la conjetura del reloj acelerado en relatividad

LA CONJETURA DEL RELOJ ACELERADO EN
RELATIVIDAD
Por Rodolfo CARABIO
La “conjetura del reloj acelerado” en relatividad afirma que la aceleración - por si misma -no
tiene efecto sobre la marcha de los relojes situados en sistemas de referencia acelerados con
respecto a los valores dados por relojes situados en sistemas de referencia inerciales.
Es importante demostrar matemáticamente esta conjetura, pues es determinante para poder
establecer las relaciones de tiempo y espacio entre sistemas de referencia acelerados con
respecto a sistemas de referencia inerciales, tratando al sistema de referencia acelerado como
una sucesión continua de sistemas de referencia inerciales de velocidad uniformemente
creciente a la par del sistema acelerado (sistema comovil)
Esta hipótesis se ha verificado experimentalmente en los aceleradores de partículas, sin
embargo la demostración matemática de la conjetura puede obtenerse a partir del estudio de
los sistemas de referencia mutuamente acelerados en relatividad
Es necesario establecer dos postulados para sistemas de referencia acelerados relativistas
(Véase “Deducción de la Dinámica Relativista con Ecuaciones Funcionales”)
1.Las leyes físicas son simétricamente de la misma forma en sistemas de referencia
mutuamente acelerados. Mas concretamente: dos sistemas de referencia con la misma
aceleración y velocidad –opuestas entre si - con respecto a un sistema de referencia
considerado en reposo deben medir en ellos sucesos que son descriptos de forma semejante
(“Mutuamente acelerados” designa dos sistemas de referencia moviéndose con velocidades
opuestas bajo una misma aceleración) el ejemplo mas simple son dos objetos considerados
puntuales de igual masa que actúan bajo una fuerza de repulsión entre los mismos
2. La velocidad de la luz es constante en tiempo y espacio medida en sistemas de referencia
acelerados. Este postulado es ineludible y necesario en relatividad para establecer la conjetura
a demostrar
En el estudio de los sistemas de referencia acelerados mas simples, en los cuales actúa una
aceleración relativa (a) constante medida entre ellos, se establece una función para la marcha
relativa entre sus intervalos de tiempo, mas concretamente la relación existente entre el tiempo
(t’) medido en el origen de un sistema acelerado con respecto al valor (t) medido en la abscisa
(x) del otro sistema acelerado con la cual dicho origen coincide en cualquier instante dado
1
t ' = F (t )
La función F(t) es obtenida a partir de la ecuación funcional obtenida a partir del esquema
conveniente (Véase “Deducción de la Dinámica Relativista con Ecuaciones Funcionales” pág.
30):
F − (t ) =
c
+
a
c ² 2c  c
F +
−
a ² a  a
c ² 2c 
− t
a ² a 
La solución.
F (t ) = t −
a
t²
2c
Es la relación entre las medidas del tiempo entre dichos sistemas de referencia, entonces es:
t' = t −
a
t²
2c
Para el momento inicial t=0, y el instante infinitesimal siguiente, la relación del intervalo de
tiempo entre las medidas de sendos relojes resulta
dt ' = (1 − at / c) dt
t →0
dt ' → dt
Esto resulta valido en principio para sistemas de referencia mutuamente acelerados, pero para
demostrar la conjetura hay que extenderlo a sistemas de referencia acelerados con respecto a
sistemas de referencia inerciales, para hacerlo podemos apelar al siguiente principio físico
- Si el efecto de una acción física es cero (no hay variación relativa en la marcha de
relojes situados en sistemas de referencia mutuamente acelerados por efecto de la
acción física de la aceleración), una acción menor (relación existente en la marcha de
relojes situados en sistemas de referencia acelerados con respecto a sistemas de
referencia inerciales) resultara en una marcha relativa idéntica entre los relojes
situados en sendos sistemas de referencia Ciertamente este principio lógico es fuertemente determinante, en efecto si tenemos que en un
instante inicial cero los orígenes de tres sistemas de referencia (dos de ellos mutuamente
acelerados moviéndose en direcciones opuestas y uno inercial que podríamos considerar “en
reposo”) coinciden, entonces al momento determinado infinitesimal (dt) medido según el
sistema de referencia inercial, los puntos de origen de los sistemas de referencia acelerados se
habrán separado una distancia (dx) a ambos lados del origen de dicho sistema inercial (XY),
tomando una velocidad (dv), valores todos menores que los medidos desde los sistemas de
referencia acelerados entre si, y aun así desde ellos no existe diferencia en la marcha relativa
de sus respectivos relojes, menos aun deberá ser la diferencia en la marcha relativa de relojes
del sistema de referencia inercial con respecto a cualesquiera de los sistemas de referencia
acelerados. Tal como se muestra en el siguiente grafico:
2
Y’
Y
t’
X’
a
t
X
Y’’
X’’
t’’=t
t’’=t’
El grafico muestra que el sistema de referencia acelerado (X’Y’) se mueve con aceleración
relativa(a) respecto al sistema de referencia acelerado (X’’Y’’)
De acuerdo a lo establecido la relación temporal entre los sistemas de referencia acelerados
esta dada por
t’’=t’
La acción menor graficada por la relación entre t’ con t, que se sitúa mas cerca del origen del
sistema acelerado debe resultar asimismo en la igualdad
t’’= t
Si bien la aceleración no modifica la marcha relativa entre relojes situados en sistemas de
referencia acelerados e inerciales, sí en cambio produce un desfase en las medidas de tiempo
entre relojes situados en distintos puntos de las abscisas de dichos sistemas de referencia, la
sincronicidad resulta algo relativo al relacionar sistemas de referencia acelerados aun cuando en
el momento dado tales sistemas de referencia se encuentren en reposo entre si. En efecto entre
los sistemas de referencia mutuamente acelerados la relación entre las medidas de tiempo es:
t′ =
 x
c
2ax 2at
 1+
+
− 1 −

a
c²
c
 c
Para el instante inicial t=0 resulta un desfase temporal:
t′ =
c
2ax  x
 1+
− 1 −

a
c²
 c
Esto indica además que el efecto relativista gravitatorio de enlentecimiento del tiempo en el entorno de
objetos masivos se debe a una causa de naturaleza diferente a la aceleración cinemática.
Rodolfo Hector CARABIO
[email protected]
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