3. De esta manera, podremos caracterizar el rol
de la disipación en este proceso.
En la Fig. 5.2 podemos observar el resultado obtenido, a partir del estudio numérico,
para estados iniciales squeezed en posición (r = −5). La IM aumenta rápidamente, el
76
5.2. Dinámica de la Información
IS:ε
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
Óhmico
Sub−óhmico
Super−óhmico
10
20
30 40 50 60
Tiempo (u.a.)
70
80
90
Figura 5.2: Dinámica de la información mutua entre el sistema y el entorno, (ΩS = 3, γ0 =
0,1 y Λ = 20). A tiempos muy cortos, mientras el entorno monitorea al sistema, se crean
correlaciones fuertes entre ellos, que dependen de la dispersión del estado inicial. Luego la
IM decae con la tasa de disipación correspondiente a cada entorno, oscilando además de
acuerdo con la dinámica interna del sistema, hasta alcanzar el valor de equilibrio. Entornos
no-disipativos (super-óhmicos) conservan las correlaciones con el sistema a tiempos largos.
entorno se correlaciona con el sistema en una escala temporal del orden del tiempo de
decoherencia. En este caso la IM es una medida del entrelazamiento entre el entorno y
el sistema. Luego, la IM alcanza su valor máximo, que aumenta logarı́tmicamente con el
valor inicial de ∆x (este se encuentra relacionado con el área simpléctica del espacio de
fases cubierta por el estado Gaussiano). Posteriormente, la IM decrece aproximadamente
en forma lineal con una pendiente dada por −2γ (γ es el valor asintótico del coeficiente
disipativo de la ecuación maestra):
n−1
∂IS:E
ΩS
≈ −2γ0
.
(5.6)
∂t
Λ
Resulta sencillo darse cuenta de esto, ya que la entropı́a de von Neumann depende logarı́tmicamente del área del estado Gaussiano en el espacio de fases, y dicha área decae
exponencialmente con la constante de disipación. Este decaimiento es acompañado por
pequeñas oscilaciones de frecuencia ΩS , dada por la dinámica del sistema. Luego de algunos tiempos de disipación, tD ≈ γ −1 , alcanza el valor asintótico en el equilibrio térmico.
Como vimos en el capı́tulo anterior, el estado de equilibrio del sistema no posee la dispersión correspondiente al vacı́o, sino que depende además del acoplamiento con el entorno.
El valor de equilibrio de la IM aumenta con la constante de disipación γ0 mostrando que
en el equilibrio el sistema se encuentra entrelazado, levemente, con el entorno.
Por otro lado, entornos no-disipativos muestran un comportamiento muy diferente,
como se puede ver en la Fig. 5.2. En estos casos, el coeficiente de disipación decrece
77
Capı́tulo 5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
8
7
IS:ε 6
5
4
3
2
1
0
0
Λ = 500, r = −5
Λ = 300, r = −5
Λ = 300, r = 5
1
2
3
4
Tiempo (u.a.)
5
6
7
Figura 5.3: Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno para una densidad
espectral super-óhmica, con frecuencia de corte alta. De acuerdo al estado inicial del sistema, es posible encontrar dos situaciones diferentes. Si el sistema inicialmente se halla
localizado en posición (r = −5) se puede ver que periódicamente se encuentra, aproximadamente, desacoplado del entorno. La información del sistema fluye hacia al entorno y
retorna al sistema. Dependiendo de la frecuencia de corte, este desacoplamiento será más
efectivo. Para estados iniciales delocalizados en posición (r = 5), se observa que el sistema se acopla fuertemente al entorno y la información mutua oscila alrededor de un valor
medio no nulo.
fuertemente con el valor de la frecuencia de corte. Si consideramos una frecuencia de corte
alta podemos observar cómo la dinámica de la IM es dependiente del estado inicial. Como
muestra la Fig. 5.3, si el estado inicial del sistema se encuentra squeezed en posición (r =
−5), las correlaciones crecen y se anulan (aproximadamente) en forma periódica. Es decir,
el sistema se acopla y desacopla de acuerdo a su dinámica interna, este desacoplamiento
será más efectivo cuanto menor sea la constante de disipación. Por otro lado, si el estado
inicial se encuentra squeezed en momento (r = 5), las correlaciones muestran oscilaciones
pequeñas alrededor de un dado valor que depende del estado inicial, pero en ningún
instante el sistema se desacopla del entorno. Un comportamiento similar, dependiente del
estado inicial, también fue notado en [45]. Más adelante introduciremos un modelo que
explicará dichas situaciones.
5.2.2.
Correlaciones entre el sistema y bandas del entorno
En la sección anterior estudiamos las correlaciones globales que se crean entre el sistema y el entorno. Aquı́ nos situaremos en el entorno para estudiar cómo es que encuentran
distribuidas. Con lo cual, dividiremos al entorno en las fracciones más pequeñas: bandas
de osciladores. En nuestras simulaciones, esto corresponderá simplemente a considerar
cada uno de los osciladores del entorno como una entidad. De esta manera, los subsistemas que analizaremos (S-Eω ) no se encontrarán en estados puros, es por eso que en estos
78
5.2. Dinámica de la Información
casos no sólo estudiaremos la evolución de la IM sino que también tendremos en cuenta la
evolución del entrelazamiento. Es conveniente aclarar que no nos dedicaremos a analizar
qué tipo de información contiene cada parte del entorno, sólo cuantificaremos las correlaciones que comparten. De esta manera, podremos analizar qué partes del entorno son
capaces de adquirir mayor información acerca del estado del sistema durante la evolución.
4
3.5
IS:ω 3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
Óhmico
3.5
3
IS:ω 2.5
2
1.5
1
0.5
0
10 12 14 16 18 20
0
ω
Sub−óhmico
t = 0.1
t=1
t=5
t = 60
2
4
6
8
0.6
IS:ω 0.4
t = 0.1
t=1
t=5
t = 25
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
ω
Super−óhmico
t = 0.1
t = 0.5
t = 1.01
t = 1.51
0.2
0
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
ω
Figura 5.4: Localización de las correlaciones para las diferentes densidades espectrales,
considerando un estado inicial squeezed en posición r = −5 y ΩS = 3. A tiempos cortos
las bandas ultravioletas son las que más se acoplan al sistema. Luego las correlaciones se
localizan alrededor de la frecuencia resonante y, posteriormente, por efecto de la disipación,
se borran todas las correlaciones. En el caso super-óhmico (Λ = 300) se puede observar
el efecto de los revivals periódicos. Aquı́ las correlaciones se localizan mayormente en los
osciladores del entorno con frecuencias altas.
La Figura 5.4 muestra la IM entre el sistema y bandas del entorno a diferentes tiempos, para cada una de las densidades espectrales. Consideramos al sistema con ΩS = 3 en
un estado inicial squeezed en posición r = −5. Y además, en todos los casos ∆ω = 0,066,
por lo tanto estamos considerando 300 bandas diferentes de osciladores para Λ = 20. En
general, a tiempos cortos, los osciladores de frecuencias altas son los que se encuentran
más correlacionados con el sistema. Son los que primero responden, y además son los que
se encuentran acoplados más fuertemente al sistema. De esta manera, son los responsables de la decoherencia. A tiempos mayores, las correlaciones se distribuyen entre todas
las bandas, centradas alrededor de la banda del entorno resonante con el sistema. Luego
del tiempo de disipación, tD ≈ γ −1 , las correlaciones comienzan a desaparecer, siempre
79
Capı́tulo 5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
centradas alrededor de la banda resonante. A tiempos largos, como es esperable, las correlaciones tienden a un valor nulo. En la Figura 5.5 mostramos cómo es la dinámica de
4
3.5
IS:ω 3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
Óhmico
ω = 0.1
ω=1
ω=3
ω=5
10
20
30 40 50
Tiempo (u.a.)
60
70
4
3.5
IS:ω 3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
80
0
Sub−óhmico
ω = 0.1
ω=1
ω=3
ω=5
5
10
15 20 25
Tiempo (u.a.)
30
35
40
Figura 5.5: Evolución de la información mutua entre el sistema y diferentes bandas del entorno, para densidades espectrales disipativas (ΩS = 3). En ambos casos, las correlaciones
más fuertes se encuentran en las bandas resonantes. Entornos más disipativos favorecen
las correlaciones con las bandas infrarrojas. Luego toda la información desaparece debido
a la acción de la disipación.
1.2
IS:ω
0.9
0.6
Super−óhmico
ω=1
ω=3
ω=5
ω = 100
0.3
0
0
2
4
6
8
Tiempo (u.a.)
10
12
Figura 5.6: Evolución de la información mutua entre el sistema y bandas del entorno
para un entorno super-óhmico con Λ = 300 (ΩS = 3). Las correlaciones aumentan en
el tiempo para las bandas resonantes. Las bandas infrarrojas aparecen casi desacopladas
del sistema, mientras que las bandas de altas frecuencias siguen la dinámica del sistema.
Estas muestran comportamientos periódicos, en los instantes en que las correlaciones son
nulas se observan picos en la información mutua entre el sistema y las bandas resonantes.
la IM entre el sistema y algunas bandas de osciladores del entorno. Las bandas de baja
frecuencia se acoplan levemente al sistema y dicho acoplamiento aumenta con el grado de
disipación del entorno. En la Fig. 5.6 mostramos la IM para el caso super-óhmico, allı́ se
80
5.2. Dinámica de la Información
puede ver cómo aumentan las correlaciones con las bandas resonantes al transcurrir el
tiempo. Los picos en la IM para las bandas resonantes ocurren en los instantes donde
las altas frecuencias se desacoplan del sistema. Los osciladores de baja frecuencia se encuentran casi desacoplados del sistema, mientras que las altas frecuencias acompañan la
dinámica del sistema.
Mutual Information
20
Entanglement
3
20
0.07
0.06
2.5
15
15
0.05
10
Time
Time
2
1.5
0.04
10
0.03
1
5
0.02
5
0.5
0
0.01
0
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
ω
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
ω
Entanglement
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
10 20 30 40 50 60 70 80
ω
Time
Time
Mutual Information
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
10 20 30 40 50 60 70 80
ω
Figura 5.7: Aquı́ se compara la información mutua y el entrelazamiento entre el sistema
y las bandas de osciladores del entorno. Arriba se muestran los datos correspondientes al
entorno sub-óhmico (γ0 = 0,1 y Λ = 20), y abajo el caso super-óhmico (γ0 = 0,1 y Λ =
300). El entrelazamiento, a diferencia de la información mutua, se centra principalmente
en las frecuencias resonantes.
En la Fig. 5.7 se grafica la dinámica de las correlaciones para las diferentes bandas del
entorno, en este caso también se considera el entrelazamiento (medido con la negatividad logarı́tmica). Allı́ se muestran los resultados para dos densidades espectrales (el caso
óhmico es muy similar al sub-óhmico). En el caso sub-óhmico se observa cómo las correlaciones se localizan en las frecuencias resonantes y luego decaen debido a la disipación.
81
Capı́tulo 5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
El entrelazamiento, en cambio, se encuentra casi totalmente localizado en las frecuencias
resonantes. Más sorprendente es el resultado que se obtiene para el entorno super-óhmico,
en este caso, la IM es mayor con los osciladores de alta frecuencia del entorno y a medida
que transcurre el tiempo se localiza alrededor de la frecuencia resonante. El entrelazamiento en este caso, es casi nulo para todas las frecuencias salvo la resonante donde aumenta
periódicamente.
5.2.3.
Correlaciones entre el sistema y fracciones del entorno
En la sección anterior estudiamos la dinámica de las correlaciones entre el sistema y las
fracciones más pequeñas del entorno. De aquı́ en más estudiaremos que es lo que sucede
con fracciones del entorno de diferente tamaño, compuestas por un conjunto aleatorio de
osciladores del entorno. Nos interesaremos en la información promedio que comparte una
dada fracción del entorno de un determinado tamaño.
La principal motivación parte del estudio de la transición cuántico-clásica, no sólo
observando la dinámica reducida del sistema, sino que además considerando al entorno
como testigo de la evolución del sistema [14, 117, 118, 119, 120, 116]. Bajo este nuevo
paradigma “entorno como testigo”, se estudia el surgimiento de objetividad como signo de
clasicalidad. Para que una propiedad sea objetiva, es suficiente que la información acerca
de la misma se encuentre accesible en forma redundante. Y la redundancia implica que
dicha información se encuentra contenida en múltiples copias independientes. En nuestro
caso, las correlaciones, medidas por la información mutua, nos dicen cuánto “sabe” cada
fracción del entorno acerca de S. La objetividad, emergerá cuando muchas fracciones
independientes tengan la capacidad de adquirir suficiente información sobre el sistema.
De esta manera, la objetividad surge como consecuencia de un desarrollo redundante de
las correlaciones.
La principal herramienta que usaremos en este estudio se encuentra constituida por
los “gráficos de información parcial” (PIP) [120, 119]. Constituyen gráficos de la información que puede proveer un subentorno de tamaño m, I(S, E{m} ) en función de m.
Debido a que existen muchos fragmentos del mismo tamaño, promediaremos I(S, E{m} )
sobre los diferentes fragmentos, es decir, estos gráficos nos darán información acerca de
fragmentos tı́picos del entorno. En vez de m consideraremos fracciones del entorno, es
decir: f = m/NE . De esta manera los gráficos adquieren determinada forma de acuerdo al estado global del sistema, en nuestro caso consideraremos un entorno a temperatura cero y un estado inicial puro; por lo tanto el estado global será puro. Se puede
probar que para estados globales puros, los PIP (graficaremos por comodidad ∆If =
I(S, Ef ) − H(S)) son antisimétricos respecto de su centro, f = 1/2. Esta propiedad
puede ser vista en forma sencilla considerando dos fracciones complementarias del entorno tal que E = Ef + E1−f , entonces H(S, E1−f ) = H(Ef ) y H(S, Ef ) = H(E1−f ). Por
lo tanto, ∆If = H(Ef ) − H(S, Ef ) = H(S, E1−f ) − H(E1−f ) = −∆I1−f . Sumando la información mutua de partes complementarias siempre obtenemos la información máxima
disponible 2H(S). Además, a partir de la condición anterior se desprende algo que resulta obvio, las curvas de los PIP no deben decrecer, al considerar subentornos de mayor
82
5.2. Dinámica de la Información
tamaño no disminuir la información mutua.
En la Fig. 5.8 se puede ver un ejemplo de los casos comunes que se observan en un PIP
en función de la fracción del entorno f = m/NE : la información es proporcional al tamaño
del entorno que se considera, es decir cada entorno provee información independiente; la
información se encuentra almacenada en forma redundante, se obtiene mucha información
rápidamente luego se observa un plateau clásico cuando I ∼ H(S); la información se
encuentra codificada, permanece cercana a cero y luego aumenta rápidamente al capturar
la mitad del entorno.
2HS
I(f)
IC
I(f)
HS
INR
IR
0
0.25
0.5
0.75
Fracción del entorno
1
0
0.25
0.5
0.75
Fracción del entorno
1
Figura 5.8: Gráficos de información parcial (PIP). Izquierda: Diferentes perfiles de la
información mutua. En verde se observa el comportamiento correspondiente a entornos
independientes; en azul la información se encuentra almacenada en forma redundante
en el entorno; y en rojo muestra la información codificada en múltiples entornos. Derecha: División de la información en presencia de redundancia. La información sobre una
determinada propiedad del sistema se encuentra diseminada en el entorno en forma redundante, IR . La información puramente cuántica, IC , en fracciones grandes del entorno
casi inaccesible. Finalmente, aparece una región donde la información obtenida aumenta proporcionalmente a la cantidad de entorno que es capturado, la información es no
redundante, IN R .
En la Fig. 5.9 se muestran los resultados de las simulaciones numéricas para las distintas densidades espectrales. Allı́, por simplicidad, se grafica la I(S, Ef ) − H(S) en lugar
de la IM como función la fracción de entorno. Se pueden ver comportamientos diferentes
dependiendo de la escala temporal. En el caso de entornos disipativos, se observa que para
tiempos muy cortos la información mutua aumenta casi proporcionalmente con la fracción
de entorno, al aumentar el tamaño del subentorno es posible adquirir mayor información
acerca del sistema. Luego, durante el tiempo de decoherencia, comienza a aparecer algún
signo de redundancia en las correlaciones, que se manifiesta en el plateau alrededor de
f = 1/2: una pequeña fracción del entorno tiene mucha información del sistema H(S), a
partir de allı́ aumentando la fracción del entorno no se obtiene una mejora significativa.
Sólo considerando al entorno por completo podremos acceder además a las correlaciones
cuánticas. La diferencia principal que aparece con respecto a los PIP’s obtenidos para entornos formados por baños de espines [119, 120], es la aparición de una pendiente pequeña
83
Capı́tulo 5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
en el centro de los gráficos (en vez de un plateau) información que no es redundante ni
codificada. En la próxima sección nos dedicaremos a estudiar la dinámica de esta información no-redundante. Luego de un tiempo, por efecto de la disipación, esta pendiente
comienza decrecer y el plateau aparece más firme. Finalmente, en el equilibrio térmico las
correlaciones son prácticamente nulas y observamos un plateau en los PIPs.
Óhmico r = −5
5
4
3
2
IS:f − HS 1
0
−1
−2
−3
−4
−50
Sub−óhmico r = −5
5 10
15 20
25 30
35 40 0
Tiempo (u.a.)
0.2
0.4
0.6
0.8
f
1
5
4
3
2
IS:f − HS 1
0
−1
−2
−3
−4
−50
Super−óhmico r = −5, Λ = 20
5
4
3
2
IS:f − HS 1
0
−1
−2
−3
−4
−50
5
10
Tiempo (u.a.)
15
20 0
5 10
15 20
25 30
35 40 0
Tiempo (u.a.)
0.2
0.4
0.6
0.8
f
0.6
0.8
f
1
Super−óhmico r = −5, Λ = 300
0.2
0.4
0.6
0.8
f
1
4
3
2
1
IS:f − HS
0
−1
−2
−3
−40
0.5
1
1.5
Tiempo (u.a.)
2
2.5
3 0
0.2
0.4
Figura 5.9: Gráficos de información parcial, PIP, para las tres densidades espectrales. En
casi todos los casos Λ = 20 y γ0 = 0,1. Allı́ se muestra, además, cómo la disipación afecta a
la dinámica de las correlaciones entre el sistema y las diferentes fracciones del entorno. Los
entornos disipativos tienen un comportamiento similar entre sı́, mientras que el entorno
super-óhmico preserva su estructura durante la evolución. Al aumentar la frecuencia de
corte, Λ = 300, el entorno super-óhmico manifiesta procesos de recoherencia periódicos.
En el caso super-óhmico, Fig. 5.9, podemos ver la evolución de las correlaciones para
diferentes valores de la frecuencia de corte. En el primer caso, Λ = 20, la forma de los
PIP’s permanece casi constante durante toda la evolución. Se observa una estructura
redundante, con una gran pendiente en el centro de los PIP’s. En este caso no tenemos
84
1
5.2. Dinámica de la Información
efectos disipativos y esta pendiente perdura en el tiempo. Por otro lado, en el segundo
ejemplo, Λ = 300, los osciladores de baja frecuencia se encuentran levemente acoplados
y es por ello que la constante de disipación es muy baja, casi nula. Como vimos en las
secciones anteriores, el efecto de recoherencia aparece globalmente: las correlaciones entre
el sistema y fracciones grandes del entorno crecen y se hacen aproximadamente nulas
periódicamente.
Óhmico r = −5
Sub−óhmico r = −5
6
5
4
3
2
1
0
6
5
4
EN
3
2
1
00
5 10
15 20
Time (a. u.) 25 30 35
40 0
0.2
0.4
0.6
0.8
f
1
5
4.5
4
3.5
EN 3
2.5
2
1.5
1
0.5
00
Super−óhmico r = −5, Λ = 300
4.5
4
3.5
3
EN 2.5
2
1.5
1
0.5
00
0.5 1
1.5
Time (a. u.)
2
2.5
3 0
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
5 10
15 20
Time (a. u.) 25 30 35
40 0
0.2
0.4
0.6
0.8
f
1
Super−óhmico r = −5, Λ = 300
0.2
0.4
0.6
0.8
f
1
4.5
4
4
3.5
3.5
3
3
2.5
2
1.5 E 2.5
N
1
2
0.5
1.5
0
1
0.5
00
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5 1
1.5
Time (a. u.)
2
2.5
3 0
0.2
0.4
0.6
0.8
f
1
Figura 5.10: Gráficos del entrelazamiento parcial (PEP’s) obtenidos a partir de la simulaciones numéricas para las densidades espectrales óhmica, sub-óhmica y super-óhmica,
respectivamente. Inicialmente el entrelazamiento aumenta logarı́tmicamente con la fracción del entorno, a tiempos cortos es posible observar la curva caracterı́stica de entrelazamiento multipartito tipo GHZ. Luego actúa la disipación desentrelazando porciones
grandes del entorno hasta llegar al equilibrio, donde el entrelazamiento entre el sistema
y las diferentes fracciones es de otra clase. Por otro lado, dependiendo del estado inicial,
para el entorno super-óhmico (con un Λ = 300) se observan revivals o persistencia del
entrelazamiento, ya que la disipación es despreciable.
La información mutua y, en este caso, los PIP’s nos proveen información acerca de las
correlaciones totales entre el sistema y fracciones del entorno. Para obtener una idea del
85
Capı́tulo 5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
tipo de correlaciones que son creadas durante el proceso de decoherencia, estudiaremos
además cómo es la dinámica del entrelazamiento. De esta manera, en forma análoga al caso
anterior nuestra herramienta serán los gráficos de entrelazamiento parcial: PEP’s. En este
caso graficaremos el entrelazamiento parcial entre el sistema y diferentes fracciones del
entorno, promediando sobre las distintas particiones. Ası́ analizaremos el entrelazamiento
en función del tamaño de subentorno. En la Fig. 5.10 se muestran algunos ejemplos de los
resultados obtenidos. A simple vista se puede observar que las correlaciones cuánticas se
comportan de forma muy diferente al caso anterior. Podemos ver que en todos los casos
el entrelazamiento crece fuertemente para fracciones grandes del entorno, mientras que es
mucho menor para fracciones pequeñas. Esto nos da una idea de que el entrelazamiento
creado inicialmente es global, del tipo GHZ [121]. Este tipo de entrelazamiento es frágil
ante la extracción de partes pequeñas del entorno. Su evolución temporal es tal que para
entornos disipativos, el entrelazamiento entre S y E cae, como la entropı́a H(S), con la
constante de disipación. Mientras que el entrelazamiento con fracciones del entorno decrece
en una escala temporal mucho menor, en forma similar a la pendiente correspondiente a
los PIP, acentuando aún más la forma “global” del entrelazamiento. Finalmente, en el
equilibrio, el entrelazamiento con el entorno es muy bajo y de otra clase, ya no es más
tipo GHZ y aumenta levemente con la fracción del entorno. En el caso super-óhmico,
como es esperable a partir de lo visto anteriormente, el entrelazamiento es básicamente
multipartito, aumentando y decreciendo periódicamente.
En la próxima sección trataremos de clasificar el tipo de información, o correlaciones,
que se crean dinámicamente a partir de los resultados presentados hasta aquı́.
5.3.
Redundancia en el movimiento Browniano cuántico
Como se mostró anteriormente, la forma de los PIP’s se asemeja a la que uno llamarı́a
información redundante. En esta sección estudiaremos de qué manera se distribuye la
información en el entorno. La redundancia de esta información es fundamental para que
asegurar su objetividad, sólo estados que producen múltiples impresiones en el entorno
pueden ser revelados a partir de fracciones pequeñas. De esta manera, la emergencia de la
clasicalidad no es sólo la supervivencia estados preferenciales, sino que además depende
de la habilidad de depositar múltiples copias en el entorno [14, 122].
5.3.1.
¿Cómo cuantificar la redundancia?
Para computar la redundancia RI de la información I, debemos subdividir el entorno
en fragmentos: E = E1 ⊗ E2 ⊗ ...., y además requeriremos que cada fragmento sea capaz de
proveer I en forma independiente. La redundancia de I estará definida, entonces, por el
número de estos fragmentos que existen en el entorno. Por ejemplo, un estado que muestra
86
5.3. Redundancia en el movimiento Browniano cuántico
redundancia es el estado GHZ [121]:
|ΨiSE = α|0iS |0000..,0iE + β|1iS |1111..,1iE .
(5.7)
Cada qubit del entorno provee toda la información que existe sobre el sistema, la información mutua entre el sistema y cada qubit es igual H(S). Para computar el grado de
redundancia de la información es necesario subdividir al entorno en fragmentos, lo que en
general no resulta demasiado obvio. Ya que permitir cualquier descomposición arbitraria
en productos tensoriales, es equivalente a considerar transformaciones unitarias arbitrarias sobre todo el entorno. Como vimos, el estudio de la decoherencia y el entrelazamiento
necesitan de una estructura predefinida, esto además resulta fundamental en el estudio de
la redundancia. Es necesario que el entorno tenga una estructura de producto tensorial
de la forma E = E1 ⊗ E2 ⊗ ....ENE , donde Ei son subentornos indivisibles. En nuestro caso
resulta natural utilizar la estructura dada por bandas de osciladores.
En general, no toda la información existente acerca del sistema (o alguna propiedad
del mismo) se encuentra almacenada en forma redundante. Por eso, requeriremos que cada
fragmento provea una fracción grande (1−δI ) (donde δI ≪ 1), de la información disponible
acerca del sistema. La información disponible se encuentra medida por la entropı́a del
sistema, H(S). RI será la redundancia de toda, menos una cantidad δI , de la información
del sistema (ver Fig. 5.11). De esta manera, calcularemos RI a partir de la fracción, fI ,
del entorno tal que I(S, EfI ) ≥ (1 − δI )H(S). Entonces la redundancia de la información
queda definida [116, 122] como la cantidad de estos fragmentos que se encuentran en el
entorno:
1
(5.8)
RI = .
fI
Además, como indica la Fig. 5.8, podemos dividir toda la información en tres categorı́as diferentes, IR : información redundante, IN R : información no-redundante e IC :
información cuántica. De esta manera:
IS:E = IR + IN R + IC .
(5.9)
La información redundante es clásica, puede ser obtenida por muchas fracciones independientes; la información cuántica, es sólo accesible mediante mediciones globales que
corresponden a más de la mitad del entorno; y por último una zona entre ellas definida
como la información no-redundante que existe cuando aparece un plateau imperfecto en la
información mutua. Esta pendiente representa el costo necesario para ganar información
más allá de la redundante.
Por otro lado, podemos proponer otra manera de calcular la redundancia de la información a partir del análisis de las correlaciones cuánticas (entrelazamiento). Como veremos,
esta forma de pensar el desarrollo de la redundancia nos permite entender de forma más
clara la aparición de objetividad durante el proceso de decoherencia y permitirá, además,
obtener una interpretación de la información no-redundante. En este caso la redundancia
del entrelazamiento, RE , es el número de fracciones Ef del entorno tal que al ignorar una
87
Capı́tulo 5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
(f =1)
de ellas induce un decaimiento δE EN
en el entrelazamiento. Para calcular RE debe(1−f )
(f =1)
mos encontrar la fE más pequeña tal que EN E = δE EN
(ver Fig. 5.11). Como la
redundancia es la cantidad estas fracciones en el entorno,
RE =
1
.
fE
(5.10)
(f )
Se puede notar que EN es una función monótona creciente de f y crece rápidamente
cuando f se acerca a la unidad. Por lo tanto, se espera un valor grande de redundancia
para estados tipo GHZ. Un valor grande de redundancia del entrelazamiento, caracteriza la
fragilidad del entrelazamiento multipartito. Además, podemos agregar que para que cierta
información acerca del sistema principal, se encuentre distribuida en forma objetiva en
el entorno, las diferentes fracciones del mismo no deben encontrarse (o bien levemente)
entrelazadas al sistema tal como sucede en el ejemplo del estado GHZ.
1
EN(f) / EN(f=1)
0.75
0.5
I(S,εf) / I(S,ε)
} ε
INR
I(S, )
δI/2
0.25
δE
0
0
fI
0.25
0.5
f
1−fE 0.75
1
Figura 5.11: Correlaciones, cuánticas y totales, entre el sistema y las fracciones del entorno.
En ambos casos se encuentran normalizadas por el máximo valor, dado por la fracción
igual a uno. Además, se muestra cómo calcular la fracción redundante para cada uno de
los casos. Los puntos se refieren a los resultados de las simulaciones numéricas, mientras
que las lı́neas corresponden al modelo que introduciremos en la próxima sección.
5.3.2.
Desarrollo de redundancia y el rol de la disipación
Aquı́ mostraremos los resultados de las simulaciones numéricas: calculamos la redundancia de la información para las diferentes situaciones, teniendo en cuenta además la
dinámica de la información no-redundante y el rol de la disipación como factor determinante. En este caso, consideramos la redundancia del δI = 0,1 de la información para
los diferentes entornos. La Fig. 5.12 muestra la dinámica de la redundancia de la información. Podemos observar que a tiempos cortos, cuando el entorno mide al sistema y
88
5.3. Redundancia en el movimiento Browniano cuántico
Redundancy
Redundancia
obtiene la mayorı́a de la información, se produce poca redundancia. Luego mediante la
acción de la disipación RI crece fuertemente hasta alcanzar su valor máximo. A partir
de allı́, también por efecto de la disipación, decae rápidamente hasta su valor asintótico.
La escala temporal en la cual alcanza su máximo depende del grado de disipación del
entorno, y el valor máximo de redundancia depende de la dispersión del estado inicial.
Cuanta más información obtenga el entorno inicialmente (I(S, E)) más grande será este
máximo. Algo muy diferente ocurre con el entorno super-óhmico, donde a tiempos cortos
la redundancia alcanza su máximo valor que mantiene durante toda la evolución. Además
comparamos estos resultados con la redundancia del entrelazamiento para entornos disipativos encontrando una dinámica muy similar, en la Fig. 5.12 se muestra el ejemplo para
δE = 2δI = 0,2.
35
30
25
20
15
10
5
0
0
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
γ0 = 0.1,
γ0 = 0.1,
γ0 = 0.2,
γ0 = 0.1,
γ0 = 0.1,
γ0 = 0.1,
10
20
30
40
Tiempo (u.a.)
r = −5
r = −3
r = −5
r = −5
r = −2
r = −5
50
60
70
Ohmic
Sub−Ohmic
10
20
30
40
Time (a.u.)
50
60
70
Figura 5.12: Arriba: Evolución temporal de la redundancia de la información para diferentes densidades espectrales. Lı́neas enteras, de segmentos y de puntos corresponden a la
densidades espectrales óhmicas, sub-óhmicas y super-óhmicas respectivamente (Λ = 20).
En este caso, se considera la redundancia de un δI = 0,1 de la información. Entornos
disipativos favorecen la aparición de información redundante, luego es la misma disipación que elimina la redundancia. Entornos no-disipativos adquieren un valor muy bajo de
redundancia. Abajo: Comparación de la redundancia de la información (lı́neas entera) y
la redundancia del entrelazamiento (lı́neas punteadas) para δE = 2δI = 0,2.
89
Capı́tulo 5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
Por otro lado, analizamos la dinámica de la información no-redundante, Fig. 5.13.
Allı́ podemos notar que la información no-redundante, a tiempos cortos, crece hasta su
valor máximo. Luego por la acción de la disipación decae inicialmente en forma lineal con
una taza proporcional a γ y luego en forma exponencial hasta su valor de equilibrio. El
valor máximo que adquiere la información no-redundante depende de la dispersión inicial,
y parece saturar a medida que esta aumenta: IN R ≤ 2. Para la densidad espectral superóhmica, la información no-redundante aumenta hasta alcanzar su valor máximo donde
permanece a lo largo del tiempo. Más adelante veremos qué es lo que sucede cuando
consideramos un entorno super-óhmico con frecuencia de corte alta. También se puede
notar que el comportamiento de la información no-redundante se asemeja mucho al del
entrelazamiento entre el sistema y fracciones del entorno.
Las primeras conclusiones que podemos obtener hasta aquı́ son, primero que la redundancia se ve favorecida por la presencia de disipación en el entorno. Entornos disipativos
muestran grandes valores de redundancia, mientras que en los entornos no-disipativos la
redundancia se expresa en un nivel más bajo. Por otro lado, podemos advertir que la
información no-redundante tiene un máximo valor dado por 2, y es la disipación que borra casi completamente este tipo de información. Este proceso puede ser explicado de la
siguiente manera: Inicialmente el entorno se acopla al sistema adquiriendo la mayorı́a de
la información, como puede verse a partir de los gráficos de I(S, E). Debido a que mucha
de esta información es no-redundante, la redundancia es baja. El efecto de la disipación
hace que la I(S, E) y la IN R decrezcan, por lo tanto aumenta la redundancia de la información restante. Posteriormente, la redundancia continúa creciendo hasta alcanzar su
valor máximo. Luego la disipación continúa borrando las correlaciones, y I(S, E) llega a
un valor del orden de IN R donde la redundancia alcanza su valor mı́nimo.
5.4.
Resultados analı́ticos a partir de un modelo simple
El comportamiento no-disipativo de las correlaciones (información mutua y entrelazamiento) puede ser explicado por medio de un modelo simple que fue discutido en [116].
Dicho modelo describe un sistema S muy masivo acoplado a un entorno de osciladores, tal
que la aproximación de Born-Openheimer puede ser aplicada. Esta aproximación también
se ajusta a la dinámica de entornos no-disipativos. De esta manera describiremos una
interacción rápida, donde los osciladores del entorno cambian su estado condicionados
por el valor de xS . Al igual que lo hicimos hasta ahora, consideraremos estados iniciales
squeezed para el sistema S y el entorno a temperatura cero. Bajo esta aproximación, el
estado global S-E evoluciona en un estado:
Z
|ΨSE (t)i = ψS (x, t)|xi ⊗ |ψ1 (x, t)i . . . |ψNE (x, t)idx,
(5.11)
que naturalmente es un estado Gaussiano, donde los “estados” de cada oscilador del
entorno son trasladados en forma condicional a la coordenada posición del estado del
90
5.4. Resultados analı́ticos a partir de un modelo simple
2
INR 1.5
γ0 = 0.1, r = −5
γ0 = 0.1, r = −1
γ0 = 0.2, r = −5
γ0 = 0.1, r = −2.5
γ0 = 0.1, r = −4
1
0.5
0
0
5
10
15
Tiempo (u.a.)
20
25
30
Figura 5.13: Información no-redundante en función del tiempo. Las lı́neas enteras corresponden al entorno óhmico y las lı́neas de segmentos a la densidad espectral super-óhmica
(Λ = 20). En todos los casos la información no-redundante alcanza valores aproximadamente IN R ≤ 2 de acuerdo al squeezing inicial. Luego, para entornos disipativos, IN R
decae, inicialmente con una taza dada por γ, hasta el valor de equilibrio.
sistema. Este tipo de estado se conoce como “ramificado”, y cada término de la integral
es una “rama”. Luego de algunas consideraciones hallaremos la evolución temporal de
dicho estado. En primer lugar, podemos notar que cuando el sistema se encuentra en un
estado |xi, cada banda de osciladores del entorno percibe un Hamiltoniano efectivo de la
forma:
Hn (x) =
πn2
mn 2
m2 w 2
+
wn (qn − δqn )2 − n n δqn2 ,
2mn
2
2
(5.12)
donde δqn = cn x/mn wn2 . Como inicialmente cada oscilador del entorno se encuentra en
un estado coherente, entonces el centro de cada paquete se trasladará en el espacio de
fases a lo largo de una circunferencia de radio δqn . Teniendo en cuenta además que la
interacción es isomorfa a su contraparte clásica, es posible escribir la ecuación de movimiento para la coordenada clásica qn , q̈n + wn2 qn = xcn /mn . Luego de resolver dicha
ecuación, podemos calcular los elementos de la matriz de covarianza como función del
tiempo y ası́ obtener la información mutua y el entrelazamiento para este modelo. A
tiempos cortos este modelo se ajusta a los resultados de las simulaciones. Pero a tiempos
más allá de la escala dinámica del sistema t ∼ O(Ω−1
S ), la evolución del sistema comienza
a ser relevante. De esta manera, cada oscilador sentirá una fuerza externa Fn (t) = cn x(t).
Donde x(t) depende paramétricamente de x y tiene una forma simple para squeezings
grandes: para valores positivos (negativos) de r la trayectoria comienza inicialmente en
x(0) = x (x(0) = 0), con velocidad ẋ(0) = 0 (ẋ(0) = −ΩS x). De este modo, en general, x(t) = θ(r)x cos(ΩS t) − θ(−r)x sin(ΩS t). Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento
91
Capı́tulo 5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
dependerán de las condiciones iniciales del sistema:
q̈n + wn2 qn =
xcn
[θ(r) cos(ΩS t) − θ(−r) sin(ΩS t)],
mn
(5.13)
Las soluciones que obtuvimos son proporcionales a la coordenada x, por lo que será conveniente entonces expresar estas cantidades en términos de las funciones: an (t) y ȧn (t),
donde qn (t) = xan (t). Ahora, para wn 6= ΩS :
ΩS
cn
sin(wn t) − sin(ΩS t)
an (t) = θ(r)
mn (wn2 − Ω2S ) wn
cn
+ θ(−r)
(cos(ΩS t) − cos(wn t)) .
(5.14)
mn (wn2 − Ω2S )
y para wn = ΩS :
an (t) = θ(r)
cn
cn
(ΩS t cos(ΩS t) − sin(ΩS t)) + θ(−r)
t sin(ΩS t), (5.15)
2
2mn ΩS
mn ΩS
donde cn son las constantes de acoplamiento que dependen de la densidad espectral y se
encuentran dadas por la ecuación (5.1). De esta manera, podemos calcular los elementos
de la matriz de covarianza para este modelo:
Oscilador central (sistema):
h{xS , pS }i/2 = 2D(t)∆x2 , hx2S i = ∆x2 ,
1
+ 4D(t)2 ∆x2 .
hp2S i = 2d(t) +
4∆x2
Osciladores del entorno:
h{qn , πn }i/2 = an (t)mn ȧn (t)∆x2 ,
1
hπn2 i =
+ m2n ȧ2n (t)∆x2 .
2
4δqn
hqn2 i = δqn2 + a2n (t)∆x2 ,
Relaciones entre el sistema y los osciladores del entorno:
hxS πn i = mn ȧn (t)∆x2 ,
hxS qn i = an (t)∆x2 ,
hpS qn i = mn ȧn (t)δqn2 + 2an (t)D(t)∆x2 ,
an (t)
+ 2mn ȧn (t)D(t)∆x2 .
hpS πn i = −
4δqn2
Relaciones entre los osciladores del entorno:
hqn πl i = an (t)mn ȧl (t)∆x2 ,
hπn πl i = m2n ȧn (t)ȧl (t)∆x2 .
92
hqn ql i = an (t)al (t)∆x2 ,
5.4. Resultados analı́ticos a partir de un modelo simple
Donde: δqn2 = 1/(2mn wn ), ∆x2 ≡ hx2 i = e2|r| /(2mS ΩS ) y
N
E
1X
mn ȧn (t)an (t),
D(t) =
2 n=1
mn
wn2 a2n (t) + ȧ2n (t) ,
d(n) (t) =
4wn
N
E
X
d(t) =
d(n) (t).
(5.16)
(5.17)
(5.18)
n=1
d(t) puede ser interpretado como el factor de decoherencia ya que induce decaimientos
Gaussianos en los elementos fuera de la diagonal de la matriz densidad ρS (x, x′ ). Además,
como es lógico, induce difusión en momento debido al monitoreo constante de la coordenada posición por parte del entorno. De esta manera, el efecto de varios subentornos
sobre la matriz densidad del sistema puede ser escrito como:
′ 2
ρS (x, x′ , t) = e−d(t)(x−x ) ρS (x, x′ , 0).
5.4.1.
(5.19)
Información mutua y redundancia de la información
Este modelo resulta útil para describir la dinámica de la información cuando la disipación es baja. En la Fig. 5.14 se muestra la información mutua entre el sistema y el entorno
comparando los resultados de la solución exacta con los obtenidos a partir del modelo.
Allı́ se puede constatar que los datos del modelo son válidos para tiempos menores al
de disipación. Mientras que para entornos no-disipativos, reproduce la dinámica con gran
precisión.
La virtud de este modelo radica en que permite obtener resultados analı́ticos para
entornos no-disipativos, que además, resultan ser muy precisos a tiempos cortos para los
entornos disipativos (óhmico y sub-óhmico). Esto se debe a que en el modelo uno asume
que los osciladores del entorno siguen la dinámica del sistema. Como se vio a partir de
la simulaciones, es precisamente lo que sucede con los osciladores de altas frecuencias.
Los osciladores del entorno pertenecientes a las bandas de bajas frecuencias tardan en
responder, y es por eso que el modelo describe correctamente el comportamiento de las
correlaciones a tiempos cortos para todas las densidades espectrales. Lo que sucede con la
densidad espectral super-óhmica es que los osciladores de bajas frecuencias se encuentran
levemente acoplados al sistema y es por eso que todo el entorno, formado en su mayorı́a
por osciladores de altas frecuencias, sigue al sistema.
Ahora podemos observar algunos resultados analı́ticos. En primer lugar, calcularemos
la información mutua entre el sistema y un conjunto de osciladores del entorno Ef . Para
ello, es necesario conocer los autovalores simplécticos de cada una de las matrices de
covarianza:
2n2S =
1
+ 4d(t)∆x2 ,
2
93
(5.20)
Capı́tulo 5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
Óhmico, Λ = 20, r = −5
12
10
10
IS:ε8
IS:ε
6
γ0 = 0.01
γ0 = 0.1
4
2
2
0
0
IS:ε
8
6
γ0 = 0.01
γ0 = 0.1
4
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
Sub−óhmico, Λ = 20, r = −5
1
2
3
Tiempo (u.a.)
4
5
0
0
6
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
Super−óhmico, Λ = 20, γ0 = 0.1
IS:ε
r=5
r = −5
1
2
3
Tiempo (u.a.)
4
5
1
2
3
Tiempo (u.a.)
4
5
Super−óhmico, Λ = 300, γ0 = 0.1
r=5
r = −5
1
2
3
Tiempo (u.a.)
4
5
6
Figura 5.14: Información mutua entre el sistema y el entorno. En todos los casos se
comparan los resultados de las simulaciones numéricas (puntos) con el modelo teórico
(lı́neas). En general, el modelo se ajusta a los datos numéricos a tiempos cortos. A menor
tasa de disipación, mayor es el tiempo en que valen los resultados del modelo, esto se
observa claramente comparando las distintas densidades espectrales.
1
+ 4d(Ef ) (t)∆x2 ,
2
1
= + 4 d(t) − d(Ef ) (t) ∆x2 ,
2
2n2Ef =
(5.21)
2n2SEf
(5.22)
P
en este caso los demás autovalores son 1/2 y d(Ef ) (t) = n∈Ef d(n) (t); y luego reemplazar
en la ecuación (3.53). En promedio d(Ef ) (t) satisface d(Ef ) (t) = f d(t) y la información
mutua promedio:
I(S : Ef ) = g(χ(1)) + g(χ(f )) − g(χ(1 − f )).
(5.23)
p
donde la función g(x) se encuentra dada por la ec. (3.31), y χ(f ) = 1/4 + 2f d(t)∆x2 .
En este caso los tres términos en la ecuación representan la entropı́a de: S, Ef y SEf .
Además, podemos calcular la IM entre el sistema y cada banda del entorno wn usando
sólo dn (t). Por otro lado podemos obtener resultados acerca de redundancia a tiempos
cortos, como muestra la Fig. 5.15.
94
5.4. Resultados analı́ticos a partir de un modelo simple
6
5
R10%
4
3
2
óhmico, γ0 = 0.1
óhmico, γ0 = 0.01
super−óhmico, γ0 = 0.1
1
0
0
1
2
3
Tiempo (u.a.)
4
5
Figura 5.15: El modelo también se ajusta a los resultados correspondientes a la redundancia de la información, δI = 0,1.
Al tomar el lı́mite d(t)∆x2 ≫ 1 es posible obtener una forma de sencilla de I(S, Ef ) y
mostrar que los PIP’s adquieren una forma universal a tiempos cortos [116]:
1
f
I(S, E0<f <1 ) ≈ H(S) + ln
.
(5.24)
2
1−f
Este resultado se ajusta perfectamente bien a las simulaciones numéricas en el régimen
no-disipativo, un ejemplo de ello se muestra en la Fig. 5.11. Además, a partir de la última
ecuación se desprende que la redundancia aumenta exponencialmente con la entropı́a
[116], esto resulta sencillo considerando que I(S, fI ) = (1 − δI )H(S) y recordando que
para un déficit δI la redundancia se define como RI = 1/fI , por lo tanto:
RI ≈ e2δI H(S) .
(5.25)
Este resultado es válido a tiempos cortos, o para entornos no-disipativos. A partir de
las simulaciones nosotros pudimos concluir que al actuar la disipación la redundancia es
todavı́a mucho mayor.
Asimismo, es posible calcular la información no-redundante, que se encuentra dada
por la pendiente de los PIP en el centro del gráfico, IN R ≡ ∂I/∂f |f =1/2 :
!
p
1 + 4d(t)∆x2 + 1
∂I 4d(t)∆x2
=p
ln p
≈ 2.
(5.26)
∂f f =1/2
1 + 4d(t)∆x2
1 + 4d(t)∆x2 − 1
De donde es posible concluir que la información no-redundante tiene un valor máximo
y se encuentra dado por IN R ≤ 2. Lo que concuerda con los resultados mostrados en la
sección anterior Fig. 5.13. Para squeezings grandes, este valor es alcanzado en tiempos
cortos y luego, para entornos disipativos, decrece con la constante de disipación.
95
Capı́tulo 5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
5.4.2.
Entrelazamiento y redundancia del entrelazamiento
Este modelo nos permite, además, obtener resultados analı́ticos relacionados con el
entrelazamiento multipartito entre el sistema y fracciones del entorno. En este caso, resulta
necesario calcular los autovalores simplécticos de la matriz de covarianza transpuesta
parcial y entonces a partir la ecuación (3.42) obtener la negatividad logarı́tmica. Luego
de algunas cuentas se puede ver que esta matriz posee un sólo autovalor menor a 1/2, que
puede ser escrito como:
ν̃ 2 (t) =
1
+ ∆x2 d(t) + 3d(Ef ) (t)
4s
2 2
(Ef )(t)
d
d(Ef ) (t)
+ d(t) + 3d(Ef )(t) ∆x2 −
.
−
d(t) + 3d(Ef ) (t)
d(t) + 3d(Ef ) (t)
Para expresar este resultado en términos de la fracción de entorno, haremos la misma
aproximación anterior: d(Ef ) (t)/d(t) = f , ası́ es posible obtener la forma de los PEP’s a
tiempos menores que el de disipación. De esta manera, el promedio del entrelazamiento
entre el sistema y una fracción del entorno es:
(f )
EN (t)
1 n
= − ln 1 + 4∆x2 d(t)(1 + 3f )
2s
2 o
2 f
f
2
.
+ ∆x d(t)(1 + 3f ) −
−4
1 + 3f
1 + 3f
(5.27)
A partir de estas ecuaciones es posible obtener la evolución temporal del entrelazamiento
para cada uno de los modos y fracciones de osciladores del entorno.
Al igual que hemos hecho con la información mutua, podemos conseguir expresiones
sencillas en el lı́mite de squeezing grande. Expandiendo el autovalor de la ecuación (5.27)
en 1/d∆x2 , resulta que el entrelazamiento entre el sistema y fracciones del entorno tiene
la forma:
1
(1 + 3f )3
(f )
EN (t) ≈ ln
.
(5.28)
2
(1 − f )(1 + 3f )2 + 2f /d∆x2
esta fórmula se ajusta perfectamente con el resultado exacto, ver Fig. 5.16.
A partir de la ecuación anterior, podemos verificar que el entrelazamiento entre el
sistema y el entorno diverge logarı́tmicamente con d(t)∆x2 (al igual que la entropı́a); en
el lı́mite d(t)∆x2 ≫ 1 resulta:
1
ln 2e2 d(t)∆x2
2
1
≈
ln 32d(t)∆x2
2
H(S) ≈
(f =1)
EN
(5.29)
(5.30)
Para fracciones cercanas a uno, es decir considerando casi todo el entorno, las correlaciones
son puramente cuánticas, ya que el estado global es puro y las únicas correlaciones posibles
96
5.4. Resultados analı́ticos a partir de un modelo simple
5
EN
4
5
Óhmico
EN
3
4
3
2
2
1
1
0
0
0.2
0.4
0.6
Fracción del entorno
4
0.8
Sub−óhmico
0
0
1
0.2
0.4
0.6
Fracción del entorno
0.8
1
Super−óhmico
EN 3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
Fracción del entorno
0.8
1
Figura 5.16: Gráficos de entrelazamiento parcial, PEP, a tiempos cortos para las tres densidades espectrales. Se muestran los resultados numéricos junto con los obtenidos a partir
del modelo teórico. Como predice el modelo, se observa que para un valor grande de squeezing el entrelazamiento entre el sistema y una dada fracción del entorno es independiente
de la densidad espectral.
entre sistema y entorno son de esa clase. Sin embargo, si analizamos el entrelazamiento
entre el sistema y fracciones del entorno, f < 1, podemos notar que:
(f )
EN
1
≈ ln
2
1 + 3f
1−f
.
(5.31)
Notablemente, el entrelazamiento con las fracciones del entorno tiene un máximo dado por
la ecuación anterior. Este lı́mite es independiente de la densidad espectral, y se encuentra
corroborado por las simulaciones numéricas, Fig. 5.16. Un resultado similar fue obtenido
previamente en el estudio de estados Gaussianos simétricos GHZ [112].
Es interesante notar que obtuvimos dos cantidades que tienen un lı́mite superior: la
información no-redundante, y el entrelazamiento con fracciones del entorno. Como uno
esperarı́a, el entrelazamiento no contribuye al desarrollo redundancia. Por lo tanto, podemos conjeturar, que la información no-redundante se encuentra directamente relacionada
con el entrelazamiento existente entre el sistema y conjunto de osciladores. Esto se ve
corroborado además por los resultados numéricos.
A partir de los resultados analı́ticos podemos calcular la redundancia del entrelazamiento a tiempos cortos (o para entornos no-disipativos), en el lı́mite de squeezing grande,
97
Capı́tulo 5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
usando la ec. (5.31):
(f =1)
1
≈ e4δE EN .
(5.32)
fE
En forma similar a la redundancia de la información, la redundancia del entrelazamiento
aumenta exponencialmente con el entrelazamiento. De esta manera, podemos relacionar
ambas medidas preguntándonos cuál es el déficit para cada una si consideramos un valor
dado de redundancia, es decir RI (δI ) = RE (δE ). En el lı́mite de squeezing alto dichos
valores se encuentran relacionados por:
RE =
δE ≈ δI
H(S)
(f =1)
EN
(f =1/2)
+
EN
(f =1)
EN
,
(5.33)
(f =1/2)
donde EN
≤ ln 52 . A partir de aquı́ podemos ver que para squeezing grande ambas
cantidades son equivalentes, salvo una pequeña discrepancia debido al hecho de que la
negatividad logarı́tmica no se reduce a la entropı́a del entrelazamiento.
5.4.3.
Efecto de un entorno no-disipativo: el caso super-óhmico
En el caso super-óhmico el modelo reproduce los resultados a tiempos más largos,
ya que el entorno no induce disipación en la dinámica del sistema. En la Fig. 5.17 se
muestra un ejemplo de los resultados obtenidos a partir del modelo en el caso superóhmico (que puede compararse con las Fig. 5.10). Aquı́, es interesante analizar el efecto del
acoplamiento inicial entre el sistema y el entorno. A tiempo cero la interacción se enciende
instantáneamente (no es un proceso adiabático) produciendo una “sacudida” inicial en los
osciladores del entorno de acuerdo al estado inicial del sistema. En entornos disipativos
este efecto es observado a tiempos a tiempos cortos y no afecta la evolución subsiguiente.
Pero para entornos no-disipativos donde no se alcanza un equilibrio, el efecto es visible a
todo tiempo. En las Fig. 5.17 se pueden observar las diferencias en la dinámica para dos
estados iniciales con diferente localización. En un caso, r < 0, las correlaciones mueren
en tiempo finito y reaparecen periódicamente, se observa un proceso de recoherencia [45].
Por otro lado, para r > 0 se aprecian oscilaciones de la entropı́a pero las correlaciones
(IM y entrelazamiento) entre el sistema y el entorno se mantienen en valores mayores a
cero. Claramente, estos efectos son debidos a la condición inicial.
Esta anomalı́a puede ser evitada sin la necesidad de introducir un acoplamiento inicial
adiabático, pero con la elección correcta del estado inicial. Como se puede advertir a
partir del modelo que introdujimos anteriormente. Bajo esta aproximación, el sistema
actúa sobre el entorno como una fuerza variable dependiente de su coordenada posición.
Si el sistema inicialmente se encuentra en un estado squeezed en momento (extendido en
posición) esta fuerza se encuentra presente, a t = 0, induciendo una patada inicial sobre
los osciladores del entorno que no puede ser deshecha posteriormente, los osciladores
continúan fuera de fase y la recoherencia no es posible. Mientras que si se considera un
estado inicial squeezed en posición, esta fuerza es proporcional a sin(ΩS t) y es como si
el acoplamiento fuera prendido adiabáticamente. A partir de este modelo, podemos ver
98
5.4. Resultados analı́ticos a partir de un modelo simple
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
4
3
2
IS:f-HS
1
0
EN
-1
-2
-3
-4 0
0.5
1 1.5
Tiempo (u.a.)
2
2.5
30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
00
f
1
0.8
0.6
0.5
0.4
1
1.5
Tiempo (u.a.)
2
2.5
f
0.2
30
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
4
3
2
IS:f-HS
1
0
EN
-1
-2
-3
-4 0
0.5
1 1.5
Tiempo (u.a.)
2
2.5
30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
00
1
0.8
0.6
0.5
0.4
1
1.5
Tiempo (u.a.)
2
2.5
f
0.2
30
Figura 5.17: Gráficos de información y entrelazamiento parcial para un entorno superóhmico (γ0 = 0,1 Λ = 300) obtenidos a partir del modelo teórico. Arriba se considera un
estado inicial squeezed en posición r = −5, abajo se observan los gráficos correspondientes
a un estado inicial squeezed en momento r = 5. En ambos casos el modelo se ajusta a los
resultados de las simulaciones numéricas.
cómo se manifiesta esta patada inicial en los factores de decoherencia. Para el entorno
super-óhmico y en el lı́mite de frecuencia de corte alta, es posible calcular estos factores
para tiempos posteriores al transitorio inicial:
mS γ0
d(t) ≈
(θ(−r) sin2 (ΩS t) + θ(r)(cos2 (ΩS t) + 1)),
(5.34)
2π
aquı́ se pueden ver explı́citamente los procesos de recoherencia y sacudida inicial. También podemos explicar la situación anterior de la siguiente manera: estados squeezed en
posición son más robustos al proceso de decoherencia, ya que son estados muy similares a
los puntero. Inicialmente casi no se ven afectados por el entorno ya que este mide su coordenada posición (“localizada”). Por otro lado, estas observaciones llevan a concluir que
este sacudón inicial no puede ser evitado cuando el acoplamiento es simétrico en posición
99
Capı́tulo 5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
y momento (tipo RWA). Por completitud incluimos el otro coeficiente que es inversamente
proporcional a la frecuencia de corte:
D(t) ≈
mS γ0 ΩS
(θ(r) sin(2ΩS t) − θ(−r) sin(2ΩS t)).
Λπ
(5.35)
Para finalizar, podemos calcular cómo varı́a la entropı́a del sistema en función del tiempo para este tipo entorno, a partir de las ec. (5.29) y (5.34). En el lı́mite de frecuencia de
corte y squeezing grandes podemos ver que para r < 0 la entropı́a varı́a entre 0 y alcanza
un valor máximo dado por: 2H(S)max ≈ ln(mS γ0 ∆x2 /π), que aumenta con el acoplamiento y con el squeezing inicial como uno podrı́a imaginarse. Por otro lado, para r > 0
la entropı́a es siempre mayor que estos valores, y oscila entre un valor máximo dado por
2H(S)max ≈ ln(2mS γ0 ∆x2 /π), y un valor mı́nimo dado por 2H(S)min ≈ ln(mS γ0 ∆x2 /π),
por lo que la amplitud de oscilación es independiente del acoplamiento y el squeezing inicial. En este caso la I(S, E) = 2H(S) varı́a en una cantidad ∆I = ln(2), que curiosamente
equivale a 1 bit de información.
5.5.
Información acerca del estado inicial en el entorno
En la última sección podemos analizar una cuestión relacionada con la pérdida, aparentemente, irreversible de la información. El proceso de decoherencia puede ser visto
como una transferencia de información entre el sistema y el entorno. Inicialmente el sistema se encuentra en un estado determinado, y luego de la interacción esa información
ya no se encuentra contenida en el estado del sistema. Al considerar a nuestro universo
formado por el sistema+entorno, esta información inicial debe estar en algún lugar del
entorno.
Un primer paso podemos darlo aquı́, estudiando las correlaciones entre el sistema y
entorno. En la Figura 5.18 se muestra la evolución de la entropı́a de las fracciones del
entorno, Ef , para dos estados iniciales con diferentes valores de squeezing en un entorno
óhmico. Como nuestro estado global es puro, la entropı́a H(Ef ) es una medida del entrelazamiento entre los sistemas SE1−f y Ef , que equivale a decir entre una fracción f y
el resto del universo. La sección de los gráficos correspondiente a f = 1, es además la
entropı́a del sistema H(S). De esta manera, los gráficos muestran que el entrelazamiento
entre fracciones intermedias, crece rápidamente, en una cantidad que depende del squeezing inicial. Luego esta cantidad se mantiene aproximadamente constante hasta que el
sistema alcanza el equilibrio.
Lo más interesante ocurre en el lı́mite asintótico, es decir en el estado de equilibrio.
Aquı́ la entropı́a H(SEf ) es una medida del entrelazamiento entre fracciones del entorno,
ya que S se encuentra aproximadamente desacoplado del entorno, H(S) ≈ 0. Mientras
que el estado de equilibrio del sistema es independiente del estado inicial, el estado del
entorno queda fuertemente correlacionado debido a ese flujo de información. A través de
la interacción se transfiriere el squeezing del estado inicial de S al entorno en forma de
100
5.6. Conclusiones
r = -5
r = -3
5
5
4
4
3
3
H(Eff)) 2
H(E
H(Ef) 2
1
00
1
0.2
0.4
f
0.6
0.8
1 80
60
40
20
0
00
Tiempo
0
20
0.2
0.4
f
0.6
40
0.8
60
Tiempo
1 80
Figura 5.18: Entropı́a para las fracciones del entorno en función del tiempo. Además constituye una medida de entrelazamiento entre S +E1−f y Ef , es decir mide el entrelazamiento
entre la fracción Ef y el resto. Se comparan los resultados para dos estados iniciales r = −5
y r = −3 en un entorno óhmico.
entrelazamiento. Es decir, el trabajo inicial necesario para generar squeezing en el estado
del sistema, se transforma en entrelazamiento en el estado de equilibrio del entorno. Este
proceso resulta irreversible si el entorno es infinito.
De esta manera, si fuera posible medir sobre alguna fracción del entorno un observable asociado a la entropı́a, como el área simpléctica del estado Gaussiano, podrı́amos
recuperar algo de la información que inicialmente contenı́a el sistema. En este caso, dicha
información se encuentra asociada a la delocalización del estado inicial. Por otro lado,
de los gráficos inferimos que para ello no es necesario considerar fracciones grandes del
entorno, y podemos decir nuevamente que esta información se encuentra almacenada en
forma redundante.
5.6.
Conclusiones
En este capı́tulo estudiamos la dinámica de las correlaciones que se crean entre el sistema y el entorno durante el proceso de decoherencia. Consideramos al estado inicial del
sistema puro Gaussiano y al entorno a temperatura cero. De esta manera fue posible simular la dinámica del sistema compuesto eficientemente y calcular las correlaciones entre
el sistema y las diferentes secciones del entorno. Las medidas de correlaciones que utilizamos fueron, la información mutua cuántica (correlaciones totales) y el entrelazamiento
(correlaciones cuánticas). En primer lugar analizamos la localización de las correlaciones,
y mostramos que en todos los casos a tiempos cortos las correlaciones son creadas con las
bandas de frecuencias altas. Luego, para entornos disipativos estas se localizan dinámicamente alrededor de la frecuencia que se encuentra en resonancia con el sistema. Los
entornos super-óhmicos muestran que las correlaciones se crean principalmente con los
101
Capı́tulo 5. Dinámica de las correlaciones entre el sistema y el entorno
osciladores de las bandas ultravioletas, que acompañan su dinámica; razón por la cual se
observan revivals de las correlaciones.
Posteriormente, analizamos las correlaciones entre el sistema y fracciones del entorno,
realizando un promedio sobre las fracciones de un mismo tamaño. Para la información mutua, utilizamos como herramienta los gráficos de información parcial (PIP) que revelan
la aparición de redundancia. Mostramos que la forma redundante aparece rápidamente, pero parte de esa información es no-redundante. Posteriormente, bajo los efectos de
la disipación, esa información no-redundante decrece hasta hacerse casi nula, mientras
que la información redundante aumenta fuertemente. Por otro lado, en los entornos nodisipativos se observa un crecimiento inicial de la redundancia que luego puede oscilar
y mostrar recoherencia, o bien mantenerse en esos valores dependiendo del estado inicial. Luego analizamos las correlaciones puramente cuánticas a partir de los gráficos de
entrelazamiento parcial (PEP), allı́ pudimos ver que el entrelazamiento que se genera
entre el sistema y el entorno es del tipo multipartito GHZ. Por lo tanto, es muy débil
ante la extracción de una fracción pequeña del entorno. Su dinámica para la densidad
espectral super-óhmica es muy similar a la de las correlaciones totales, mostrando revivals dependiendo de las condiciones iniciales. Para entornos disipativos, el entrelazamiento
entre el sistema y fracciones intermedias del entorno decae rápidamente en el tiempo de
disipación, acentuándose aún más la fragilidad del entrelazamiento multipartito. Posteriormente, introdujimos como medida la redundancia del entrelazamiento, y observamos
que se manifiesta en forma similar a la redundancia de la información.
La comparación de la dinámica de los PIP y los PEP, nos permite comprender de
forma más clara el surgimiento de objetividad en el proceso de decoherencia. Las señales
de esta propiedad se manifiestan en la aparición de un plateau en los PIP y, por otro
lado, en la forma de los PEP. Más aún, la desaparición de la información no-redundante
se encuentra relacionada con la veloz generación de redundancia. Desde el punto de vista
del entrelazamiento se puede encontrar una correspondencia entre la información noredundante y el entrelazamiento entre fracciones del entorno. Es ası́, que la disipación
borra rápidamente las correlaciones cuánticas entre el sistema y fracciones del entorno,
dando lugar a que estas fracciones tengan sólo correlaciones clásicas con el sistema, es
decir, objetivas.
Luego, propusimos un modelo para estudiar la dinámica de las correlaciones en el
lı́mite no-disipativo. Allı́ pudimos encontrar expresiones analı́ticas universales para el entrelazamiento multipartito y la información mutua con fracciones del entorno. Mostramos
también que existe un lı́mite superior al entrelazamiento que puede generarse entre el sistema y fracciones (menores a uno) del entorno. Este modelo permite además reproducir la
dinámica de las correlaciones para entornos super-óhmicos, y considerar el problema de las
condiciones iniciales. Por otro lado, pudimos encontrar una relación analı́tica entre la redundancia de la información y del entrelazamiento. Finalmente, analizamos la posibilidad
de recuperar información acerca del estado inicial del sistema, perdida ineludiblemente
por la acción de la decoherencia.
102
Capı́tulo 6
Conclusiones Generales
A lo largo de esta tesis nos hemos concentrado en el estudio de la dinámica de las
correlaciones desde dos puntos de vista. Por un lado caracterizamos la evolución del entrelazamiento entre dos sistemas que se encuentran acoplados a un mismo entorno. Y por
otro, estudiamos las correlaciones totales y el entrelazamiento que se crean durante el proceso de decoherencia. En ambos casos consideramos el modelo de movimiento Browniano
cuántico, que encierra una dinámica rica induciendo decoherencia y disipación sobre el
sistema central.
En primer lugar consideramos a dos osciladores cuánticos armónicos resonantes que
interactúan con el mismo entorno no-Markoviano. Planteamos dos modelos relacionados
para la interacción entre el sistema y el entorno: uno donde el acoplamiento es mediante
posición y el otro donde el acoplamiento es simétrico en posición y momento. Mostramos
cómo es posible obtener exactamente su dinámica en función de la ecuación maestra, y
nos dedicamos al estudio particular del entrelazamiento entre los sistemas cuando se encuentran inicialmente en estados Gaussianos. Mientras que la dinámica a tiempos cortos
es compleja y depende fuertemente del estado inicial, el lı́mite asintótico admite una descripción general elegante en diferentes fases. De esta manera, mostramos que existen tres
fases dinámicas diferentes (SD, NSD y SDR) que se pueden caracterizar en forma general
siempre y cuando el sistema sea disipativo. En particular, estudiamos algunos casos donde
esto sucede, como la densidad espectral óhmica y sub-óhmica. Estos resultados se pueden
resumir en diagramas de fases que contienen toda la información del entrelazamiento entre
los sistemas. Los diagramas de fases dependen principalmente del tipo de interacción, y
mostramos cómo se ve modificada su forma para las diferentes densidades espectrales y
tipo de interacción. Mostramos además, que estas fases tienen una interesante interpretación en términos de transformaciones elementales de la óptica cuántica, a partir de la
cual es posible obtener algunos resultados interesantes. Finalmente, estudiamos el comportamiento del entrelazamiento para osciladores fuera de la resonancia, donde obtuvimos
una nueva ecuación maestra. Además mostramos que existe una temperatura crı́tica, que
depende de la desintonı́a, a partir de la cual existe muerte súbita del entrelazamiento.
El material contenido en esta parte se encuentra parcialmente incluido en las referencias
[7, 8].
103
Capı́tulo 6. Conclusiones Generales
En la segunda parte estudiamos las correlaciones entre sistema y entorno durante el
proceso de decoherencia. En particular, nos restringimos al estudio de estados iniciales
Gaussianos y entorno a temperatura cero. Estudiamos las correlaciones que se crean entre el sistema y diferentes partes del entorno: bandas caracterizadas por la frecuencia, y
fracciones del entorno caracterizadas por su tamaño. Principalmente motivados por la necesidad de mostrar la aparición de objetividad, caracterı́stica fundamental de todo sistema
clásico, estudiamos el desarrollo de redundancia de las correlaciones, e identificamos el rol
de la disipación. Por un lado consideramos las correlaciones totales y por otro tuvimos en
cuenta lo que sucede con el entrelazamiento. Mediante la introducción de un modelo que
describe la dinámica de las correlaciones a tiempos menores que el tiempo de disipación,
pudimos obtener expresiones analı́ticas de los diferentes tipos de correlaciones y valores
de redundancia. Este modelo, además, sirvió para entender la dependencia del estado
inicial en procesos de recoherencia observados con entornos no-disipativos. Finalmente,
presentamos un ejemplo que muestra la posibilidad de recuperar la información de estado
inicial del sistema mediante mediciones sobre el estado del entorno. El material contenido
en esta parte se encuentra parcialmente incluido en las referencias [9, 10].
Durante la elaboración de este trabajo surgieron muchas preguntas, algunas de ellas
pendientes todavı́a, que formarán parte de futuros planes de trabajo. En primer lugar
varios grupos experimentales expresaron su interés en estudiar posibles implementaciones
que permitan observar las diferentes fases de entrelazamiento [123, 124, 125]. Además,
ya existe una propuesta experimental para observar estos efectos [114]. Por otro lado,
nos resulta relevante generalizar la ecuación maestra para cualquier tipo de interacción
bilineal entre sistema y entorno. Estudiar la temperatura crı́tica para la muerte súbita
del entrelazamiento en sistemas no-resonantes y su relación con las cadenas armónicas.
Con relación a la segunda parte, serı́a interesante generalizar estos resultados para entornos mixtos, es decir, entornos con temperatura diferente de cero y estados iniciales
tipo gato de Schrödinger. Analizar la relación entre la redundancia y la discordia cuántica
[126, 127]. Y por último, nos interesarı́a explorar con más profundidad la pregunta que
surgió al final del último capı́tulo, cómo recuperar la información acerca del estado inicial
que se encuentra diseminada en el entorno. Algunas de estas ideas ya se encuentran en
desarrollo y esperamos ayuden a mejorar la manipulación de sistemas cuánticos y, además,
a comprender mejor el proceso de decoherencia.
104
105
Apéndice A
Material adicional: Entrelazamiento
entre dos osciladores en un mismo
entorno
A.1.
Ecuación maestra para acoplamiento simétrico
en posición y momento
Aquı́ mostraremos una deducción perturbativa de la ecuación maestra para un oscilador armónico cuántico acoplado a un entorno en forma simétrica en posición y momento.
La deducción es standard y es similar a la que se muestra en [13]. En este caso, el Hamiltoniano de interacción es el de la ec. (4.10); y el entorno se asume inicialmente en equilibrio
térmico a temperatura T = 1/β. Considerando que inicialmente el sistema y el entorno
se encuentran descorrelacionados, podemos obtener la siguiente ecuación para la matriz
densidad reducida del sistema ρ:
1
ρ̇ =
[HS , ρ] −
i
Z
t
dt′ ν(t′ )[x, [x(−t′ ), ρ]] − iη(t′ )[x, {x(−t′ ), ρ}] +
0
1
(ν(t′ )[p, [p(−t′ ), ρ]]
2
2
Ωm
1
(−ν̃(t′ )[p, [x(−t′ ), ρ]] − iη̃(t′ )[p, {x(−t′ ), ρ}]) +
Ωm
1
(ν̃(t′ )[x, [p(−t′ ), ρ]] + iη̃(t′ )[x, {p(−t′ ), ρ}]) .
Ωm
−iη(t′ )[p, {p(−t′ ), ρ}]) +
(A.1)
Donde los dos núcleos de disipación y ruido son:
η(t) =
η̃(t) =
Z
∞
Z0 ∞
0
J(ω) sin(ωt)dω,
J(ω) cos(ωt)dω,
∞
βω
) cos(ωt)dω;
2
0
Z ∞
βω
ν̃(t) =
J(ω) coth( ) sin(ωt)dω.
2
0
ν(t) =
107
Z
J(ω) coth(
(A.2)
Capı́tulo A. Material adicional: Entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo
entorno
Luego, es posible derivar en forma sencilla la ecuación maestra (4.12), donde los coeficientes se encuentran dados por:
Z
2 t
2
(η(t′ ) cos(Ωt′ ) − η̃(t′ ) sin(Ωt′ ))dt′ ,
δ Ω̃ (t) = −
m 0
Z t
1
(η(t′ ) sin(Ωt′ ) + η̃(t′ ) cos(Ωt′ ))dt′ ,
γ̃(t) =
mΩ 0
Z t
D̃(t) =
(ν(t′ ) cos(Ωt′ ) + ν̃(t′ ) sin(Ωt′ ))dt′ .
(A.3)
0
Finalmente se puede notar que debido a la simetrı́a en el acoplamiento el coeficiente de
difusión anómala no se encuentra presente.
A.2.
Coeficientes de la ecuación maestra para osciladores no-resonantes
Aquı́ sólo presentaremos las expresiones de los coeficientes de la ecuación maestra
(4.41) para osciladores no-resonantes. La ecuación maestra corresponde al sistema formado
por dos osciladores interactuantes donde uno de ellos se encuentra acoplado a un entorno.
A partir de los núcleos de las ecuaciones (A.2), estos coeficientes, a segundo orden en la
constante de acoplamiento, se encuentran definidos como:
δΩ2 (t)
D(t)
2
δΩ+− (t)
D+− (t)
=
=
=
=
α1 δΩ21 (t) + α2 δΩ22 (t),
α1 D1 (t) + α2 D2 (t),
α12 (δΩ22 (t) − δΩ21 (t)),
α12 (D2 (t) − D1 (t)),
γ(t) = α1 γ1 (t) + α2 γ2 (t),
f (t) = α1 f1 (t) + α2 f2 (t),
γ+− (t) = α12 (γ2 (t) − γ1 (t)),
f+− (t) = α12 (f2 (t) − f1 (t)).
(A.4)
y,
1
c12
+p 2
,
2
4c12 + (ω12 − ω22 )2
ω 2 − ω22
.
= p 2 1
2 4c12 + (ω12 − ω22 )2
α1 =
α12
Donde
α2 =
1
c12
−p 2
,
2
4c12 + (ω12 − ω22)2
(A.5)
Z
Z t
2 t ′
1
′
′
=−
η(t ) cos(ω̃i t )dt ,
γi (t) =
η(t′ ) sin(ω̃it′ )dt′ ,
m 0
mω̃i 0
Z t
Z t
1
ν(t′ ) cos(ω̃i t′ )dt′ ,
Di (t) =
ν(t′ ) cos(ω̃i t′ )dt′ ,
fi (t) =
mω̃i 0
0
q
1 2
2
ω1 + ω22 ± 4c212 + (ω12 − ω22 )2 .
ω̃1,2
=
(A.6)
2
Es sencillo de chequear que para osciladores resonantes {α1 = 1, α2 = 0, α12 = 0, ω̃1,2 =
ω+,− }, y se recupera la ec. (4.3).
δΩ2i (t)
108
Apéndice B
Operador evolución reducido para el
sistema compuesto
En este apéndice mostraremos la deducción del operador evolución reducido del sistema
A-B, gobernado por el siguiente Hamiltoniano:
N
N
X
X
p2A 1
p2B
1
p2n
1
2 2
2 2
2 2
H=
+ mωA x +
+ mωB y + λxy +
(
+ mn ωn qn ) + x
cn qn . (B.1)
2m 2
2m 2
2m
2
n
n=1
i=1
En este modelo las integrales sobre las coordenadas del entorno son Gaussianas, por lo
tanto es posible obtener dicho operador en forma exacta, técnicas similares fueron usadas
en [39, 45].
Comenzaremos escribiendo al operador evolución de la matriz densidad total en términos de integrales de camino:
Z x
Z y
Z q
i
hi
′
′ ′
′
′ ′
J(x, y, q, x , y , q , t|xi , yi, qi , xi , yi, qi , 0) =
Dx
Dy
Dq exp S[x, y, q]
~
xi
yi
qi
Z x′
Z y′
Z q′
h i
i
×
Dx′
Dy ′
Dq ′ exp − S[x′ , y ′, q ′ ] .
(B.2)
′
′
′
~
xi
yi
qi
Las integrales se realizan sobre todas las historias compatibles con las condiciones de
contorno; q representa el conjunto completo de las coordenadas del entorno y el subı́ndice i
indica las variables iniciales. La matriz densidad reducida del subsistema A-B se encuentra
definida como:
Z +∞ Z +∞
′ ′
ρAB (x, y, x , y ) =
dq
dq ′ ρ(x, y, q; x′ , y ′, q ′)δ(q − q ′ ).
(B.3)
−∞
−∞
y evoluciona mediante el operador evolución reducido JAB :
′
′
′
′
ρAB (x, y, x , y , t) =
JAB (x, y, x , y
Z
+∞
dxi
Z
+∞
dyi
Z
+∞
dx′i
Z
+∞
−∞
−∞
−∞
−∞
′
′
′
′
, t|xi , yi , xi , yi, 0)ρAB (xi , yi , xi , yi, 0).
109
dyi′
(B.4)
Capı́tulo B. Operador evolución reducido para el sistema compuesto
Para expresar el operador evolución reducido JAB en la forma de integral de camino,
asumiremos que a t = 0 los subsistemas A-B y E no se hallan correlacionados,
ρ̂(t = 0) = ρ̂AB (0) × ρ̂E (0).
(B.5)
De esta manera el operador evolución JAB puede ser escrito como,
JAB (xf , yf , x′f , yf′ , t|xi , yi, x′i , yi′ , 0) =
Z xf
Z yf
Z yf′
Z x′f
i
hi
′
=
Dx
Dy ′ exp (SAB [x, y] − SAB [x′ , y ′ ]) F [x, x′ ]
Dy
Dx
~
yi′
xi
x′i
yi
Z x′f
Z yf′
Z yf
Z xf
hi
i
Dy
Dx′
Dy ′ exp A[x, y, x′ , y ′ ] .
Dx
=
(B.6)
~
x′i
yi′
yi
xi
donde el subı́ndice f indica las coordenadas finales, A[x, y, x′ , y ′] es la acción efectiva para
el sistema cuántico abierto. La “funcional de influencia” F [x, x′ ] (que es función de las
coordenadas de A, ya que el entorno no interactúa en forma directa en B) se encuentra
definida por:
′
F [x, x ] =
Z
+∞
dqf
−∞
Z
+∞
dqi
−∞
Z
+∞
−∞
dqi′
qf
Z
Dq
′
qf′
Dq ′ exp
qi′
qi
i
−SE [q ] − SAE [x , q ]) ρE (qi , qi′ , 0)
hi
i
′
= exp δA[x, x ]
~
′
Z
′
hi
~
(SE [q] + SAE [x, q]
(B.7)
donde δA[x, x′ ] es la acción de influencia. Por lo tanto, A[x, y, x′ , y ′] = SAB [x, y]−SAB [x′ , y ′ ]+
δA[x, x′ ].
Considerando que el entorno se encuentra en equilibrio térmico a temperatura β −1
inicialmente, la funcional de influencia puede ser evaluada en forma analı́tica,
Z
Z s1
i t
F [x, x ] = exp −
ds1
ds2 [x(s1 ) − x′ (s1 )]η(s1 − s2 )[x(s2 ) + x′ (s2 )]
~ 0
0
Z
Z s1
1 t
′
′
−
ds1
ds2 [x(s1 ) − x (s1 )]ν(s1 − s2 )[x(s2 ) − x (s2 )] .
~ 0
0
′
h
Y los núcleos de ruido y disipación (ν y η) se definen como:
ν(s) =
Z
+∞
0
y
d
η(s) = γ(s),
ds
1
dωI(ω) coth[ β~ω] cos[ωs]
2
γ(s) =
Z
110
+∞
dω
0
I(ω)
cos[ωs].
ω
(B.8)
(B.9)
Podemos escribir la funcional de influencia en términos de nuevas variables:
ΣA = x + x′ ,
ΣB = y + y ′,
∆A = x − x′ ,
∆B = y − y ′
(B.10)
como
t
hm
˙ A Σ̇A − Ω2 ∆A ΣA ) + m (∆
˙ B Σ̇B − Ω2 ∆B ΣB )
(∆
ds
A
B
2
2
0
Z s1
i Z t
λ
ds1
ds2 ∆A (s1 )η(s1 − s2 )ΣA (s2 )
− (ΣA ∆B + ΣB ∆A ) −
2
0
0
Z t
Z s1
+i
ds1
ds2 ∆A (s1 )ν(s1 − s2 )∆A (s2 ).
A[ΣA , ΣB , ∆A , ∆B ] =
0
Z
0
La integral de camino de JAB puede ser calculada directamente parametrizando {ΣA , ∆A }
y {ΣB , ∆B } utilizando las trayectorias clásicas. Estas son soluciones de las ecuaciones de
movimiento derivadas a partir de la parte real de A[ΣA , ΣB , ∆A , ∆B ]:
Z
2 s ′ cl ′
λ cl
2 cl
cl
ds ΣA (s )η(s − s′ ) = 0,
Σ̈A (s) + ΩA ΣA (s) + ΣB (s) +
m
m 0
λ cl
2 cl
Σ̈cl
Σ (s) = 0,
B (s) + ΩB ΣB (s) +
m A
Σcl
A (0) = ΣAi ,
Σcl
A (t) = ΣAf ;
Σcl
B (0) = ΣBi ,
Σcl
B (t) = ΣBf
(B.11)
y,
λ
2
+
+ ∆cl
B (s) +
m
m
λ
2 cl
¨ cl
∆cl (s) = 0,
∆
B (s) + ΩB ∆B (s) +
m A
¨ cl (s)
∆
A
Ω2A ∆cl
A (s)
∆cl
A (0) = ∆Ai ,
∆cl
A (t) = ∆Af ;
Z
0
s
′
′
ds′ ∆cl
A (s )η(s − s) = 0,
∆cl
B (0) = ∆Bi ,
(B.12)
∆cl
B (t) = ∆Bf .
(B.13)
Resolviendo estas ecuaciones es posible obtener el operador evolución reducido. Para seguir
adelante con el cálculo consideraremos un entorno con densidad espectral óhmica,
2
mγ0 ω para ω ≤ Λ.
(B.14)
π
De esta manera en el lı́mite de frecuencia de corte alta γ(s) = 2mγ0 δ(s), y las ecuaciones
clásicas de movimiento resultan (asumiendo m = 1):,
I(ω) =
cl
2
cl
cl
Σ̈cl
A (s) + 2γ0 Σ̇A (s) + ΩR ΣA (s) + λΣB (s) = −4δ(s)γ0 ΣAi ,
2 cl
cl
Σ̈cl
B (s) + ΩB ΣB (s) + λΣA (s) = 0,
¨ cl (s) − 2γ0 ∆
˙ cl (s) + Ω2 ∆cl (s) + λ∆cl (s) = −4δ(t − s)γ0 ∆Ai ,
∆
A
A
R A
B
cl
2 cl
cl
¨
∆B (s) + ΩB ∆B (s) + λ∆A (s) = 0,
111
Capı́tulo B. Operador evolución reducido para el sistema compuesto
donde la frecuencia renormalizada se encuentra definida como Ω2R = Ω2A − 4γ0 δ(0). Como
se vio anteriormente, esta es la frecuencia fı́sicamente relevante. El efecto de la solución
particular es una patada inicial y puede ser tenido en cuenta numéricamente a tiempos
muy cortos. Luego, el operador evolución JAB puede ser escrito como:
m cl
∆A (s)Σ̇cl
JAB (ΣAf , ΣBf , ∆Af , ∆Bf , t|ΣAi , ΣBi , ∆Ai , ∆Bi , 0) = C(t) exp i
A (s) +
2~
Z t
i
h −1 Z t
s=t cl
cl
cl
cl
ds
ds
∆
(s
)ν(s
−
s
)∆
(s
)
× exp
∆B (s)Σ̇B (s) 1
2
1
1
2
2
A
A
2~2 0
s=0
0
donde C(t) es la constante de normalización. Por lo tanto, es necesario resolver los sistemas
cl
de ecuaciones acoplados para obtener el operador de evolución. Uno para {Σcl
A , ΣB } y el
cl
restante para {∆cl
A , ∆B }. Para resolver el primer sistema vamos a proponer una solución
de la forma:
!
cl
(j)
ΣA (s)
ã1
=
e−iω̃j s .
(B.15)
(j)
Σcl
ã2
B (s)
De esta manera, obtenemos cuatro soluciones complejas ω̃j . Se puede ver fácilmente que
si ω̃j = ωj − iΓj (con ωj y Γj reales diferentes de cero), las cuatro frecuencias son tales
que: ω̃1 = −ω̃3∗ y ω̃2 = −ω̃4∗ . Por lo tanto, si
! (j)
ã1
aj1 + ibj1
=
,
(B.16)
(j)
aj2 + ibj2
ã2
y tomando la parte real, la solución más general es:
Σcl
A (s)
Σcl
B (s)
−Γ1 s
= e
−Γ2 s
+ e
(a11 A1 + b11 B1 ) cos(ω1 s) + (−a11 B1 + b11 A1 ) sin(ω1 s)
(a21 A1 + b21 B1 ) cos(ω1 s) + (−a21 B1 + b21 A1 ) sin(ω1 s)
(a12 A2 + b12 B2 ) cos(ω2 s) + (−a12 B2 + b12 A2 ) sin(ω2 s)
(a22 A2 + b22 B2 ) cos(ω2 s) + (−a22 B2 + b22 A2 ) sin(ω2 s)
,
donde A1 , B1 , A2 y B2 son determinadas por las condiciones iniciales y finales, ecs. (B.13)
cl
y (B.11). Lo mismo puede ser hecho para el otro sistema {∆cl
A , ∆B }.
Por lo tanto, resolviendo estas ecuaciones, podemos calcular el operador evolución
reducido para el sistema compuesto A-B:
|β33 β43 − β13 β23 |
exp i β11 ∆Af ΣAf
JAB (ΣAf , ΣBf , ∆Af , ∆Bf , t|ΣAi , ΣBi , ∆Ai , ∆Bi , 0) =
4π 2
+β12 ∆Af ΣAi + β13 ∆Ai ΣAf + β14 ∆Ai ΣAi + β21 ∆Bf ΣBf + β22 ∆Bf ΣBi + β23 ∆Bi ΣBf
+β24 ∆Bi ΣBi + β31 ∆Af ΣBf + β32 ∆Af ΣBi + β33 ∆Ai ΣBf + β34 ∆Ai ΣBi + β41 ∆Bf ΣAf
+β42 ∆Bf ΣAi + β43 ∆Bi ΣAf + β44 ∆Bi ΣAi − α11 ∆2Af + α12 ∆Af ∆Ai + α13 ∆2Ai + α21 ∆2Bf
2
+α22 ∆Bf ∆Bi + α23 ∆Bi + α31 ∆Af ∆Bf + α32 ∆Af ∆Bi + α33 ∆Ai ∆Bf + α34 ∆Ai ∆Bi .
112
Este operador evolución permite estudiar el proceso de decoherencia en forma exacta
para el sistema compuesto A − B, para A o para B. De esta manera, es posible obtener
el operador evolución reducido para el sistema A trazando los grados de libertad del
sistema B. Considerando nuevamente que inicialmente los sistemas A y B no se encuentran
correlacionados, ρAB (0) = ρA (0) × ρB (0), obtenemos el operador evolución reducido JA
(en forma equivalente puede hacerse para B, y obtener JB ):
|b3 |
exp i b1 ∆Af ΣAf + b2 ∆Af ΣAi − b3 ∆Ai ΣAf
JA (ΣAf , ∆Af , t|ΣAi , ∆Ai , 0) =
4π
2
2
−b4 ∆Ai ΣAi − a11 ∆Af − a12 ∆Af ∆Ai − a22 ∆Ai
Z +∞
−β33 ∆Ai − β31 ∆Af
dΣBi ρB (
, ΣBi )
β23
−∞
β24 β33
β24 β31
× exp i (β34 −
)∆Ai + (β32 −
)∆Af ΣBi
β23
β23
b1 = β11 −
β43 β31
,
β23
b2 = β12 −
β31 β44
,
β23
β43 β33
β44 β33
− β13 ,
b4 =
− β14 ,
β23
β23
2
2
α32 β31
α34 β33
α23 β33
α23 β31
−
−
,
a
=
α
+
= α11 +
22
13
2
2
β23
β23
β23
β23
α34 β31
α23 β33 β31 α32 β33
= α12 −
+2
.
−
2
β23
β23
β23
b3 =
a11
a12
(B.17)
Si consideraremos a B inicialmente en un estado térmico:
r
i
h
2ξ − µ
exp − ξ(y 2 + y ′2 ) + µyy ′
ρB (y, y ′, t = 0) =
π
donde,
ξ=
mωB
coth(~ωB β),
2~
µ=
mωB
.
~ sinh(~ωB β)
A temperatura cero esta matriz densidad representa un estado coherente centrado en el
origen del espacio de fases. Si definimos σ12 = 2ξ − µ y σ22 = 2ξ + µ. El operador evolución
reducido para el sistema A, puede ser escrito como:
b3
JA (ΣAf , ∆Af , t|ΣAi , ∆Ai , 0) =
exp i b1 ∆Af ΣAf + b2 ∆Af ΣAi − b3 ∆Ai ΣAf
2π
′
2
′
′
2
−b4 ∆Ai ΣAi − a11 ∆Af − a12 ∆Af ∆Ai − a22 ∆Ai ,
113
Capı́tulo B. Operador evolución reducido para el sistema compuesto
donde
β2
β24 β31 2
) + 231 2
β23
4σ2 β23
β24 β31
β33 β31
β24 β33
)(β32 −
)+ 2 2
= a12 + 2σ12 (β34 −
β23
β23
2σ2 β23
2
β24 β33 2
β
= a22 + σ12 (β34 −
) + 233 2
β23
4σ2 β23
a′11 = a11 + σ12 (β32 −
a′12
a′22
(B.18)
A partir de la ec. (B.17), podemos notar que los nuevos coeficientes que aparecen en
JA , debido a la presencia del sistema B, son de la forma β2j , β3j , β4j y α2j , α3j . Los β2j y α2j
se encuentran asociados a la evolución libre del sistema B. Por lo tanto, si consideramos
β3j , β4j y α3j nulos en las ecuaciones anteriores recuperamos el operador JA obtenido en
[45].
114
Apéndice C
Material adicional: Variables
continuas
C.1.
Generalidades
Principio de incertidumbre. La matriz de covarianza V asociada a un estado ρ debe
cumplir la siguiente desigualdad:
i
V + Ω≥0
2
(C.1)
para ser una matriz de covarianza genuina.
Demostración. Consideremos un operador hermı́tico y = (X − r)T Y , donde Y ∈ C2n es
un vector complejo arbitrario. La positividad de ρ implica que Tr[ρy† y] ≥ 0, de donde se
puede obtener
Tr[ρy † y] = Y † Tr[ρXX T ] − rr T Y ≥ 0.
(C.2)
Para un vector v, la expresión (vv T ) significa el producto tensorial: (vv T )ij = vi vj . Por lo
tanto, la ec. (C.2) implica Y † ηY ≥ 0, donde la forma cuadrática η se encuentra definida
por ηij = hXi Xj i − ri rj . Ahora de acuerdo a la definición de la matriz de covarianza y a
partir de las relaciones de conmutación canónicas se puede obtener η = V + 2i Ω, y como
esto vale para Y arbitrario, prueba la ec. (C.1).
Representación simpléctica de operaciones Gaussianas en óptica cuántica:
Los estrujamientos de un modo y dos modos que ocurren en conversiones paramétricas
degeneradas y no degeneradas respectivamente, se encuentran descriptos por los opera† †
1
∗
dores Uij,r,ϕ = e 2 (ǫai aj −ǫ ai aj ) con ǫ = rei2ϕ y para un sólo modo i si i = j. Es ası́ que la
representación simpléctica de la operación unitaria Uij,r,ϕ , para i 6= j, se encuentra dada
115
Capı́tulo C. Material adicional: Variables continuas
por la transformación lineal Sij,r,ϕ :
Sij,r,ϕ

c − hs
0
ks
0

0
c + hs
0
−ks 
 para i 6= j,
=
 ks
0
c + hs
0 
0
−ks
0
c − hs

(C.3)
donde c = cosh(2r), s = sinh(2r), h = cos(2ϕ), k = sin(2ϕ) y se supone que la matriz
acopla los modos i y j. Por otro lado, los divisores de haz se encuentran descriptos por el
†
†
operador Bij,θ = eθai aj −θai aj , que corresponde a la rotación simpléctica Oij,θ en el espacio
de fases


cos θ
0
− sin θ
0
 0
cos θ
0
− sin θ 
 para i 6= j.
(C.4)
Oij,θ = 

 sin θ
0
cos θ
0
0
sin θ
0
cos θ
donde la matriz actúa sobre los modos i y j. Las operaciones de un sólo modo pueden
ser efectuadas mediante combinaciones de rotaciones de un modo y estrujamientos de un
modo de la forma diag(er , e−r ) para r > 0. Además se puede notar que las operaciones
Oij,θ , son ortogonales y, actuando en la CM V preservan el valor de TrV . Dicha cantidad
es la contribución de los segundos momentos al Hamiltoniano promedio ⊕i a†i ai , por ese
motivo estas transformaciones son llamadas “pasivas”, o “conservadores de la energı́a”
(pertenecen al subgrupo compacto de Sp(2n, R)). Por otro lado, Sij,r,ϕ no son ortogonales
y no preservan TrV (pertenecen al grupo no compacto de Sp(2n, R)). Esta diferencia matemática entre “estrujadores” y rotaciones en el espacio de fases da cuenta de la diferencia
entre transformaciones “activas” y “pasivas” (no conservan la energı́a).
Teorema de Williamson. Sea V una matriz real simétrica de dimensión 2n definida
positiva. Entonces, existe S ∈ Sp(2n, R) y D de dimensión n, diagonal y positiva tal que:
D
0
S.
(C.5)
V = ST
0 D
Las matrices S y D son únicas salvo una permutación de los elementos de D.
Demostración. Para la demostración usaremos la representación donde la forma simpléctica es J correspondiente a la ecuación (3.14). Si elegimos S = (D ⊕D)−1/2 OV −1/2 tenemos
una solución a la ecuación (3.21) donde O ∈ O(2n). Pero en general, ninguno de los elementos D, O, o V −1/2 son elementos de Sp(2n, O). Más allá de esto, es posible hacer
una elección de estos elementos que sea dependiente de V de forma tal que el producto
(D ⊕ D)−1/2 OV −1/2 sea un elemento de Sp(2n, R). El hecho de que J T = −J y V sea
simétrica, implica que V −1/2 JV −1/2 es antisimétrica. Por lo tanto, existe O ∈ SO(2n, R)
tal que:
0
D −1
−1/2
−1/2 T
.
(C.6)
OV
JV
O =
−D −1
0
116
C.2. Prueba del criterio PPT para estados Gaussianos de dos modos
De esta manera, (D ⊕ D)1/2 O T V −1/2 JV −1/2 O(D ⊕ D)1/2 = J, y por lo tanto existe una
única O que cumple con (C.5).
Diagonalización simpléctica. Los autovalores simplécticos de la matriz de covarianza
V son los autovalores ordinarios de la matriz |iΩV |.
Demostración. Supongamos que ν, dado por la ec. (3.23), es la forma normal correspondiente a V , que cumple V = S T V S para alguna S ∈ Sp(2n, R). Entonces se puede
verificar que los autovalores de la matriz iΩν es el conjunto {±νi }. De esta manera,
iΩν = iΩS T V S = iS T ΩV S,
(C.7)
donde S es simpléctica y por lo tanto Ω = S −1 ΩS −1T . La ecuación anterior muestra que
la acción de la transformación simpléctica S en V corresponde a la acción por similaridad
de la misma transformación S en iΩV . Pero transformaciones de similaridad preservan el
espectro de los operadores lineales, por lo tanto los autovalores de iΩV son los autovalores
de iΩν, es decir {±νi }.
C.2.
Prueba del criterio PPT para estados Gaussianos de dos modos
Vamos a seguir principalmente la demostración dada en [86], pero primero recordemos
el criterio.
Criterio PPT para estados Gaussianos de dos modos. Un estado Gaussiano de
dos modos es separable si y sólo si su transposición parcial es definida positiva.
Vamos a considerar un estado Gaussiano de dos modos ρ con matriz de covarianza
(CM) V , escrita en términos de dos submatrices:
α γ
.
(C.8)
V =
γT β
Como vimos anteriormente la transposición parcial de dichos estados Gaussianos, a nivel
de espacio de fases, equivale a un cambio de signo en el Detγ. Además podemos recordar
que una CM corresponde a un estado fı́sico si y sólo si
∆ ≤ DetV + 1,
(C.9)
con ∆ = Detα+Detβ +2Detγ. La ecuación (C.9) expresa la positividad de la matriz densidad ρ en términos de covarianzas. De la misma manera, la positividad de la transpuesta
parcial ρ̃ de ρ se puede expresar explı́citamente como:
˜ ≤ DetV + 1,
∆
117
(C.10)
Capı́tulo C. Material adicional: Variables continuas
˜ = Detα + Detβ − 2Detγ correspondiente a la transpuesta parcial.
donde ∆
Como paso preliminar, consideremos la representación de la función-P de los estados
Gaussianos de dos modos ρ, que permite escribir el estado de la siguiente manera:
Z
ρ=
d2 α1 d2 α2 P (α1, α2 )(|α1 ihα1 | ⊗ |α2 ihα2 |),
(C.11)
C2
donde |αii, para i = 1, 2, es un estado coherente de un sólo modo. Esta ecuación muestra
explı́citamente que si el estado ρ es “clásico” entonces el estado es separable. De hecho,
en ese caso la representación de la función-P provee una descomposición continua convexa
del estado en términos de estados productos. Mas aún, un estado Gaussiano con CM V
es “clásico” (en el sentido especı́fico que mencionamos anteriormente) si y sólo si V ≥ I.
Antes de comenzar con la prueba del criterio PPT es conveniente mostrar el siguiente
Lemma.
Lemma 1. Estados Gaussianos de dos modos con Detγ ≥ 0 son separables.
Demostración. Primero tendremos en cuenta el caso Detγ > 0. La CM V puede ser
reducida, por medio de operaciones locales unitarias, a su forma standard V sf donde las
covarianzas pueden ser obtenidas tal que satisfagan a ≥ b, y c+ ≥pc− > p
0. Consideremos
√
√
la siguiente operación simpléctica local Sloc = diag( xy, 1/ xy, y/x, x/y), formada
a partir de los productos tensoriales de estrujamientos locales. Eligiendo:
s
c+ a + c− b
x =
,
c− a + c+ b
s
a/x + bx − [(a/x − bx)2 + 4c2− ]1/2
,
y =
ax + b/x − [(ax − b/x)2 + 4c2− ]1/2
T
puede ser probado que V ′ = Sloc
V sf Sloc puede ser diagonalizada por una rotación
simpléctica R12,θ mediante la elección correcta del ángulo θ. Esto podrı́a no ser posible si
c+ y c− tienen signos diferentes (recordar que estamos suponiendo que Detγ = c+ c− > 0).
Además, el menor autovalor de esta forma diagonal es degenerado:
T
T
R12,θ
Sloc
V sf Sloc R12,θ = V dg = diag(κ1 , κ2 , κ− , κ− ),
(C.12)
con κi ≥ κ− para i = 1, 2. Pero entonces, para dicha CM diagonal, el principio de
incertidumbre V dg + iΩ ≥ 0 sencillamente implica que κ− ≥ 1. El estado Gaussiano con
CM V dg entonces es clásico y por lo tanto separable. De esta manera, también lo es el
estado con CM V ′ , relacionado con V dg por una rotación (que preserva la positividad
de la función-P). El estado inicial con CM V , es entonces separable también, estando
relacionada con el estado Gaussiano con CM V ′ mediante operaciones locales unitarias.
Esto completa la prueba del lemma para Detγ > 0.
Para Detγ = 0, entonces V sf uno tiene c+ ≥ c√
= 0,√la prueba es más sencilla. En este
√
√ −
caso un estrujamiento local Sl = diag( a, 1/ a, b, 1/ b) es necesario para llevar a V sf
118
C.3. Autovalores simplécticos de la matriz de covarianza
a la forma V ′′ con elementos en la diagonal {a2 , 1, b2 , 1} y sólo dos elementos diferentes de
cero fuera de la diagonal con valor abc+ . El principio de incertidumbre V ′′ + iΩ ≥ 0 para
una matriz V ′′ de esta forma implica V ′′ ≥ I, por lo tanto estableciendo la separabilidad
del estado Gaussiano original con CM V y de esta manera se concluye con la prueba del
lemma.
En este momento estamos en posición de probar el criterio PPT para estados Gaussianos de dos modos, expresados por la ec. (C.10). Si uno supone que Detγ ≥ 0, entonces
el estado es separable debido al Lemma anterior y se satisface la ec. (C.10) ya que se
encuentra incluida en el principio de incertidumbre ec. (C.9). Si, por otro lado, Detγ < 0,
entonces existen dos posibilidades: la desigualdad de la ec. (C.10) no se satisface y por lo
tanto el estado se encuentra entrelazado, o la desigualdad (C.10) se satisface, lo que implica que la transpuesta parcial ρ̃ del estado Gaussiano ρ es un estado fı́sico con Detγ > 0,
y por lo tanto es separable debido al Lemma anterior. En este caso el estado original ρ
es separable ya que la transposición parcial preserva la separabilidad. De esta manera,
el criterio PPT es una condición necesaria y suficiente para la separabilidad de estados
Gaussianos de dos modos, que además provee una clasificación de su entrelazamiento.
C.3.
Autovalores simplécticos de la matriz de covarianza
En este apéndice mostraremos que los autovalores de la matriz de covarianza “con
dimensiones” V , son iguales a los de la matriz de covarianza adimensional σ. La forma
de la matriz σ que utilizaremos en este caso es tal que el vector de operadores canónicos
~ (de acuerdo al a la Sección 3.2) y la forma simpléctica se encuentra dada por J, ec.
es S
(3.14). Por lo tanto, las matrices de covarianza se encuentran relacionadas de la siguiente
manera:
σ = UV U,
(C.13)
√
√
√
√
donde U es una matriz diagonal de elementos ( m1 ω1 , ..., mn ωn , 1/ m1 ω1 , ..., 1/ mn ωn ).
Como se vio en la Sección 3.2, los autovalores simplécticos de σ son los autovalores normales de la matriz iJσ. Además podemos notar fácilmente que tanto U como U −1 son matrices simplécticas, ya que preservan J = UJU = U −1 JU −1 . De este modo, iJσ = U −1 iJV U
y por lo tanto se encuentran relacionadas por una transformación de similaridad que, como
es sabido, no modifica los autovalores.
119
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Agradecimientos
Un gran número de personas me han ayudado durante el desarrollo de mi doctorado.
A cada una de ellas quiero expresarles mi más sincera gratitud.
Ante todo, mi especial agradecimiento a Juan Pablo, mi director durante estos años,
desde la licenciatura hasta aquı́; por haberme brindado su confianza y generosidad. Trabajar con él ha sido un placer. Su enseñanza, sus consejos y su constante apoyo han sido
fundamentales en este camino, y sin duda, lo serán en lo que viene.
A Marcos Saraceno, por su atención y valiosa ayuda durante todo este tiempo, y por
sus asados!
A Daniel Bes, con quien he tenido el gusto compartir su curso de cuántica y experimentar su pasión por la fı́sica, por su gran amistad.
A las personas que de alguna manera estuvieron presentes durante mi formación doctoral: Wojciech Zurek, Robin Blume-Kohout, Diego Wisniacki, Giovanna Morigi, Fernando
Lombardo, Gustavo Lozano, Luca Celardo, Diana Lopez-Nacir, Diego Dalvit, Adrián Rubio López, Cecilia Lopez, Nacho Garcı́a-Mata.
A Ceci, la mejor compañera posible. A todo el grupo “qufiba”, Ariel, Christian, Leo,
Juan, Griselda, y que sigan las quantum drunken!
A Fer Cucchietti por todo el tiempo compartido, los consejos, por su amistad.
A mis amigos, Ruben, Diego, Pappo, Ariel, Pablo, Mati, Leo, Alejo, Sergio...
Al Colifa, Marı́a Inés, Martı́n y Gala, por las cenas de los miércoles y el constante
apoyo.
A mi familia, mis abuelos, mis padres y mis hermanos por estar siempre presentes, por
el afecto y apoyo que me brindaron en todo momento, por hacer la vida más linda.
A Paula, por hacerme feliz, cuidarme y comprenderme estos últimos dı́as. Por su amor.
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