Ejercicios resueltos

Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas I – 1º Bachillerato
1
GEOMETRÍA ANALÍTICA
EJERCICIO 1 :
a) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(3,2) y tiene la misma
dirección que el vector v(1,-2)
b) Obtén tres puntos de r
c) Comprueba si los puntos A(7,-6) y B(-3,7) pertenecen a r.
x  3  k
a) r: 
 y  2  2k
k  1  P1 (4,0)

b) Dando valores a “k” obtenemos los puntos  k  2  P2 (5,2)
k  1  P (6,4)
3

7  3  k  k  4
c) A =(7,-6)  
 Como coinciden, A pertenece a r
 6  2  2 k  k  4
 3  3  k  k  6

B =(-3,7)  
5  Como no coinciden, B no pertenece a r
7

2

2
k

k



2
EJERCICIO 2 : Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(-1,3) y B(5,-1)
Punto : A(1,3)
x  1  3k
r: 
 r:
Vector : v  AB  (6,4) || (3, 2)
 y  3  2k
x  7  2 t
EJERCICIO 3 : Halla una recta paralela y otra perpendicular a r: 
que pasen por
y  4  3t
el punto M(1,-2)
Punto : M (1, 2)
x  1  2t
Paralela: s: 
 s:
Vector : v s paralelo v r (2,3)  v s (2,3)
 y   2  3t
Punto : M(1,2)
x  1  3t
Perpendicular: p: 
 p:
 y  2  2t
Vector : v p perpendicu lar a v r (2,3)  v p  (3,2)
 x  5  2k
x  4k
x  3  k
EJERCICIO 4 : Dadas las rectas r1 : 
, r2: 
y r3 : 
estudiar la
 y  2  4k
 y  1  2k
 y  6  2k
posición relativa y hallar el punto de corte, si es posible, en los siguientes casos:
a) r1 y r2
b) r1 y r3
a) Resolvemos el sistema, cambiando el nombre a un parámetro:
5  2k  4t
 2k  4t  5  4k  8t  10
11


 10 t  11  t  

10
2  4 k  1  2 t
4k  2 t  1
4k  2 t  1
Sistema compatible determinado, existe una solución. Se cortan en un punto (secantes)
Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas I – 1º Bachillerato
2
Para hallar el punto de corte, sustituimos el valor de “t” en r2:

 11  44 22
x  4.  10   10  5



 22 16 
 P , 

 5 5
y  1  2.  11   32  16

 10  10 5
b) Resolvemos el sistema, cambiando el nombre a un parámetro:
5  2k  3  t
 2k  t  2  4k  2 t  4


 Sumándolas 0  0

2  4 k  6  2 t
4 k  2 t  4
4k  2 t  4
Sistema compatible indeterminado, existen infinitas soluciones. Son coincidentes
x  3  2 t
EJERCICIO 5 : Dadas las rectas r: 
y s: 2x – 3y + 9 = 0, halla:
y  5  3t
a) La ecuación implícita de r y su pendiente
b) Las ecuaciones paramétricas de s
c) El punto de corte de r y s
Punto P(3,5)
a) r : 
 3x  2 y  C  0  9  10  C  0  C  19
Vector normal : v  (-2,3)  n  (3,2)
 3x + 2y – 19 = 0  m = -3/2
Punto : x  0, y  3  (0,3)
x  3t
b) s : 

Vector : n  (2,3)  v  (3,2)  y  3  2 t
c) Resolvemos el sistema: 2(3-2t)-3(5+3t)+9 = 0  6-4t-15-9t+9=0  -13t=0  t = 0  P(3,5)
EJERCICIO 6 : Dada las rectas r: 3x – 2y + 6 = 0 y el punto P(5,-1), halla las ecuaciones de
las rectas s y p que pasen por P y sean:
a) s paralela a r
b) p perpendicular a r
a) 3x – 2y + C = 0  15+2+C = 0  C = -17  3x – 2y – 17 = 0
b) 2x + 3y + C = 0  10 – 3 + C = 0  C = -7  2x + 3y – 7 = 0
x  t
EJERCICIO 7 : Halla el ángulo que forman las rectas r: 
y s: x – y = 0
y  4  2 t
vr = (1,-2), ns = (1, -1)  vs = (1,1)
cos (r,s) = cos (vr,vs) =
v r .v s
v r . vs

1 2
5 2

1
10
   71º 33'54' '
Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas I – 1º Bachillerato
3
EJERCICIO 8 : Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,5) y forma un ángulo
de 45º con la recta r: 2x + 3y – 6 = 0
Punto : P(3,5)

2

ms 
1
s: 
m

m
2
s
r
3  1  3m s  2 m s 
Pendiente
:
m



tag
45
º


1

5
r

2
3
1  m s .m r
3  2m s m  5
1  ms .

s
3

1
Dos soluciones: s1: y-5 = ( x  3)  x – 5y + 22 = 0
5
s2 : y – 5 = -5(x-3)  5x+ y - 20 = 0
EJERCICIO 9 : En el triángulo de vértices A(0,-1), B(8,3) y C(6,-1) calcula la longitud de la
altura que parte de B
B
Altura = d(B,rAC)
A
B
C
Calculamos la recta rAC: Recta que pasa por A y C:
Punto : A(0,1)
rAC 
 0x+6y+C= 0  -6 + C = 0
Vector
:
v

AC

(
6

0
,

1

1
)

(
6
,
0
)

n

(
0
,
6
)

C = 6  6y + 6 = 0  y + 1 = 0
3 1
Altura = d((8,3), y + 1 = 0) =
4
2
2
0 1
EJERCICIO 10 : Halla la ecuación de las rectas paralelas a r: 2x – y + 3 = 0 que distan de r
5 unidades.
Si son paralelas a r r’: 2x – y + C’ = 0
d(2x-y+3=0; 2x-y+C’=0) =
5 
Dos soluciones: r1: 2x – y -2 = 0
3  C'
 5 | 3  C' | 5
2 2  (1) 2
r2: 2x – y + 8 = 0
3  C'  5  C'  2
3  C'  5  C'  8
EJERCICIO 11 : En el triángulo de vértices A(-2,2), B(6,0) y C(2,-4), halla el circuncentro.
El circuncentro es el punto donde se cortan las mediatrices (rectas perpendicular a un lado por el
punto medio.
Mediatriz del lado AB

-2 6 2 0
,
  (2,1)
Punto : Punto medio de AB  
r1: 
 4x  y  C  0  8  1  C  0
2 
 2
Vector normal : n  AB  (6  2,0  2)  (8.,2) || (4,1)

Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas I – 1º Bachillerato
4
 C = -7  4x – y – 7 = 0
Mediatriz del lado AC

-2 2 24
,
  (0,1)
Punto : Punto medio de AC  
r2: 
 2x  3y  C  0  3  C  0
2 
 2
Vector normal : n  AB  (2  2,4  2)  (4.,6) || (2,3)

 C = -3  2x – 3y – 3 = 0
Circuncentro : Intersección de las mediatrices (Resolvemos el sistema)
4 x  y  7  0
4 x  y  7  0
1
1

 5 y  1  0  y   4x   7  0  20 x  1  35  0

5
5
2 x  3 y  3  0  4 x  6 y  6  0
36 9
9 1
x=
 C , 
20 5
5 5
EJERCICIO 12 : Determina el punto P’ simétrico de P(3,-2) respecto de la recta r: 2x–y+8 = 0
Paso 1 : Hallar la recta s: Perpendicular a r por P
s
P
M
P´
r
Punto : P(3, 2)
s: 
Vector : v s  n r  (2,1)  n s  (1,2)
x + 2y + C = 0  3 – 4 + C = 0  C = 1  x + 2y + 1 = 0
Paso 2 : Hallamos el punto M: Intersección de r y s
2 x  y  8  0 2 x  y  8  0
M: 

 5 y  6  0
x  2 y  1  0
 2 x  4 y  2  0
y=
6
6
17
 17 6 
 x  1  2    M    , 
5
5
5
 5 5
Paso 3 : M es el punto medio de P y P’
 17 6   3  x  2  y 
 49 22 
,
 ,   
  P’=   , 
2 
 5 5  2
 5 5 
EJERCICIO 13 :Halla el punto de la recta r:y=-3x+2 que equidista de los puntos A(5,1) y
B(3,-2)
El punto P(x, y) pertenece a la recta  Cumple la ecuación : y  - 3x  2

d((x, y), (5,1))  d((x, y), (3,-2)  (x - 5) 2  ( y  1) 2  ( x  3) 2  ( y  2) 2
 1 31 
Resolviendo el sistema: P=   , 
 14 14 