Tarea 5 - WordPress.com

Tarea 5 de Álgebra Lineal I
1. Diga si las siguientes funciones h−, −i : V × V −→ R
son productos escalares y también diga si son positivos definidos o no.
(a) hA, Bi = tr(A + B) (donde V = Mm×m (R))
R1
(b) hp, qi = 0 p0 (x)q(x)dx (donde V = R[x] y p0 (x) denota la derivada de p(x))
R1
(c) hf, gi = 02 f (x)g(x)dx (donde V = {f : [0, 1] −→ R | f es continua})
2. Sea V un R-e.v con producto escalar positivo definido. Sea S = {v1 , v2 , . . . , vn } un conjunto
de vectores no cero con hvi , vj i = 0 para i 6= j. Demuestra que S es linealmente independiente.
3. Sea V = R4 y definamos h−, −i : V × V −→ R por h(x1 , y1 , z1 , t1 ), (x2 , y2 , z2 , t2 )i = x1 y1 +
y1 y2 + z1 z2 − t1 t2 . Demuestra que h−, −i es un producto escalar en R4 .
4. Sea V un R-e.v con producto escalar positivo definido. Demuestra la ley del paralelogramo:
Sean v, w ∈ V , entonces se cumple que
kv + wk2 + kv − wk2 = 2kvk2 + 2kwk2 .
Explica en un dibujo por que se llama la ley del paralelogramo.
5. Sea V = C3 y h−, −i el producto hermitiano estandar en C3 . Sean x = (2, 1 + i, i), y =
(2 − i, 2, 1 + 2i), calcula hx, yi, kxk, kyk y kx + yk y verifica que se cumplen la desigualdad
de Cauchy-Schwarz y la desigualdad del triángulo.
6. Sea V un R-e.v con producto escalar positivo definido. Sea T : V −→ V transformación lineal.
Demuestra que si kT (v)k = kvk para todo v ∈ V , entonces T es inyectiva.
7. En cada uno de los siguientes incisos aplicar el proceso de Gram-Schmidt al espacio generado
por S del espacio vectorial V con producto escalar (o hermitiano). Luego encontrar una
base ortonormal β para V y verificar que los coeficientes de Fourier para el vector v dado,
relativa a la base β, nos dan el vector de coordenadas de v respecto a la base β. Es decir, si
β = {v1 , . . . , vn }, entonces [v]β = (Fourierv1 (v), Fourierv2 (v), . . . , Fouriervn (v)).
(a) V = R3 , S = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 3, 3)} y v = (1, 1, 2) (h−, −i = producto punto)
(b) V = R3 , S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} y v = (1, 0, 1) (h−, −i = producto punto)
R1
(c) V = P2 (R) con producto escalar definido por hf, gi = 0 f (x)g(x)dx. S = {1, x, x2 } y
v = f (x) = 1 + x.
(d) V = C3 , S = {(1, i, 0), (1−i, 2, 4i)} y v = (i, 2+3i, 1) (h−, −i = producto hermtiano estandar)
1 i
8. Sea A =
. Definamos h−, −i : C2 −→ C definido por hx, yi = xAy ∗ , donde
−i 2
y ∗ denota el conjugado de y visto como columna. Demuestra que h−, −i es un producto
hermitiano definido positivo.
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Álgebra Lineal I
Prof: Valente Santiago Vargas.
Ayudante curso de 9:00-10:00 horas: Mindy Yaneli Huerta
Ayudante curso de 15:00-16:00 horas: Miguel Angel Guadarrama
Tarea 5 de Álgebra Lineal I
9. Sea W un subespacio de Rn y β = {w1 , w2 , . . . , wr } P
una base ortonormal de W respecto al
n
producto escalar hx, yi = x · y. Si x ∈ R sea P (x) = ri=1 hx, wi iwi ∈ W .
(a) Demuestra que P : Rn −→ W es una transformación lineal.
(b) Demuestra que P 2 = P .
(c) Demuestra que Im(P ) = W y que Ker(P ) = W ⊥ y concluya que Rn = W ⊕ W ⊥ .
(d) Sea x ∈ Rn demuestra que (x − P (x)) ⊥ W .
(e) Sea x ∈ Rn y w ∈ W , demuestra que kx − wk ≥ kx − P (x)k (de esta forma tenemos
que P (x) es el vector de W más cercano a x). Sugerencia: Usa que P (x) − w ∈ W y el
teorema de Pitágoras.
10. Sea V un R-e.v con producto escalar positivo definido h−, −i. Demuestra que kxk − kyk ≤
kx − yk y que kxk − kyk ≤ kx + yk.
11. Dé una base ortonormal para e subespacio de V generado por los vectores
(a) (1, 1, 0, 0), (1, −1, 1, 1), (−1, 0, 2, 1) (V = R4 con h−, −i el producto punto)
(b) (1, −1, −i), (i, 1, 2) ( V = C3 con h−, −i el producto hermitiano)
(c) (1, i, 0), (1, 1, 1) ( V = C3 con h−, −i el producto hermitiano)
12. ¿ Cuál es la dimensión del subespacio de R6 que es perpendicular a los vectores (1, 1, −2, 3, 4, 5),
(0, 0, 1, 1, 0, 7), (3, 3, −3, 12, 12, 36) ?
13. Definimos una función h−, −i : Mm×m (R) × Mm×m (R) −→ R como hA, Bi = tr(AB).
(a) Demuestra que h−, −i es un producto escalar no degenerado.
(b) Si A es una matriz simétrica , demostrar que tr(A2 ) ≥ 0 y que tr(A2 ) = 0 si y sólo
si A = 0. Concluye que si W = Sim(m × m), entonces h−, −i : W × W −→ R es un
producto escalar no degenerado y positivo en W .
(c) Considera el subespacio Z = {A ∈ W | tr(A) = 0} de W . ¿ Cuál es la dimensión de
Z ⊥ := {B ∈ W | hB, Ai = 0 ∀A ∈ Z} ⊆ W ?
14. Sea M ∈ Sim(n × n), definimos una función h−, −i : Rn × Rn −→ R como hX, Y i = X t M Y
(donde X, Y son considerados como vectores columnas y X t M Y es considerado como un
número real y no una matriz de 1 × 1). Demuestra que h−, −i es un producto escalar y dá un
ejemplo en el caso n = 2 donde el producto escalar no sea positivo definido.
15. Consideremos la base β = {( √12 , √12 ), ( √12 , − √12 )} de R2 . Usando coeficientes de Fourier (no
la matriz de cambio de base) dá las coordenadas de (3, 4) respecto a la base β.
16. Sea V un R-e.v con producto escalar positivo definido h−, −i. Sea B = {v1 , v2 , . . . , vm } un
subconjunto de V de norma 1 y tal que hvi , vj i = 0 para todo i 6= j. Supongamos que para
todo v ∈ V se tiene que
m
X
2
kvk =
hv, vi i2 .
i=1
Demuestra que B es una base de V .
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17. Sea V un K-e.v con producto escalar h−, −i. Demuestra que si hv, vi = 0 para todo v ∈ V ,
entonces hv, wi = 0 para todo v, w ∈ V . Sugerencia: prueba que hv, wi = 21 (hv + w, v + wi −
hv, vi − hw, wi).
18. Sea V = {f : [0, 1] −→ R | f es continua} y W el subespacio de V generado porRlas funciones
1
1, t, t2 . Dé una base ortonormal de W con respecto al producto escalar hf, gi = 0 f (t)g(t)dt.
19. Sea V = Mm×m (C) y definamos la siguiente función h−, −i : V × V −→ C como hA, Bi =
tr(AB ∗ ) donde B ∗ = (bji ) si B = (bij ), es decir, B ∗ tiene como entradas las conjugadas de la
matriz B t . Demuestra que h−, −i es un producto hermitiano positivo definido.
20. RSea V = {f : [−π, π] −→ C | f es continua}, definimos h−, −i : V × V −→ C por
π
−π f (t)g(t)dt. Demuestra que h−, −i es un producto hermitiano positivo definido. Para i ∈ Z
considera fk (t) = eikt , demuestra que si m 6= k, entonces fk es perpendicular a fm y calcula
la norma de fk para cada k ∈ Z.
21. Sea V un C-e.v con producto hermitiano positivo definido h−, −i. Demuestra que
4
1 X k
hv, wi = (
i kv + ik wk2 )
4
donde i =
√
−1.
k=i
22. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita donde K = R o C. Sea β = {v1 , v2 , . . . , vn }
base P
de V . Sabemos que
tal que
Pn para cada v, w ∈ V existen únicos escalares ai , bi ∈ K P
n
n
b
v
.
Definimos
h−,
−i
:
V
×
V
−→
K
como
hv,
iw
=
a
v
y
w
=
v =
i ai bi .
i i i
i i i
Demuestra que si K = R entonces h−, −i es un producto escalar sobre V y si K = C entonces
h−, −i es un producto hermitiano sobre V . De esta forma a cualquier espacio vectorial de
dimensión finita sobre los reales o complejos tiene un producto escalar.
23. Sea V = C3 y S = {(1, 0, i), (1, 2, 1)}. Calcular S ⊥ (respecto al producto hermitiano estandar
en C3 ).
24. Sea V = C3 , W = h(i, 0, 1)i. Encontrar una base ortonormal para W y W ⊥ (respecto al
producto hermitiano estandar en C3 ).
25. Sea V un K-espacio vectorial con producto escalar h−, −i. Sean W1 y W2 subespacios vectoriales de V . Demostrar que (W1 + W2 )⊥ = W1⊥ ∩ W2⊥ y que (W1 ∩ W2 )⊥ = W1⊥ + W2⊥ .
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