Ecuaciones racionales

Tema: Ecuaciones Racionales
Descripción: Primero se debe hallar el mínimo común denominador. Luego, se
multiplica cada expresión racional por el mínimo común denominador. Para
cancelar los denominadores, se resuelve la ecuación resultante, y finalmente, se
descartan las soluciones que conviertan el denominador en 0.
Ejemplos:
Resolver:
1)
3
2
=
x x −1
Solución:
Multiplicando cruzado, se obtiene,
transfiriendo 2x al lado izquierdo de la ecuación,
combinando los términos semejantes,
y simplificando,
El conjunto solución es {3}.
2)
3(x - 1) = 2x
3x - 3 = 2x
3x - 2x = 3
x=3
a
5
=3+
a−5
a−5
Solución:
Multiplicando por el mínimo común denominador, que es a - 5, en cada
término de la ecuación, se obtiene,
a = 3(a - 5) + 5
aplicando la ley distributiva,
a = 3a - 15 + 5
combinando los términos semejantes,
a = 3a - 10
transfiriendo 3a al lado izquierdo de la ecuación,
a - 3a = -10
combinando los términos semejantes,
-2a = -10
dividiendo a ambos lados de la ecuación por -2,
a=5
Aparentemente a = 5 es la solución, pero se tiene que descartar, ya que
convierte en 0 el denominador de dos de los términos. Por lo tanto, la
ecuación no tiene solución. El conjunto solución es vacío o nulo, o sea
{ }, Ø.
3)
y−4
2
= 2
2
y − 5 y y − 25
Solución:
Se factorizan los denominadores para hallar el mínimo común
denominador, o sea y(y + 5)(y - 5). Luego, se multiplica cada término de
la ecuación por el mínimo común denominador.
Se obtiene,
(y - 4)(y + 5) = 2y
multiplicando los binomios,
y2 + y - 20 = 2y
igualando a 0 y simplificando,
y2 - y - 20 = 0
factorizando el trinomio,
(y - 5)(y + 4) = 0
igualando cada factor a 0,
y-5=0 ó y+4=0
y se resuelve.
y = 5 ó y = -4
Aparentemente y = 5 ó -4 es la solución, pero se tiene que descartar a
y = 5, ya que convierte en 0 el denominador de dos de los términos. Por lo
tanto, la ecuación tiene como única solución a y = -4. El conjunto solución
es {-4}.
Ejercicios:
Resuelva cada ecuación:
1)
2)
3)
4)
5)
4 2
+ =y
2y y
1− x 1
x−
=
2
4
1
11
+5=
x−2
x−2
1
1
=
2
x − 7 x + 10 x − 2
3
a
a−2
− 2
=
2a − 6 a − 6a + 9 3a − 9
Soluciones:
1) y = ±2
1
2) x =
2
3) x = 4
4) x = 6
5) x = −6, 5