fase provincial

Problema 1.- ¡Ha nacido el €uro!:
Hay una campaña publicitaria en todas las ciudades para
ayudarnos a hacer los cálculos de conversión de pesetas a
euros, en la que se nos indica:
6 euros = 1000 pesetas
Utiliza esta aproximación para completar las equivalencias
siguientes :
18
euros = ........... ptas
250
ptas = ............ euros
5,40 euros = ........... ptas
600
ptas = ............ euros
2,40 euros = ........... ptas
5000 ptas = ............ euros
SOLUCIÓN.18 € · 1000 ptas / 6 € = 3 • 1000 ptas = 3000 ptas
5,4 € · 1000 ptas / 6 € = 5400 / 6 ptas = 900 ptas
2,4 € · 1000 ptas / 6 € = 0.4 • 1000 ptas = 400 ptas
250 ptas · 6 € / 1000 ptas = 6 € / 4 = 1,5 €
600 ptas · 6 € / 1000 ptas = 3600 € / 1000 = 3,6 €
5000 ptas · 6 € / 1000 ptas = 30000 € / 1000 = 30 €
Pr obl em a 2.- Casualidades de la vida: Un motorista observa
que cuando va a iniciar su viaje, su cuentakilómetros marca:
13931. Marcha a una velocidad constante y dos horas después,
cuando para a repostar en una gasolinera, observa su
cuentakilómetros y ... ¡Casualidades de la vida!: se ha detenido en el próximo número capicúa.
¿A qué velocidad circula?
SOLUCIÓN.El siguiente número capicúa es el 14041, por lo tanto ha recorrido
110 km. Como ha tardado 2 horas en hacer este recorrido, la
velocidad a la que ha circulado será:
110 / 2 = 55 km/h
Problema 3.- ¡Qué bonito es el amor...!: El mosquito Pepito
se encuentra en la esquina A de una nave industrial que mide
24 metros de largo, 12 de ancho y 3 de alto, cuando divisa en el
vértice opuesto B a Melinda, su mosquita preferida, ¿qué
distancia habrá de volar Pepito para encontrarse con su amada
Melinda?
SOLUCIÓN.Evidentemente, la distancia más corta está en el segmento que une
A con B. Calculamos primero la diagonal de la base de la nave,
usando el Teorema de Pitágoras:
d2 = 122 + 242 = 720
Aplicamos ahora de nuevo el Teorema de Pitágoras para calcular
AB:
AB2 = d 2 + 3 2 = 720 + 9 = 729
Por lo tanto la distancia de A a B será la raíz cuadrada de 729:
AB = 27 m
Problema 4.- Los tres amigos: Bernardo, Carmen y Antonio son
tres buenos amigos cuyas edades desconocemos. Sin
embargo, se sabe que exactamente una de las siguientes
frases es falsa:
1. Antonio es mayor que Bernardo.
2. Carmen es más joven que Bernardo.
3. La suma de las edades de Bernardo y Carmen es el doble
de la edad de Antonio.
4. Carmen es mayor que Antonio.
¿Quién es el más joven de los tres?
SOLUCIÓN.Como sabemos que una, y sólo una, de las frases es falsa, vamos a
ir viendo qué ocurre al suponer que lo es cada una de ellas:
- Si es falsa la primera será A <= B . Sumando C a los dos
miembros resulta:
A + C <= B+C = 2 A y de aquí, C <= A , imposible por 4.
- Si es falsa la segunda será C >= B y sumando C a los dos
miembros resulta:
2 C >= B + C = 2 A , de donde, C >= A , lo cual es perfectamente
posible siendo
C>A>B
Entonces el más joven es Bernardo. Pero hay que seguir
comprobando hipótesis:
- Si fuera falsa la tercera frase serían ciertas las demás, o sea,
A > B y B > C , luego A > C , que contradice a la 4.
- Si la cuarta es falsa sería C <= A y sumando B a los dos
miembros resulta:
C + B <= A + B de donde 2 A <= A + B o sea, A <= B , en contra
de la primera.
1
€ ~ ........ s.
Problema 5.- El próximo..., un bajo:
Una muchacha muy ajetreada que vive en el ático de un
edificio, sube las escaleras de dos en dos escalones y los baja
de tres en tres, con los que en total da cien saltos, ¿cuántos
escalones tiene la escalera?
SOLUCIÓN.Supongamos que al subir da x saltos, entonces la escalera tendrá
2x escalones. Pero, como en total da 100 saltos, bajando dará:
100 – x saltos y la escalera tiene entonces 3 · (100-x) escalones.
Luego:
2x = 3 · (100 – x) ó 2x = 300 – 3x ó 5x = 300 ó x=60
Entonces la escalera tiene 60 · 2 = 120 o bien 40 · 3 = 120
escalones.
Problema 6.- Bonito trapecio: Determinar el área de un trapecio
isósceles cuyas bases miden 12 y 20 cm y cuyas diagonales
son perpendiculares.
SOLUCIÓN.Hay una solución rápida si nos damos cuenta de que los triángulos
AEB y EFB son rectángulos e isósceles (basta ver que sus ángulos
agudos son todos de 45 grados). Entonces EF = FB y lo mismo en
la base mayor. Por tanto la altura mide 6 + 10 = 16 cm.
Entonces, el área del trapecio será:
Área = ½ (12 + 20) · 16 = 16 · 16 = 256 cm2
Si no se observa este detalle podemos aplicar dos veces el
Teorema de Pitágoras, primero en el triángulo isósceles AEB, para
calcular EB=EA:
EB2 + EA2 = 144 ó EB2 = 72
Y después al triángulo EFB para calcular EF:
EB2 = EF2 + FB2 ó EF2 = 72 – 36 = 36 ó EF = 6
Análogamente se calcula EG = 10 y ya se tiene la altura del
trapecio.