Ejercicios de funciones_selectividad

IES PADRE SUÁREZ
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Funciones 2008
x 1
.
2x 1
f(x)
EJERCICIO 1A Sea la función f definida mediante
a) (0.5 puntos) Determine los puntos de corte con los ejes.
b) (1 punto) Estudie su curvatura.
c) (1 punto) Determine sus asíntotas.
d) (0.5 puntos) Represente la función.
b) x ∈ (-∞,1/ 2) f es cóncava, x ∈ (1/ 2, +∞) f es convexa c) Asíntota vertical
Solución: a) (0, -1) y (-1, 0)
x = 1/ 2, asíntota horizontal y = 1/ 2
d)
y
3
2
1
x
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
EJERCICIO 1B
a) (1.5 puntos) La gráfica de la derivada de una función f es la recta que pasa por los puntos (0, -3) y (4, 0) Estudie
la monotonía de la función f .
b) (1.5 puntos) Calcule la derivada de las siguientes funciones:
g( x )  3x  13  L( x 2  1 ) ;
h( x ) 
ex
7x5  4
Solución: a) x ∈ (-∞, 4) f es decreciente, x ∈ (4, +∞) f es creciente, en x = 4 f tiene un mínimo relativo b)


g' ( x )  93x  12 L x 2  1 
2 x3x  13
x 1
2
h' ( x ) 
7 x
5

 35x 4  4  e x
7 x
5
4

2
EJERCICIO 2A (Septiembre)
a) (1.5 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x ) 
3
en el punto de abscisa
x
x = -1
b) (1.5 puntos) Halle los valores de a y b para que la función g( x )  ax 
b
tenga un extremo relativo en el punto
x
(1, 2).
Solución: a) y = -3x – 6 b) a = 1, b = 1
EJERCICIO 2B (Septiembre) Dada la función f ( x )  4  3x 2  x 3 , determine:
a) (1.5 puntos) La monotonía y la curvatura de f.
b) (0.5 puntos) Los puntos donde la función alcanza sus extremos relativos.
c) (1 punto) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -1 .
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Solución: a) x ∈ (-∞, 0) ∪ (4, +∞) f es creciente, x ∈ (0, 4) f es decreciente; x ∈ (-∞, 2) f es cóncava, x ∈ (2, +∞) f es
convexa
b) Máximo relativo en (0, 4) y mínimo relativo en (4, 20)
c) y = 15x + 15
EJERCICIO 3A (Junio)
 2x
si x  2

f
(
x
)

Sea la función definida de la forma
.
 x 1
2x 2  10x si x  2

a) (0.5 puntos) Halle el dominio de f.
b) (1.25 puntos) Estudie la derivabilidad de f en x = 2.
c) (1.25 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.
Solución: a) ℝ - {1} b) La función no es continua en x = 2 y en consecuencia no es derivable en dicho punto Es
derivable en ℝ - {1, 2} c) y = -2x
EJERCICIO 3B (Junio)

 x 2  ax  b si x  1
.

si x  1
 L( x)
Sea la función f definida mediante f ( x )  
a) (1.5 puntos) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en x = -1.
b) (1.5 puntos) Para a = -1 y b = 1 , estudie la derivabilidad de f en x = -1 y en x = 1.
Solución: a) a = 2, b = -3
derivable.
b) En x = -1 es continua y derivable, en x = 1 no es continua y en consecuencia no
EJERCICIO 4A El beneficio de una empresa, en miles de euros, viene dado por la función
B( x )  3x 2  120x  675,
x0
donde x representa el gasto en publicidad, en miles de euros.
a) (0.75 puntos) Calcule el gasto a partir del cual la empresa no obtiene beneficios.
b) (0.75 puntos) Calcule el valor de x que produce máximo beneficio. ¿Cuánto es ese beneficio?
c) (0.75 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento del beneficio de la empresa.
d) (0.75 puntos) Represente gráficamente la función B.
Solución: Gasto superior a 45000 euros b) El máximo beneficio se obtiene cuando se hace un gasto en publicidad
de 20000 euros, y el beneficio obtenido es de 1875000 euros
es decreciente
d)
y
2000
1500
1000
500
x
-10
-500
-1000
10 20 30 40 50 60 70 80
c) x ∈ [0, 20) B(x) es creciente, x ∈ (20, +∞) B(x)
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
EJERCICIO 4B Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
a) (0.75 puntos)
f ( x )  ( x 3 1) e 7x .
b) (0.75 puntos)
g( x )  3 x L( x ) .


6
c) (0.75 puntos) h( x )  ( x 2  1 )  x 5  6x .
i( x ) 
d) (0.75 puntos)
x  12
x2  2

1
x

 
5

Solución: a) f ' ( x )  ( 7 x 3  3x 2  7 )  e 7 x b) g' ( x )  3 x   L3  Lx   c) h' ( x )  x 5  6x  32x 6  30x 4  48x 2  36

d) i' ( x ) 
 2x 2  6x  4
( x 2  2 )2
EJERCICIO 5A
Sea la función f ( x )  x 3  6x 2 .
a) (1 punto) Determine sus puntos de corte con los ejes.
b) (1 punto) Calcule sus extremos relativos y su punto de inflexión.
c) (1 punto) Represente gráficamente la función.
Solución: a) (0, 0) y (6, 0)
16)
c)
b) Máximo relativo (0, 0), mínimo (4, -32)
y punto de inflexión (2, -
y
30
20
10
-3 -2 -1
-10
-20
-30
-40
-50
x
1 2 3 4 5 6 7
EJERCICIO 5B

 x 2  4 si x  1
.

ax  b si x  1
Sea la función f ( x )  
a) (2 puntos) Calcule a y b, sabiendo que f (2) = 7 y que f es continua en x = 1.
b) (1 punto) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = −1.
Solución: a) a = 2, b = 3
EJERCICIO 6A
b) y = -2x + 3
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Sea la función definida de la forma
x

si x  0
 e
.
f(x) 
2

x

x

1
si
x

0

a) (1 punto) ¿Es f continua en x = 0? ¿Es continua en su dominio?
b) (1 punto) ¿Es f derivable en x = 0? ¿Es derivable en su dominio?
c) (1 punto) Estudie la monotonía de f .
Solución: a) Es continua en x = 0 y en todo su dominio (ℝ)
b) Es derivable en x = 0 y en todo su dominio (ℝ)
c) Es creciente en todo su dominio.
EJERCICIO 6B
a) (1.5 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x ) 
2
en el punto de abscisa 1.
x
b) (1.5 puntos) Sea la función g( x )  x 3  ax2  b . Calcule a y b sabiendo que su gráfica presenta un punto de
inflexión en el punto (2, 5).
Solución: y = -2x+4
b) a = -6, b = 21
Funciones 2009
EJERCICIO 1A
a) (1,5 puntos) Halle las funciones derivadas de las funciones definidas por las siguientes expresiones:


3
f ( x)  2 x 2  3 ;
g(x) 
ln(x)
; h(x)  x  e 3x
x
b) (1,5 puntos) Determine el dominio y las asintotas de la función m( x ) 


2
Solución: a) f ' ( x )  12x  2x 2  3 , g' ( x ) 
1  ln( x )
x2
, h' ( x )  1  3x e 3x
2x  3
x4
b) Dom(m) = ℝ-{4}, asintota
vertical: x = 4, asintota horizontal: y = 2
EJERCICIO 1B
1  2 x si x  0

.
 x  1 si x  0

a) (1,5 puntos) Sea la función f ( x )   1
Estudie su continuidad y derivabilidad.
b) (1,5 puntos) Se consideran las funciones: g( x )  2 x  13 , h( x ) 
x 1
2x
.
Halle sus funciones derivadas.
Solución: a) Continua en ℝ, derivable en ℝ ― {0}
b) g' (x)  62x  12 , h' ( x ) 
1  x  1 ln(2 )
2x
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
EJERCICIO 2A (Septiembre)
La función derivada de una función f viene dada por f ` ' ( x )  3x 2  12x  9 .
a)(1,5 puntos) Obtenga los intervalos de monotonía de la función f y los valores de x en los que dicha función
alcanza sus extremos locales.
b) (0,75 puntos) Determine los intervalos de concavidad y convexidad de la función f.
c) (0,75 puntos) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2, 5), calcule la ecuación de la recta tangente a la
gráfica de f en dicho punto.
Solución: a) x ∈ (-∞, 1) ∪ (3, +∞) f es creciente, x ∈ (1, 3) f es decreciente, en x = 1 máximo y en x = 3 mínimo
b) x ∈ (-∞, 2) f es cóncava, x ∈ (2, +∞) f es convexa, en x = 2 punto de inflexión.
c) y = -3x + 11
EJERCICIO 2B (Septiembre)
Sea la función f ( x )  ax3  bx2  x .
a) (1,5 puntos) Determine el valor de los parámetros a y b sabiendo que la función f tiene un máximo en x = 1 y
que f(1) = 2.
b) (1,5 puntos) Para a = b = 1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa X = 0.
Solución: a = -3, b = 4 b) y = x
EJERCICIO 3A (Junio)
Sea la función
 x 2  x si x  0

f(x)  x
.
si x  0

x1
a) (2 puntos) Analice la continuidad y derivabilidad de la función en su dominio.
b) (0,5 puntos) Determine la asintota horizontal, si la tiene.
c) (0,5 puntos) Determine la asintota vertical si la tiene.
Solución: a) Es continua y derivable en su dominio (ℝ)..b) Horizontal: y = 1 para x → +∞.
c) Vertical no tiene
EJERCICIO 3B (Junio)
Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de
contaminación viene dado por la función:
C(t )  0.2t 2  4t  25,
0 ≤ t ≤ 25
(t = años trascurridos desde el año 2000)
a) (1 punto) ¿En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación?
b) (1 punto) ¿En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero?
IES PADRE SUÁREZ
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
c) (1 punto) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función C(t) en t = 8 . Interprete el resultado
anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento.
Solución: a) En el año 2010. b) En el año 2025.
c) y = 0.8x + 37.8
EJERCICIO 4A
Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada kilogramo (KG) de fresas depende del
precio de venta de acuerdo con la función
B( x )   x 2  4 x  3
siendo B(x) el beneficio por kg, ambos expresados en euros.
a) (1.25 puntos) ¿Entre qué precios se producen beneficios para el almacenista?
b) (1.25 puntos) ¿Qué precio maximiza los beneficios?
c) (0,5 puntos) Si tiene en el almacén 10000 kg de fresas, ¿cuál será el beneficio total máximo que podrá obtener?
Solución: a) Se producen beneficios si el precio de venta está entre 1 y 3 euros. b) Máximo beneficio cuando el
precio de venta es de 2 euros el kg.
c) 20000 euros.
EJERCICIO 4B
Sea la función
x

si x  1
3
.
f(x) 
2

 x - 6x  8 si x  1
a) (2 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función f.
b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 3.
Solución: a) Continua en ℝ, derivable en ℝ ― {1}.
b) y = -1
EJERCICIO 5A
Sea la función f ( x )  x 3  1
a) (1 punto) Calcule los puntos de corte de la gráfica con los ejes, su monotonía y extremos relativos, si los
tuviese.
b) (1 punto) Determine su curvatura y punto de inflexión
c) (1 punto) Halle los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene de pendiente 3.
Solución: a) Cortes ejes: abscisas (1, 0), ordenadas (0, 1). La función es creciente en todo su dominio (ℝ). Punto de
inflexión (0, -1) b) x ∈ (-∞, 0) f es cóncava, x ∈ (0, +∞) f es convexa, en (0, -1) punto de inflexión.
(-1, -2)
EJERCICIO 5B
 x  1 si x  1
.
 x - 1 si x  1
Sea la función de variable real f ( x )  
a) (1 punto) Represente gráficamente la función.
c) (1, 0) y
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
b) (1 punto) Estudie la continuidad de la función.
c) (1 punto) Estudie la derivabilidad de la función.
7
y
6
5
4
Solución: a)
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
b) Continua en ℝ
-2
-3
-4
-5
-6
-7
c) Derivable en ℝ ― {1}
EJERCICIO 6A
Sea la función f ( x ) 
x 1
.
2x 1
a) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (0, 1).
b) (1 punto) Estudie la monotonía de f.
c) (1 punto) Halle las asintotas, los puntos de corte con los ejes y represente gráficamente la función.
Solución: a) y = x + 1 b) Creciente en todo su dominio (ℝ ― {1/ 2})
y
c) Cortes ejes: abscisas (1, 0), ordenadas (0, 1)
3
2
Asintota vertical: x = 1/ 2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
Asintota horizontal.: Y = 1/ 2
-2
-3
EJERCICIO 6B
e  x
Sea la función f : ℝ → ℝ definida mediante f ( x )  
si x  0

x - x  1 si x  0
3
.
a) (1 punto) ¿Es f continua en x = 0? ¿Es continua en su dominio?
b) (1 punto) ¿Es f derivable en x = 0? ¿Es derivable en su dominio?
c) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
Solución: a) Continua en x = 0 y en todo su dominio (ℝ).
b) Derivable en x = 0 y en todo su dominio (ℝ). c)
y = 2x-1
Funciones 2010
EJERCICIO 1.a
En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad, y han llegado a la
conclusión de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la expresión B( x )  0.5x 2  4x  6 ,
siendo x la inversión en publicidad, en miles de euros, con x en el intervalo 0,10 .
a) (1 punto) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene pérdidas?
b) (1 punto) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?
c) (0.5 puntos) ¿Cuál es el beneficio si no se invierte nada en publicidad? ¿Hay algún otro valor de la inversión
para el cual se obtiene el mismo beneficio?
Solución: a) Entre 2000 € y 6000 €
b) 10000€
c) B(0) = 6000€; x = 8000€
IES PADRE SUÁREZ
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
EJERCICIO 1.b
2
si x  1

Sea la función f ( x )   x
.
2
 x  4 x  5 si x  1

a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función.
b) (1 punto) Represéntela gráficamente.
Solución: a) No es continua ni derivable en x = 0, en los demás puntos es continua y derivable. b)
y
f(x)=2/x
f(x)=x^2-4x+5
15
10
5
x
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-5
-10
-15
EJERCICIO 2.a
Sean las funciones
 x 3  x 2  2 si  1  x  0
 x 2  x  2 si  1  x  0
f(x) 3
h( x )   2
 x  x 2  2 si 0  x  1
 x  x  2 si 0  x  1
a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f en x = 0.
b) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función h en x = 0.
c) (0.5 puntos) Si las dos funciones anteriores representan el perfil de un arco puntiagudo de una catedral y el de un
arco redondeado (sin picos) de un túnel, indique, razonadamente, la que corresponde a la catedral y la que
corresponde al túnel.
Solución: a) Es continua y derivable en x = 0 b) Es continua pero no derivable en x = 0. c) f(x) corresponde al
arco del túnel y h(x) corresponde al arco de la catedral.
EJERCICIO 2.b
El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma, f ( x ) , dependen de la inversión, x , según la
función f ( x )   x 2  11x  10.
(x es la cantidad invertida, en millones de euros).
a) (0.75 puntos) Determine los valores de la inversión para los que la función beneficio es no negativa.
b) (1 punto) Halle el valor de la inversión para el cual el beneficio es máximo. ¿A cuánto asciende éste?
c) (0.75 puntos) ¿Entre qué valores ha de estar comprendida la inversión para que el beneficio sea creciente,
sabiendo que éste es no negativo?
Solución: a) Entre 1 millón y 10 millones el beneficio es no negativo. b) Beneficio máximo para una inversión de
5,5 millones de euros y el beneficio es 20.25 millones de euros. c) Entre 1 millón y 5.5 millones de inversión
EJERCICIO 3.a
Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes.
La expresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el
consultorio es N( t )  4t  t 2
a) (1 punto) ¿A qué hora el número medio de pacientes es máximo? ¿Cuál es ese máximo?
b) (1 punto) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, ¿a qué hora cerrará?
c) (0.5 puntos) Represente gráficamente N(t), con N(t) ≥ 0.
Solución: a) A las siete de la tarde 4 pacientes de media b) A las nueve de la noche.
EJERCICIO 3.b
 x 2  2ax  3 si x  1
Sea la función f ( x )  
.
ax 2  6 x  5 si x  1
a) (0.5 puntos) Calcule el valor de a para que f sea continua en x = 1.
b) (2 puntos) Para a = 1, represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus
extremos locales.
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Solución: a) a = 1
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
b)
y
8
6
4
2
x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-4
-6
-8
EJERCICIO 4.a
 x2

 2
f / x )  x 3  4x 2
Sea la función definida por
 4
1 
 x
si
x0
si 0  x  4
si
.
x4
a) (1.75 puntos) Estudie su continuidad y derivabilidad.
b) (0.75 puntos) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 2.
Solución: a) Es continua en todo R. Es derivable en R – {4}
b) y = -4x
EJERCICIO 4.b
Un depósito lleno de agua se vacía por un sumidero que tiene en la parte baja. El volumen de agua, en m3, que hay
t2
en cada momento en el depósito, desde que empieza a vaciarse, viene dado por la función V ( t )  8  t 
, donde
32
t es el tiempo en minutos.
a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la capacidad del depósito?
b) (0.5 puntos) ¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse?
c) (0.8 puntos) Represente gráficamente la función V.
d) (0.7 puntos) Calcule la derivada de esa función en t = 8 e interprete su significado.
b) 16 minutos d) V´( 8 )  
Solución: a) 8 m3
1
es la pendiente de la recta tangente en t = 8.
2
c)
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
EJERCICIO 5.a
1
Sea la función f ( x )  2 x 2  x 3 . Calcule:
3
a) (1 punto) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) (1 punto) Las coordenadas de sus extremos relativos.
c) (0.5 puntos) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4.
Solución: a) Creciente en el intervalo (0, 4). Decreciente en  ,0  4, 
b) Mínimo relativo (0, 0). Máximo
relativo (4, 32/3). c) (2, 16/3)
IES PADRE SUÁREZ
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
EJERCICIO 5.b
Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
e 3x
a) (0.8 puntos) f ( x ) 
.
1 x2
b) (0.8 puntos) g( x )  ln x 1  3x 2 .
1
c) (0.9 puntos) h( x )  2 5 x  2 .
x
3x
2
2
1  9x 2
e 3x  2 x  3

Solución; a) f ( x ) 
b)
c) h ( x )  5·2 5 x ln 2  3
g
(
x
)

2
2
x
x 1  3x
1  x2
EJERCICIO 6.a
Sea la función f ( x )  2x 2  ax  b .
a) (1.25 puntos) Determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un
extremo local en el punto de abscisa x = -2.
b) (1.25 puntos) Tomando a = 8 y b = -10 deduzca la curvatura de su gráfica, el valor mínimo que alcanza la
función y los valores donde la función se anula.
Solución: a) a = 8 b = -7
b) Convexa, -18 en x = -2, se anula en x = -5 y x = 1.
EJERCICIO 6.b
a) (1.5 puntos) Calcule las derivadas de las siguientes funciones:


 2  5x 2
f ( x )  
 3

2

1  2x
 
;

x2








g( x )  3x  2 · ln 1  x 2 .
2
1  2x
.
x2
2
20 x 2  5 x 2
2x  2
2 x3x  2
2




g
(
x
)

6
3
x

2
ln(
1

x
)

Solución: a) f ( x ) 
9
x3
1 x2
x = 2, asíntota horizontal y = 2 (0, -1/2) (-1/2, 0)
Funciones 2011
b) (1 punto) Halle las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de h( x ) 


b) Asíntota vertical
EJERCICIO 1A
Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, c(x),
expresado en litros, viene dado por la función
c(x) 7.5 0.05x 0.00025x2 , siendo x la velocidad en km/h y 25 x 175.
a) (0.5 puntos) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h.
b) (1 punto) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función c(x).
c) (1 punto) ¿A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máximo consumo y cuáles
son éstos?
Solución: a) c( 50 ) = 5,625 litros = c ( 150 )
b) c(x) es decreciente en el intervalo (25, 100) y decreciente en el
intervalo (100, 175)
c) A 100 km/h se obtiene el consumo mínimo ( 5 litros). El consumo máximo es 6,40625
litros a las velocidades de 25 km/h y 175 km/h.
EJERCICIO 1B
2
Se considera la función dada por 𝑓(𝑥) = {
− 𝑥+2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
2
𝑥+2
𝑠𝑖 𝑥 > 0
a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f.
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
b) (1 punto) Halle las ecuaciones de las asíntotas de esta función.
Solución: a) f(x) es continua y derivable en R – {-2, 0}
0.
b) Asíntota vertical: x = -2. Asíntota horizontal: y =
EJERCICIO 2A
Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en miles de euros, viene dada en función
de la cantidad, x, que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión:
R(x) 0.001x2 0.4x 3.5, con x 10.
a) (0.5 puntos) Calcule la rentabilidad para una inversión de 100000 euros.
b) (1.5 puntos) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad.
c) (0.5 puntos) ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría?
Solución: a) 33500 euros
b) Debe invertir 200000 euros c) el rendimiento máximo es 43500 euros.
EJERCICIO 2B
1 − 𝑥2
𝑠𝑖
𝑥≤1
Sea la función𝑓(𝑥) = { 𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 3 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 3
−𝑥 2 + 8𝑥 − 15 𝑠𝑖
𝑥>3
a) (0.75 puntos) Calcule el valor de a para que f sea continua en x = 1.
b) (1.75 puntos) Para a =2 estudie la continuidad y la derivabilidad de f.
Solución: a) a = 2. b) Es continua en todo R y derivable también en todo R.
EJERCICIO 3A
El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la función B(t)
expresada a continuación
𝐵(𝑡) =
1 2
𝑡
8
{𝑡+1
2
− 𝑡 + 5 𝑠𝑖
𝑠𝑖
0≤𝑡≤6
6 < 𝑡 ≤ 12
,
t es el tiempo transcurrido en meses.
a) (1 punto) Estudie la derivabilidad de la función al cabo de 6 meses.
b) (0.5 puntos) ¿Cuándo fue mínimo el beneficio? ¿Cuál fue dicho beneficio?
c) (1 punto) Represente gráficamente la función B(t). ¿Cuándo fue máximo el beneficio? ¿A cuánto ascendió?
Solución: a) Para t = 6 la función es continua pero no es derivable. b) Cuando el tiempo transcurrido es 4 meses y
el beneficio fue 3000 euros.
c)
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11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
y
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
EJERCICIO 3B
a) (1.5 puntos) La gráfica de la función derivada, f ´, de una función f es una parábola que corta al eje OX en los
puntos (1,0) y (3,0) , y tiene su vértice en (1,4) .
Estudie, a partir de ella, la monotonía de la función f e indique la abscisa de cada extremo relativo.
b) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g(x) 2e3x en el punto de abscisa x =
0.
Solución: a) es creciente en (−∞, −1) ∪ (3, +∞) y decreciente en (-1, 3). La abscisa del máximo es -1 y la del
mínimo 3. b) y = -6x – 2.
EJERCICIO 4A
𝑒 −2𝑥
a) (1 punto) Calcule la función derivada de 𝑓(𝑥) = (−𝑥2 +2)2 .
b) (1.5 puntos) Se sabe que la expresión que representa el número medio de clientes
N(t) que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas t que llevan abiertos, es N(t)
a t2 b t, 0 t 8, a,bR.
Sabiendo que el máximo de clientes que han acudido ese día ha sido de 160 y que se ha producido a las 4 horas
de abrir, calcule a y b.
Solución: a) 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑒 −2𝑥 (𝑥 2 +4𝑥−2)
(−𝑥 2 +2)3
b) a = -10 y b = 80
EJERCICIO 4B
Las funciones I (t) 2t2 51t y G(t)  3t 96 con 0 t 18 representan, respectivamente, los ingresos y
gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos
18 años.
a) (0.5 puntos) ¿Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los
gastos?
b) (1 punto) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y
represéntela gráficamente.
c) (1 punto) ¿Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueron máximos?
Calcule el valor de ese beneficio.
Solución: a) t = 2 t = 16. b) c) 9 años y el beneficio es 147 mil euros.
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
EJERCICIO 5A
a) (1.25 puntos) Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la función:
4𝑥
𝑓(𝑥) = 2𝑥+1
b) (1.25 puntos) Halle los intervalos de monotonía, los extremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos
de inflexión de la función g(x) x3 3x2 3x.
1
1
Solución: a) Dominio = 𝑅 − {− } Eje OX y OY (0, 0). Asíntota vertical 𝑥 = − . Asíntota horizontal y = 2.
2
2
b) Es
creciente en todo R. En cóncava en (-∞, -1) y convexa en (-1, +∞). Tiene un punto de inflexión en (-1, -1).
EJERCICIO 5B
Sea la función 𝑓(𝑥) = {
𝑥 2 − 3𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
𝑎
4−𝑥
𝑠𝑖 𝑥 > 2
a) (1.5 puntos) Halle el valor de a para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de f para ese
valor de a.
b) (1 punto) Para a = 1, ¿existe alguna asíntota vertical de esa función? ¿Y horizontal?
Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo, dichas asíntotas.
Solución: a) a = 4. La función es derivable en todo R. b) No tiene asíntota vertical porque el denominador se
anula en x = 0 que no es mayor que 2. Tiene asíntota horizontal y = 0.
EJERCICIO 6A
−𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 < 2
𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 4
Sea la función 𝑓(𝑥) = {
4
𝑥
𝑥 2 − 4𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4
a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f.
b) (0.5 puntos) Determine los extremos locales de f.
c) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 3.
Solución: a) Es continua en todo R y derivable en R – { 4 }. b) Tiene un mínimo en (4, 1). c) La ecuación es; 𝑦 =
4
9
− 𝑥+
8
3
EJERCICIO 6B
(2.5 puntos) Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
𝑓(𝑥) =
Solución: 𝑓 ′ (𝑥) =
ℎ′ (𝑥) = −
2𝑥 + 𝑥 2
;
𝑥
𝑥2𝑥 +𝑥 2 −2𝑥
𝑥2
1
10𝑥
+ 2
2
(𝑥 − 2)2
3𝑥
𝑔(𝑥) = (𝑥 2 + 1)2 · 𝑙𝑛(𝑒 3𝑥 + 4); ℎ)𝑥) =
1
5
− 2
3𝑥 𝑥 − 2
3𝑒 3𝑥
𝑔′ (𝑥) = 4𝑥(𝑥 2 + 1) · 𝑙𝑛(𝑒 3𝑥 + 4) + (𝑥 2 + 1)2 · (𝑒 3𝑥 +1)
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Funciones 2012
EJERCICIO 1A
De la función f se sabe que su función derivada es f ´(x)  3x  8x  5.
2
a) (1.5 puntos) Estudie la monotonía y la curvatura de f.
b) (1 punto) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (1, 1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho
punto.
Solución:
EJERCICIO 1B
a) (1.25 puntos) Dada la función f ( x)  2x  ax  b , determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica
2
pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo en x  2.
b) (1.25 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función g ( x)  3x  2 x  1 , en el punto de abscisa
2
x  1.
Solución:
EJERCICIO 2A
Se considera la función f ( x)  1 
2
.
x2
a) (0.8 puntos) Determine la monotonía y curvatura de la función.
b) (0.8 puntos) Calcule sus asíntotas.
c) (0.9 puntos) Represéntela gráficamente.
Solución: a) f(x) es siempre creciente. La función es convexa en el intervalo (-∞,-2) y cóncava en el intervalo
(-2, +∞)
b) Asíntota vertical: x = -2. Asíntota horizontal: y = 1
c)
y
8
6
4
2
-8 -6 -4 -2
-2
-4
-6
-8
x
2
4
6
8
EJERCICIO 2B
Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido
un tiempo t, medido en meses:

t2
si 0  t  5


P(t )  
.
100t  250
si
t 5
 t  5
a) (0.5 puntos) Estudie la continuidad de la función P.
b) (0.75 puntos) Estudie la derivabilidad de P en t =5.
c) (0.75 puntos) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células
afectadas.
d) (0.5 puntos) ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50?
Solución: a) Es continua en [0, +∞)
b) No es derivable en t = 5
c) La función es siempre creciente y está
por debajo del 100%.
EJERCICIO 3A (SEPTIEMBRE)
(2.5 puntos) Determine los valores que han de tomar a y b para que la función
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

 x 2  ax  7 si
f ( x)  

si
 4x  b
x 1
sea derivable en R.
x 1
Solución: a = 6
b=6
EJERCICIO 3B (SEPTIEMBRE)
En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km2 , viene dada por
la función f (t ) 
11t  20
, siendo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla.
t2
a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla?
b) (1.25 puntos) Estudie si la mancha crece o decrece con el tiempo.
c) (0.75 puntos) ¿Tiene algún límite la extensión de la superficie de la mancha?
Solución: a) 10 km2
b) Es siempre creciente
c) La extensión de la mancha tiene un límite de 11 km2.
EJERCICIO 4ª (JUNIO)
a) (1.5 puntos) Sea la función
 ax2  3x si x  2
f ( x)   2
.
 x  bx  4 si x  2
Determine los valores de a y b, para que la función f sea derivable en x = 2.
b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g ( x) 
x2
en el punto de
x 1
abscisa x = 0.
Solución: a) a = 2
b = -7
b) 𝑦 = −3𝑥 − 2
EJERCICIO 4B (JUNIO)
Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 10 años viene dado por la
at  t 2
 2t
función B(t )  
si 0  t  6
, siendo t el tiempo transcurrido en años.
si 6  t  10
a) (0.75 puntos) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua.
b) (1 punto) Para a = 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá.
c) (0.75 puntos) Para a = 8 indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros 6 años y a
cuánto asciende su valor.
Solución: a) a = 8
b)
y
f(x)=8x-x^2
f(x)=2x
18
16
14
12
10
8
6
4
2
x
2
4
6
8 10 12 14 16 18
c) En el año 4 se obtiene un beneficio de 16 millones de euros.
EJERCICIO 5A
ax
, determine, razonadamente, los valores de a
xb
y b sabiendo que tiene como asíntota vertical la recta de ecuación x  2 y como asíntota horizontal la de
ecuación y  3.
a) (0.75 puntos) Para la función f definida de la forma f ( x) 
b) (1.75 puntos) Para la función g, definida de la forma g ( x)  x  3x  2 , determine: su dominio, sus
3
2
intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Con esos datos -Escriba aquí la ecuación.haga un
esbozo de su gráfica.
Solución: a) a = 3 b = 2. b) dom (g) =R. Es creciente en (−∞, 0) ∪ (2, +∞) y es decreciente en (0,2)
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
EJERCICIO 5B
2

ax  2 x si x  2
Sea la función f ( x)   x
.

b
si
x

2

 2
a) (1.5 puntos) Calcule a y b para que la función sea continua en todo su dominio y presente un mínimo en x = 1.
b) (1 punto) Represente gráficamente la función para a = 1.5 y b = 0.5.
Solución: a) 𝑎 =
5
8
𝑏=
5
2
b)
y
18
16
14
12
10
8
6
4
2
f(x)=1.5x^2-2x
f(x)=x/2-0.5
-4 -2
EJERCICIO 6A
Sean dos funciones, f
x
2
4
6
8 10 12 14
y g, tales que las expresiones de sus funciones derivadas son, respectivamente,
f ´(x)  x  2 y g´(x)  2.
a) (1 punto) Estudie la monotonía de las funciones f y g.
b) (0.75 puntos) De las dos funciones f y g, indique, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su
derivada es nula.
c) (0.75 puntos) ¿Cuál de las funciones f y g es una función polinómica de primer grado? ¿Por qué?
Solución: a) fes decreciente en el intervalo (−∞, −2) y creciente en el intervalo (−2, +∞). La función g es
creciente en todo su dominio. b) La derivada de la función f en x = -2. c) g porque su función derivada es
constante.
EJERCICIO 6B
Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
a) (0.8 puntos) f ( x)  e
b) (0.8 puntos) g ( x) 
3x
 ln(2x  5).
32 x
.
x2 1
c) (0.9 puntos) h( x)  (3x  5x  1)  x  ln x.
2
6
2
2
Solución: a) 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 3𝑥 (3 ln(2𝑥 − 5) + 2𝑥−5)
b) 𝑔′ (𝑥) =
c) ℎ′ (𝑥) = 6(3𝑥 2 + 5𝑥 − 1)5 (6𝑥 + 5) + 2𝑥 −
2𝑒 2𝑥 (𝑥 2 −𝑥−1)
(𝑥 2 −1)2
1
𝑥
FUNCIONES 2013
EJERCICIO 1A
2
Consideremos la función 𝑓(𝑥) = { −𝑥 + 6𝑥 − 5 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 ≤ 4
−2𝑥 + 11
𝑠𝑖 4 < 𝑥 ≤ 5
a) (1 punto) Estudie la derivabilidad de la función f (x) en el punto de abscisa x = 4.
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b) (1.5 puntos) Represente gráficamente la función f (x) e indique dónde alcanza su máximo y su mínimo
absolutos. ¿Cuál es el valor del máximo? ¿Y del mínimo?
Solución: a) f es continua en el intervalo [2, 5] y derivable en el intervalo (2, 5)
b)
y
6
5
4
3
2
1
x
1
2
3
4
5
6
7
El máximo absoluto se alcanza en x = 3 y vale 4, el mínimo
absoluto se alcanza en x = 5 y su valor es 1.
EJERCICIO 1B
1
1
Sea la función 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 + 2 𝑥 2 − 2𝑥 + 3
a) (1 punto) Determine sus máximos y mínimos relativos.
b) (1 punto) Consideremos la función g(x
función g(x), en el punto de abscisa x
f ´(x). Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la
c) (0.5 puntos) Dibuje la gráfica de g(x) y de la recta tangente calculada en b).
Solución: a) Máximo relativo
19
3
en x = -2. Mínimo relativo
11
6
en x = 1
b) 𝑦 = 5𝑥 − 6 c)
f(x)=x^2+x-2
y
f(x)=5x-6
5
4
3
2
1
-3
EJERCICIO 2A
-2
-1
-1
-2
-3
x
1
2
3
4
5
(septiembre)
En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días
trabajados según la función 𝑀(𝑡) =
11𝑡+17
2𝑡+12
𝑡 ≥ 1, donde t es el número de días trabajados.
a) (0.5 puntos) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Cuántos días necesitará para realizar cinco montajes
diarios?
b) (0.75 puntos) ¿Qué ocurriría con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente?
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
c) (0.75 puntos) El dueño de la empresa cree que el número de montajes diarios aumenta con los días de trabajo.
Estudiando la función, justifique si es cierta dicha creencia.
d) (0.5 puntos) Dibuje la gráfica de la función.
Solución: a) El primer día realiza 2 montajes, necesitará 44 días para realizar 5 montajes diarios. b) Realizaría 5,5
montajes diarios
c) El dueño tiene razón porque la función es creciente
d)
y
6
4
2
x
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56
EJERCICIO 2B (septiembre)
2
Sea la función 𝑓(𝑥) = { 𝑥 − 𝑏𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
2𝑥 + 𝑎
𝑠𝑖 𝑥 > 2
a) (1.5 puntos) Determine los valores de a y b para que dicha función sea continua en x = 2 y, además, tenga un
mínimo en x = 1.
b) (1 punto) Para a = 2 y b = 6, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de
abscisa x = -2.
Solución: a) a = -1
b=2
b) 𝑦 = −10𝑥 − 3
EJERCICIO 3A
2𝑥 2 − 12 𝑠𝑖
𝑥 < −3
Sea la función 𝑓(𝑥) = { −𝑥 + 3 𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑥 + 1 𝑠𝑖
𝑥>2
a) (1 punto) Estudie la continuidad y derivabilidad de f (x) en su dominio.
b) (1 punto) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) (0.5 puntos) Calcule los extremos relativos.
Solución: a) Si x < -3 la función es continua y derivable por ser polinómica de grado 2, entre -3 y 2 y para valores
mayores que 2 es continua y derivable por ser lineal. En
x = -3 es continua y no derivable al igual que en x = 1.
b) f(x) es decreciente en (-∞.2) y creciente en el intervalo (2,+∞)
c) En x = 2 hay un mínimo que vale 1
EJERCICIO 3B
Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 24𝑥 2 + 4𝑥
a) (1.25 puntos) Halle los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.
b) (0.75 puntos) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en el punto de abscisa 𝑥 = −2.
c) (0.5 puntos) En el punto de abscisa x = 1, ¿la función es creciente o decreciente?
Solución: a) Cóncava en el intervalo (-∞,8), convexa en el intervalo (8, +∞). El pun de inflexión es (8, -992)
b) 𝑦 = 112(𝑥 + 112) − 112
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EJERCICIO 4A
Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
(𝑥 2 −5)3
a) (0.75 puntos) 𝑓(𝑥)
=
b) (0.75 puntos) g(x)
= e7x · (x − 5x 2 )2 .
c) (1 punto) h(x)
Solución:
=
3−𝑥 2
.
x·ln(1−x2 )
x−3
a) 𝑓 ′ (𝑥) =
.
2
4𝑥(𝑥 2 −5) (2−𝑥 2 )
(3−𝑥 2 )2
b) 𝑔′ (𝑥) = 7𝑒 7𝑥 (𝑥 − 5𝑥 2 )2 (−35𝑥 2 − 13𝑥 + 2)
c)
h′ (x) =
[(1−x2 )ln(1−x2 )−2x2 ](x+3)−(1−x2 )xln(1−x2 )
(1−x2 )(x−3)2
EJERCICIO 4B
3
𝑠𝑖 𝑥 < 1
Se considera la función 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 − 1
−𝑥 + 4𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
a) (0.75 puntos) Determine el dominio y estudie la continuidad de la función.
b) (1 punto) Obtenga los extremos de la función.
c) (0.75 puntos) Estudie su curvatura.
Solución: a) Dom (f) = R. Si x < 1 f es continua por ser polinómica de grado 3, si x > 1 f es continua por ser
polinómica de grado 2. En x = 1 también es continua
b) Es creciente en el intervalo (-∞,2) y decreciente en el intervalo (2,+∞). Tiene un máximo en x = 2 y vale 1
c) Es cóncava en (-∞,0) ∪ (1,+∞) y convexa en el intervalo (0, 1). El punto de inflexión es (0, -1)
EJERCICIO 5A
(2.5 puntos) Estudie la derivabilidad de la función
𝑓(𝑥) = {
𝑒𝑥
1
−𝑥 2 + 6𝑥 + 2
Solución: f es continua en R – {3] y derivable en R – {0, 3}
EJERCICIO 5B
1
Sea la función 𝑓(𝑥) = {
2
2−𝑥
𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
𝑥 − 6𝑥 + 6 𝑠𝑖 𝑥 > 1
𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 3
𝑠𝑖 𝑥 > 3
IES PADRE SUÁREZ
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función.
b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto de abscisa x = 0.
1
Solución: a) Es continua en todo R y derivable en 𝑅 − {1}
1
b) 𝑦 = 4 𝑥 + 2
EJERCICIO 6A (junio)
Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de
euros, por la función 𝐵(𝑡) =
𝑡3
4
− 3𝑡 2 + 9𝑡. 0 ≤ 𝑡 ≤ 8 donde la variable t indica el tiempo transcurrido, en años,
desde su fundación.
a) (1.5 puntos) Estudie la monotonía y los extremos de B(t).
b) (1 punto) Dibuje la gráfica de B(t) en el intervalo [0, 8] y explique, a partir de ella, la evolución de los
beneficios de esta empresa en sus 8 años de existencia.
Solución: a) Es creciente en (0, 2) ∪ (6, 8) y decreciente en el intervalo (2, 6). El máximo absoluta es 8 y lo
alcanza para t = 2 y t = 8; el mínimo absoluto es 0 y se alcanza en t = 0 y t = 6. b)
y
f(x)=x^3/4-3x^2+9x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
EJERCICIO 6B (junio)
Sea f (x) una función cuya función derivada, f ´(x), tiene por gráfica una parábola que corta al eje OX en los puntos
(-1,0) y (5, 0) y con vértice (2,-4).
a) (1 punto) Estudie razonadamente la monotonía de f (x).
b) (0.5 puntos) Determine las abscisas de los extremos relativos de la función f (x).
c) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto de abscisa x = 2, sabiendo que
f (2) = 5.
Solución: a) Es creciente en los intervalos (−∞, −1 ) ∪ (5, +∞) y decreciente en el intervalo (−1, 5).
b) En x = -1 tiene un máximo relativo y un mínimo relativo en x = 5
c) y = -4x+13