10 al final

Tema 2. teoría cinética de gases
Problemas (10-22)
TCG10.- Calcular la velocidad de escape de la superficie de un planeta de radio R.
a) ¿Cuál es el valor para la Tierra ? R = 6.37·106 m, g = 9.81 m s-2
b) ¿Y para Marte ? R = 3.38·106 m, mMarte/mTierra = 0.108
c) ¿A qué temperaturas tienen el hidrógeno, el helio y el oxígeno velocidades
medias iguales a las velocidades de escape?
d) ¿Qué proporción de moléculas tienen suficiente velocidad para escapar
cuando la temperatura es (a) 240 K, (b) 1500 K?
Este tipo de cálculos es muy importante para explicar la composición de las
atmósferas planetarias.
∞
½ m1 v2
r
R
m2
m1
vescape ?
=
WR → ∞
dW   F r dr
Gm1m2
F r   
r2

Gm1m2
Gm1m2
dr 
W
2
r
r
R
1
2
 2Gm2   2 gR 2
vescape  

 R 
1
g
Gm2
R2
TCG10.- Calcular la velocidad de escape de la superficie de un planeta de radio R.
a) ¿Cuál es el valor para la Tierra, R = 6.37·106 m, g = 9.81 m s-2?
b) ¿Y para Marte ? R = 3.38·106 m, mMarte/mTierra = 0.108
c) ¿A qué temperaturas tienen el hidrógeno, el helio y el oxígeno velocidades
medias iguales a las velocidades de escape?
d) ¿Qué proporción de moléculas tienen suficiente velocidad para escapar
cuando la temperatura es (a) 240 K, (b) 1500 K?
Este tipo de cálculos es muy importante para explicar la composición de las
atmósferas planetarias.
a) Tierra, R = 6.37·106 m, g = 9.81 m s-2
vescape  11179.4 ms1
b) Marte, R = 3.38·106 m, mMarte/mTierra = 0.108
Gm2
g Marte  2
R
g Marte
gTierra
1
2
mMarte
2
RMarte

mTierra
2
RTierra
 2Gm2   2 gR 2
vescape  

 R 
1
g
vescape  5041.5 ms1
Gm2
R2
TCG10.- Calcular la velocidad de escape de la superficie de un planeta de radio R.
a) ¿Cuál es el valor para la Tierra, R = 6.37·106 m, g = 9.81 m s-2?
b) ¿Y para Marte ? R = 3.38·106 m, mMarte/mTierra = 0.108
c) ¿A qué temperaturas tienen el hidrógeno, el helio y el oxígeno velocidades
medias iguales a las velocidades de escape?
d) ¿Qué proporción de moléculas tienen suficiente velocidad para escapar
cuando la temperatura es (a) 240 K, (b) 1500 K?
Este tipo de cálculos es muy importante para explicar la composición de las
atmósferas planetarias.
c)
 8RT 
v 

 M 
v  vescape
1
2
T
2
Mvescape
8R
T (K)
H2
He
O2
Tierra
Marte
11899
2420
23627
4806
188877
38416
TCG10.- Calcular la velocidad de escape de la superficie de un planeta de radio R.
a) ¿Cuál es el valor para la Tierra, R = 6.37·106 m, g = 9.81 m s-2?
b) ¿Y para Marte ? R = 3.38·106 m, mMarte/mTierra = 0.108
c) ¿A qué temperaturas tienen el hidrógeno, el helio y el oxígeno velocidades
medias iguales a las velocidades de escape?
d) ¿Qué proporción de moléculas tienen suficiente velocidad para escapar
cuando la temperatura es (a) 240 K, (b) 1500 K?
Este tipo de cálculos es muy importante para explicar la composición de las
atmósferas planetarias.
d)
N v  vescape 
N
2

 x2 
xe  
  G v dv  1   G v dv  1   fer x 



0
vescape
 1
H2 Tierra
T = 240K
vescape

1
2
2

xe
 x2
 fer x
1
2
 M 
x
 vescape
 2 RT 
 2.016·10 3 
fer 7.9456  1
 11179.4  7.9456
x  
 2·8.31451·240 
N v  vescape 
2
7.94562
7.9456e
 1  3.45·1027
 1
N

TCG10- Calcular la velocidad de escape de la superficie de un planeta de radio R.
a) ¿Cuál es el valor para la Tierra, R = 6.37·106 m, g = 9.81 m s-2?
b) ¿Y para Marte ? R = 3.38·106 m, mMarte/mTierra = 0.108
c) ¿A qué temperaturas tienen el hidrógeno, el helio y el oxígeno velocidades
medias iguales a las velocidades de escape?
d) ¿Qué proporción de moléculas tienen suficiente velocidad para escapar
cuando la temperatura es (a) 240 K, (b) 1500 K?
Este tipo de cálculos es muy importante para explicar la composición de las
atmósferas planetarias.
d)
N v  vescape 
N
2

 x2 
xe  
  G v dv  1   G v dv  1   fer x 



0
vescape
 1
N v  vescape 
vescape

2

xe
 x2
1
2
 m 
x
 vescape
 2kT 
 fer x
240 K
1500K
N
H2
He
O2
H2
He
O2
Tierra
Marte
3.7E-27
1.14E-5
4.6E-54
4.9E-11
0
5E-88
1.5E-4
0.2499
1.0E-8
0.0428
3E-69
4.5E-14
Calcular <v3> para las moléculas de un gas ideal.
¿Es <v3> igual a <v><v2>?
TCG11.-

v
 m 
  v G v dv  4 

 2kT 
0
3
3
3

2
mv 2

5
2 kT
v e
dv 
0
n2
m
a
2kT
3
2

7
2
3
2  kT 
 m   2kT 
 4 

 

 
m
 2kT   m 
v v
2
1
2
3
2
 8kT   3kT  3·2  kT 
 
 

 
 m
 m   m 
3
2
3
2
g x hx   g x  hx 
2!
 m 
2

 2kT 
3
TCG12.- Determinar la proporción entre (a) las velocidades medias y (b) las
energías cinéticas traslacionales medias de las moléculas de H2 y los átomos
de Hg a 20 °C
v   8 RT 
 M 
v
v
H2
Hg
1
2
1
2
1
2
 M Hg  
 200.6 
 
  
  9.975
 2.016 
 M H 2  
Etras
Etras
H2
Etras
Hg
 1
1
 mv
2
2

1 3kT 3kT
m

2
m
2
 f T 
 f T 
TCG13.- Obtener la energía de traslación molecular media a partir de la distribución de
Maxwell expresada como distribución de energías.
3
2
1
 1  2 
GEtras   2 
 Etrase
 kT 
dN E
 GE dE
N

Etras   EtrasGEtras  dEtras 
0
x  Etras 

2
kT 

x
3
2 0
3
2
e

1
2
2
x
kT
2 xdx 

2
kT 
E
3
2 0
3
2
4
kT 
Etras
kT
tras
Etras  x 2

e

x e
n2
1
a
kT
dEtras
dEtras 
dEtras  2 xdx
x2

4
kT
3
2 0
Etras
kT
dx 
4
kT 
4!
3
2
1
2
 1 
2 2! 
 kT 
5
5
2
3
 kT
2
TCG14.- La presión de vapor de la plata a 2000 °C es de 170 torr. Calcular los gramos
de plata que colisionan por unidad de área (cm2) y de tiempo (s) de las paredes de
un recipiente que contiene plata en equilibrio con su vapor a 2000 °C .
Ag(g)
Ag(l)
ZP 
1
2
1N
ZP 
v
4V
N nN A
P


V
RT
kT
número de partículas que
colisionan por s y por m2
PN A
1 P  8RT 
26 2 1


1
.
2060
·
10
m s


1
4 kT  M 
2MRT 2
 2.16 gcm 2 s 1
1
M Ag  107.868·103 Kg ·mol 1
g  ZP
·M
N Av
R  8.31451 JK 1mol 1
T  2273.15 K
N A  6.02214·1023 mol 1
1 atm 101325 Pa
P  170 Torr·
·
 22664.8 Pa
760 Torr 1 atm
TCG15.- Se diseño un haz atómico para funcionar con: (a) cadmio, (b) mercurio. La
fuente es un horno mantenido a 380 K, en el que hay una rendija de 1 cm · 10-3 cm.
La presión de vapor del Cd a esa temperatura es 0.13 Pa y la del Hg 152 kPa.
¿Cuál es la corriente atómica (número de átomos por unidad de tiempo) en los haces?
A
Cd(g)
Cd(l)
E  A·Z P 
1 A·N
E  A·Z P 
v
4 V
N nN A
P


V
RT
kT
Cd:
PN A
2MRT 
número de partículas que
salen por A por s
1
2
M Cd  112.41·103 Kg ·mol 1
PCd  0.13 Pa
M Hg  200.59·103 Kg ·mol 1
PHg  152·103 Pa
A
 1.657·1011 s 1
Hg:
 1.451·1020 s 1
T  380 K
N A  6.02214·1023 mol 1
R  8.31451 JK 1mol 1
A  107 m2
TCG16.- Para determinar la presión de vapor del germanio a 1000 °C, se utilizó una
celda de Knudsen. La pérdida de masa a través de un orificio de 0.5 mm de radio
alcanzó el valor de 4.3·10-2 mg en un tiempo de dos horas. ¿Cuál es la presión de
vapor del germanio a 1000 °C? Suponer que el gas es monoatómico.
A
w  Z P ·A·m·t
Ge (g)
pérdida de masa a través
de A en un t
Ge (l)
w 
PN A
2MRT 
1
2
A·m·t 
M Ge  72.61·103 Kg ·mol 1
w  4.3·108 Kg

A   ·r   · 0.5·10
t  2 h  7200 s
2

3 2
m2
PM
2MRT 
1
2
A·t
w  2RT 
P


A·t  M 
1
2
T  1273.15 K
3
23
1
P

7
.
278
·
10
Pa
N A  6.02214·10 mol
R  8.31451 JK 1mol 1
TCG17.- Un vehículo espacial con un volumen interno de 3.0 m3 choca con un
meteorito originándose un orificio de 0.1mm de radio. Si la presión del oxígeno dentro
del vehículo es inicialmente de 0.8 atm y su temperatura de 298K,
¿cuánto tiempo tardará la presión en reducirse a 0.7atm?
número de moléculas que escapan en un t
dN
 Z P ·A
dt
variación de la presión en un t
1
2
PA  kT 
kT
P
dP dNkT kT dN
kT



Z P ·A  
A 

 
1
V  2m 
dt
V
V dt
V
V 2mkT 2
dP
PA  RT 
 


dt
V  2M 
1
2
1
2
P0
V  2M 
t 
 ln
A  RT 
P
dP
A  RT 


P P V  2M 
0
P
1
t
2
 dt
0
1
2
P
A  RT 
ln   
 t
P0
V  2M 
t  1.1487·105 s  31.91 h
TCG18.- La temperatura media de la superficie de Marte es 220 K y la presión es 4.7
torr. La atmósfera marciana está compuesta principalmente por CO2 y N2, con
pequeñas cantidades de Ar, O2, CO, H2O y Ne. Considerando sólo los dos
componentes principales, se puede aproximar la composición de la atmósfera
marciana como x(CO2) ≈ 0.97 y x(N2) ≈ 0.03. Los diámetros de colisión son 4.6 Å
para el CO2 y 3.7 Å para el N2. Para la atmósfera de la superficie marciana,
calcular:
(a) la frecuencia de colisión de una determinada molécula de CO2 con otras
moléculas de CO2;
(b) la frecuencia de colisión de una determinada molécula de N2 con moléculas de
CO2;
(c) el número de colisiones por segundo de una determinada molécula de N2;
(d) el número de colisiones CO2-N2 por segundo en 1.0 cm3;
(e) el número total de colisiones por segundo en 1 cm3.
TCG18.- La temperatura media de la superficie de Marte es 220 K y la presión es 4.7
torr. La atmósfera marciana está compuesta principalmente por CO2 y N2, con
pequeñas cantidades de Ar, O2, CO, H2O y Ne. Considerando sólo los dos
componentes principales, se puede aproximar la composición de la atmósfera
marciana como x(CO2) ≈ 0.97 y x(N2) ≈ 0.03. Los diámetros de colisión son 4.6 Å
para el CO2 y 3.7 Å para el N2. Para la atmósfera de la superficie marciana,
calcular:
(a) la frecuencia de colisión de una determinada molécula de CO2 con otras
moléculas de CO2;
3
1
z11 
M CO2  44.00·10 Kg ·mol
R  8.31451 JK 1mol 1
x1 PN A
P1 N A
N1


RT
RT
V
P  626.6 Pa
0
d CO2  4.6 A
xCO2  0.97
1
2
 8RT  N1

2d 

 M 1  V
2
1
T  220 K

z11  2 4.6·10
10
1
2
 8RT  0.97·626.6 Pa·N A

m 
 6.12·107 s 1
RT
 M 1 

2
TCG18.(b) la frecuencia de colisión de una determinada molécula de N2 con moléculas de
CO2;
 8RT
z12  d 
 
2
12
0
d CO2  4.6 A
0
d N 2  3.7 A
1
2
 1
1   P2 N A
7 1




5
.
65
·
10
s

 M 1 M 2   RT
1
d12  4.6  3.7   4.15
2
M CO2  44.00·103 Kg ·mol 1
M N 2  28.00·103 Kg ·mol 1
xN 2  0.97
x2 PN A
P2 N A
N2


RT
RT
V
R  8.31451 JK 1mol 1
TCG18.- (c) el número de colisiones por segundo de una determinada molécula de N2;
z11  z12 
1
2
 8RT  P2 N A

2d 
 1.54·106  5.65·107  5.80·107 s 1
 M 2  RT
2
2
(d) el número de colisiones CO2-N2 por segundo en 1.0 cm3;
N1
N2
P2 N A
z12 
z21 
z21 
Z12 
V
V
RT
0.03·626.6·6.022·1023

·5.65·107  3.51·1029 m 3 s 1  3.51·1023 cm 3 s 1
8.31451·220
(e) el número total de colisiones por segundo en 1 cm3.
Z11  Z12  Z 22 
1 P1 N A
Z11 
z11  6.12·1024 cm 3 s 1
2 RT
1 P2 N A
24
3 1
23
3 1

6
.
48
·
10
cm
s
Z12 
z12  3.51·10 cm s
2 RT
1 P2 N A
Z 22 
z22  4.78·1021cm 3 s 1
2 RT
TCG19.- Calcular el número total de colisiones por segundo y por cm3 en la atmósfera
terrestre a 25 °C y 1 atm entre:
(a) moléculas de oxígeno;
(b) moléculas de nitrógeno;
(c) moléculas de oxígeno y de nitrógeno. Utilizar los siguientes radios
moleculares r(O2) = 178 pm y r(N2) = 185pm
Z11 
1
2
1
2  8 RT   P1 N A 
 
 1 
  3.31·1033 m3 s 1
2
 M 1   RT 
2
Z 22  5.32·1034 m3 s 1
1

1  2  P1 N A  P2 N A 
2  8 RT  1
34 3 1
Z12  d12 
 



  2.66·10 m s
   M 1 M 2   RT  RT 
3
M N 2  28.00·10 Kg ·mol
xN 2  0.78
xO2  0.21
xb PN A
N b Pb N A


RT
RT
V
1
 N  2·185 pm  3.7·1010 m
2
 O  2·178 pm  3.56·1010 m
2
R  8.31451 JK 1mol 1
T  298 K
TCG19.- Calcular el número total de colisiones por segundo y por cm3 en la atmósfera
terrestre a 25 °C y 1 atm entre:
(a) moléculas de oxígeno;
(b) moléculas de nitrógeno;
(c) moléculas de oxígeno y de nitrógeno. Utilizar los siguientes radios
moleculares r(O2) = 178 pm y r(N2) = 185pm
Z11 
1
2
1
2  8 RT   P1 N A 
 
 1 
  3.31·1033 m3 s 1
2
 M 1   RT 
2
Z 22  5.32·1034 m3 s 1
1

1  2  P1 N A  P2 N A 
2  8 RT  1
34 3 1
Z12  d12 
 



  2.66·10 m s
   M 1 M 2   RT  RT 
número total de colisiones por cm3 y s :
8.31·1034 m3 s 1  8.31·1028 cm 3 s 1
TCG20.- Para el N2(g) con un diámetro de colisión de 3.7 Å, calcular el recorrido libre
medio a 300 K y: (a) 1.00 bar; (b) 1.00 torr; (c) 1.0 ·10-6 torr (presión típica de
“vacío”).

1  RT 


2 
2d1  PN A 
(a) 1.00 bar
 1.00·105 Pa
  6.81·108 m
(b) 1.00 torr
  longitud recipiente
  tamaño de la molécula
 133.32 Pa
  5.11·105 m
(c) 1.00·10-6 torr
 133.32 Pa
  51.1 m
¿más/menos?
más choques
con el recipiente
que entre ellas
TCG21.- La velocidad de la reacción H2 + I2 → 2HI depende de las colisiones entre
las distintas especies en la mezcla de reacción. Calcular las frecuencias de
colisión para los encuentros: (a) H2 + H2; (b) I2 + I2; (c) H2 + I2, para un gas a 400
K y 1 atm con cantidades equimoleculares de ambos componentes. Las
secciones eficaces de colisión son (H2) ≈ 0.27 nm2.y (I2) ≈ 1.2 nm2.
Z11 
1
2
1
2  8 RT   P1 N A 
 
d1 
  3.29·1034 m3 s 1
2
 M 1   RT 
2
Z 22  1.30·1034 m3 s 1
 8RT
Z12  d 
 
2
12
1
2
1   P1 N A  P2 N A 
 1
35 3 1
 



  1.13·10 m s
 M 1 M 2   RT  RT 
M H 2  2.016·103 Kg ·mol 1
 H   ·d
2
2
H2
 0.27·10
18
m
2
PH 2  0.5 atm  50662.5 Pa
M I 2  253.808·103 Kg ·mol 1
 I   ·d  1.2·10 m  HI
2
2
I2
18
2
R  8.31451 JK 1mol 1
 dH  dI
  ·
 2



2
TCG22.- (a) Calcular Z (frecuencia total de colisión) para el N2 a 1 atm y 300 K,
suponiendo que la molécula es esférica y que su diámetro es 3.7 Å. (b) Calcular
el tiempo medio entre colisiones. (c) En este tiempo, ¿cuántas oscilaciones
realiza la molécula de N2? Suponer que las moléculas de nitrógeno se
comportan como osciladores armónicos con frecuencia 2360 cm-1. (d) ¿Cuántas
rotaciones realiza la molécula durante ese tiempo? La longitud de enlace de
equilibrio es 1.0976 Å.
Z11 
1
2
1
2  8 RT   P1 N A 
 
d1 
  8.67·1034 m3 s 1
2
 M 1   RT 
M N 2  28.00·103 Kg ·mol 1
d N 2  3.7·1010 m
2
T  300 K
Pb  1 atm  1.01325 Pa
(b) Calcular el tiempo medio entre colisiones.
z11  2Z11
V
RT
 2Z11
 7.09·109 s 1
N1
P1 N A
Z11 
1
N
z11 1
2
V
1
t 
 1.41·1010 s
z11
TCG22.- (c) En este tiempo, ¿cuántas oscilaciones realiza la molécula de N2? Suponer
que las moléculas de nitrógeno se comportan como osciladores armónicos con
frecuencia 2360 cm-1.
 e  2360 cm
1
 e  c e  7.075·1013 s 1
nº oscilacion es   e · t  9981 oscilacion es
(d) ¿Cuántas rotaciones realiza la molécula durante ese tiempo? La longitud de
enlace de equilibrio es 1.0976 Å.
1 2
1
1
Erot  kT  kT  kT  Iw
2
2
2
molécula diatómica:
1
2
 2kT   2kT 
w
   2 
 I   R 

1
2
mN mN
1
 mN
mN  mN 2
1

 2


4kT


12
nº rotaciones  
·
t

7
.
69
·
10
2 
d
 m N  enlace  


 2  
