Introducción al movimiento armónico simple

INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
Movimiento periódico: un movimiento se dice periódico cuando a intervalos iguales de tiempo,
todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el mismo valor.
Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos en los que la distancia del móvil al
centro, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo.
Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio, de
forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales.
Movimiento vibratorio armónico simple: es un movimiento vibratorio con aceleración variable,
producido por una fuerza que se origina cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio.
Vocabulario
Observando el movimiento de un resorte, vemos que se desplaza entre dos puntos, desde la
mínima a la máxima longitud, pasando por un punto medio, de equilibrio. La distancia desde el
punto medio a cualquiera de los extremos la llamamos AMPLITUD y la representamos por A.
La posición que ocupa la bola roja en cada momento con respecto al punto central la conocemos
como ELONGACIÓN, x.
El tiempo en realizar una oscilación completa es el PERÍODO, representado por T y medido en
segundos.
La FRECUENCIA es el número de oscilaciones por segundo que realiza y la representamos por f
Estudio del movimiento
Vamos a estudiar el movimiento de la bola roja cuando estiramos el resorte hasta que dicha bola
se encuentre a una distancia A (amplitud) del punto de equilibrio, el resorte realiza una fuerza en
contra de la que hacemos nosotros que viene dada por Fresorte =-kx, siendo x la elongación (ley
de Hooke).
¿Qué ocurre con la aceleración?
Al soltar el resorte la Fresorte provoca que aparezca una aceleración, que según la segunda ley de
Kx
Newton viene dada por Fresorte= -Kx = -ma  a 
vemos entonces que la aceleración es
m
directamente proporcional a la elongación esto supone que el movimiento no es uniformemente
acelerado.
La aceleración de la bola es máxima en el momento que soltamos el resorte. Según se va
acercando a su posición de equilibrio la aceleración disminuye hasta hacerse 0 en la posición de
equilibrio, sin embargo, debido a la inercia, la bola no se detiene y el muelle se comprime.
A medida que el muelle se comprime aparece Fresorte intentando devolver la bola a su posición de
equilibrio. Tras pararse la bola vuelve hacia la posición de equilibrio, llega a la posición de
equilibrio y debido a la inercia continua hasta que el muelle se estira y comienza de nuevo el ciclo.
Se produce un MAS.
¿Qué ocurre con la velocidad?
Según se mueve la bola a su posición de equilibrio la aceleración va disminuyendo pero, pero la
velocidad aumenta, cuando llega a la posición de equilibrio la velocidad es máxima. Al alejarse del
punto de equilibrio, va disminuyendo su velocidad, de forma que en los extremos se detiene y
cambia el sentido del movimiento, a la velocidad máxima
¿Cuál es la posición de la bola?
Conocer la posición de la bola en todo momento es fácil, aplicamos la ley de Hook y la segunda
ley de Newton:
F= -Kx ,
F= -ma

Kx=ma
 x
ma
K
Pero tenemos un problema el movimiento no es uniformemente acelerado.
INCISO {
Kx=ma
dv
dx
y v=
entonces la aceleración es la derivada segunda de x con respecto
dt
dt
d2x
d 2x
al tiempo, es decir a = 2 por lo que la ecuación (1) quedará Kx = m 2 esto es lo que
dt
dt
se conoce como una ecuación diferencial. Os quedan algunos años para aprender a
resolverlas.
Como a =
} FIN DEL INCISO
Si no es un mrua y no sabemos resolver ecuaciones diferenciales ¿cómo podemos saber la
posición del cuerpo? Pues a partir de la ¡proyección de un movimiento circular uniforme sobre
una recta!. Hay gente a la que se le ocurren verdaderas genialidades.
Puedes verlo mediante el siguiente applet:
http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/applets/Hwang/ntnujava/springForce/sp
ringForce_s.htm
¿Cuáles son las ecuaciones del movimiento?
Para hallar las ecuaciones del movimiento nos basamos en las ecuaciones estudiadas del
movimiento circular uniforme y un poco de trigonometría.
Según se puede observar en el applet la elongación x coincide con la coordenada y del cuerpo
que gira (línea azul). Por lo tanto para estudiar la posición de la bola en el muelle basta con
estudiar la coordenada y del cuerpo que gira.
Según la trigonometría: sen 
y
 y  rsen
r
Como es un mcu la coordenada y vendrá dada por:  

     t  y  rsen(   t) (1)
t
Según el applet r=A y la coordenada y del cuerpo que gira coincide con la elongación del muelle,
por tanto la posición de la bola en el MAS viene dada por x  Asen( t ) (2)
Si en el instante inicial x  0 es que el punto del mcu ha recorrido un ángulo inicial  (desfase) y
la fórmula queda: x = Asen( t   ) (3)
La velocidad del cuerpo será v =
dx
= A cos( t   ) (4)
dt
La aceleración del cuerpo será a 
dv
  A 2 sen( t   ) (5)
dt
De (3) y (5) queda a   2 x
NOTA: A ω también se la conoce como frecuencia angular y pulsación del MAS.
¿Cuáles son el período y la frecuencia del MAS?
El período y la frecuencia del MAS coinciden con el período y la frecuencia del mcu asociado.