Universidad Técnica Federico Santa María Conceptos Bá Básicos Departamento de Informática ILI-280 ¾ ¾Experimento Experimento aleatorio aleatorio :: ξξ ¾ ¾Espacio Espacio Muestral Muestral :: Ω Ω ¾ ¾Espacio Espacio Muestral Muestral :: Discreto Discreto ,, Continuo Continuo ¾ Evento o Suceso ¾ Evento o Suceso ¾ ¾Sucesos Sucesos elementales, elementales, seguros seguros ee imposibles imposibles ¾ Probabilidad : grado de certidumbre ¾ Probabilidad : grado de certidumbre ¾ ¾Probabilidad Probabilidad yy Juegos Juegos de de Azar Azar ¾ Probabilidad y Frecuencia ¾ Probabilidad y Frecuencia relativa relativa ¾ Probabilidad Subjetiva (Personal) ¾ Probabilidad Subjetiva (Personal) Capí Capítulo 5 Modelos de Probabilidades Estadí Estadística Computacional II Semestre 2005 Profesores: Héctor Allende ([email protected]) Rodrigo Salas ([email protected]) Página: www.inf.utfsm.cl/~rsalas Profesores: H. Allende R. Salas Conceptos Bá Básicos Conjuntos y Eventos ¾¾ Experimento ExperimentoAleatorio: Aleatorio: -Proceso -Procesoque quetiene tiene22oomás másresultados resultadosposibles posibles ¾¾ Evento ( Suceso) Elemental: Evento ( Suceso) Elemental: -“Resultado” -“Resultado”de deun unexperimento experimentoindivisible indivisible -“Mutualmente Excluyentes”: -“Mutualmente Excluyentes”:sisiocurre ocurreuno unono noexiste existe posibilidad posibilidadde deobservar observarotro otro -“Equiprobable” -“Equiprobable”::Cada Cadaevento eventosimple simpletiene tieneidentica identica probabilidad probabilidad ¾¾ Espacio EspacioMuestral Muestral -El -Elconjunto conjuntoque quecontiene contienetodos todoslos losresultados resultadosposibles posibles ¾¾ Evento Evento“A” “A” -El -Elconjunto conjuntode detodos todoslos loseventos eventoselementales elementalesposibles posiblesque que resultan resultanen enlalaocurrencia ocurrenciadel delevento evento“A” “A” Ω (S): Espacio Muestral: Todos los posibles s ∈ S, resultado elemental ℑ :Familia de todos los eventos posibles de S ∅ ∈ ℑ , luego ∅ es un Evento B A s ∈ ∅, luego ∅ evento imposible E S ∈ ℑ , luego S es el Evento Seguro A y B ∈ ℑ, luego son eventos A∪B ∈ ℑ; A∩B ∈ ℑ; Ac ∈ ℑ, son eventos s∈Ω Profesores: H. Allende R. Salas Concepto de σ-álgebra de sucesos 4 Conjuntos vs. Eventos ¾ ¾ Sea Sea ℑℑuna una clase clase no no vacía vacía formada formada por por ciertos ciertos subconjuntos subconjuntos del del espacio espacio muestral muestral S. S. ℑℑes esuna una σσalgebra algebra de de sucesos sucesos si si los los sucesos sucesos complementarios complementarios de de aquellos aquellos que que están están en en ℑℑ también también están están en en ℑ, ℑ, así así como como sus sus uniones uniones numerables numerables (sean (sean finitas finitas oo infinitas). infinitas). Esto Esto se se puede puede enunciar enunciar como: como: ⎧∀A ∈ ℑ ⇒ A ∈ A ⎪ n ℑ es una σ − álgebra ⇔ ⎨ Ai ∈ ℑ ⎪⎩∀A1 ,..., An ∈ ℑ ⇒ iΥ =1 c Profesores: H. Allende R. Salas resultados elementales Ω (S) 3 Profesores: H. Allende R. Salas 2 5 Teoría Conjuntos Teoría Probabilidades S= Ω Universo Espacio Muestral ℑ Conjunto Potencia Familia Clases de Eventos A∈ℑ A subconjunto de S A es un Evento s ∈A s es elemento de A Ocurre el evento A ∅ S Conjunto vacío Evento Imposible Universo Evento Seguro A∪B A unión B Evento A o Evento B A∩B Ac A intersección B Evento A y Evento B Complemento de A Evento no-A A⊂B A es subconjunto de B A implica B A∩B= ∅ A y B son disjuntos A y B mutuamente excluyentes Profesores: H. Allende R. Salas 6 Ejemplo Dado Ejemplo ¾¾ Se Serealiza realizaun unexperimento experimentoaleatorio aleatoriode delanzar lanzarun undado dadoalal aire: aire: -Sucesos -Sucesoselementales elementales Æ Æ {1}, {1},{2}, {2},{3}, {3},{4}, {4},{5}, {5},{6} {6} -Espacio Muestral Æ S={1,2,3,4,5,6} -Espacio Muestral Æ S={1,2,3,4,5,6} -Conjunto Æ -ConjuntoPotencia Potencia Æℑ ℑ=P(S)={Ø,S,{1},{2},...,{1,2},...} =P(S)={Ø,S,{1},{2},...,{1,2},...} σ-álgebra -Sucesos -Sucesosaleatorios aleatorios Æ Æ ¾¾ Si Sise serealiza realizaun unexperimento experimentoaleatorio aleatoriode deesperar esperarel eltiempo tiempo 14 que se quehace hacefalta faltapara paraque queun unátomo átomode decarbono carbonocatorce, catorce,CC14,,se desintegre de modo natural, se tiene que desintegre de modo natural, se tiene que S = Ω = ℜ+ sin sinembargo, embargo,el el σ-álgebra σ-álgebrade desucesos sucesosque quese seconsidera considerano noes es P(ℜ), P(ℜ),que quees esuna unaclase clasedemasiado demasiadocompleja complejapara paradefinir definirsobre sobre sus elementos una medida de probabilidad. En su lugar se sus elementos una medida de probabilidad. En su lugar se considera considerael elσ-álgebra σ-álgebraformada formadapor portodos todoslos losintervalos, intervalos, abiertos abiertosoocerrados, cerrados,yysus susuniones unionesfinitas finitas ØØsuceso sucesoimposible imposible SS suceso sucesoseguro seguro {1, {1,3, 3,5} 5} {4, {4,5, 5,6} 6} C {2, {2,4, 4,6}={1, 6}={1,3, 3,5} 5}C .... .... ℑℑ={Ø, ={Ø,ℜℜ+,,(1,2),...,(2,3],...} (1,2),...,(2,3],...} + lo loque quepor porsupuesto supuestoincluye incluyeaalos lospuntos puntosde deℜℜ+. . + 7 Profesores: H. Allende R. Salas Espacio Muestral Experimento Aleatorio 1 Traspasar Roja # 1 I 1 II II 1 2 1 1 2 2 3 3 4 5 6 1 3 2 8 Profesores: H. Allende R. Salas I 3 Traspasar Verde # 1 II 3 2 3 7 8 1 2 9 9 Se toma al azar una esfera de la urna I 9 Se transfiere a la urna II, se mezclan bien. 9 Se elige, aleatoriamente, una esfera de la urna II. 9 ¿cuál es la probabilidad – a priori – que sea verde? Traspasar Verde # 2 II 11 12 3 3 2 9 Profesores: H. Allende R. Salas Nociones de Probabilidad Profesores: H. Allende R. Salas 10 Ejemplo ¾¾ Probabilidad Probabilidades esuna unamedida medidade delalaincertidumbre incertidumbre(Estimación (Estimación de delalaprobabilidad) probabilidad) ¾¾ Teórica Teórica--“A “APriori” Priori” -Pr (Ai) = -Pr (Ai) =nn//NN ¾¾ nn==número númerode deposible posibleformas formasen enque“Ai” que“Ai”puede puedeser ser observado observado ¾¾NN==número númerototal totalde deresultados resultadosposibles posibles ¾¾ Histórica Histórica(empírica-frecuencia) (empírica-frecuencia)--“A “APosteriori” Posteriori” -Pr -Pr(Ai) (Ai)== n/N n/N ¾¾nn==número númerode deveces vecesque queocurrio ocurrio“Ai” “Ai” ¾¾NN==número númerototal totalde deobservaciones observaciones ¾¾ Subjetiva Subjetiva -La -La “Opinión “Opiniónde deun unExperto” Experto” Profesores: H. Allende R. Salas 2 10 2 Distintas formas como puede resultar el experimento. Ya que las esferas has sido sacadas al azar, cada uno de ellos tiene la misma posibilidad de ocurrir 11 ¾¾ En Enlalafigura figurase sepresenta presentalalaevolución evoluciónde delalafrecuencia frecuenciarelativa relativa del delnúmero númerode decaras carasobtenido obtenidoen enel ellanzamiento lanzamientode deuna una moneda monedaen en100 100ocasiones ocasiones(simulado (simuladoen enun uncomputador). computador). Profesores: H. Allende R. Salas 12 Cálculo de Probabilidades (Eventos Equiprobables) Equiprobables) Modelo Probabilí Probabilístico ¾ ¾Sea Sea una una Distribución Distribución de de Probabilidad Probabilidad P, P, función que asigna a cada función que asigna a cada sub-conjunto sub-conjunto razonable razonable de de Ω Ω un un valor valor entre entre 00 yy 1.1. Ω ¾ ¾Sea Seaℑ ⊂ 2 colección colección de de eventos eventos razonables razonables de Ω (σ-álgebra) de Ω (σ-álgebra) P : ℑ → [0;1] Modelo de Probabilidad = (Ω, ℑ, P ) ¾ ¾Noción Noción intuitiva intuitiva (regla (regla de de Laplace): Laplace): P ( A) = Resultados favorables al evento A Resultados posibles ¾ ¾Noción Noción frecuentista: frecuentista: ¾ Sea ¾ Sea N : N ° total de veces que se realiza un experiment o N A : N ° total de veces que ocurre A P ( A) = lim N → ∞ Profesores: H. Allende R. Salas 13 NA N 14 Profesores: H. Allende R. Salas Ejemplo Dado Cálculo de Probabilidades (Eventos Equiprobables) Equiprobables) ¾ ¾¿Cuál ¿Cuál es es la la probabilidad probabilidad de de que que al al lanzar lanzar un un dado se tenga par? dado se tenga par? ¾¾ Observación Observación -En -Enmuchas muchasocasiones ocasionesnos nospreocupamos preocupamosde deelegir elegirde demanera manera aleatoria aleatoriauno unooomás másobjetos objetosdesde desdeuna unacolección colecciónde deobjetos objetos -El -Elespacio espaciomuestral muestrales es Ω={1, Ω={1,2, 2,3, 3,4, 4,5}. 5}.Vamos Vamosaallamar llamarA, A, alalsuceso sucesoconsistente consistenteen enque queel elresultado resultadoes esimpar, impar, A={1,3,5}. A={1,3,5}.Como Comono nosuponemos suponemosque queninguna ningunade delas lascaras caras ofrece ofreceuna unaprobabilidad probabilidadde deocurrencia ocurrenciadiferente diferenteaalas las demás, demás,podemos podemosaplicar aplicarlalaregla reglade deLaplace Laplacepara paraobtener obtener que que ¾¾ Sea Sea NNelelnúmero númerode deobjetos. objetos. -Elegir 1 objeto al -Elegir 1 objeto alazar, azar,significa significa que quecada cadaobjeto objetotiene tienelala misma 1/NN mismaprobabilidad probabilidadde deser serelegido. elegido.P(elegir P(elegiraai ))==1/ i -Elegir -Elegir22objetos objetosalalazar azarsignifica significaque quecada cadapar parde deobjetos objetostiene tiene lalamisma mismaprobabilidad probabilidadde deser serselecionado. selecionado.Supongamos Supongamosque que existen existenKKde detales talespares, pares,entonces entonceslalaprobabilidad probabilidadde deelegir elegir un unpar parcualesquieres cualesquiereses es1/ 1/K. K. número de casos favorables a A número de casos posibles 3 1 = = 6 2 P[ A] = Profesores: H. Allende R. Salas -Elegir -Elegirrrobjetos objetosaleatoriamente, aleatoriamente,rr<<N, N,signifiva signifivaque quecada cada r-tupla r-tuplade deobjetos objetostiene tienelalamisma mismaprobabilidad probabilidadde deser ser seleccionada seleccionadaque quecualquier cualquierotra otrar-tupla. r-tupla. 15 Profesores: H. Allende R. Salas Probabilidad Axiomá Axiomática ¾ ¾Axioma Axioma 1: 1: P ( A) ≥ 0 ¾ ¾Axioma Axioma 2: 2: P (Ω ) = 1 Propiedades ¾ ¾Axioma Axioma 3:3:- Suponiendo que {A i } , i ∈ I sea mutuamente excluyente se verifica que , P ( ∪ A ) = ∑ P( A ) i i Profesores: H. Allende R. Salas 16 17 1.1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. P(φ) P(φ) == 00 P(A) P(A) ≤≤ 11 C P(A P(AC)) == 11 -- P(A) P(A) Si Si A A ⊂⊂ BB ⇒ ⇒ P(A) P(A) ≤≤ P(B) P(B) P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∪B) = P(A) + P(B) -- P(A∩B) P(A∩B) P(∪Ai) ≤ Σ P(Ai) P(∪Ai) ≤ Σ P(Ai) Si Si A A ⊆⊆ BB ⇒ ⇒ P(B-A) P(B-A) == P(B) P(B) -- P(A∩B) P(A∩B) Profesores: H. Allende R. Salas 18 Espacio Muestral Finito Probabilidad Condicional ¾ ¾Sea Sea S = { s1 , s 2 ,..., s N } E i = {si } ¾ ¾Sean Sean A, A, BB dos dos sucesos sucesos tal tal que que P(B) P(B) >> 0. 0. ¾ La probabilidad de A condicionada a la ¾ La probabilidad de A condicionada a la ocurrencia ocurrencia de de B, B, denotada denotada como como P(A|B) P(A|B) :: Espacio Muestral Finito i = 1,.., N Evento Elemental N ∴ Υ Ei = S Mutuamente excluyente s de a pares i P( A | B) = ¾ ¾Aplicando Aplicando los los axiomas axiomas se se tiene tiene P ( Ei ) = f i > 0 N P (Υ Ei ) = 1 ¾ ¾Propiedades: Propiedades: i = 1,2 ,3 ,...,N → i Como E i Ι E j = 0 ∑ ¾ ¾1.1. P(A|B) P(A|B) ≥≥ 00 ¾ 2. P(Ω ¾ 2. P(Ω |B) |B) == 11 ¾ 3. P(∪Ai|B) ¾ 3. P(∪Ai|B) == ΣΣ P(Ai|B) P(Ai|B) con con Ai∩Aj Ai∩Aj == ∅ ∅ ,∀ ,∀ i,i, jj :: ii ≠j ≠j fi = 1 ∀i ≠ j → P ( Ei Ι E j ) = P ( Ei ) + P ( E j ) 19 Profesores: H. Allende R. Salas Probabilidad Condicional Centra el foco de atención en el hecho que se sabe que han ocurrido el evento B A B 20 Profesores: H. Allende R. Salas Probabilidad Condicional Ω P( A Ι B) P(B) Estamos indicando que el espacio muestral de interés se ha “reducido” sólo a aquellos resultados que definen la ocurrencia del evento B Entonces, P(A | B) “mide” la probabilidad relativa de A con respecto al espacio reducido B También se ha encontrado que el 5% de la piezas que no tienen fallas superficiales son funcionalmente defectuosas Por lo tanto el 90% no tienen fallas visibles en la superficie. Se ha encontrado que el 25% de las piezas con fallas superficiales son funcionalmente defectuosas Se sabe que el 10% de las piezas manufacturadas tienen fallas visibles en la superficie. 100% piezas Manufacturadas Evento A = { pieza funcionalmente defectuosa} B = { pieza tiene una falla visible en la superficie} P( A dado B) = P(A | B) ? 21 Profesores: H. Allende R. Salas Casos Probabilidad Condicional Si A ∩ B = ∅ Æ P(A | B) = A B A B Si A ∩ B = A Æ P(A | B) = Probabilidad Total P(∅) P(A ∩ B ) = =0 P(B) P(B) P(A ∩ B ) P(A) = ≥ P(A) P(B) P(B) ¾ ¾Sean Sean BB11,, BB22,....,B ,....,Bnn eventos eventos mutuamente mutuamente excluyentes : excluyentes : n P (Υ B i ) = 1 i =1 Entonces Entonces P ( A) = n ∑ P( A | B )P(B ) i =1 A Si A ∩ B = B Æ P(A | B) = B Si A ∩ B ≠ ∅ Æ P(A | B) = A B Profesores: H. Allende R. Salas 22 Profesores: H. Allende R. Salas P(B) P(A ∩ B ) = =1 P(B) P(B) 23 i ¾ ¾Consecuencia Consecuencia (Regla (Regla de de Bayes): Bayes): P ( Bi | A ) = P(A ∩ B ) = P(B) i P ( A | Bi ) P ( Bi ) P ( A) Profesores: H. Allende R. Salas 24 Probabilidad Total B1 A Equipo Fallado B2 Regla de Bayes B5 A∩B1 A∩B2 A∩B4 A∩B3 B4 Equipo Manufacturado en Planta B2 B3 n Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente excluyentes P ( Υ Bi ) = 1 i =1 Entonces P ( A) = ∑ P( A | B )P(B ) i =1 i i i i Bi Ι B j = φ ; j n −1 i =1 i =1 ¾¾ El ElNúmero Númerode demaneras maneras diferentes diferentesde deelegir elegiroosacar sacarun un elemento de del elemento de delconjunto conjunto11que que tiene elementos,luego luegoun un tienenn11elementos, elemento elementode deun unconjunto conjunto22que que tiene elementos,......,,yy tienenn22elementos, finalmete un elemto del k-ésimo finalmete un elemto del k-ésimo conjunto elemetos, conjuntoque quetiene tienennkkelemetos, en endonde dondeel elorden ordencomo comose se selecciona seleccionaes esimportante importante P ( Ι Ai ) = P ( Ai ) P ( A2 | A1 )..... P ( An | Ι Ai ) n P (Ι Ai ) > 0 i =1 Profesores: H. Allende R. Salas 26 Profesores: H. Allende R. Salas Regla de la Multiplicació Multiplicación ¾ ¾Ley Ley Multiplicativa: Multiplicativa: n i≠ j Υ Bj = S j Probabilidad Multiplicativa n1 27 n2 n2 n2 nk nn1**nn2**......* 1 2 ......* nk Ejemplo 1 Profesores: H. Allende R. Salas 28 Solució Solución 1) 1) Sean Sean A,B A,B sucesos sucesos de de un un mismo mismo modelo modelo de de probabilidad (Ω, ℜ, P) tales que: probabilidad (Ω, ℜ, P) tales que: P(B)=0,4 P(B)=0,4 i 25 Profesores: H. Allende R. Salas siempre siempre que: que: ¾ ¾Se Se pide pide P(B P(B33|A); |A); pero pero sólo sólo se se conoce conoce P(A ∩ B ), i = 1, 2, 3, .. , k P(A ∩ Bi i), i = 1, 2, 3, .. , k ¾ ¾ Sabemos Sabemos que que P(A P(A ∩ ∩ BBi)) == P( P( AA || BBi )) P(B P(Bi)) == P(B P(Bi || A) A) P(A) P(A) P ( A | Bi ) P ( Bi ) P ( Bi | A ) = ∑ P ( A | B j )P ( B j ) n i ¾ ¾Supongamos Supongamos de de que que se se elige elige aleatoriamente aleatoriamente un Equipo y se encuentra un Equipo y se encuentra que que está está fallado. fallado. ¿cuál es la probabilidad que sea ¿cuál es la probabilidad que sea manufacturado manufacturado en en Planta Planta BB33 ?? P(A∪B)=0,7 P(A∪B)=0,7 P(A|B)=0,75 P(A|B)=0,75 P(AC) = 1 - P(A) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) P(A∩B) = P(A/B) P(B) = 0,75 * 0,4 = 0,3 P(A) = 0,7 - 0,4 + 0,3 = 0,6 P(AC) = 0,4 P(A-B) = P(A∩BC) = P(A) - P(A∩B) = 0,6 - 0,3 = 0,3 Determinar: Determinar: P(AC∪BC) = P(AC) + P(BC) - P(AC∩BC) P(AC∩BC) = P(BC) - P(A∩BC) = 0,6 - 0,3 = 0,3 Luego P(AC∪BC) = 0,4 + 0,6 - 0,3 = 0,7 C C C C P(A P(AC)) ;; P(A-B) P(A-B) ;; P(A P(AC∪B ∪BC)) ;; P(A|B P(A|BC)) Profesores: H. Allende R. Salas P(A/BC) = P(A∩BC) = 0,3 = 0,5 P(BC) 0,4 29 Profesores: H. Allende R. Salas 30 Ejemplo 2 Solució Solución ¾ ¾ Un Un procesador procesador para para computadores computadores puede puede provenir provenir de de cualquiera cualquiera de de tres tres fabricantes fabricantes con con probabilidades: probabilidades: pp11 == 0,25; 0,25; pp22 == 0,50; 0,50; pp33 == 0,25. 0,25. ¾ Las probabilidades de que un procesador ¾ Las probabilidades de que un procesador funcione funcione correctamente correctamente durante durante 10.000 10.000 horas horas es es 0,1; 0,1; 0,2 0,2 yy 0,4 0,4 respectivamente respectivamente para para los los 33 fabricantes: fabricantes: ¾ ¾i)i) Calcular Calcular la la probabilidad probabilidad de de que que un un procesador procesador elegido elegido al al azar azar funcione funcione durante durante 10.000 10.000 horas. horas. ¾ ii) Si el procesador funcionó correctamente ¾ ii) Si el procesador funcionó correctamente durante durante el el período período de de 10.000 10.000 horas horas ¿cuál ¿cuál es es la la probabilidad de que haya provenido del 3er probabilidad de que haya provenido del 3er fabricante? fabricante? Profesores: H. Allende R. Salas ¾ ¾ P (C ) = P (C | F3 ) P ( F3 ) P (C ) 0.4 * 0.25 = = 0.444 0.225 ¾ ¾ P ( F3 | C ) = ¾¾ Independencia Independenciaprobabilística probabilísticaConjunta Conjunta⇒ ⇒Independencia Independencia de deaapares pares 2. 2.Independencia Independenciaprobabilística probabilísticade deaapares pares⇒ ⇒Independencia Independencia probabilística probabilísticaConjunta Conjunta 3. Si A, B son eventos independientes 3. Si A, B son eventos independientesprobabilísticamente. probabilísticamente. Entonces Entoncesse setiene tiene P ( A | B ) = P ( A) P ( B | A) = P ( B ) φ ⊂ J ⊆ I = {1,2,3,..., k} Ω 4. 4. Sea Sea(Ω, (Ω,22Ω,,P) P)modelo modelode deprobabilidad. probabilidad. 33 34 Profesores: H. Allende R. Salas Ejemplo 3.4 : Independencia Probabilí Probabilística Independencia Probabilí Probabilística Ejemplo Ejemplo 3: 3: Ω Sea (Ω, 2 Sea (Ω, 2Ω,, P) P) modelo modelo de de probabilidad. probabilidad. Ω = { (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) Ω = { (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1) (1,1,1) }} P({w = 1/4 ∀∀ ii == 1, P({wi}) 1, 44 i}) = 1/4 ΩΩ, P) : Sean A , A , A eventos de (Ω, 2 Sean A11, A22, A33 eventos de (Ω, 2 , P) : era A A11:: 11era coord. coord. es es 11 da A A22:: 22da coord. coord. es es 11 era A A33:: 33era coord. coord. es es 11 Estudiar independencia Estudiar independencia conjunta conjunta yy de de aa pares. pares. Profesores: H. Allende R. Salas C ¾¾ A, A,BBC son sonindependientes. independientes. ¾¾ AACC, ,BBCC son sonindependientes independientes C ¾¾ AAC, ,BB son sonindependientes independientes Estudiar Estudiarindependencia independenciaconjunta conjuntayyde deaapares pares. . j∈J Profesores: H. Allende R. Salas 32 Profesores: H. Allende R. Salas Observaciones ¾ ¾ Sean Sean {A {Ai:i: ii ∈∈ II == {1,2,3,......,k}} {1,2,3,......,k}} una una colección colección de de eventos eventos de de (Ω, (Ω, ℑ, ℑ, P). P). Se Se dice dice que que los los elementos elementos son son conjuntamente conjuntamente independientes independientes ssi: ssi: j∈J i = 0.1* 0.25 + 0.2 * 0.5 + 0.4 * 0.25 = 0.225 31 ¾ ¾ Sean Sean A, A, BB dos dos eventos eventos del del modelo modelo probabilístico probabilístico (Ω, ℑ, P). A, B se dicen probabilísticamente (Ω, ℑ, P). A, B se dicen probabilísticamente independientes independientes ssi: ssi: P ( Ι A j ) = ∏ P ( Ai ) i i =1 Independencia Probabilí Probabilística P ( A Ι B ) = P ( A) P ( B ) ⇒ 3 ∑ P(C | F ) P( F ) 35 1 2 B A 3 4 Probabilidad de cerrar los relés 1,2,3 y 4 es “p”. Si todos los relés funcionan independientemente , ¿cuál es la probabilidad que pase corriente de A a B P( E ) = P[( R1 Ι R2 ) Υ ( R3 Ι R4 )]; P( E ) = P[ R1 Ι R2 ] + P[ R3 Ι R4 ] − P[Ι Ri ] = 2 p 2 − p 4 2 1 5 B A 3 4 Profesores: H. Allende R. Salas 36 Construcció Construcción Modelos de Probabilidad ¾ ¾Sea Sea µµ una una medida medida en en el el Espacio Espacio Muestral Muestral tal que µ (Ω) < ∞ : Longitud tal que µ (Ω) < ∞ : Longitud ;; Superficie Superficie Volumen. Volumen. etc. etc. Ejemplo 3.5: ¾ ¾Problema Problema del del encuentro: encuentro: Dos Dosestudiantes estudiantesacuerdan acuerdan[9; [9;10] 10]encontrarse encontrarseen enlala biblioteca bibliotecade delalaUTFSM UTFSM entre entrelas las99A.M. A.M. yylas las10 10A.M. A.M.un un día díalunes. lunes.El Elprimero primeroque quellega llegaaalalabiblioteca biblioteca,,espera esperaalalotro otro 10 10minutos minutos(dentro (dentrodel delintervalo intervalode detiempo tiempopactado). pactado).Si Sise se supone suponeque quecada cadauno unollega llegaalalazar azaren enel elintervalo intervalode detiempo tiempo convenido convenidoyyque quelos lostiempos tiemposde dellegada llegadason sonindependientes. independientes. ¿¿Cuál Cuáles eslalaprobabilidad probabilidadque queestos estosestudiantes estudiantesse se encuentren encuentren?? ¾¾ Solución: Solución: X(t) X(t)::Llegada Llegadadel delestudiante estudiante11 Y(t) Y(t)::Llegada Llegada del delestudiante estudiante22 [X(t);Y(t)] ∈ [9; 10]x [X(t);Y(t)] ∈ [9; 10]x[9; [9;10]= 10]=[0; [0;60]X 60]X[0; [0;60]=Ω 60]=Ω A={[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10} A={[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10} P(A)= P(A)=µ(Α)/µ(Ω)= µ(Α)/µ(Ω)=11/ 11/36 36 ¾ ¾Entonces Entonces existe existe un un función función definida definida en en IR IR P:ℜ →ℜ µ ( A) P( A) = µ (Ω) es es una una medida medida de de Probabilidad Probabilidad 37 Profesores: H. Allende R. Salas Profesores: H. Allende R. Salas Ejemplo 3.5: 38 Variaciones Problema Problemadel delencuentro: encuentro: Dos Dosestudiantes estudiantesacuerd acuerd[9; [9;10] 10]an anencontrarse encontrarseen enlala biblioteca bibliotecade delalaUTFSM UTFSM entre entrelas las99A.M. A.M. yylas las10 10A.M. A.M.un un día díalunes. lunes.El Elprimero primeroque quellega llegaaalalabiblioteca biblioteca,,espera esperaalalotro otro 10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado). Si se 10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado). Si se supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo convenido convenidoyyque quelos lostiempos tiemposde dellegada llegadason sonindependientes. independientes. ¿¿Cuál es la probabilidad que estos estudiantes Cuál es la probabilidad que estos estudiantesse se encuentren encuentren?? Solución: Solución: X(t) X(t)::Llegada Llegadadel delestudiante estudiante11 Y(t) Y(t)::Llegada Llegada del delestudiante estudiante22 [X(t);Y(t)] [X(t);Y(t)]∈∈[9; [9;10]x 10]x[9; [9;10]= 10]=[0; [0;60]X 60]X[0; [0;60]=Ω 60]=Ω A={[X(t);Y(t)] A={[X(t);Y(t)]:: |X(t);Y(t)|< |X(t);Y(t)|<10} 10} P(A)= P(A)=µ(Α)/µ(Ω)= µ(Α)/µ(Ω)=11/ 11/36 36 ¾¾ Def: Def:Sea SeaAAun unconjunto conjunto:: Card( A) = n,, se sellama llamavariación variación simple simpleoosin sinrepetición repeticiónaatodo todosubconjunto subconjuntode dennelementos elementos distinguiéndose estos entre si, en los elementos que distinguiéndose estos entre si, en los elementos quelo lo componen componenyyen enel elorden ordenen enque queestos estoselementos elementosvan vancolocados colocados A = {x1 , x2 ,..., xn } V (n,2) = n(n −1) V (n,3) = n(n −1)(n − 2) ..... V (n, k ) = n(n −1)(n − 2).....(n − k + 1) ¾¾ Obs: Obs:Si Silas lasvariaciones variacionesson soncon conrepetición repetición V 1 (n, k ) = nk 39 Profesores: H. Allende R. Salas Profesores: H. Allende R. Salas Permutac Permutacione iones Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n Æ CUANDO EL ORDEN IMPORTA : Nota: Estudiar permutaciones con repetición 40 Combinac Combinacione iones ¾ ¾Combinaciones Combinaciones (sin (sin repetición): repetición): n! P = (n − r )! n r ¾ ¾Número Número de de maneras maneras distintas distintas de de sacar sacar rr elementos de elementos de lote lote de de nn Æ CUANDO EL ORDEN Æ CUANDO EL ORDEN NO NO IMPORTA IMPORTA n objetos C(n, r ) = n! r!(n − r )! ¾ ¾Nota Nota :: ----1 2 Profesores: H. Allende R. Salas 3 4 r 41 ¾ ¾Estudiar Estudiar combinaciones combinaciones con con repetición repetición CC11(n,r)= (n,r)= (n+r-1)!/ (n+r-1)!/ r!(n-1)! r!(n-1)! Profesores: H. Allende R. Salas 42 Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Informática ILI-280 Fin -- Capí Capítulo 5: Modelos de Probabilidades ¿Preguntas? Profesores: Héctor Allende ([email protected]) Rodrigo Salas ([email protected]) Página: www.inf.utfsm.cl/~rsalas