FORMULA GENERAL PARA CONOCER LA CANTIDAD DE

FORMULA GENERAL PARA CONOCER LA CANTIDAD DE PRIMOS ENTRE
DOS NÚMEROS CUADRADOS DIFERENTES
POR: JOSÉ WILLIAM PORRAS FERREIRA
Sea
y
la cantidad de números primos contenidos entre los dos cuadrados
, siendo n,a
es decir:
(1)
Donde p(
y p
contenidos en
y
representan la cantidad de números primos
respectivamente.
Prueba:
El teorema de los números primos establece que la cantidad de números
primos menores a x para x muy grandes es:
p(x)
(2)
Por lo tanto:
p(
)
y p(
)
p(
que puede ser reducida a:
Aplicando límites a ambas funciones podemos determinar lo siguiente:
(
Como:
(
)
)
(
Siendo
límites.
nos quedaría:
)
también una función creciente, continua y divergente al no tener
Por lo anterior podemos hacer:
(3)
Las siguientes tablas y gráficos nos muestra una verificación de esta función
con relación a los cálculos reales hechos de la cantidad de primos entre
y
para a=1,2,3,4,5….
n
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
25
30
40
50
60
70
90
99
(n+a)²
1
p(n²)
p((n+a)²)
real
calculada
1
4
0
2
2
4
9
16
25
36
49
64
81
100
225
400
625
900
1600
2500
3600
4900
8100
9801
9
16
25
36
49
64
81
100
121
256
441
676
961
1681
2601
3721
5041
8281
10000
2
4
6
9
11
15
18
22
25
48
78
114
154
251
367
503
654
1018
1208
4
6
9
11
15
18
22
25
30
54
85
122
162
263
378
519
668
1038
1229
2
2
3
2
4
3
4
3
5
6
7
8
8
12
11
16
14
20
21
Tabla No. 1. Comparacion de
a=1.
real Vs.
Gráfico No. 1. Comparación de
real Vs.
y a=1. Datos tomados de la tabla No. 1
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
6
7
8
9
11
13
15
17
20
22
calculada con la ecuación 3 y
calculada con la ecuación 3
n
a
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
30
40
50
60
70
80
90
98
n²
2
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
400
900
1600
2500
3600
4900
6400
8100
9604
(n+a)²
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
484
1024
1764
2704
3844
5184
6724
8464
10000
Tabla No 2. Comparacion de
a=2.
p(n²)
4
6
9
11
15
18
22
25
30
34
39
44
48
78
154
251
367
503
654
834
1018
1185
real Vs.
Gráfico No 2. Comparación de
real Vs.
y a=2. Datos tomados de la tabla No. 2
p((n+a)²)
9
11
15
18
22
25
30
34
39
44
48
54
61
92
172
275
393
532
690
867
1058
1229
p(n1)
real
5
5
6
7
7
7
8
9
9
10
9
10
13
14
18
24
26
29
36
33
40
44
(n)
calculada
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
14
18
22
26
30
33
37
40
43
calculada con la ecuación 3 y
calculada con la ecuación 3
n
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
97
105
110
115
n²
3
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
400
625
900
1225
1600
2025
2500
3600
4900
6400
8100
9409
11025
12100
13225
(n+a)²
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
529
784
1089
1444
1849
2304
2809
3969
5329
6889
8649
10000
11664
12769
13924
Tabla No. 3. Comparacion de
a=3.
p(n²)
0
2
4
6
9
11
15
18
22
25
30
34
39
44
48
78
114
154
200
251
306
367
503
654
834
1018
1163
1335
1444
1567
real Vs.
Gráfico No 3. Comparación de
real Vs.
y a=3. Datos tomados de la tabla No. 3.
P((n+a)²)
6
9
11
15
18
22
25
30
34
39
44
48
54
61
66
99
134
181
228
283
342
409
549
705
886
1077
1229
1398
1519
1640
(n)
real
6
7
7
9
9
11
10
12
12
14
14
14
15
17
18
21
20
27
28
32
36
42
46
51
52
59
66
63
75
73
(n)
calculada
5
7
8
8
9
10
11
12
13
13
14
15
16
16
17
21
24
27
30
33
36
39
45
50
55
61
64
68
71
73
calculada con la ecuación 3 y
calculada con la ecuación 3
n
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
96
105
110
115
n²
4
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
400
625
900
1225
1600
2025
2500
3600
4900
6400
8100
9216
11025
12100
13225
(n+a)²
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
576
841
1156
1521
1936
2401
2916
4096
5476
7056
8836
10000
11881
12996
14161
p(n²)
0
2
4
6
9
11
15
18
22
25
30
34
39
44
48
78
114
154
200
251
306
367
503
654
834
1018
1142
1335
1444
1567
P((n+a)²)
9
11
15
18
22
25
30
34
39
44
48
54
61
66
73
105
146
191
240
295
357
421
564
722
906
1100
1229
1421
1543
1661
(n)
real
9
9
11
12
13
14
15
16
17
19
18
20
22
22
25
27
32
37
40
44
51
54
61
68
72
82
87
86
99
94
(n)
calculada
7
9
10
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
28
32
36
40
44
48
52
60
67
74
81
85
91
95
98
real Vs.
calculada con la ecuación 3
Gráfico No 4. Comparación de
real Vs.
y a=4. Datos tomados de la tabla No. 4.
calculada con la ecuación 3
Tabla No. 4. Comparacion de
y a=4.
n
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
96
100
105
110
115
120
125
n²
5
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
400
625
900
1225
1600
2025
2500
3600
4900
6400
8100
9216
10000
11025
12100
13225
14400
15625
(n+a)²
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400
625
900
1225
1600
2025
2500
3025
4225
5625
7225
9025
10201
11025
12100
13225
14400
15625
16900
Tabla No. 5. Comparacion de
a=5.
p(n²)
0
2
4
6
9
11
15
18
22
25
30
34
39
44
48
78
114
154
200
251
306
367
503
654
834
1018
1142
1229
1336
1447
1572
1686
1821
real Vs.
p(n+a)²
11
15
18
22
25
30
34
39
44
48
54
61
66
73
78
114
154
200
251
306
367
434
578
739
923
1121
1252
1336
1447
1572
1686
1821
1948
(n)
(n)
real
calculada
11
10
13
12
14
13
16
15
16
16
19
18
19
19
21
20
22
22
23
23
24
24
27
26
27
27
29
28
30
29
36
35
40
40
46
46
51
51
55
56
61
61
67
66
75
75
85
84
89
93
103
102
110
107
107
110
111
114
125
119
114
123
135
127
127
131
calculada con la ecuación 3 y
Gráfico No 5. Comparación de
real Vs.
y a=5. Datos tomados de la tabla No. 5.
calculada con la ecuación 3
El siguiente gráfico nos muestra una comparación simultánea de
real Vs.
calculada con la ecuación 3 y a=3,4 y 5. Datos tomados de las tablas
Nos. 3,4 y 5.
Gráfico No 6. Comparación de
real Vs.
calculada con la ecuación 3
y a=3,4 y 5. Datos tomados de la tabla No. 3,4 y 5.
Teniendo en cuenta que en 1852 Schebychef1 publicó en su obra “Mémoire sur
les nombres premiers” la demostración que p(x)/(x/ln x) para x grande estaba
en:
0,92129
(4)
Y en 1892 Sylvester2 mejoró la demostración anterior demostrando que el
límite establecido por Schebychef para p(x)/(x/ln x) estaba en:
0,956
(5)
Cuando aplicamos la ecuación 2 es necesario tener en cuenta estos límites por
lo tanto:
0,956
(6)
Si invertimos la anterior desigualdad nos quedaría:
1,046025
para x grande
(7)
El siguiente gráfico nos muestra la ecuación 7 con relación a la ecuación 3.
Gráfico No. 7. Comparación ecuaciones 3 y 7.
De esta forma terminamos la prueba, quedando demostrada la valides de la
ecuación 3.
Existe una razón matemática para que
(n) tenga más primos con el
crecimiento de (n+a)²-n² al irse incrementando n, tal como se demostró
1
José Manuel Sánchez Muñoz “Historia de Matemáticas Riemann y los números primos” Revista de
investigación pensamiento matemático. 1 de octubre de 2011 p 15-16
2
J.J. Sylvester, On Tchebycheff ’s theorem of the totality of prime numbers comprised within given
limits, Amer. J. Math. 4 (1881), 230–247.
cuando se solucionó la conjetura de Goldbach3 y es que si bien los números
primos son aleatorios dentro de n, el incremento de separación promedio de los
números primos es menor con relación al incremento de pasar de n² a (n+a)²,
por lo tanto tendríamos más primos en
(n) cuando (n+a)²-n² se va
incrementando.
Este procedimiento me permitió demostrar las conjeturas de Legendre y de
Brocard que se consideraban inabordables.
Comprobación adicional de la validez de la ecuación 3.
Retomemos la ecuación 3 donde se demostró que:
la cantidad de números primos entre n² y
siendo
(n+a)².
Si fijamos a n=1 y hacemos crecer a esta ecuación quedaría:
y haciendo x=a² quedaría:
√
(11)
√
La ecuación 11 no solo tiene el mismo comportamiento de la ecuación 2, sino
que nos da una mejor estimación de p(x). La siguiente tabla nos muestra este
comportamiento.
a
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
316,23
3
x
4
9
16
25
36
49
64
81
100
225
400
625
900
1.225
1.600
2.025
2.500
3.600
4.900
6.400
8.100
10.000
100.000
p(x)real
2
4
6
9
11
15
18
22
25
48
78
114
154
200
251
306
367
503
654
834
1.018
1.229
9.592
(2a+a²)/ln (1+a)²
x/lnx
4
5
7
10
12
15
18
21
25
46
72
104
140
181
226
276
331
452
591
746
918
1.105
8.736
José William Porras Ferreira. http://www.portalplanetasedna.com.ar/goldbach.htm
3
4
6
8
10
13
15
18
22
42
67
97
132
172
217
266
320
440
577
730
900
1.086
8.686
1.000,00
1.000.000
3.162,28
10.000.000
10.000
100.000.000
31.622,78 1.000.000.000
100.000 10.000.000.000
78.498
664.579
5.761.455
50.847.534
455.025.509
Tabla No. 6. Comparacion de
11 y 2.
real Vs.
72.517
620.789
5.429.708
48.257.847
434.302.791
72.382
620.421
5.428.681
48.254.942
434.294.482
calculada con las ecuaciones
Los siguientes dos gráficos nos muestran las curvas respectivas de
Vs.
calculada con las ecuaciones 11 y 2.
Gráfico No. 8. Comparación de las curvas respectivas de
calculada con las ecuaciones 11 y 2.
.
real
real Vs.
José William Porras Ferreira
Email: [email protected]
BIBLIOGRAFĺA
1. José Manuel Sánchez Muñoz “Historia de Matemáticas Riemann y los números
primos” Revista de investigación pensamiento matemático. 1 de octubre de 2011.
2.
José William Porras Ferreira. http://www.portalplanetasedna.com.ar/goldbach.htm
3.
J.J. Sylvester, On Tchebycheff ’s theorem of the totality of prime numbers comprised
within given limits, Amer. J. Math. 4 (1881), 230–247.
4. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PrintHT/Fermat's_last_theorem.html
5. http://es.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre
6. http://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Legendre