números - colegio, Dario Salas

COLEGIO TÉCNICO PROFESIONAL
DARÍO SALAS
CHILLÁN
Cuadernillo de Aprendizaje en Matemática para logros
en PSU, Educación Superior y/o Ramas Uniformadas
Contenidos, Ejercicios Resueltos y Problemas
Propuestos
Colaboradores
Director CDS-Técnico Profesional: Don Jorge Molina
Autores
Profesores de Matemática CDS-Técnico Profesional
CHILLÁN
1
ÍNDICE
CONTENIDOS
PÁGINAS
Portada…………………………………………………………………………………………………………………… 1
Índice……………………………………………………………………………………………………………………... 2
Introducción……………………………………………………………………………………………………………. 3
𝟏𝐞𝐫 Capítulo: Números
1) Número Naturales y Cardinales……………………………………………………………………… 4
2) Números Enteros....………………………………………………………………………………………... 4
3) Números Primos, Compuestos y Descomposición en Factores…………………………. 4-5
4) Ejercicios Resueltos de Números Naturales, Números Enteros y Valor Absoluto……... 5
5) Ejercicios Propuestos de Números Naturales, Números Enteros y Valor Absoluto…….. 6-7
6) Números Racionales………………………………………………………………………………………. 7-9
7) Ejercicios Resueltos de Números Racionales…………………………………………………… 9
8) Ejercicios Propuestos de Números Racionales………………………………………………… 10-11
9) Potencias en ℚ ………………………………………………………………………………………………………... 11
10) Ejercicios Resueltos de Potencias en ℚ ……………………………………………………………………. 12
11) Ejercicios Propuestos de Potencias en ℚ …………………………………………………………………. 13-14
𝐝𝐨
𝟐 Capítulo: Álgebra
12) Valoración de Expresiones Algebraica …………………………………………………………………….
14
13) Ejercicios Resueltos de Valoración de Expresiones Algebraica …………………………………
14
14) Ejercicios Propuestos de Valoración de expresiones Algebraicas ……………………………..
15
15) Ecuaciones de Primer Grado …………………………………………………………………………………..
15
16) Ejercicios Resueltos de Ecuaciones de Primer Grado ………………………………………………. 16-17
17) Ejercicios Propuestos de Ecuaciones de Primer Grado …………………………………………….. 17-18
18) Términos Semejantes……………………………………………………………………………………………… 18-19
19) Operatoria Algebraica ……………………………………………………………………………………….........
19
20) Productos Notables ………………………………………………………………………………………………...
19
21) Ejercicios Resueltos Términos Semejantes, Operatoria y Productos notables……………..
20
22) Ejercicios Propuestos términos Semejantes, Operatoria y Productos Notables…………... 21-22
2
INTRODUCCIÓN
La matemática es una de las ciencias más esquivas por parte de los alumnos desde la enseñanza
básica, pasando por la enseñanza media y luego por la universidad. Por otra parte nuestro querido
país Chile no está exento de esta matemática, encuestas revelan que en los últimos 10 años somos los
jaguares más malos en matemática de Sudamérica en cuanto a esta disciplina.
¿Qué está pasando serán los profesores de matemáticas malos, los alumnos serán flojos, o el sistema
educacional chileno sólo está siendo gobernado por gente que no tiene que ver con educación y que lo
único que quiere es ver mano de obra barata para que los alumnos no vayan al sistema educacional
superior?
No podemos dar una respuesta clara pero hay cierta disparidad en educación pública y privada, esto se
ve reflejado en el actual sistema de PSU (Prueba de selección universitaria) que cada vez está más
elitista ya que las preguntas de matemática ya están en otro nivel y van dirigidas sólo a alumnos de
colegios particulares lo cual deja de lado al sistema público o colegios subvencionados municipales
quienes tienen que hacer esfuerzos descomunales para la formación de alumnos en la asignatura de
matemática para que dichos alumnos puedan optar a dar una prueba medianamente regular en la PSU.
El siguiente apunte es un cuadernillo de Aprendiza en Matemática con contenidos, Ejercicios Resueltos
y Ejercicios Propuestos que va dirigido a los alumnos de CDS-Técnico Profesional, pues bien el alumno
esquivo probablemente diga pero no me gusta la matemática pero la matemática ayuda a desarrollar
el pensamiento lógico y te abre puertas en otras áreas, tales como rendir una buena PSU, entrar a la
Educación Superior o dar la prueba para entrar a las ramas uniformadas.
Simplemente la matemática te sirve hasta para ir a comprar y no te pasen gato por libre con el vuelto,
calcular costos, intereses, ganancias, eso en la vida cotidiana normal. Ahora si planeas ser ingeniero,
físico, matemático, o estudiar alguna carrera que tenga alguna asignatura de matemática afín tienes
que saber si o si, esta disciplina hermosa pero a la vez incomprendida.
Así que a ti alumno motívate en los años de tu enseñanza media que la PSU y la Educación Superior
están a la vuelta de la esquina que la matemática no es difícil ya que sólo se necesita un 25% de tu
capacidad intelectual para resolver ejercicios matemáticos, tú puedes así que anímate y a estudiar
matemática.
3
1°CAPÍTULO: NÚMEROS
1) NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES (IN, IN0)
Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3,…} se denominan “números naturales”. Si a este
conjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = {0, 1, 2,…} llamado
“conjunto de los números cardinales”.
2) NÚMEROS ENTEROS (Z)
Los elementos del conjunto Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2,…} se denominan “números enteros”,
algunos subconjuntos de Z son:
Z+ = {1, 2, 3,…} enteros positivos
Z 0 = {0, 1, 2,…} enteros no negativos
Z- = {-1, -2, -3,…} enteros negativos
Z 0 = {0, -1, -2, -3,…} enteros no positivos
A) Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225,
256, 289, 324, 361, 400, 441,...
B) Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000,… y también: -1,
-8, -27, -64, -125, -216, -343,…
2.1) OPERATORIA EN (Z)
A) ADICIÓN EN ( Z)
I. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el
signo común.
II. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor
valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto.
B) MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN (Z)
I. Si se multiplican o se dividen dos números de igual signo al resultado es siempre positivo.
II. Si se multiplican o dividen dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo.
2.2) VALOR ABSOLUTO
Es la distancia que existe entre un número y el 0
Notación de valor Absoluto: n
n, si n ≥ 0
- n, si n < 0
2.3) PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES PARA (IN), (IN0) Y (Z)
Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:
I) Resolver los paréntesis.
II) Realizar las potencias.
III) Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.
IV) Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha.
4
3) NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
3.1) MÚLTIPLO Y DIVISOR: En la expresión a = b · c en que a, b y c son números enteros, a
es múltiplo de b y de c o bien b y c son divisores o factores de a.
A) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.):Es el menor múltiplo común positivo de dos o más
enteros.
B) MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.):Es el mayor divisor común entre dos o más enteros.
3.2) NÚMEROS PRIMOS: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos.
Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …
3.3) NÚMEROS COMPUESTOS: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son
primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, …
A) TEOREMA FUNDAMENTAL: Todo número compuesto se puede expresar de manera única
como el producto de aquellos números que cumplen con la propiedad de ser factores de
números primos.
3.4) CÁLCULO DEL M.C.M. y M.C.D. MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS
Se descomponen los números en factores primos:
A) El M.C.M. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir
factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.
B) El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel
que posea el exponente menor.
4) EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS (IN), (Z) Y VALOR ABSOLUTO
1) En cierto país nacen diariamente 3600 guaguas. ¿Cuántas guaguas nacen en promedio
por hora en dicho país?
A) 36
B) 72
C) 75
D) 150
Solución 1: 24 horas equivalen a 1 día, por lo tanto nos queda la siguiente división
3600: 24 = 150 , luego la respuesta es que nacen en promedio 150 guaguas en una hora. La
alternativa correcta es D.
2) 12 + 12: −6 − 8 =?
A) 10
B) 4
Solución 2:
C) 2
12 + 12: −6 − 8
= 12 + (−2) − 8
= 12 − 2 − 8
=10 − 8
=2
5
D) -4
Alternativa correcta C
3) |10| − 10 ∙ |−10| =?
A) -110
B) -90
Solución 3:
C)-10
|10| − 10 ∙ |−10|
= 10 − 10 ∙ 10
= 10 − 100
= −90
4) −𝟓 ∙ −𝟒 + 𝟓 ∙ −𝟒=?
A) -20
B) 20
Solución 4:
C) 0
−5 ∙ −4 + 5 ∙ −4
= 20 + (−20)
=0
D) 90
Alternativa correcta B
D) Ninguna
Alternativa correcta C
5) EJERCICIOS PROPUESTOS DE NÚMEROS (IN), (Z) Y VALOR ABSOLUTO
1)
A)
B)
C)
D)
𝟓 − [𝟒 − 𝟑 ∙ (𝟐 − 𝟏)]=
2
3
4
5
2) Si s y t son enteros positivos y
st=72, ¿cuál es el menor valor posible
de s+t ?
A) 1
B) 17
C) 22
D) 38
3) ¿Cuál es el valor de 𝟑𝟕 ∙ 𝟏𝟗 − 𝟑𝟕 ∙ 𝟏𝟖
?
A) 37
B) -37
C) 19
D) 18
4)
A)
B)
C)
D)
5) Si |𝒑 − 𝟔|=|−𝒒| y 𝒑 = −𝟐, ¿cuál
de los siguientes puede ser un valor
de 𝒒 ?
A) -8
B) -4
C) 4
D) 6
6) ¿Cuánto milímetros mide un cuerda
cuya longitud es de 10 mts con 10 cms
A) 1.100 milímetros
B) 1.010 milímetros
C) 10.010 milímetros
D) 10.100 milímetros
7)
A)
B)
C)
D)
8) ¿Cuál de los siguientes es el mínimo
valor que puede tomar la suma de dos
números naturales cuyo producto es
48?
A) 14
B) 16
C) 19
D) 48
El sucesor del triple de -15 es
-41
-43
-44
-45
6
El sucesor par de -18 es
-16
-17
-19
-20
5.1) ALTERNATIVAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1)
5)
2)
6)
3)
7)
4)
8)
6) NÚMEROS RACIONALES
𝒂
Los números racionales son todos aquellos números de la forma 𝒃 con a y b números
enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por Q.
6.1) IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES
6.2) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
𝑎 𝑐
Si 𝑏 , 𝑑 ∈ Q entonces:
OBSERVACIONES
1. El inverso aditivo (u opuesto) de
2. El número mixto A
b
c
𝑎
𝑏
𝑎
es - 𝑏 , el cual se puede escribir también como
se transforma a fracción con la siguiente fórmula:
6.3) MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
𝑎 𝑐
Si 𝑏 , 𝑑 ∈ Q , entonces:
A) MULTIPLICACIÓN
B) DIVISIÓN
OBSERVACIÓN
El inverso multiplicativo (o recíproco) de
𝑎
𝑏
𝑎 −1
es ( 𝑏)
7
𝑏
= 𝑎 , con a ≠ 0
−𝑎
𝑏
o
𝑎
−𝑏
6.4) RELACIÓN DE ORDEN EN Q
OBSERVACIONES
1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes
procedimientos:
a. igualar numeradores.
b. igualar denominadores.
c. convertir a número decimal.
2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.
6.5) NÚMEROS DECIMALES
Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un
desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.
a. Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales.
Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales
b. Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por
la parte entera y el período.
Ejemplo: 0,444.... = 0, 4̅
c. Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por la parte
entera, un anteperíodo y el período.
̅̅̅̅
Ejemplo: 24,42323... = 24,423
6.6) OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES
1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se
ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo
la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.
Así por ejemplo
0,19
3,81
+ 22,2__
26,20
2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se
multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de
derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en
conjunto.
Así por ejemplo: 3,21 · 2,3
963
642__
7,383
3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el
dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10.
Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100
224: 120 y se dividen como números enteros
8
6.7) TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN
1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal
y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho
número.
324
Por ejemplo: 3,24 = 100
2. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número
decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que
anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período.
̅̅̅̅ = 215−2
Por ejemplo: 2,15
99
3. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número
completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al
período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguido
de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.
534−53
Por ejemplo: 5,34̅ = 90
7) EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS RACIONALES (Q)
9
7
1) 100 + 1000 +
A) 0,975
5
100.000
=
B) 0,0795
C) 0,09705
D) 0,009705
Solución 1: Como las alternativas están expresadas en decimales, me conviene pasar todas las
fracciones a decimal y luego sumarlas 0,09 + 0,007 + 0,00005 = 0,09705. La alternativa
correcta es C
2) ¿Cuál de los siguientes números se ubica en la recta numérica entre 0,35 y 0,48?
A) 1⁄5
B) 2⁄5
C) 3⁄5
D) 4⁄5
Solución 2: analizamos las alternativas transformando de decimal a fracción.
A)
B)
1
5
2
5
= 0,2
luego 0,4 se ubica entre
= 0,4
0,35 y 0,48
0,35; 0,4; 0,48
Alternativa correcta B
3) En cuál de las siguientes alternativas se indica orden creciente?
6
8
7
8
7
6
7
6
8
A) 7 < 9 < 8
B) 9 < 8 < 7
C) 8 < 7 < 9
6
7
Solución 3: orden creciente, es de menor a mayor
6
7
7
8
8
9
< <
Alternativa correcta D
9
8
D)7 < 8 < 9
8) EJERCICIOS PROPUESTOS NÚMEROS RACIONALES (Q)
1) 𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟐 ∙ 𝟒 ∙ 𝟏𝟎𝟐 ∙ 𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟓 =
A) 600
B)
6
C)
0,06
D)
0,006
3)
𝟕 𝟑
A)
𝟏
B)
C)
D)
2)
A)
B)
C)
D)
0,1 ∙ 0,2 ∙ 0,3 ∙ 0,5 =
3,0
0,3
0,03
0,003
2
𝟐
4) ¿Qué precio tiene una mercadería si los 3
( − 𝟓) =
𝟓 𝟕
3
𝟏𝟔𝟓
A)
B)
C)
D)
𝟏
𝟑𝟓
𝟏
𝟐𝟓
𝟗
de los 4 de ella valen $ 7.500?
$ 9.000
$ 12.500
$ 15.000
$ 17.500
𝟏𝟓
𝟏
5) Una persona compró dos séptimos de 𝟑 𝟐
docenas de naranjas. ¿Cuántas naranjas
compró?
A) 2 docenas
𝟏
B) 𝟏 𝟐
6) Si a cinco enteros un medio se le suma el
producto de tres octavos por cuatro
quintos, se obtiene.
9
A) 4 10
C) 𝟏 𝟒
D) 1 docena
C) 4 5
𝟏
7) El valor
A)
B)
C)
𝟗
𝟐𝟖
C)
D)
𝟓𝟎
𝟑𝟑
𝟏𝟒
𝟏𝟗
𝟓
4
D) 5 5
−
−
𝟐
𝟓
𝟖
𝟏𝟓
es:
8)
A)
𝟏
𝟑
4
−
𝟏
𝟒
𝟏
𝟏𝟐
=
9
B) 0
𝟏𝟎
𝟔
C)
𝟓
D) 1
9) 𝟎, ̅̅̅̅
𝟒𝟐 =
𝟏𝟒
A) 𝟑𝟑
𝟐𝟏
4
𝟐𝟏
D) 2
B)
𝟑
𝟒
𝟕
𝟏𝟎
7
B) 4 10
1
4
10) En una liquidación de temporada, los
9
2
3
de los
del precio de una camisa son
14
$1.500. Entonces, el precio de la camisa,
en pesos, es:
A) 3.500
4.500
B) 7
C)
13.750
7
D) 5.000
10
8.1) ALTERNATIVAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
9) POTENCIAS EN ℚ
9,1) Definición de Potencia:
Es la operación en la cual la cantidad llamada base se debe multiplicar por ella misma
las veces que lo indica el exponente cuya notación es:
9,2) Casos especiales o particulares de Potencias:
Sea 𝒂 base de una potencia se definen las potencias de exponente 0 y de exponente
negativo cuyas notaciones son:
Observaciones en las Potencias:
i) 0𝑛 = 0 , si 𝑛 > 0
ii) 1𝑛 = 1
iii) 00 no está definido
9,3) Signos de una Potencia
 Si 𝒂 ≠ 𝟎
 Si 𝒂 < 𝟎
y 𝒏 es par, entonces el resultado de 𝒂𝒏 es positivo.
y 𝒏 es impar, entonces es resultado de 𝒂𝒏 es negativo.
9,4) PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS
Sean 𝒂 y 𝒃 ∈ ℚ − {𝟎} con 𝒎 y 𝒏 ∈ ℤ , tenemos las siguientes propiedades:
I)
Multiplicación de potencias de igual base
𝒂𝒏 ∙ 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏+𝒎
II)
División de Potencias de Igual Base
𝒂𝒏 : 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏−𝒎
III)
Multiplicación de Potencias de distinta
base e igual exponente
𝒂𝒏 ∙ 𝒃𝒏 = (𝒂𝒃)𝒏
IV)
División de potencias de distinta base e
igual exponente
𝒂𝒏 ∶ 𝒃𝒏 = (𝒂: 𝒃)𝒏
V)
Potencia de una Potencia
(𝒂𝒏 )𝒎 = 𝒂𝒏∙𝒎
11
10) EJERCICIOS RESUELTOS POTENCIAS EN ℚ
1) −42 − 40 =
A) 15
Solución 1:
B) 12
C) -12
= −4 ∙ 4 − 1
= −16 − 1
= − 17
D) -17
E) -20
Alternativa correcta D
4
2) (3)−2 =
A) −8⁄6
3
B) −8⁄9
3 ∙3
9
Solución 2: (4)2 = 4 ∙4 =
3) 52 ∙ 53 =
A) 256
C) 8⁄6
C) 56
Solución 3: 52+3 = 55
4) 86 : (−8 )2 =
A) −812
Solución 4:
Solución 5:
C) −83
= 86 : 82
= 86−2
= 84
E) 150
D) 83
E) 84
Alternativa correcta E
B) 1210
C) 1215
[ (4 ∙ 3)5 ] 3
= [ 125 ] 3
= 125 ∙3
= 1215
6) (0,6)3 ∶ (0,3)3 =
A) (0,02)3
B) (0,2)3
Solución 6:
D) 55
Alternativa correcta D
B) −84
5) (45 ∙ 35 )3 =
A) 1275
E) 16⁄9
Alternativa correcta D
16
B) 58
D) 9⁄16
D) 1213
E) 128
Alternativa correcta C
C) 20
D) 23
E) 26
= (0,6 ∶ 0,3)3
6
3 3
6
10
10 3
= (10 ∶
= (10 ∙
)
3
)
6 ∙ 10 3
= (10
∙ 3
6 3
)
= (3)
= 23
Alternativa correcta D
12
11) EJERCICIOS PROPUESTOS POTENCIAS EN ℚ
1)
A)
B)
C)
D)
E)
(−𝟐)𝟎 − (−𝟏)𝟑 (−𝟏)𝟐 + (−𝟐)𝟑 =
-10
-8
-7
-6
-5
2) −𝟏𝟎 − {−𝟑𝟐 − [𝟏𝟒 ∶ (𝟑𝟐 − 𝟒𝟐 )]} =
A) -12
B) -10
C) 8
D) 6
E) 3
3)
𝟓−𝟐 ∙ 𝟏𝟎−𝟐 ∙ 𝟐−𝟏
𝟓−𝟑 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 ∙ 𝟐−𝟔
4) 63 ∙ 94 ∙ 33 ∙ 24 =
A)
B)
C)
D)
E)
80
10 ∙
20 ∙
25 ∙
50 ∙
=
A) 547 ∙ 67
B) 187
C) 5412 ∙ 612
D) (6 ∙ 9 ∙ 3 ∙ 2)14
E) 1812
𝟐𝟑
𝟐𝟒
𝟐𝟔
𝟒𝟐
5) 𝟐𝟔 ∙ 𝟏𝟔𝟐 ∙ 𝟖𝟐 =
6) La tercera parte de la novena parte del
𝟏𝟎
A) 𝟏𝟔
B) 𝟏𝟔𝟐𝟒
𝟐
C) 𝟐𝟏𝟎
D) 𝟒𝟏𝟎
E) 𝟐𝟓𝟔𝟏𝟎
corresponde a:
A) 𝟏𝟔𝟓
B) 𝟏𝟔𝟐𝟎
C) 𝟒𝟐𝟏
D) 𝟒𝟕
E) 𝟒𝟔
A)
B)
C)
D)
E)
𝟓𝟖 − 𝟐𝟓𝟐
𝟓𝟒
B)
C)
D)
E)
𝑎5 ∙ 𝑎3 ∙ 𝑎−1 =
𝑎15
𝑎−15
𝑎8
𝑎7
𝑎−7
10) (1 + 2)0 − (2 − 3)1 + ( 3 − 4)2 − (4 − 5)3 =
=
A)
B)
C)
D)
E)
0
1
𝟓𝟖
𝟓𝟒 − 𝟏
𝟓𝟖 − 𝟏
11) 𝟑−𝟐 − 𝟗−𝟏 − 𝟐𝟕−𝟏 =
A)
8)
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
7) El cuádruplo de 𝟒𝟓 + 𝟒𝟓 + 𝟒𝟓 + 𝟒𝟓
9)
C)
D)
E)
cubo de 32 es igual a
9
33
34
35
36
0
2
3
4
6
12)
𝟏
𝟗
𝟏
−𝟗
𝟏
− 𝟐𝟕
𝟏
𝟐𝟕
(0,8)−4
(0,4)−4
A) -16
1
B) − 16
C)
D)
E)
27
13
1
16
16
2
=
11.1) ALTERNATIVAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1)
7)
2)
8)
3)
9)
4)
10)
5)
11)
6)
12)
𝟐𝒅𝒐 CAPITULO: ÁLGEBRA
El álgebra es la prolongación de la aritmética representada con variables o letras que pueden
ayudarnos a resolver problemas de la vida diaria, tales como, construir una casa, el pago de la
luz, el pago del agua, etc.
12) VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Valorar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos
dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre
paréntesis.
13) EJERCICIOS RESUELTOS DE VALORACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICA
1) ¿Cuál es el valor de t – ts – (t - s) si t = -2 y s = 4?
A) 16
B) 12
C) 0
D) -4
Solución 1: = t – t ∙ s – (t – s)
= -2 – (-2) ∙ 4 – (-2 – 4)
= -2 – (-8) – (-6)
= -2 + 8 + 6 =
= -2 + 14 = 12
Alternativa correcta B
2) Si m = 2, entonces (5 – m)(m – 5) =
A) -21
B) -9
C) 0
D) 9
Solución 2: = (5 – m)(m – 5)
= (5 – 2)(2 – 5)
= 3∙(-3) = -9
109
108
B) -
6
E) 21
Alternativa correcta B
2
𝑎− 𝑏 𝑐3
𝑎𝑏𝑐
3) Si a = -1, b = -2 y c = -3, entonces
A) -
E) -16
6
C)
107
6
=
107
D) -
6
E)
109
6
𝑎− 𝑏2 ∙ 𝑐 3
Solución 3: =
=
=
=
=
=
𝑎 ∙𝑏 ∙𝑐
−1−(−2)2 ∙(−3)3
−1 ∙ −2 ∙−3
−1 − 4 ∙ −27
−6
−1+108
−6
107
−6
−107
Alternativa correcta D
6
14
14) EJERCICIOS PROPUESTOS DE VALORACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICA
1) El valor numérico de la expresión
𝟐𝒂𝟐 - 𝟑𝒃𝟐 para los valores de
𝒂 = −𝟑 𝒚 𝒃 = −𝟐, es:
A) -30
B) -6
C) 0
D) 6
3) SI 𝒂 = 𝟐, 𝒃 = −𝟒, 𝒄 = −𝟑 𝒚 𝒅 = 𝟗,
𝒃
𝒅
entonces el valor de 𝒂 − 𝒄 + 𝟐 𝒃𝒅 es:
A) -67
B) -73
C) -71
D) -77
2) Si 𝒙 = 𝟐 𝒆 𝒚 = −𝟏, el valor de la
expresión 𝟐𝒙𝟐 𝒚 − 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝒙𝒚 es:
A) -16
B) -12
C) -4
D) -3
5) Si 𝒂 = 2, 𝒃 = −𝟒 𝒚 𝒄 = −𝟏, el valor
numérico de la expresión 𝒂𝟐 𝒃 + 𝒃𝒄 −
𝟓𝒄𝟐 es:
A) -17
B) -15
C) -9
D) -7
E) 17
6) Si 𝒙 = −𝟐, el valor de la expresión
(𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐) : (5 – 6x + 𝒙𝟐 ) es:
A) -2
B) 0
C) 1
D) 2
E) 4
7) Si c = −𝟑 𝒚 𝒅 = 𝟏𝟎, entonces el valor
𝒄
𝒅
de la expresión 𝒄−𝒅 + 𝒅−𝒄 es
A) -3
B) -1
C) 0
D) 1
E) 10
8) El valor numérico de la expresión
𝒂𝟐 (𝒃𝟐 − 𝒄𝟐 ) + 𝒃𝟐 (𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 ) +
𝒄𝟐 (𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 ) sabiendo que 𝒂 = −𝟖,
𝒃 = 𝟗 𝒚 𝒄 = 𝟏𝟎 es:
A) 0
B) 64
C) 81
D) 100
E) 152
9) ¿Cuál es el valor numérico de la
expresión 𝒂𝟐 𝒃𝟎 , siendo 𝒂 𝒚 𝒃 distintos
de cero?
(1) 𝒂 = 𝟏𝟎
(2) 𝒃 = 𝟓
A) (1) por si sola
B) (2) por si sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
10) Si 𝒑 =
4) El valor numérico de la expresión
−𝟕𝒂𝟗 𝒃𝟐 , si 𝒂 = −𝟏 𝒚 𝒃 = 3, es:
A) -63
B) -21
C) 0
D) 21
E) 63
𝟐
𝟑
:𝒒 =
𝟏
𝟗
:𝒓 =
𝟕
𝟑
; entonces el
valor de la expresión (𝒑 + 𝒒) ∙
A)
3
49
B) 27
C)
1
3
1
D) − 3
49
E) − 27
15
𝟏
𝒓
es:
14.1) ALTERNATIVA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
15) ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se
logra despejar (aislar) la incógnita.
2. Cuando una ecuación contiene fracciones, puede escribirse en una forma más sencilla si se
multiplican ambos miembros de la igualdad por el mínimo común múltiplo de todos los
denominadores de la ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación que no contenga
fracciones.
3. Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Leer con atención el problema.
Paso 2: Anotar los datos del problema.
Paso 3: Distinguir cuál es la pregunta del problema y representar ese dato desconocido por un
literal (letra).
Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuación.
Paso 5: Resolver la ecuación.
Paso 6: Comprobar si el resultado está de acuerdo con los datos.
16) EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1) Si
A)
13
25
13
5
A = 25 ∙
5
, entonces
26
B)
26
13
Solución 1:
25
25
13
∙
13
25
26
13
A =
25
A =
1
𝐴
1
𝐴
=
=
25
13
=
5
C) − 26
5
A =
1
𝐴
∙
∙
5
25
26
5
E)Ninguna
25
/ ∙ 13
26
13
D) −
5
∙ 26
5
26
1
5
26
26
Alternativa correcta B
5
16
2) Si 𝑚 = 3𝑥 2 − 7, entonces 𝑥 2 =
A)
𝑚
3
𝑚
-7
Solución 2:
1
3
B) 3 +7
C)
𝑚+7
𝑚 = 3𝑥 2 − 7
𝑚 + 7 = 3𝑥 2 − 7 + 7
𝑚 + 7 = 3𝑥 2
1
3
∙ (𝑚 + 7) = ∙ (3𝑥 2 )
𝑚+7
3
D)
3
𝑚−7
3
E) 3𝑚 + 7
/+7
1
/∙3
= 𝑥2
Alternativa correcta C
3) Si 𝑥 − 2 = 𝑎𝑥, ¿Cuál de los siguientes es un valor de a que hace que la ecuación no
tenga solución?
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
Solución 3:
𝑥 − 2 = 𝑎𝑥
𝑥 − 𝑎𝑥 = 2
𝑥 (1 − 𝑎) = 2
Para que la ecuación no tenga solución debe pasar lo siguiente:
1−𝑎 ≠0
1≠ 𝑎
Alternativa correcta D
17) EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1) Si 30,003 + m = 33,003, entonces
33m=:
A) 990
B) 99
C)
9,9
D)
0,99
E)
0,099
2) Si 𝒕 ≠ 𝟎 𝒚 𝟒𝒕𝟐 − 𝟑𝟔𝒕 = 𝟎,
entonces t=
A) -9
B) -6
C) 0
D) 6
E) 9
3)
A)
B)
C)
D)
E)
4) Si 5x = 4 (3 – 2x), entonces x=
A) -4
12
B) -13
C) 4
12
D) 13
Si 5x + 4 = 3x + 2, entonces 2x + 1=
-2
-1
0
1
2
E)
5) ¿Cuál es el valor de t si
2t + 7 = 5t – 5?
A) -4
B) 2
C) 4
D) 8
E) 12
13
17
6) Si
A)
B)
C)
D)
E)
17
3
30
35
36
75
2
5
𝑥 = 30, entonces
𝑥
2,5
=
7) ¿Cuál es el valor de x si,
x – 2x + 3x = 1 – 2 + 3?
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
8) Si x = y – 10, entonces (y – x) =
A) -100
B) -20
C) 10
D) 20
E) 100
9)
A)
B)
C)
D)
E)
10) Si (𝑎 + 𝑏)2 + 1 = 2, entonces
(𝑎 + 𝑏)2 − 1 =
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Si 3x + 4 = 25, entonces 3x – 4 =
0
7
17
21
25
11) Si 3,1415 = 314,15x entonces el
valor de x es:
A) 𝟏𝟎𝟐
B) 𝟏𝟎−𝟐
C) 𝟏
D) 0
12) Si 2p=0,1 entonces p+1 es igual a:
A) 1,05
B) 1,2
C) 1,002
D) 1,1
13) Al despejar 𝒎 de la formula 𝒗 =
𝟏
𝒎 (𝒂 + 𝒃) se obtiene:
14) Un padre tiene 5 veces la edad de su
hijo y en 18 años más, el padre tendrá
el doble de la edad de su hijo.
Entonces sus edades son:
A) Hijo: 4 años y padre: 36 años
B) Hijo: 5 años y padre: 40 años
C) Hijo: 6 años y padre: 30 años
D) Hijo: 5 años y padre: 36 años
𝟏
A) 𝒎 = 𝒗 (𝒂 + 𝒃)
B) 𝒎 = 𝒂𝒗 (𝟏 + 𝒂𝒃)
𝟏
C) 𝒎 = 𝒂𝒗 (𝒂𝒃)
D) 𝒎 =
𝒂𝒗
𝟏+𝒂𝒃
17,1) ALTERNATIVAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
18) TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los mismos
exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.
18.1) REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y
mantener su factor literal
18
18.2) USO DE PARÉNTESIS
En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones.
Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:
Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de los
términos que están dentro del paréntesis.
Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los signos de
cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.
Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se
encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los
paréntesis desde adentro hacia fuera.
19) OPERATORIA ALGEBRAICA
19.1) ADICIÓN DE POLINOMIOS
Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos
semejantes y uso de paréntesis.
19.2) MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
MONOMIO POR MONOMIO:
Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando
propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de
monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir, a • (b • c) = (a • b) • c
MONOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.
Es decir, a (b + c + d) = ab + ac + ad
POLINOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se
reducen los términos semejantes, si los hay.
20) PRODUCTOS NOTABLES:
Cuadrado de binomio: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 - 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
Suma por su diferencia: (a +b) (a – b) = 𝑎2 − 𝑏 2
Producto de binomios: (x + a) (x + b) = 𝑥 2 + (a + b) x + ab
Cubo de binomio:
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + ab
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 - 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 - 𝑏 3
Cuadrado de trinomio: (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑎𝑐
(𝑎 − 𝑏 − 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑏 − 2𝑏𝑐 − 2𝑎𝑐
Suma de cubos:
(a +b) (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 + 𝑏 3
Diferencia de cubos:
(a – b) (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 − 𝑏 3
19
21) EJERCICIOS RESUELTOS TERMINOS SEMEJANTES, OPERATORIA ALGEBRAICA Y
PRODUCTOS NOTABLES.
1) 2p – [𝑞 − (𝑝 − 2𝑝)] =
A) 3(p + q)
B) 2(p – q)
C) 3(p – q)
Solución 1: = 2p – [𝑞 − (𝑝 − 2𝑞)]
= 2p – [𝑞 − 𝑝 + 2𝑞]
= 2p - [3𝑞 − 𝑝]
= 2p – 3q + p
= 3p – 3q
= 3 (p – q)
2) El producto entre
A)
8𝑎
2
B)
𝑏
Solución 2: =
3𝑎2 𝑏
3𝑎2 𝑏
=
2
3 ∙8
2
24
∙
y
24𝑎
8
𝑎𝑏 2
es:
C)
𝑏
3𝑎
𝑏
D) 12𝑎
𝑏
E)
12𝑎
𝑏
8
∙
𝑎𝑏 2
𝑎2
𝑏
∙
𝑎
𝑏2
2−1
Alternativa correcta E
4
3) (9 𝑎 + 𝑏) (9 𝑎 − 𝑏) =
A)
E) 2
Alternativa correcta C
= 2 ∙ 𝑎
∙ 𝑏1−2
= 12 ∙ 𝑎1 ∙ 𝑏 −1
12𝑎
= 𝑏
4
3
D) 2(p + q)
16
9
𝑎2 − 𝑏 2
4
16
B) 81 𝑎2 − 𝑏 2
4
4
C) 81 𝑎2 − 𝑏 2
4
Solución 3: = (9 𝑎 + 𝑏) (9 𝑎 − 𝑏)
D) 81 𝑎2 − 𝑏 2
E) N.A.
Aplicamos la suma por su diferencia
4
= (9 𝑎)2 – (𝑏)2
16
= 81 𝑎2 − 𝑏 2
Alternativa correcta B
4) (9𝑚 − 7𝑝3 )2 =
A) 18𝑚2 − 14𝑝6 B) 81𝑚2 − 496 C) 81𝑚2 − 63𝑚𝑝3 + 49𝑝6
D) 81𝑚2 − 126𝑚𝑝3 − 49𝑝6
E) 81𝑚2 − 126𝑚𝑝3 + 49𝑝6
Solución 4: = (9𝑚 − 7𝑝3 )2
= (9𝑚)2 − 2 (9𝑚)(7𝑝3 ) + (7𝑝3 )2
= 81𝑚2 − 126𝑚𝑝3 + 49𝑝6
20
Aplicamos cuadrado de binomio
Alternativa correcta E
22) EJERCICIOS PROPUESTOS TERMINOS SEMEJANTES, OPERATORIA ALGEBRAICA Y
PRODUCTOS NOTABLES.
𝟑
1) La expresión 𝟎, 𝟐𝒙 + 𝟒 𝒚
equivale a:
𝟒
A) 𝟓 𝒙 + 𝟎, 𝟓𝒚
B)
𝟒
𝟓
𝟐
𝟑
𝟓
2) Al resolver 𝒙 − [𝒙 − {𝒚 − (𝟐𝒙 − 𝒚)} +
𝒙 − (−𝒚)] se obtiene:
A) 𝟑𝒙 − 𝒚
B) 𝒙 + 𝒚
C) 𝒚 − 𝟑𝒙
D) 𝟑𝒚 − 𝒙
𝒙 − 𝟎, 𝟐𝟓 y
𝒙−𝒚
𝟏
C) 𝟓 𝒙 − 𝟒 𝒚
D) 𝟎, 𝟔𝒙 − 𝟎, 𝟓𝒚
3) La expresión (𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 )(𝒄𝟐 − 𝒅𝟐 )
equivale a:
A) 𝒂𝟐 𝒄𝟐 − 𝒃𝟐 𝒅𝟐
B) (𝒂𝒄)𝟒 (𝒃𝒅)𝟒
C) 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 − 𝒅)𝟐
D) 𝒂𝟐 𝒄𝟐 + 𝒃𝟐 𝒄𝟐 − 𝒃𝟐 𝒅𝟐 − 𝒂𝟐 𝒅𝟐
5) Indica el término que falta para que se
cumpla la igualdad:
(𝒙 − 𝟑𝒚)𝟐 =𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 _______________
A) 𝟔𝒚
B) 𝟔𝒙𝒚
C) 𝟑𝒙𝒚
D) −𝟔𝒙𝒚
4)
A)
B)
C)
D)
Al factorizar 𝑥 3 + 8 resulta:
(𝒙 + 𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒)
(𝒙 + 𝟐) (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒)
(𝒙 + 𝟐) (𝒙 + 𝟐)𝟐
(𝟐𝒙 − 𝟐) (𝟑𝒙 − 𝟒)
6) La expresión algebraica
𝟏
𝟐
̅𝒚))
𝟏 𝟒 𝒙 − (𝟑 𝒚 + 𝟎, 𝟕𝟓𝒙 − (𝒙 + 𝟎, 𝟑
es equivalente a:
A) 𝒙 − 𝒚
𝟑
𝟏
B) 𝟐 𝒙 − 𝟑 𝒚
C)
𝟑
𝟐
𝒙
𝟏
D) 𝒙 − 𝟑 𝒚
7) El producto de (𝟐𝒂 − 𝒃)(𝟒𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 +
𝒃𝟐 ) es igual a:
A) 𝟖𝒂𝟑 + 𝟒𝒂𝟐 𝒃 + 𝒂𝒃𝟐 −𝒃𝟑
B) 𝟖𝒂𝟑 − 𝒃𝟑
C) 𝟖𝒂𝟑 − 𝟒𝒂𝟐 𝒃 − 𝒃𝟑
D) 𝟖𝒂𝟑 + 𝒃𝟑
9) ¿Cuál de las siguientes relaciones es
incorrecta?
A) (𝒙 + 𝟐𝒚)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝒚 + 𝒂𝒚𝟐
B) (𝒂 − 𝟑𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟔𝒂𝒃 + 𝟗𝒃𝟐
C) (𝒙𝟐 + 𝟐𝒚)(𝒙𝟐 − 𝟐𝒚)=𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟐 𝒚 −
𝟒𝒚𝟐
D) (𝟐𝒙 − 𝟑𝒚)𝟑 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟑𝟔𝒙𝟐 𝒚 +
𝟓𝟒𝒙𝒚𝟐 − 𝟐𝟕𝒚𝟑
8) La expresión −𝟑𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 1 se
puede expresar como:
A) (𝒙 − 𝟏)𝟑
B) (−𝒙 − 𝟏)𝟑
C) (𝟏 − 𝒙)𝟑
D) 𝟏 − 𝒙𝟑
10) La fracción
A) 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
B) 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
𝟏
C) 𝒂𝟐 −𝒃𝟐
𝒂𝟐 +𝒂𝒃+𝒃𝟐
(𝒂−𝒃)𝟐
es igual a:
D) (𝒂 − 𝒃)−𝟏
22.1) ALTERNATIVA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
21
5)
10)