Algebra Gu´ıa #5: Progresiones C-14 2. La suma de cuatro números

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Algebra
Guı́a #5: Progresiones
C-14
Soluciones - Prof. Rodrigo Vargas
2. La suma de cuatro números en P.A. es 24 y la suma de sus cuadrados
es 164. Determine los números.
Solución. Los números a − d, a, a + d, a + 2d están en P.A.
Por hipótesis la suma de los cuatro números es 24, es decir
24 = (a − d) + a + (a + d) + (a + 2d) = 4a + 2d
y la suma de los cuadrados satisface
164 = (a − d)2 + a2 + (a + d)2 + (a + 2d)2
= (a2 − 2ad + d2 ) + a2 + (a2 + 2ad + d2 ) + (a2 + 4ad + 4d2 )
= 4a2 + 6d2 + 4ad
y tenemos el siguiente sistema
4a + 2d = 24
4a + 6d2 + 4ad = 164
2
(1)
(2)
Despejadando en la ecuación (1) obtenemos d = 12 − 2a y remplazando
en (2), tenemos
164 =
=
=
=
4a2 6(12 − 2a)2 + 4a(12 − 2a)
4a2 + 6(144 − 48a + 4a2 ) + 48a − 8a2
4a2 + 854 − 288a + 24a2 + 48a − 8a2
20a2 − 240a + 864
lo que implica que 20a2 − 240a + 700 = 0 dividiendo por 20 obtenemos
la ecuación equivalente a2 − 12a + 35 = 0 es decir (a − 7)(a − 5) = 0.
Por lo tanto,
(a = 7) ó (a = 5) ⇒ (d = 12 − 2 · 7 = −2) ó (d = 12 − 2 · 5 = 2) .
y los números en P.A. son:
9; 7; 5; 3 ó bien 3; 5; 7; 9 .
1
3. Si los términos de orden p, q y r de una P.A. son a,b y c respectivamente,
demuestre que
(q − r)a + (r − p)b + (p − q)c = 0 .
Solución. Sean a0 el primer término de la P.A. y d de la diferencia,
entonces an = a0 + (n − 1)d. Luego,
ap = a0 + (p − 1)d = a ,
aq = a0 + (q − 1)d = b ,
ar = a0 + (r − 1)d = c ,
o equivalentemente
pd − a = d − a0 ,
qd − b = d − a0 ,
rd − c = d − a0 .
(3)
(4)
(5)
Igualando (3) con (4) obtenemos
pd − a = qd − b
⇒
⇒
⇒
pd − qd = a − b
(p − q)d = a − b
a−b
(p − q) =
d
Similarmente igualando (4) y (5) se obtiene
qd − b = rd − c ⇒ (q − r)d = b − c ⇒ (q − r) =
b−a
d
e igualando (3) y (5) se obtiene
pd − a = rd − c ⇒ (p − r) =
a−c
.
d
Por lo tanto,
(b − a)
(c − a)
(a − b)
a+
b+
c
d
d
d
ab − ac + bc − ab + ac − bc
=
=0
d
(q − r)a + (r − p)b + (p − q)c =
5. Tres números están en progresión geométrica, si el segundo se aumenta
en 8, los números quedan en progresión aritmética, pero si en esta última progresión el tercer término se aumenta en 64, la progresión vuelve
2
a ser geométrica. Encuentre los números.
Solución. Sean a, b y c tres números en P.G. entonces satisfacen
b
c
= ⇒ b2 = ac .
a
b
Como a, b + 8, c están en P.A. ellos satisfacen
(b + 8) − a = c − (b + 8) ⇒ a − 2b + c = 16 .
(6)
Como a, b + 8, c + 64 están en P.G. ellos satisfacen
b+8
c + 64
=
⇒ (b + 8)2 = a(c + 64) ⇒ b2 + 16 + 64 = ac + 64a
a
b+8
y como b2 = ac, cancelando en la última igualdad, se obtiene la ecuación
1
16b + 64 = 64a ⇒ 4a − b = 4 ⇒ a = (b + 4)
4
Remplazando este valor en la ecuación (6) obtenemos que
7
1
c = 16 − a + 2b = 16 − (b + 4) + 2b ⇒ c = 15 − b
4
4
Por lo tanto, como b2 = ac tenemos la igualdad
7
1
2
b = ac =
(b + 4)
15 − b
4
4
1
=
(b + 4)(60 + 7b)
16
1
(7b2 + 88b + 240)
=
16
y obtenemos la ecuación cuadrática 9b2 − 88b − 240 = 0 que tiene
soluciones
√
88 ± 882 + 4 · 9 · 240
b =
18

√
 12
88 ± 16384
88 ± 128 
=
=
=

18
18
 − 20
9




 4
 36
1
7
Se sigue que a = (b + 4) =
y c = 15 + b =
.


4
4
 4
 100
9
9
3
6. Si Si es la suma de k términos de una P.A. cuyo primer término es i y
cuya diferencia es 2i − 1, demuestre que
n
X
i=1
1
Si = kn(kn + 1) .
2
Solución. Tenemos que a1 = i y d = 2i−1 entonces el término general
de la P.A. es
an = i + (n − 1)(2i − 1) .
Entonces, usando las propiedades de suma
k
X
Si =
an =
n=1
k
X
= i
n=1
k
X
n=1
[i + (n − 1)(2i − 1)]
1 + (2i − 1)
k
X
n=1
(n − 1)
(k − 1)k
.
= ik + (2i − 1)
2
Por lo tanto,
n
X
Si =
i=1
n X
i=1
n
X
= k
i=1
=
=
=
=
1
ik + (2i − 1)k(k − 1)
2
k(k − 1)
i+
2
2
n
X
i=1
i−
n
X
i=1
1
!
n(n + 1)
kn(n + 1) k(k − 1)
+
2
−n
2
2
2
kn(n + 1) k(k − 1) 2
+
(n + n − n)
2
2
1
kn{(n + 1) + n(k − 1)}
2
1
1
kn{n + nk − n + 1} = kn(kn + 1) .
2
2
4